借在数学分析教学中的应用
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 ２ 卷第 ３ ４ 期
２ １ 年 ６月 ０１
高等 函授 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｉ ｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅ Ｅｄ ｃ ｔｏ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｒｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａ ｉｎ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ
６ ２
≥ Ｉ ｐ（ ＋ ｕ— １ ）
≥ ＋ １
一
１
第 ２ ４卷第 ３期 ２ １ 年 ６月 ０１
高 等 函授 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｉ ｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥｄ ｃ ｔｏ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｒ ｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａｉｎ（ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ
１２ 证 明 Ｓｈ ｒ ． ｃ ｗａｚ不等 式
则（ｘ ＋ （ 一． ｚ ） ≤ ． ＋ （ 一｜ ｚ ： Ｚｌ １ ： ２。 ｛ 【 ） １ ＝ Ｌ ）
证 明 Ｓ ｈ ｒ 不等 式 即如果 ｆ， ｃ ｗａｚ ｇ在 ［ ，］上 ｎ６
可积 ， 则
广 ６ 广 ６ 广 ６
令口 ｒ １５ ＞０ 一÷＞ ，≥ｒ ；
则（ ＋（ １一 ， ２ ＿ Ｄｘ ） ｝≤ 十（ １一 ）
（ ｆｘｇｘｄ）≤ Ｉ ｘｄ Ｉ ｘｄ Ｉ （）（）ｘ （）ｘ・ （）ｘ ｆ ｇ
分析 因为 用 内 积 证 明 ， 先 我 们 构 造 内 首
积 ， 于 函 数 厂 ） ｇ ｚ 对 （ ， （ ）定 义 内 积 （ ， ）＝ 厂ｇ ＝ ＝
文 章 编 号 ：Ｏ ６ ７５ （０ １ ０ －０ ６ －０ １Ｏ — ３ ３ ２ １ ） ３ ０ ２ ２
１ 借 内积证 明两 个重 要不 等式
１ １ 内积 定 义 ．
２ １ 凹 凸 函 数 的 性 质 ．
设 Ｊ为 区间 ｊ ｒ 上得 二阶可 导 函数 ， ，为 区间 则
Ｊ 凸（ 上 凹）函数 的 充要 条 件是 ｆ （ ）≥ Ｏ ｆ （ （ ）
Ｖｏ ． ４ Ｎ ｏ ３ １２ ．
２Ｏ１ １
ｐｚ ＋ （ １一 ）≥ ｚ ，
ｐ
４ 借 ｆ 卢函数计 算暇 积分 。
４ １ ｒ 函 数 的 定 义 ． ，
证毕 。
３ 借 等价 来证 明级数 的 敛 散性质
３ １ 等 价 的 定 义 ．
ｒｓ （）一 Ｉ Ｘ ｅ￣ ｘ， ＞ ０ — －ｄ ｓ
（ ） 口＋ ， ３（ ）一 （ ｙ 口， ）＋ （ ， ； 』 ） ９
２２ ． 证 明 函数 ， ｚ （ ）：
单调 递增
证 明 假设 ｇ ｚ 为 凸 函数则 ｇ ｌ （ ～ （） （ ＋ １
Ｘ ｘ ）≤ Ａ ｚ ）＋ （ ）ｚ ｇ（ １ １一 Ａ ｇ（ ２ ） ｘ）
（ ）口 ａ ≥ ０当且 仅 当 ａ＝ ０时 （ ，）一 ０ ４ （ ，） ＝ ＝ 口口 。
证 明 一 系列 不 等 式 ， 出 了证 明 不 等 式 的方 法 ， 得 以使 数 学 分析 和 其 他 学科 结 合 起 来 ， 复 杂 问题 简 将
单 化 ， 象 问题 具体 化 。 抽
关键 词 ： ；技 巧 ；恰 当 借
中圈 分 类 号 ： ２ Ｇ６ Ｏ
文 献 标识 码 ： Ａ
≤ Ｏ ． ∈ ）ｚ
设 是 实数 域 Ｒ 上 的一个线 性空 间 ， 在 上 定义 了一 个二元 实 函数 ， 为 内积 ， 作 （ ， ， 称 记 ａ 它
具 有 以下 性质 ：
（ ）口 卢 １ （ ，）一 （ ，） （ ） ，）一 是 卢 ａ ； 卢ａ ； ２ （ （ ，）
（ｎ 号 ） （ｎ ） 号 ６｝ １ ÷ ＋ ｒ≤ １＋ ＿
所 以单 调递 增 ， 毕 。 证
（ ，） ｌ ｌｇＩ即 ，ｇ ≤ 厂 ｌ ．
・ 证≥， 。 号 ｚ 中 ３ 其１ （ ｚ Ｉ（ ） ｚ ２ 试 户１＞时 十 ≥， （ ≤ ） ｛ ） 如 （ 如 （
（） １
卢户 ｑ 一 ｌ （ 一ｚ ｄ ， ０ｑ （ ，） ｚ １ ） ｘ Ｐ＞ ， ＞０ （） ２
４ ２ 计 算 下 列 暇 积 分 的 值 ．
（ ）Ｉ（ｎ １ １ ｘ）ｄｘ
ｚ
若ｉｇ ｌ 一１ 称厂 ｇ 当 时 ｍ 则 与 是 — 。
—ｚ ｏｇ
的等 价无 穷小量 记作 ： （ ）～ ｇ ｚ （ 厂ｚ （ ）ｚ— ｚ ） ｏ ３ ２ 常用 的等价 关 系 ． 当 ｚ一 ０时有如 下关 系式
（ｘ Ｚ 十 （ 一 ｚ ） １ ） ２ ÷≤ （
（ａ Ａ ＋ （ １一 Ａ ｂ ） ） ｒ ÷≤ （
＋ （ 一 ） ） １ ÷
＋ （ 一 Ａ ｂ） １ ） ｛
令 ＝ 百 １则
ｌ厂 ） （ ） ｘ （ ｇｘ ｄ
证 明 柯 西 一 布涅 柯夫 斯基 不等式 我们 容 易等得到 ：
＋ 一 １证 明
ｑ
两 边 平 方 得
（ｆｘｇｘｄ）≤Ｉ ） ｌ ｘｄ １ （）（） （ ｄ （ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ・ ｇ ）
２ 借 凹 凸函数的性 质证 明一 系列 不等式
收稿 日期 ：２ １ －０ —２ ． ０１ ２ ７ 作 者 简介 ： 元 军 （ ９ ６ ， ， 读 硕 士 研 究 生 ， 究 方 向 ： 算 数 学 李 １８ 一） 男 在 研 计
（ ） ～ ｓｎ Ｘ ～ ｔ ｎ Ｘ ～ ．ｒ ｓｎ Ｘ ～ ａ ｃ ａ １ ｉ ａ ａ ｃ ｉ ｒ ｔｎ ｚ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ ３ １２ ．
２Ｏ１ １
・
大 学教 学 ・
借 在数 学 分 析教 学 中的应 用
李 元 军 刘 春桃
（ 京航空航天大学 理学院 ， 苏 南京 ２１０） 南 江 １ １０
摘 要 ： 文 通 过借 高 等代 数 内积 ， 明 了两 个 重要 的 不 等 式 。 同 时 ， 用 凹 凸 函 数 பைடு நூலகம்性 质 来 本 证 借
２ １ 年 ６月 ０１
高等 函授 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｉ ｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅ Ｅｄ ｃ ｔｏ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｒｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａ ｉｎ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ
６ ２
≥ Ｉ ｐ（ ＋ ｕ— １ ）
≥ ＋ １
一
１
第 ２ ４卷第 ３期 ２ １ 年 ６月 ０１
高 等 函授 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｉ ｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥｄ ｃ ｔｏ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｒ ｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａｉｎ（ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ
１２ 证 明 Ｓｈ ｒ ． ｃ ｗａｚ不等 式
则（ｘ ＋ （ 一． ｚ ） ≤ ． ＋ （ 一｜ ｚ ： Ｚｌ １ ： ２。 ｛ 【 ） １ ＝ Ｌ ）
证 明 Ｓ ｈ ｒ 不等 式 即如果 ｆ， ｃ ｗａｚ ｇ在 ［ ，］上 ｎ６
可积 ， 则
广 ６ 广 ６ 广 ６
令口 ｒ １５ ＞０ 一÷＞ ，≥ｒ ；
则（ ＋（ １一 ， ２ ＿ Ｄｘ ） ｝≤ 十（ １一 ）
（ ｆｘｇｘｄ）≤ Ｉ ｘｄ Ｉ ｘｄ Ｉ （）（）ｘ （）ｘ・ （）ｘ ｆ ｇ
分析 因为 用 内 积 证 明 ， 先 我 们 构 造 内 首
积 ， 于 函 数 厂 ） ｇ ｚ 对 （ ， （ ）定 义 内 积 （ ， ）＝ 厂ｇ ＝ ＝
文 章 编 号 ：Ｏ ６ ７５ （０ １ ０ －０ ６ －０ １Ｏ — ３ ３ ２ １ ） ３ ０ ２ ２
１ 借 内积证 明两 个重 要不 等式
１ １ 内积 定 义 ．
２ １ 凹 凸 函 数 的 性 质 ．
设 Ｊ为 区间 ｊ ｒ 上得 二阶可 导 函数 ， ，为 区间 则
Ｊ 凸（ 上 凹）函数 的 充要 条 件是 ｆ （ ）≥ Ｏ ｆ （ （ ）
Ｖｏ ． ４ Ｎ ｏ ３ １２ ．
２Ｏ１ １
ｐｚ ＋ （ １一 ）≥ ｚ ，
ｐ
４ 借 ｆ 卢函数计 算暇 积分 。
４ １ ｒ 函 数 的 定 义 ． ，
证毕 。
３ 借 等价 来证 明级数 的 敛 散性质
３ １ 等 价 的 定 义 ．
ｒｓ （）一 Ｉ Ｘ ｅ￣ ｘ， ＞ ０ — －ｄ ｓ
（ ） 口＋ ， ３（ ）一 （ ｙ 口， ）＋ （ ， ； 』 ） ９
２２ ． 证 明 函数 ， ｚ （ ）：
单调 递增
证 明 假设 ｇ ｚ 为 凸 函数则 ｇ ｌ （ ～ （） （ ＋ １
Ｘ ｘ ）≤ Ａ ｚ ）＋ （ ）ｚ ｇ（ １ １一 Ａ ｇ（ ２ ） ｘ）
（ ）口 ａ ≥ ０当且 仅 当 ａ＝ ０时 （ ，）一 ０ ４ （ ，） ＝ ＝ 口口 。
证 明 一 系列 不 等 式 ， 出 了证 明 不 等 式 的方 法 ， 得 以使 数 学 分析 和 其 他 学科 结 合 起 来 ， 复 杂 问题 简 将
单 化 ， 象 问题 具体 化 。 抽
关键 词 ： ；技 巧 ；恰 当 借
中圈 分 类 号 ： ２ Ｇ６ Ｏ
文 献 标识 码 ： Ａ
≤ Ｏ ． ∈ ）ｚ
设 是 实数 域 Ｒ 上 的一个线 性空 间 ， 在 上 定义 了一 个二元 实 函数 ， 为 内积 ， 作 （ ， ， 称 记 ａ 它
具 有 以下 性质 ：
（ ）口 卢 １ （ ，）一 （ ，） （ ） ，）一 是 卢 ａ ； 卢ａ ； ２ （ （ ，）
（ｎ 号 ） （ｎ ） 号 ６｝ １ ÷ ＋ ｒ≤ １＋ ＿
所 以单 调递 增 ， 毕 。 证
（ ，） ｌ ｌｇＩ即 ，ｇ ≤ 厂 ｌ ．
・ 证≥， 。 号 ｚ 中 ３ 其１ （ ｚ Ｉ（ ） ｚ ２ 试 户１＞时 十 ≥， （ ≤ ） ｛ ） 如 （ 如 （
（） １
卢户 ｑ 一 ｌ （ 一ｚ ｄ ， ０ｑ （ ，） ｚ １ ） ｘ Ｐ＞ ， ＞０ （） ２
４ ２ 计 算 下 列 暇 积 分 的 值 ．
（ ）Ｉ（ｎ １ １ ｘ）ｄｘ
ｚ
若ｉｇ ｌ 一１ 称厂 ｇ 当 时 ｍ 则 与 是 — 。
—ｚ ｏｇ
的等 价无 穷小量 记作 ： （ ）～ ｇ ｚ （ 厂ｚ （ ）ｚ— ｚ ） ｏ ３ ２ 常用 的等价 关 系 ． 当 ｚ一 ０时有如 下关 系式
（ｘ Ｚ 十 （ 一 ｚ ） １ ） ２ ÷≤ （
（ａ Ａ ＋ （ １一 Ａ ｂ ） ） ｒ ÷≤ （
＋ （ 一 ） ） １ ÷
＋ （ 一 Ａ ｂ） １ ） ｛
令 ＝ 百 １则
ｌ厂 ） （ ） ｘ （ ｇｘ ｄ
证 明 柯 西 一 布涅 柯夫 斯基 不等式 我们 容 易等得到 ：
＋ 一 １证 明
ｑ
两 边 平 方 得
（ｆｘｇｘｄ）≤Ｉ ） ｌ ｘｄ １ （）（） （ ｄ （ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ・ ｇ ）
２ 借 凹 凸函数的性 质证 明一 系列 不等式
收稿 日期 ：２ １ －０ —２ ． ０１ ２ ７ 作 者 简介 ： 元 军 （ ９ ６ ， ， 读 硕 士 研 究 生 ， 究 方 向 ： 算 数 学 李 １８ 一） 男 在 研 计
（ ） ～ ｓｎ Ｘ ～ ｔ ｎ Ｘ ～ ．ｒ ｓｎ Ｘ ～ ａ ｃ ａ １ ｉ ａ ａ ｃ ｉ ｒ ｔｎ ｚ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ ３ １２ ．
２Ｏ１ １
・
大 学教 学 ・
借 在数 学 分 析教 学 中的应 用
李 元 军 刘 春桃
（ 京航空航天大学 理学院 ， 苏 南京 ２１０） 南 江 １ １０
摘 要 ： 文 通 过借 高 等代 数 内积 ， 明 了两 个 重要 的 不 等 式 。 同 时 ， 用 凹 凸 函 数 பைடு நூலகம்性 质 来 本 证 借