导数的概念、几何意义及导数公式

本讲教育信息】

一. 教学内容：

导数的概念、几何意义及导数公式

[学习目标]

了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义；了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。通过函数图象直观地理解导数的几何意义。理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数的导数。了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

[考点分析]

1. 的平均变化率：已知函数在点及其附近有定义，令，

则当时，比值叫做函数在到之间的平均变化率。

2. 瞬时变化率：设函数在点附近有定义，当自变量在附近改变时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化

率趋近于一个常数L，则数L称为函数在点的瞬时变化率。

记作：当时，

还可以说，当时，函数平均变化率的极限等于函数在的瞬时变化率 L.

记作：=L

3. 导数的定义：函数在的瞬时变化率，通常就定义为在处的导数，记作

或，即。

注（1）变速运动在的瞬时速度就是路程函数在的导数

（2）在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，

因此，导数的定义式可写成。

（3）若极限不存在，则称函数在点处不可导。

4. 函数在开区间内的导函数（导数）：

如果函数在开区间内可导，那么对于开区间的每一个确定的值

都对应着一个确定的导数，这样在开区间内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做函数在开区间内的导函数（简称导数），记或；即：

函数在处的导数就是函数在开区间上的导数在处的函数值，即＝。

注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。

5.求函数的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量。

（2）求平均变化率。

（3）取极限，得导数＝。

6. 与连续的关系：如果函数y=f（x）在点x0处可导，那么函数y=f（x）在点x0处连续，反之不成立。数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。

7. 数的几何意义：函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程。体求法分两步：

（1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处的切线的斜率；

（2）由切点坐标和切线斜率，得切线方程为：。

特别地，如果曲线在点处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为：

8. 常见函数的导数：

（1）常函数的导数为0，即，

（2）幂函数的导数为，与此有关的如下：

（3），

9. 的和、差、积、商的导数：

（1）和、差的导数：

（2）积的导数：

（3）商的导数：，（g(x)≠0）

（4）

【典型例题】

例1、物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，求物体在时的瞬时速度及物体在一段时间内相应的平均速度。

解：∵

∴=

∴，即

∴

即在的一段时间内平均速度为。

∴

即

∴物体在时的瞬时速度是。

例2、利用导数定义求函数在处的导数。

解：

∴

∴

即

∴函数在处的导数为

例3、求曲线在点（2，4）处的切线方程。

解：∵

∴

∴

∴曲线在点（2，4）处的切线方程为，

即

例4、求过曲线上的点，且与过这点的切线垂直的直线的方程。

解：由，得

∴曲线在点的切线的斜率是

故所求直线的斜率为

∴所求直线的方程为

即

反思：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，即。

已知曲线上一点的切线这一条件具有双重含义，在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数是否为零，当导数为零时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在。

例5、已知函数，判断在处是否可导。

解：

∴∴不存在

即函数在处不可导。

例6、求下列函数的导数。

（1）

（2）y=3x2+x cos x

（3）y=5x10sin x－2cos x－9

（4）y=cot x

解：（1）

（2）y′=（3x2+x cos x）′=（3x2）′+（x cos x）′

=3·2x+x′cos x+x（cos x）′=6x+cos x－x sin x

（3）y′=（5x10sin x－2cos x－9）′=（5x10sin x）′－（2cos x）′－9′=5（x10）′sin x+5x10（sin x）′－［2（）′·cos x+2（cos x）′］－0

=5·10x9sin x+5x10cos x－（·cos x－2sin x）

=50x9sin x+5x10cos x－cos x+2sin x

=（50x9+2）sin x+（5x10－）cos x

（4）y′=（cot x）′=（）′

例7、求y=·cos x的导数.

分析：这道题可以看作两个函数的乘积，也可以看作两个函数的商，所以不同的看法有不同的做法.这道题可以用两种方法来求。

解法一：y′=（·cos x）′=（）′cos x+（cos x）′

解法二：y′=（·cos x）′=（）′