磁学和电磁感应(第七章和第八章)作业讲评

3
4
分析：dI
dq
2

2 rdr
2
；
2
dM dpm B
r dIB r B d r
3
3. 给电容为C的平行板电容器充电，电流为i = 0.2e-t ( SI )，t = 0 时电容器极板上无电荷．求： (1) 极板间电压U随时间t而变化的关系． (2) t时刻极板间总的位移电流Id (忽略边缘效应)． 解： (1) U
B0
d B0

4
ab 0
(2) d p m
pm
d
pm
4 a 1 2 r d I r 2 d r ab 2 1 2
a

dr r


2r
0
ln
ab
4
r
方向
O
r
a b
B
dr

a
r d r
2
[( a b ) a ] / 6
B1 2r
0I
2r
2 (a
2
O
P
a I
x
y 1 a B1 r O x P r B2
x )
2
1/ 2
Hale Waihona Puke Baidu
2导线在P点产生的磁感强度的大小为：
B2

0I
2
(a
1
2
a 2

x
x )
2
1/ 2
P 点总场
B x B 1 x B 2 x B 1 cos B 2 cos
7．一个半径为R、电荷面密度为σ的均匀带电圆盘，以角速度ω绕 过圆心且垂直盘面的轴线A A′旋转；在距盘心为r处取一寛为d r的 r d r ，今将其放入磁感应强度 圆环，则圆环内相当于有电流 为B的均匀外磁场中,B的方向垂直于轴线A A′．该电流环所受磁力 ． B / 4 R r ，圆盘所受合力矩大小为 Bdr 矩大小为
0 Ir
2 R1
2
R1 r R 2 , I 传 I ,
R 2 r R 3 , μ r 1， I 传 I
B2
μ0 r I 2 πr 2 R2 )
2 2 μ0 I r R2 1 2 I , B3 2 2 2 πr R3 R2 R2 )
电流元Idl受到的磁力为 d F I d l B
2 l sin
I
其大小 d F IB d l
0I d l
2
2 l sin
方向垂直于导线2，如图所示
该力对O点的力矩为 d M l d F
0I d l
2
2 sin 任一段单位长度导线所受磁力对O点的力矩 2 l 1 2 0I 0I
I

J dS

JdS J

I
dS J 2 rL
在柱与筒之间与轴线的距离为r的点的电流密度 J
由 J E
E J
I 2 rL


2 rL
(2) 在圆柱体的表面处处的电场强度为 0I E 0E 0 2 RL
2．当架空线路的一根带电导线断落在地上时，落地点与带电导线 的电势相同，电流就会从导线的落地点向大地流散．设地面水平， 土地为均匀物质，其电阻率为10W.m，导线中的电流为200A．若人 的左脚距离导线落地点为1m，右脚距离落地点为1.5m ，求他两脚 之间的跨步电压．
q C 0 .2 C

1 C
t
idt
0
t
(1 e
) (SI)
(2) 由全电流的连续性，得
I d i 0 . 2 e t (SI)
5．均匀带电刚性细杆AB，电荷线密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以角速度ω匀速转动（O点在细杆AB延长线上）．求：（1）O点的 磁感应强度 ；（2）磁矩 P；（3）若a>>b，求 B 和 Pm O B m O dq 解：(1) r～r+dr段电荷 dr a dI dq = dr旋转形成圆电 2 2 A 流 0 d I 0 d r b 它在O点的磁感强度 d B 0

B
分析：作半径为r的圆S’与半球面构成Ｓ构成一闭合曲面， 由磁场的高斯定理有： B dS B dS B dS 0
S S

S
2 B d S B d S B r cos
S
4．图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I，区域Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最 大？ （A）Ⅰ区域． （B）Ⅱ区域． （C）Ⅲ区域． （D）Ⅳ区域． （E）最大不止一个．
π(r π(R
2 2 3

r R 3 , μ r 1， I 传 0,
B4 0
7．一块半导体样品的体积为a×b×c．沿c方向有电流I，沿厚度a边 方向加均匀外磁场B（B的方向和样品中电流密度方向垂直）．若实 验出沿b边两侧的电势差U且上表面电势高．（1） 问这半导体是p 型（正电荷导电）还是n型（负电荷导电）？（2） 求载流子浓度n0 B （即单位体积内参加导电的带电粒子数）． a 解：(1) 若为正电荷导电，电荷运动方向与电流 I U b 同向，椐洛伦兹力公式知：正电荷堆积在上表面， 上表面是高电势； c 若为负电荷导电，电荷运动方向与电流反向，椐洛伦兹力公式 知负电荷堆积在上表面，上表面是低电势； 据题中描述知上表面是高电势，所以推知该半导体是p型。 (2) 由霍耳效应知，在磁场不太强时，霍耳电势差U与电流强度I， 磁感强度B成正比，而与样品厚度a成反比，即：
0 Ia
(a x )
2 2
B (x)
B y B1 y B 2 y 0
0 Ia
2
(a
x )
2
i
(2) 从上式可知,x=0,即P点在x轴上的坐标原点时，B取得最大值．
5 设氢原子基态的电子轨道半径为a0，求由于电子的轨道运动 (如图)在原子核处(圆心处)产生的磁感强度的大小和方向．(注 意，电子质量为me ,不考虑相对论效应) 解：电子绕原子核运动的向心力是库仑力提供的．即∶ a0
第七章 恒定电流和磁场（一）
一．选择题
3．在磁感强度为 的均匀磁场中作一半径为r的半球面S，S 边线所在平面的法线方向单位矢量 n 与 B 的夹角为α，则通过 半球面S的磁通量为(取曲面向外为正) (A) πr2B． (B) 2πr2B．
S
B
S’
n
(C) -πr2Bsinα
(D) -πr2Bcosα．
0i
2a0

0e
2 2
1 m e 0 a 0
8a0
其方向垂直纸面向外
第七章 恒定电流和磁场（二）
1 长直电流I2与圆形电流I1共面，并与其一直径相重合如图(但两者 间绝缘)，设长直电流不动，则圆形电流将 dF (A) 绕I2旋转． (C) 向右运动． (E) 不动． 分析：圆形电流上所有电流元所受的长直电流的磁场力都在屏 幕平面上，右边的力沿径向向外，而左边的沿径向向内，所以 合力向右 它们所受的最大磁力矩之比M1/M2等于 （A）1 （C） 4 分析： M IS e n B p m B （B）2 （D） 1/4 (B) 向左运动． (D) 向上运动．
解：建立与长导线同心的圆作为积分回 H 路，圆半径为r，利用安培环路定理得： 对于各向同性的介质有 B 0 μ r H
0 r R 1 , μ r 1， I 传 I πR 1
2

I传
R3
R2
R1
0 μr
2 πr
r
2 2
2 πr I传
I
I
πr
2

R1
I , B1
(A ) (C )
0I
L
(B ) (D )
0I / 3
20I / 3
1
b
120°
L c I d
0I / 4
2
分析：将铁环看为两部分组成，这两部分并联，所以其电流比 I1 R 2 l2 r 2 / 3 1 , I I I I2 2I / 3 1 2 I2 R 1 l1 r 4 / 3 2
5．如图所示，在宽度为d的导体薄片上有电流I沿此导体长度方向流 过，电流在导体宽度方向均匀分布．导体外在导体中线附近处P点 的磁感强度B 的大小为 0 I /( 2 d ) ． 俯 I 分析：考虑导体中线附近处P点的磁感强度时，可认 视 图 为电流分布具有面对称性，此时板外磁场方向平行 d d 于板面并与电流方向垂直，建立关于板面对称的矩 I 形回路，利用安培环路定理求解。 P
(A ) 2 a R
2 2
(B )
2 a
R
2
(C )
0I
2
a
(D )
2
2 a R r
2 2 a R
2 0I a
2 a r
2
分析：在挖去的部分补上一圆柱体，且通以正反方向的电流， 此时系统可看为两个均匀通电的圆柱体。
4．如图，两根直导线ab和cd沿半径方向被接到一个截面处处相等 的铁环上，稳恒电流I从a端流入而从d端流出，则磁感强度B 沿图 a I 中闭合路径L的积分 B d l 等于
r1

r2
Edr

r1

r2
I
2 r
2
dr
r1
1 106 . 1V 2 r1 r2
I 1
4 图所示为两条穿过y轴且垂直于oxy平面的平行长直导线的正视图， 两条导线皆通有电流I，但方向相反，它们到x轴的距离皆为a． y (1) 推导出x轴上P点处的磁感强度的表达式. (2) 求P点在x轴上何处时，该点的B取得最大值． a I x 解：(1) 利用安培环路定理可求得1导线在P点产 生的磁感强度的大小为： 0I 0I 1
M
dM

2 sin
dl
l
2 sin
导线2所受力矩方向垂直图面向外，导线1所受力矩方向与此相反．
第七章 恒定电流和磁场（三）
一．选择题
3．在半径为R的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r的长直圆 柱体，两柱体轴线平行，其间距为a，如图．今在此导体上通以电 流I，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上O′点的磁感应强度 的大小为： O a R 2 2 2 O' r 0I a 0I a r
1 e
2
4 0 a0
2
me

2
a0

2
e m e 0 a 0
v
电子绕原子核转动的角速度为：

a0

e a0
2
1 m e 0 a 0
由于电子的运动所形成的圆电流 i
e
4a0 2 因为电子带负电，电流i的流向与速度方向相反
i在圆心处产生的磁感强度
B

e
1 m e 0 a 0
解： 电流以导线落地点为中心沿半径方向呈辐射状流向大地，在 半径为r的半球面上流过的电流I与此面上的电流密度的关系为：
I

J dS


JdS
J
J

dS 2 r J
2
J
I 2 r
2
此面上的电场强度 E

J
I
2 r
2
两脚之间的跨步电压 U

r2
E dr
I2
1
dF2
I1
2 在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积S1=2S2，通有电流I1=2I2，
2如图所示，两根相互绝缘的无限长直导线1和2绞接于O点，两导线 间夹角为，通有相同的电流I．试求单位长度的导线所受磁力对O 点的力矩． 解：在任一根导线上(例如导线2)取一线元dl，该线元距 1 O点为l．该处的磁感强度为 I dF 0I 2 方向垂直于纸面向里． B O
I
II
IV
III
1．一导体由共轴的内圆柱体(半径为R)和外圆柱筒构成，导体的 电导率可以认为是无限大，内、外柱体之间充满电导率为的均 匀导电介质．若圆柱与圆筒之间加上一定的电势差，在长度为L 的一段导体上总的径向电流为I.求：（1）在柱与筒之间与轴线 的距离为r的点的电流密度和电场强度；（2）内圆柱体与导电介 质界面上的面电荷密度. 解：在以圆柱体的轴为轴，半径为r,长度为L的圆柱面上
3 3
方向
(3) 若a >> b，则 ln
B0
ab a

b a
;
( a b ) a (1 3 b / a )
3 3
0 b
4 a 6 与点电荷作圆周运动时的对应量相同。
pm

a
3
3b a

1 2
b a
2
6．一根同轴线由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为R3 的同轴导体圆筒组成．中间充满相对磁导率为μr的各向同性均匀非铁磁绝缘材 料，如图．传导电流I沿导线向上流去．由圆筒向下流回，在它们的截面上电 流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁感应强度大小B的分布．