管理运筹学-03- 整数规划
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Integer Programming
第3章 整数规划
IP
第3章 整数规划
3.1 整数规划问题及其建模 3.2 分支定界法 3.3 割平面法 3.4 0-1型整数线性规划的解法 3.5 指派问题 .6 整数规划应用
第3章 整数规划
2
基本概念
整数规划：变量取整数的线性规划； 纯整数规划：所有变量都取整数的线性规划； 混合整数规划：部分变量取整数的线性规划； 0-1规划：所有变量都取0、1两个值的规划； 0-1混合规划：部分变量取0、1两个值的规划。
x3 6 ④
x 1 , x 2 , x 3 0 或 1
可行解：X=(1，0，0)，Z=3
增加过滤条件（filtering constraint）
3x12x25x33◎
第3章 整数规划
20
3.4 0-1型整数规划的解法
第3章 整数规划
21
改进算法（更早发现最优解）
按价值系数从小到大排列
max z=-2x2+3x1+5x3
当xj 0 当xj 0
设第j种设备运行每小时可以生产第i种产品a ij 件，而第i种产品 定货为 b i 件。要满足定货同时使设备运行的总成本最小的问题
为： n min z (d j y j c j x j )
j1
n
s.t.
aij x j bi
i 1,2, , m
j1
x j Myj
j 1,2, , n
x1≥6
x1 x2
6 5 7
z 14 13 7
z 13 1 2
图3-3. 探索过程示意图
x2≤0
√ Sub-9
x1 7 x2 0 z 14 z z 14
x2≥1
Sub-10
无可行解
11
3.3 割平面法
3.3.1 割平面法基本思想
•首先放弃变量的整数要求，求得线性规划的最优解。
混合0-1规划
x j 0, y j 0,1
3.1 整数规划问题及其建模
6
线性规划与整数规划的关系
max z x1 4x2
线 性 规
s.t.
14xx11
42 x4 2x2
5
196
划
x1, x2 0
max z x1 4x2
整 数 规
s.t.
14xx11
42x4 2x2
5
196
划
x1, x2 0 且为整数
X*=（13/5，19/5） Z*=89/5=17.8
X*=（5，3） Z*=17
7
3.2 分支定界法（B&B）
基本思想
分支（Branch）
定界（Bound）
Min z CX
xr≤Ir
AX b
X 0
Min z CX AX b xr Ir X 0
Min z CX AX b xr Ir 1 X 0
二、寻找独立0元素
6 5 0 8
0
0
2
0
7 0 8 0
4
0
6
1
4 003
0 0 1 0
( x ij
)
1
0
0 0
0 0
0
1
0
1
0
0
甲—C， 乙—A， 丙—D， 丁—B
最优值为：Z* =11+9+4+5=29
Pix i
i1 N
I ix i I
i1 N
L ix i L
i1 N
xi r
i1
x i 0 ,1
3.1 整数规划问题及其建模
0-1规划
5
例3-3 考虑固定成本的最小生产费用问题
在最小成本问题中，设第j种设备的固定成本为d j，运行的变
动成本为c j，则生产成本与设备运行时间的关系为：
0 fj(xj)dj cjxj
需完成n项任务，恰好有n个人可承担这些任务。各人完成任务的效率 (或所费时间) 不同。应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任务 的总效率最高(或所需总时间最小)。
例3-5 甲、乙、丙、丁四人配送A,B,C,D四种货物, 所需时间如下表 所示。若一种货物只交一人送货，则应指派何人配送何种货物, 能使 总的时间最少？
定界（Bound）如果某一个子问题的最优解是整数解，则它
的目标函数值可作为整数规划最优目标函数值的上界。
如果某一个子问题的解还不是整数解，但这个非整数解的目标 函数值已经超过这个上界，那么这个子问题不必再进行分枝。
如果在分枝过程中得到新的整数解且该整数解的目标函数值小 于已记录的上界，则用较小的整数解的目标函数值代替原来的 上界。上界的值越小，就可以避免更多不必要的分枝。
⑴ 线性规划的任何整数可行解都满足这个约束；未切割掉 任何一个整数解。
⑵ 线性规划的非整数最优解不满足这个约束。切割掉了非 整的LP解X；
第6章 整数规划
14
3.3.2 割平面法基本步骤
1° 用单纯形法求解IP的伴随LP问题，得到其解X0，令k=0；
2° 若Xk的分量全为整数，则Xk即为原问题的最优解，停止计算； 否则根据Xk的一个非整分量所在单纯形表的那一行，譬如第 r 行，
-2x2+3x1+5x3≥3 ◎
2x2+x1-x3≤2 ①
4x2+x1+x3≤4 ②
x2+x1 ≤3
③
4x1+x3≤6
④
点
◎
条件 ① ②③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（0 0 0） 0
F
（0 0 1）
5 -1 1 0 1
T
第3章 整数规划
5
22
-2x2+3x1+5x3≥5 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
3.1 整数规划问题及其建模
例3-1背包问题
max z= 17x1 +72x +35x
s.t.
10x1 2 +42x 3 +20x ≤50
x1, 2 x2,
3 x3
≥0
x1,
x2,
x3为整数
线性规划最优解为:
x1=0，x2=0，x3=2.5 而整数规划的最优解是
x1=1，x2=0，x3=2
4
例3-2厂址选择问题
y24=-3/5=-1+2/5，I24=-1，F24=2/5
附加的约束条件 为
3/5-（1/5x3+2/5x4）≤0
即
1/5x3+2/5x4≥3/5
将这个约束加到线性规划的最优单纯形表中，并增加一个松弛
变量x5,得下表
第3章 整数规划
17
用对偶单纯形法，x5离基，x3进基
已获得整数的最优解：
X*=（2，1）
0
1 2345
第3章 整数规划
19
3.4 0-1型整数规划的解法
隐枚举法（Implicit Eumeration）
例3-6 用隐枚举法求解下列问题
m ax z 3 x1 2 x2 5 x3
x1 2 x2 x3 2 ①
s
.t
.
x x
1 1
4 x2 x2
x3
4 3
② ③
4
x
1
x1,
x2
0
且为整数
先求得相应的线性规划的最优解，为
x131 1,7 2x221 6,7z11 4 87
第3章 整数规划
10
Sub-1
x1
4
1 5
x1≤4
√ Sub-3
x1 4 x2 2 z 14
z 14
Sub-6
无可行解
x2 2
z 14 2 5
x2≤2
x1
原3问1题2 17
xr≥Ir+1
第3章 整数规划
8
分支（Branch）这两个子问题的可行域都是原线性规划问
题可行域的子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会 比原线性规划问题的最优解的目标函数值更小。如果这两个问 题的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量，继 续将这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过程称为 “分枝（Branch）”。
性质3-2. 若一个方阵的一部分元素为0，另一部分 元素不为0，则覆盖方阵内所有0元素的最少直线数 恰好等于独立0元素（位于不同行，不同列的0元素 ）的最多个数。
第3章 整数规划
26
例3-7：匈牙利法的步骤 一、系数矩阵经变换，在各行各列中都出现0元素。
14 9 4 154 10 5 0 11 6 5 0 8 11 7 9 1074 0 2 30 0 2 0 13 2 10 52 11 0 8 3 7 0 8 0 17 9 15 139 8 0 6 4 4 0 6 1
x2
26 17
z 14 8 17
× x2≥3
x1≥5
Sub-4
x1 5,
x2
1
3 7
z 14 2 7
x2≥2
x2≤1
Sub-5
x1
5
3 5
x2 1
z 14 1 5
Sub-2
x1
312 17
x2 3
zz14
x1≤5
Sub-7
x1 5 x2 1 z 13
z z 14
Sub-8
Z
（0 1 0） 3
F
（0 1 1） 8
0
2
1
5
T
8
-2x2+3x1+5x3≥8 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（1 0 0） -2
F
（1 0 1） 3
F
（1 1 0） 1
F
（1 1 1） 6
F
第3章 整数规划
23
3.5 指派问题
指派问题或分派问题（assignment problem）：
•如果最优解恰是一个整数解，则线性规划的最优解就是相 应的整数规划的最优解。
•如果线性规划的最优解不是整数解，则要构造一个新的约 束，对线性规划问题的可行域进行切割，切除已经得到的 线性规划的最优解，但保留原可行域中所有的整数解，求 解新的线性规划问题
•如果最优解仍不是整数解，再增加附加的约束将其切除， 但仍保持最初可行域中所有的整数解，如此一直进行，直 至得到一个整数的最优解为止。
确定整数解目标函数值上界并不断更新上界，并且不断“剪除 ”目标函数值超过上界的分枝的过程，称为定界（Bound） 。
第3章 整数规划
9
3.2 分支定界法（B&B）
例3-4 用分枝定界法求解以下整数规划
min z 2x1 3x2
5x1 7 x2 35 s.t. 4x1 9x2 36
第3章 整数规划
12
3.3.1 割平面法基本思想 设放弃变量整数要求得到的线性规划的最优单纯形表如下：
设其中基变量Xr的值br不是整数，以I表示整数，以 F表 示正的真分数，令
b r= Ir+ Fr
(0 < Fi < 1)
yrj = Irj + Frj (0 ≤ Frj < 1) 将上面两式代入约束r中，得
在N个地点中选r个（N>r）建厂，在第i个地点建厂（i=1，2
，…，N）所需投资为Ii万元，占地Li亩，建成以后的生产能力 为Pi万吨。现在有总投资I万元，土地L亩，应如何选择厂址， 使建成后总生产能力最大。
设
0 表示在 i地不建厂
xi 1 表示在 i地建厂
整数规划模型为: max
s.t.
N
z
构造源于第 i行的割平面，给它引入一个弛变量 xn+k+1，
得
n
-
j
=m+F1 rj
xj
+
xn+k+1
=-Fr
3° 把这个新约束添到最优单纯形表中，并增加一列( 即 xn+k+1
列 )，用对偶单纯形法继续迭代，求得一个新解Xk+1，
令k: = k+1，返2°。
第3章 整数规划
15
例3-5 试用割平面法求解以下整数规划：
min z = 3x1+4x2
3x1+x2≥4
s.t.
x1+2x2≥4 x1, x2≥0
x1, x2 为整数
解 求解线性规划得最优单纯形表
第6章 整数规划
16
选择一个非整数的基变量，例如 x2=8/5，构造约束条件(3-4）
b2=8/5=1+3/5，I2=1，F2=3/5
y23=1/5=0+1/5，I23=0，F23=1/5
第3章 整数规划
Z*=10
18
为了得到切割约束1/5x3+2/5x4≥3/5在（x1, x2）平面中
的表达式，将其中的松弛变量x3，x4用x1，x2表示
x3=3x1+x2-4，x4=x1+2x2-4
代入切割约束，得到
x1+x2≥3
这个切割过程的图解如下图
切割直线
4
3
2 线性规划最优解
1
整数规划最优解
第3章 整数规划
13
改写成
n
xr (IrjFrj)xj Ir Fr
jm1
n
n
xr Irx j j IrFr Frx j j
jm 1
jm 1
因此对于整数可行解，约束（3-2）可以写成更严格的不等式
n
n
xr Irx j j IrF r F rx j j 0
jm 1
jm 1
这就是源于第r行的割平面。
i 1
x ij 0,1
一般指派问题的模型
nn
min z
cij x ij
i1 j1
n
s.t.
xij 1
i 1,2, , n
j 1
n
xij 1
j 1,2, , n
i 1
xij 0, xij 0,1
第3章 整数规划
25
指派问题的求解方法——匈牙利法
性质3-1. 若从系数矩阵(cij)的一行(列)各元素中分 别减去该行(列)的最小元素，得到新矩阵(bij)，那么 以(bij)为系数矩阵求得的最优解和用原系数矩阵求 得的最优解相同 。
工件
A
B
C
D
工人
效
甲
14
9
4
15
率
乙
11
7
9
10
矩
丙
13
2
10
5
阵
丁
17
9
15
13
第3章 整数规划
24
设xij=1表示第 i人送j货，否则xij=0
上述问题的模型为：
44
min z
c ij x ij
i1 j1
4
s.t.
x ij 1
i 1,2, ,4
j 1
4
x ij 1
j 1,2, ,4
第3章 整数规划
IP
第3章 整数规划
3.1 整数规划问题及其建模 3.2 分支定界法 3.3 割平面法 3.4 0-1型整数线性规划的解法 3.5 指派问题 .6 整数规划应用
第3章 整数规划
2
基本概念
整数规划：变量取整数的线性规划； 纯整数规划：所有变量都取整数的线性规划； 混合整数规划：部分变量取整数的线性规划； 0-1规划：所有变量都取0、1两个值的规划； 0-1混合规划：部分变量取0、1两个值的规划。
x3 6 ④
x 1 , x 2 , x 3 0 或 1
可行解：X=(1，0，0)，Z=3
增加过滤条件（filtering constraint）
3x12x25x33◎
第3章 整数规划
20
3.4 0-1型整数规划的解法
第3章 整数规划
21
改进算法（更早发现最优解）
按价值系数从小到大排列
max z=-2x2+3x1+5x3
当xj 0 当xj 0
设第j种设备运行每小时可以生产第i种产品a ij 件，而第i种产品 定货为 b i 件。要满足定货同时使设备运行的总成本最小的问题
为： n min z (d j y j c j x j )
j1
n
s.t.
aij x j bi
i 1,2, , m
j1
x j Myj
j 1,2, , n
x1≥6
x1 x2
6 5 7
z 14 13 7
z 13 1 2
图3-3. 探索过程示意图
x2≤0
√ Sub-9
x1 7 x2 0 z 14 z z 14
x2≥1
Sub-10
无可行解
11
3.3 割平面法
3.3.1 割平面法基本思想
•首先放弃变量的整数要求，求得线性规划的最优解。
混合0-1规划
x j 0, y j 0,1
3.1 整数规划问题及其建模
6
线性规划与整数规划的关系
max z x1 4x2
线 性 规
s.t.
14xx11
42 x4 2x2
5
196
划
x1, x2 0
max z x1 4x2
整 数 规
s.t.
14xx11
42x4 2x2
5
196
划
x1, x2 0 且为整数
X*=（13/5，19/5） Z*=89/5=17.8
X*=（5，3） Z*=17
7
3.2 分支定界法（B&B）
基本思想
分支（Branch）
定界（Bound）
Min z CX
xr≤Ir
AX b
X 0
Min z CX AX b xr Ir X 0
Min z CX AX b xr Ir 1 X 0
二、寻找独立0元素
6 5 0 8
0
0
2
0
7 0 8 0
4
0
6
1
4 003
0 0 1 0
( x ij
)
1
0
0 0
0 0
0
1
0
1
0
0
甲—C， 乙—A， 丙—D， 丁—B
最优值为：Z* =11+9+4+5=29
Pix i
i1 N
I ix i I
i1 N
L ix i L
i1 N
xi r
i1
x i 0 ,1
3.1 整数规划问题及其建模
0-1规划
5
例3-3 考虑固定成本的最小生产费用问题
在最小成本问题中，设第j种设备的固定成本为d j，运行的变
动成本为c j，则生产成本与设备运行时间的关系为：
0 fj(xj)dj cjxj
需完成n项任务，恰好有n个人可承担这些任务。各人完成任务的效率 (或所费时间) 不同。应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任务 的总效率最高(或所需总时间最小)。
例3-5 甲、乙、丙、丁四人配送A,B,C,D四种货物, 所需时间如下表 所示。若一种货物只交一人送货，则应指派何人配送何种货物, 能使 总的时间最少？
定界（Bound）如果某一个子问题的最优解是整数解，则它
的目标函数值可作为整数规划最优目标函数值的上界。
如果某一个子问题的解还不是整数解，但这个非整数解的目标 函数值已经超过这个上界，那么这个子问题不必再进行分枝。
如果在分枝过程中得到新的整数解且该整数解的目标函数值小 于已记录的上界，则用较小的整数解的目标函数值代替原来的 上界。上界的值越小，就可以避免更多不必要的分枝。
⑴ 线性规划的任何整数可行解都满足这个约束；未切割掉 任何一个整数解。
⑵ 线性规划的非整数最优解不满足这个约束。切割掉了非 整的LP解X；
第6章 整数规划
14
3.3.2 割平面法基本步骤
1° 用单纯形法求解IP的伴随LP问题，得到其解X0，令k=0；
2° 若Xk的分量全为整数，则Xk即为原问题的最优解，停止计算； 否则根据Xk的一个非整分量所在单纯形表的那一行，譬如第 r 行，
-2x2+3x1+5x3≥3 ◎
2x2+x1-x3≤2 ①
4x2+x1+x3≤4 ②
x2+x1 ≤3
③
4x1+x3≤6
④
点
◎
条件 ① ②③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（0 0 0） 0
F
（0 0 1）
5 -1 1 0 1
T
第3章 整数规划
5
22
-2x2+3x1+5x3≥5 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
3.1 整数规划问题及其建模
例3-1背包问题
max z= 17x1 +72x +35x
s.t.
10x1 2 +42x 3 +20x ≤50
x1, 2 x2,
3 x3
≥0
x1,
x2,
x3为整数
线性规划最优解为:
x1=0，x2=0，x3=2.5 而整数规划的最优解是
x1=1，x2=0，x3=2
4
例3-2厂址选择问题
y24=-3/5=-1+2/5，I24=-1，F24=2/5
附加的约束条件 为
3/5-（1/5x3+2/5x4）≤0
即
1/5x3+2/5x4≥3/5
将这个约束加到线性规划的最优单纯形表中，并增加一个松弛
变量x5,得下表
第3章 整数规划
17
用对偶单纯形法，x5离基，x3进基
已获得整数的最优解：
X*=（2，1）
0
1 2345
第3章 整数规划
19
3.4 0-1型整数规划的解法
隐枚举法（Implicit Eumeration）
例3-6 用隐枚举法求解下列问题
m ax z 3 x1 2 x2 5 x3
x1 2 x2 x3 2 ①
s
.t
.
x x
1 1
4 x2 x2
x3
4 3
② ③
4
x
1
x1,
x2
0
且为整数
先求得相应的线性规划的最优解，为
x131 1,7 2x221 6,7z11 4 87
第3章 整数规划
10
Sub-1
x1
4
1 5
x1≤4
√ Sub-3
x1 4 x2 2 z 14
z 14
Sub-6
无可行解
x2 2
z 14 2 5
x2≤2
x1
原3问1题2 17
xr≥Ir+1
第3章 整数规划
8
分支（Branch）这两个子问题的可行域都是原线性规划问
题可行域的子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会 比原线性规划问题的最优解的目标函数值更小。如果这两个问 题的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量，继 续将这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过程称为 “分枝（Branch）”。
性质3-2. 若一个方阵的一部分元素为0，另一部分 元素不为0，则覆盖方阵内所有0元素的最少直线数 恰好等于独立0元素（位于不同行，不同列的0元素 ）的最多个数。
第3章 整数规划
26
例3-7：匈牙利法的步骤 一、系数矩阵经变换，在各行各列中都出现0元素。
14 9 4 154 10 5 0 11 6 5 0 8 11 7 9 1074 0 2 30 0 2 0 13 2 10 52 11 0 8 3 7 0 8 0 17 9 15 139 8 0 6 4 4 0 6 1
x2
26 17
z 14 8 17
× x2≥3
x1≥5
Sub-4
x1 5,
x2
1
3 7
z 14 2 7
x2≥2
x2≤1
Sub-5
x1
5
3 5
x2 1
z 14 1 5
Sub-2
x1
312 17
x2 3
zz14
x1≤5
Sub-7
x1 5 x2 1 z 13
z z 14
Sub-8
Z
（0 1 0） 3
F
（0 1 1） 8
0
2
1
5
T
8
-2x2+3x1+5x3≥8 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（1 0 0） -2
F
（1 0 1） 3
F
（1 1 0） 1
F
（1 1 1） 6
F
第3章 整数规划
23
3.5 指派问题
指派问题或分派问题（assignment problem）：
•如果最优解恰是一个整数解，则线性规划的最优解就是相 应的整数规划的最优解。
•如果线性规划的最优解不是整数解，则要构造一个新的约 束，对线性规划问题的可行域进行切割，切除已经得到的 线性规划的最优解，但保留原可行域中所有的整数解，求 解新的线性规划问题
•如果最优解仍不是整数解，再增加附加的约束将其切除， 但仍保持最初可行域中所有的整数解，如此一直进行，直 至得到一个整数的最优解为止。
确定整数解目标函数值上界并不断更新上界，并且不断“剪除 ”目标函数值超过上界的分枝的过程，称为定界（Bound） 。
第3章 整数规划
9
3.2 分支定界法（B&B）
例3-4 用分枝定界法求解以下整数规划
min z 2x1 3x2
5x1 7 x2 35 s.t. 4x1 9x2 36
第3章 整数规划
12
3.3.1 割平面法基本思想 设放弃变量整数要求得到的线性规划的最优单纯形表如下：
设其中基变量Xr的值br不是整数，以I表示整数，以 F表 示正的真分数，令
b r= Ir+ Fr
(0 < Fi < 1)
yrj = Irj + Frj (0 ≤ Frj < 1) 将上面两式代入约束r中，得
在N个地点中选r个（N>r）建厂，在第i个地点建厂（i=1，2
，…，N）所需投资为Ii万元，占地Li亩，建成以后的生产能力 为Pi万吨。现在有总投资I万元，土地L亩，应如何选择厂址， 使建成后总生产能力最大。
设
0 表示在 i地不建厂
xi 1 表示在 i地建厂
整数规划模型为: max
s.t.
N
z
构造源于第 i行的割平面，给它引入一个弛变量 xn+k+1，
得
n
-
j
=m+F1 rj
xj
+
xn+k+1
=-Fr
3° 把这个新约束添到最优单纯形表中，并增加一列( 即 xn+k+1
列 )，用对偶单纯形法继续迭代，求得一个新解Xk+1，
令k: = k+1，返2°。
第3章 整数规划
15
例3-5 试用割平面法求解以下整数规划：
min z = 3x1+4x2
3x1+x2≥4
s.t.
x1+2x2≥4 x1, x2≥0
x1, x2 为整数
解 求解线性规划得最优单纯形表
第6章 整数规划
16
选择一个非整数的基变量，例如 x2=8/5，构造约束条件(3-4）
b2=8/5=1+3/5，I2=1，F2=3/5
y23=1/5=0+1/5，I23=0，F23=1/5
第3章 整数规划
Z*=10
18
为了得到切割约束1/5x3+2/5x4≥3/5在（x1, x2）平面中
的表达式，将其中的松弛变量x3，x4用x1，x2表示
x3=3x1+x2-4，x4=x1+2x2-4
代入切割约束，得到
x1+x2≥3
这个切割过程的图解如下图
切割直线
4
3
2 线性规划最优解
1
整数规划最优解
第3章 整数规划
13
改写成
n
xr (IrjFrj)xj Ir Fr
jm1
n
n
xr Irx j j IrFr Frx j j
jm 1
jm 1
因此对于整数可行解，约束（3-2）可以写成更严格的不等式
n
n
xr Irx j j IrF r F rx j j 0
jm 1
jm 1
这就是源于第r行的割平面。
i 1
x ij 0,1
一般指派问题的模型
nn
min z
cij x ij
i1 j1
n
s.t.
xij 1
i 1,2, , n
j 1
n
xij 1
j 1,2, , n
i 1
xij 0, xij 0,1
第3章 整数规划
25
指派问题的求解方法——匈牙利法
性质3-1. 若从系数矩阵(cij)的一行(列)各元素中分 别减去该行(列)的最小元素，得到新矩阵(bij)，那么 以(bij)为系数矩阵求得的最优解和用原系数矩阵求 得的最优解相同 。
工件
A
B
C
D
工人
效
甲
14
9
4
15
率
乙
11
7
9
10
矩
丙
13
2
10
5
阵
丁
17
9
15
13
第3章 整数规划
24
设xij=1表示第 i人送j货，否则xij=0
上述问题的模型为：
44
min z
c ij x ij
i1 j1
4
s.t.
x ij 1
i 1,2, ,4
j 1
4
x ij 1
j 1,2, ,4