电路理论第6章含耦合电感电路

图6-2(a) 耦合线圈的伏安关系
Ψ1=Ψ11 +Ψ12 Ψ2=Ψ22 +Ψ21
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当线圈绕向和电流的参考方向如图 6-2(b)所示时，每个线圈中的自磁链 和互磁链的参考方向均不一致。因此， 耦合线圈中的总磁链可表示为
图6-2(b) 耦合线圈的伏安关系
Ψ1=Ψ11±Ψ12 （6-2a） Ψ2=Ψ22±Ψ21 （6-2b）
反之，如果电压表反向偏转， C与A为异名端。
u21
M
di1 dt
0
动画演示：互感线圈的同名端
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耦合电感的伏安关系式
具体规则是：若耦合电感的线圈电压与电流的参考方向为关联 参考方向时，该线圈的自感电压前取正号，否则取负号；若耦合电 感线圈的线圈电压的正极性端与在该线圈中产生互感电压的另一线 圈的电流的流入端为同名端时，该线圈的互感电压前取正号，否则 取负号。
图6-8 例6-2电路图
uac(t)L1dd s(it)t2e44tV
ua(bt)Mdd s(it)t1e64tV
u b( c t) u a bu a c 8 e 4 tV
此题不是正弦稳态电路，故不能用相量法。
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例6-3在图6-9所示正弦稳态电路中，U S 2 3 0 V , 0 R 1 3,0 L 1 4,
同名端通常用标志“·”（或“*”）表示。耦合电感标有“·”的 两个端钮为同名端，余下的一对无标志符的端钮也是一对同名端。
注意：耦合线圈的同名端只取决于线圈的绕向和线圈间的相对 位置，而与线圈中电流的方向无关。
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判定方法： 1.互感电压的正极性端与产生该互感电压的线圈电流的流入端 为同名端。利用同名端的概念,图6-2所示的耦合电感可分别用 图6-3所示的电路符号表示
图6-6 用受控源表示互感电压时耦合电感的电路模型
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正弦稳态电路中，式(6-4)所述的耦合电感伏安关系的相量形式为：
U 1jL 1I 1jM I 2 (6-5a) U 2jL2I 2jM I 1 (6-5b)
式中， jL1、jL2 称为自感阻抗，jM 称为互感阻抗。 若用受控源表示互感电压，图6-3去耦等效电路可用图6-7所示电路 模型表示、。
U (R 1 jL 1 )I 1 jM I 2
U (R 2 jL 2 )I 2 jM I 1
综合起来，可以写成
U ( R 1 jL 1 ) I 1 jM I 2 Z 1 I 1 Z M I 2 U ( R 2 jL 2 ) I 2 jM I 1 Z 2 I 2 Z M I 1
例6-1试写出图6-5所示耦合电感的伏安关系。
di di
uuuL 1M2
1
11 12
1dt dt
di di
uuuL 2M1
2
22 21
2 dt dt
图6-5 例6-1电路图
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耦合电感的受控源形式 由于耦合电感中的互感电压反映了耦合电感线圈间的耦合关系，
为了在电路模型中以较明显的方式将这种耦合关系表示出来，各线 圈中的互感电压可用CCVS表示。若用受控源表示互感电压，则图 6-3(a)和(b)所示耦合电感可分别用图6-6(a)和(b)所示的电路模型 表示。
3.当两个线圈互相垂直放置时，因两线圈间没有磁耦合，互感 磁链为零，所以K=0。
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例。6试-求2图，6u -8a所(ct)示、电au路(bt，)、已知bu(c i ts )( t) 2 e 4 tA ,L 1 3 H ,L 2 6 H ,M 2 H
解：由于BC处开路，所以电感 L 2 所在支 路无电流，故有
I 2 3 0 0 2 3 0 0 2 3 0 0 4 .0 6 2 A 1
1
2
3 j4
3 j4 0 .1 j0 .173 .1 3 j3 2 .83
1 0 j1 .3 72
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I 2j2 1 4 0 .0 j1 .6 3 7 2 21 0.40 6 1 7 A1
i t
在正弦稳态的情况下,应用相量法可得:
U 1 R 1 I jL 1 I jM I R 1 I j( L 1 M ) I
U 2 R 2 I jL 2 I jM I R 2 I j( L 2 M ) I
U U 1 U 2 ( R 2 R 2 ) I j( L 1 L 2 2 M ) I
图6-7 用受控源表示互感电压时耦合电感的向量模型
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6.1.4 耦合系数K
耦合系数K来表示互感线圈之间耦合的紧密程度。
K 21 12
11 22
M L1L 2
， 注：1. 11 21 22 1所2以耦合系数为 0K1
2.当K=1时，是无漏磁通的理想情况，称为全耦合。
式中含有M（或 Z M）项前面的符号“±”号表示的意义是：上面
“+”号对应同侧并联；下面“-”号对应异侧并联。
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求解上面两个方程可得：
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2.异侧并联 图6-13(a)中，两个线圈的同名端不在同一侧，把这种并联方 法称为异侧并联，其受控源去耦等效电路如图6-13(b)。
图6-13 耦合电感异侧并联及其去耦等效电路
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对于同侧并联 对于异侧并联
U (R 1 jL 1 )I 1 jM I 2 U (R 2 jL 2 )I 2 jM I 1
具有磁耦合的线圈称为 耦合线圈或互感线圈。
图6-1 两个线圈的磁耦合
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如图6-1所示，电流的方向与它产生的磁通链的方向满足右手螺 旋关系，参考方向按这一关系设定。若线圈周围没有铁磁物质，则 各磁通链与产生该磁通链的电流成正比，即
Ψ11L1i1 21M21i1 （6-1a）
6.2 耦合电感器的串联和并联
6.2.1 耦合电感器的串联
1.串联顺接 图6-10所示为两个有耦合的实际线圈的串联电路，电流均从两 个线圈的同名端流出（流进），这种接法称为顺接。图6-10(b)为 其受控源去耦等效电路。
图6-10 耦合电感顺接及其去耦等效电路
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顺接时，电压电流关系为
d d d
di di
u 11 1 1 2u u L1 M 2
1 dtdtdt11 12 1dt dt
（6-4a）
u d2 d2 2d2 1u u L d 2 i M d 1 i（6-4b） 2 dtdtdt22 21 2dt dt
上式即为耦合电感的伏安关系式。可见，耦合电感中每一线圈的感 应电压由自感电压和互感电压两部分组成。
在正弦稳态的情况下,应用相量法可得:
U & 1 R 1 I & jL 1 I & jM I & R 1 I & j( L 1 M ) I &
U & 2 R 2 I & jL 2 I & jM I & R 2 I & j( L 2 M ) I &
U & U & 1 U & 2 ( R 2 R 2 ) I & j( L 1 L 2 2 M ) I &
图6-3 耦合电感的电路符号
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2.同名端的实验判定
如图6-4，当开关S闭合时，将从线 圈1的A端流入，且d i1 0 。
dt
如果电压表正向偏转，表示线圈2
中的互感电压
u21
M
d，i1 则0可判定电
dt
压表的正极所接C与 的流i 1 入端A为同
名端；
图6-4 同名端的判定
u 1R 1 iL 1d d tiu 12 R 1 iL 1d d tiM d dti
u 2R 2 iL 2d d tiu 2 1R 2 iL 2d d tiM d dti
u u 1 u 2 R 1 i L 1d d tiR 2 i L 2d d ti2 M d d
i t
u(R 1R 2)i(L 1L22M )d d
如果线圈周围无铁磁物 质，则各磁链是产生该磁 链电流的线性函数，故有
1L1i1M 1i22 2L2i2M 2i1
(6-3a) (6-3b)
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当耦合线圈的线圈电流变化时，线圈中的自磁链和互磁链将随
之变化。由电磁感应定律可知，各线圈的两端将会产生感应电压。
若设各线圈的电流与电压取关联参考方向，则有
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U 2 R 2 I 2 1 0 . 4 0 0 1 6 7 4 . 0 9 1 V 6
I I 1 3 U 2 4 . 0 2 6 3 1 4 . 0 9 6 8 . 8 1 7 . 8 5 A 2
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L 2 1 .3 7 ,2 M 。2 求,R 电2 流 1 0
•
I0
解: 此题应先解出 I 1、I 2和U2
图6-9 例6-3电路图
(jR 1M I 1jL(1R)I2 1jjM L2I )2I 2U 0s
代入数据，则 (j32I 1j4()1I 10jj12I 72.32)2I 20 300
如图6-2（a）所示的具有磁耦合的两个线圈1和2 ，由于两个线 圈之间存在磁耦合，每个线圈中的磁链将由本线圈的电流产生的磁 链和另一线圈的电流产生的磁链两部分组成。
若选定线圈中各磁链的参考方 向与产生该磁链的线圈电流的参 考方向符合右手螺旋法则，则各 线圈的总磁链在如图6-2（a）电 流参考方向下可表示为：
LL1L22M称可为见反顺接接时时的互串感联消等弱效了电电感感，。
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6.2.2 耦合电感器的并联
1.同侧并联 耦合电感的并联电路，也有两种接法。在图6-12(a)中，两个 线圈的同名端在同一侧，把这种并联方法称为同侧并联，其受控 源去耦等效电路如图6-12(b)。
图6-12 耦合电感同侧并联及其去耦等效电路
LL1L22M称可为见顺顺接接时时的互串感联增等强效了电电感感，。
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2.串联反接 对于图6-11（a）所示电路，电流从一个线圈的同名端流入，而 从另一个线圈的同名端流出，这种接法，称为反接。图6-11（b） 为其受控源去耦等效电路。
图6-11 耦合电感反接及其去耦等效电路
6 含耦合电感电路
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本章知识要点：
※ 耦合电感的伏安关系与同名端; ※ 耦合电感器的串联和并联; ※ T形去耦等效电路; ※ 含耦合电感器复杂电路的分析; ※ 空心变压器; ※ 理想变压器;

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6.1 耦合电感的伏安关系与同名端
6.1.1 耦合电感的概念
两个靠近的线圈，当一个线圈有电流通过时，该电流产生 的磁通不仅通过本线圈，还部分或全部地通过相邻线圈。 一个线圈电流产生的磁通与另一线圈交链的现象，称为两 个线圈的磁耦合。
Ψ22L2i2 12M12i2 （6-1b）
图6-1 两个线圈的磁耦合
1. L1、L2、M12、M21均为正常数，单位为亨利（H）。L1、 L2为自感;M12、M21称为互感。
2. M12=M21，因此当只有两个线圈耦合时，可略去下标，表 示为M=M12=M21。
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6.1.2 耦合电感的伏安关系
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反接时，电压电流关系为
u 1R 1 iL 1d d ti u 1 2R 1 iL 1d d ti M d d ti
u 2R 2 i L 2d d ti u 2 1R 2 i L 2d d ti M d d ti
u u 1 u 2 R 1 i L 1d d ti R 2 i L 2d d ti 2 M d d ti u(R 1R 2)i(L 1L22M )d dti
当线圈的电流与电压取关联参考方向时，自感电压前的符号总为正 而互感电压前的符号可正可负，当互磁链与自磁链的参考方向一致 时，取正号；反之，取负号。
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6.1.3 耦合线圈的同名端
同名端:指耦合线圈中的这样一对端钮，当线圈电流同时流入（或 流出）该对端钮时，各线圈中的自磁链与互磁链的参考方向一致。