浅析排列组合中的重复计算问题

例析排列组合中的重复计算的产生及对策
无锡市洛社高级中学 戎钢
学生在解排列组合的题目时，往往容易出现考虑不周全，漏解的情况。

另外有些类型的排列组合题目较容易出现重复计算的问题，而且此类问题较隐蔽，学生不容易发现。

在解题时，应做到既不重复遗漏，又能判断解题的正误，并能加以剖析。

这样对于学生解题能力的提高大有好处。

一、分步引起的重复计算
例1:从4台甲型机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型机各1台，则不同的取法有多少种？
【错解】先保证各1台，在从剩下的机子中任取一台。

即分三步：第一步从甲型机中取一台，有14C 种取法；第二步从乙型机中取一台，有1
5C 种取法；第三步从剩下的七台机
子中取一台，有17C 种取法，根据乘法原理，共有111457140C C C ⋅⋅=种取法。

【分析】设甲型机种有a 、b 两台机子 ，乙型机中有A 、B 两台机子，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a ，再选A ，再选b ”,另外一种取法是“先选b ，再选A ，再选a ”。

而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复。

究其原因是本题使用的是分类计数原理（分步原理）。

而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关。

本题中无论是取两台甲型机还是两台乙型机，对于这两台机而言，只是一个组合，没有先后，因此重复了两遍。

【正解】根据结果分类，第一类：两台甲型机，有2145C C ⋅种取法；第二类：两台乙型
机，有1245C C ⋅种取法，根据分类计数原理，共有2112454570C C C C ⋅+⋅=种取法。

二、涉及到平均分组中的重复计算
例2:袋中有红、白、黄球各一个，每次任取一球，记下颜色后放回，当各种颜色均被取到时结束，则取球结束时，一共取了五次的不同取法有多少种？
【错解】由题意，第五次一定是第三种颜色的球。

前四次取到其他两种颜色的球。

先分步，第五次有13C 种颜色的可能，再分类讨论前四次的情况，第一类：剩下的两种颜色的球，一种颜色的取到三次，另外一种取到一次。

分步完成，先选出一种颜色，被取到三次，有12C 种可能，然后这种颜色在前四次中被取到有34C 中情况，共有13
24C C ⋅种情况；第
二类，类似第一类，共有1224C C ⋅种情况，由分步原理共有1121332424()60C C C C C ⋅⋅+⋅=种不同的取法。

【剖析】本题中在分类时涉及到平均分组的问题。

在第二类中两种颜色各取到两次的
情况，计数重复。

比如假设第五次取到白色，12C 选取的是红色，在四次取球中，24C 中前两次是红色，后两次是黄色，即红红黄黄白是其中一种情况；若1
2C 选取的是黄色，在四次取球中，后两次是黄色，前两次是黄色，对于该算法来讲是不同的两次，而结果是相同
的，应是11323244()42C C C C ⋅⋅+=。

【正解】本题可以通过举例探究，分类讨论避开平均分组。

不妨假设最后一次取的是白球（由分步原理应是13C 种可能）则前四次应只有红色和黄色。

可进一步细分为三类：三红一黄，两红两黄，一红三黄，各有14C 、24C 、3
4C 种可能。

由等可能性，共有11233444()42C C C C ⋅++=种可能。

平均分组高考没有明确要求，但06年江苏最后一道选择题却又涉及到。

学生对平均分组计数时么除以组数的全排列难以理解，解题时也不容易想到。

本题通过特殊化的思想，通过举例探究，找到相同点，弄清楚其中的关系，思路相对自然，容易接受和理解。

三、分类不清引起的重复
例3：定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”，则集合{1，3，5，7}的孙集的个数为________。

【解析】本题源于课本，又高于课本。

根据真子集的定义，学生不难写出集合{1，3，
5，7}的真子集，应有24－1＝15个，然后在找出每个真子集的真子集即可。

由于四元子集
的真子集可以分为三类即空集；一元真子集；二元真子集；三元真子集。

空集没有真子集，一元集合的真子集有2个，其中一个为空集；二元集合的真子集有3个，其中一个为空集；三元集合的真子集有7个，其中一个为空集。

除去空集重复，一共有123444126141C C C ⋅+⋅+⋅+=种。

上述解法是错的。

仍以举例分析。

一元真子集如{1}或{3}等等，其真子集只能是空集，仅算一个；二元子集如{1,3}或{1,5}等等，其真子集为空集和一元集合{1},{3},{5}，……，不难发现，一元真子集也有重复，三元集合的真子集也也有类似的重复。

因此上述解法由于分类后并不清楚，仍有重复计算。

正确的解法：由分析不难看出，尽管每种分类都有重复，但可以发现，其孙集必为真子集，而且最多是二元真子集。

所以分三类：空集；一元集合，有14C 个；二元集合，有2
4
C 个，共计01244411C C C ++=个。

对策：此类重复计算问题往往比较隐蔽，学生易犯错误，而且不易察觉。

但仔细回顾这三道例题，我们还是有规律可寻，有方法可依的。

一、通过题组训练，强化模式识别。

对于易产生重复的题目有很多还是有相似之处的。

可以通过题组的形式，让学生强化
对该类题目的辨析和认识。

笔者列举如下一组问题，请读者仔细考虑。

（1）袋中装有大小相同、编号各不相同的五个红球、四个黑球，从中取出5个，红球，黑球各至少有2个的不同取法有多少种？
（2）某演出队有9名歌舞演员，其中7人会表演唱歌节目，5人会表演舞蹈节目，今从9人中选2人，1人表演唱歌，1人表演舞蹈，则不同的选法有多少种？
（3）有学生10人，其中团员4人，现平均分成2组，若每组都要分2名团员，那么不同的分组方法有多少种？
（4）某篮球队有11名队员，其中5人只能打前锋，4人只能打后卫，其余2人可打前锋可打后卫。

①现从中选5人（3前锋2后卫）出场，有几种选法？②现从中选10 人组成2个队对抗，每队都是3前锋2后卫，有几种选法？
（5）∠A的一边有4个点，另一边有5个点，连同顶点一共10个点，可以作出多少个三角形？
（6）有红黄蓝三种颜色卡片各5张，每种卡片上分别写有1，2，3，4，5五个数字，如果每次提取4张卡片，要求颜色齐全，数字不同，那么取法种数共有多少种？
（7）从1，2，3…，10这10个数字种有放回地抽取3次，每次抽取1个数字，3次抽取中最小数为3的所有可能种数为多少？
（提示：1、2两题参考例1；3、4两题参考例2；5、6、7先考虑分组。

）
二、由小见大，以点带面，逐步摸清规律，合理分解。

在剖析重复计算产生的原因的过程当中，我们不难发现错误的想法源于对整体情况的把握不够完整，问题考虑得不够清晰。

对于这样的问题，学生的反映或者是无从下手，或者是惰于思考，想不周全。

实际上以上三例的解析已经给出行之有效的一套方案。

一方面，我们通过举例发现重复计算的问题，而另一方面，我们还是通过举例，先列举出一些特例，同时在举例的过程中，寻找共同点，逐步发现起本质规律。

比如例3，我们通过列举发现集合的子集的子集出现很多重复，从而避免错解的简单化思维，而在列举一些有代表性的集合时，我们又发现归根到底还是原来集合的真子集，只不过条件是子集中最多有两个元素。

于是，问题迎刃而解。

附：题组答案⑴100；⑵32；⑶60；⑷380，960；⑸90；⑹180；⑺169。