(江苏专用)2020年高考数学二轮复习专题16统计与概率、算法学案

专题16统计与概率、算法

回顾2020?2020年的考题，每年对三个知识点都分别考了

年也不会例外?

预测会在下列方面出题：统计分布图及茎叶图、方差等

小题基础练沾

^^■XTACTl JICHU LTANQI NO

1 .如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为 1 :

2 : 3,

第2小组的频数为10,则抽取的学生人数是 ____________

解析：前三组的频率之和等于

2

1 —(0.01

2 5 + 0.037 5) X 5= 0.75，第二小组的频率是0.75 X 1十2十

10

=0.25，设样本容量为n,则一=0.25，即n= 40.

n 答案：401题，三题共15分，作为必考考点，2020、几何概型、伪代码?

2 ?根据如图所示的伪代码，当输入a的值为3时，最后输出的S的值为 ___________

Read a

解析：由图可知，a = 3, i = 1, S= 3; a= 6, i = 2, S= 3 + 6; a= 12, i = 3, S= 3+ 6 + 12= 21；a= 24, i = 4>3，结束循环，输出的S的值为21.

答案：21

3. 已知函数f(x) = 6x_4(x = 1,2,3,4,5,6) 的值域为集合A,函数g(x) = 2 _ (x = 1,2,3,4,5,6) 的值

域为集合B,任意x€ A U B,贝U x € A n B的概率是_________ .

解析：根据已知条件可得A= {2,8,14,20,26,32},

B= {1,2,4,8,16,32} .

??? A U B= {1,2,4,8,14,16,20,26,32} ,

A n B= {2,8,32}.

3 1

所以任取x€ A U B,则x€ A n B的概率是9=-.

9 3

答案：-

4. _____________________________________________________________________ 一组数据9.8,9.9,10 , a, 10.2的平均数为10,则该组数据的方差为___________________________________________ .

1 解析：依题意得，9.8 + 9.9 + 10+ a+ 10.

2 = 5X 10, a= 10.1，该组数据的方差为s = [(9.8 _ 10)

5

2 2 2 2

+ (9.9 _ 10) + (10 _ 10) + (10.1 _ 10) + (10.2 _ 10) ] = 0.02.

答案：0.02

0< m< 6, 2 2

5. 满足

的整数m, n作为点Rmn)的坐标，则点P落在圆x + y = 16内的概率为.

0< n<6 ----------- 解析：P( m, n)的坐标一共有6X 6= 36个不同的结果，且是等可能发生的，而落在圆x2+ y2= 16内的

8 2 情况有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2)，共8种，故所求概率为五=9.

答案：9

增分考点讲透

攻克更犁融分井都抓牢■ 7 if U n r E IU IF A n Hl A U III A. M H TA 11

［典例1］

从某学校高三年级 800名学生中随机抽取 50名测量身高，被抽取的学生的身高全部介于 155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组： 第一组［155,160);第二组［160,165)；

如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)根据已知条件填写下面表格:

组别

1

2

3

4

5

6

7

8 样本数

]

(2)估计这所学校高三年级 800名学生中身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数. ［解］(1)由频率分布直方图得第七组的频率为 1 - (0.008 X 2+ 0.016 X 2+ 0.04 X 2+ 0.06) X 5=

0.06 ,

???第七组的人数为 0. 06X 50= 3. 同理可得各组人数如下：

组别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本数

2

4

10

10

15

4

3

2

⑵ 由频率分布直方图得后三组的频率为

0.016 X 5+ 0.06 + 0.008 X 5= 0.18.

估计这所学校高三年级身高在

180 cm 以上(含180 cm)的人数为800X 0.18 = 144.

本题主要考查频率分布直方图以及用样本估计总体的能力，属基础题，解题关键是正确分析频率分布 直方图，并用频率估计概率.

［演练1］

如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均

成绩超过乙的平均成绩的概率为 __________ .

甲

乙

9甘」刊

3 3 7 2 10

9

* 9

1

解析：记其中被污损的数字为 X .依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是

(80 X 2+ 90X 3+ 8 + 9 + 2 5

1

1 1

+ 1+ 0) = 90,乙的五次综合测评的平均成绩是

(80 X 3+ 90X 2+ 3 + 3 + 7 + x + 9) = (442 + X ).令90>- 5 5 5

第八组[190,195],

(442 + x)，由此解得x<8,即x的可能取值是0?7,因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为

答案：4 5

［典例2］

甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

(1) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同

的概率；

(2) 若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概

率.

［解］(1)甲校两男教师分别用A B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示.

从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A, D) , (A, E) , (A F) , (B, D) , ( B, E) , (B, F), (C, D) , (C, E) , (C, F)，共9 种.

从中选出的2名教师性别相同的结果为(A, D) , (B D) , (C,日，(C, F),共4种.所以选出的2名

4

教师性别相同的概率为-.

(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A B) , (A , C), (A, D) , (A E), (A ,

F) , (B, C), (B, D) , (B, E) , (B, F) , (C D) , (C, E), (C , F) , ( D, E) , (D, F) , (E , F),共15 种.

从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(A, B) , (A, C) , (B , C), (D, E) , (D F) , (E , F),共6种.

6 2

所以选出的2名教师来自同一学校的概率为15= 5.

本题主要考查列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型的概率计算公式等基础知识，列举基

本事件时要注意按规律列举，以免重复或遗漏.

［演练2］

一个均匀的正四面体上分别有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为 b ,

C.

(1) 记z = (b—3)2+ (c —3)2,求z = 4 的概率；

(2) 若方程x2—bx—c= 0至少有一根x € {1,2,3,4},就称该方程为"漂亮方程”，求方程为"漂亮方程”的概率.

解：正四面体投掷两次，基本事件(b , C)共有4X 4= 16个.

(1) 当z = 4时，(b , c)的所有取值为(1,3) , (3,1).

2 1

所以R z= 4)

=届=8.

8 4

10=5

.

(2) ①若方程一根为x = 1 ,

则1 — b — c = 0,即b + c = 1，不成立. ②若方程一根为x = 2,

b = 1,

则 4 — 2b — c = 0,即 2b + c = 4,所以

c = 2.

③ 若方程一根为x = 3,

b = 2,

则 9 — 3b — c = 0, 即卩 3b + c = 9.所以

c = 3. ④ 若方程一根为x = 4,

b = 3, 则 16— 4b —

c = 0, 即卩 4b + c = 16,所以 C = 4. 综合①②③④知，（b , c ）的所有可能取值为（1,2） , （2,3） ,（3,4），所以，“漂亮方程”共有 3个,

方程为"漂亮方程”的概率为 P =春 已知圆 ［典例3］ 2 2 C ：x + y = 12,直线 I ：4x + 3y = 25.圆 C 上任意一点 A 到直线I 的距离小于2的概率为

［解

析］

圆心C 到l 的距离为―点=5

? 如图设 '// I ，且O 到I '的距离为3, I '交圆C 于B,

D,则A 在BD 上时满足条件.

因为sin

/ OD =—3— =-^，所以/ ODE = 60°, 2

季 2

1 从而/ BO = 60°，所以满足条件的概率为 -

6 … 1 ［答案］6

” flf 噩欢髀 本题主要考查几何概型概率的计算方法，考查数形结合思想的运用，解题的关键是找到满足条件的点 所在的位置，然后度量计算概率. ［演练3］ （2020 ?湖北高考改编）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 直径作两个半圆.在扇形OAB^随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 解析：设OA= OB= r ,

则两个以2为半径的半圆的公共部分面积为 1 r 2

1 r

2 n — 2 r 2

2

4「2 — 2X 2 =

8，

1

两个半圆外部的阴影部分面积为

所以所求概率为

［典例4］

4

如图是一个算法的流程图，若输出的结果为5,则判断框中应填入的条件是

——

解析：依据流程图运行 n 次后M N i 的值如下表

7t

［解析］ 循环一次得

1 112

i = 2, T = 1, S= ;两次得 i = 3, T = 2, S = + 6 = 3；二次得 i = 4, T = 3, S

3

3

14

4；四次得i

=5, T = 4

, s =4+ 20=5,此时需要跳出循环，故填 T <4 或 i <5.

［答案］T <4（或 i <5）

本题主要考查算法流程图的读图、识图及运算能力，属

A 级要求.

［演练4］

某算法 流程图如图所示，则输出 M N 的值分别为 __________

3次运行后i= 4>3，于是输出M= 13, N= 21.

答案：13,21

[专题技法归纳]

1. 在频率分布直方图中一定要注意面积表示频率.

2 .计算古典概型概率可分三步：

(1)算出基本事件的总个数n；(2)求出事件A所包含的基本事件个数m (3)代入公式求出概率P对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件概率问题去求.

3 .在几何概型中，当基本事件只受一个连续的变量控制时，这类几何概型是线型的；当基本事件受两个连续的变量控制时，这类几何概型是面型的，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域的面积解决.

4 .解决流程图问题要注意几个常用变量；处理循环结构的流程图问题，关键是理解并认清终止循环的条件及循环次数.

配套专题检测,

PEI7 AO ZHUANTI J| ANCE

1 . (2020 ?山东高考)下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：C)数据得到的样本频率分

布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5].样本数据的分组为[20.5,21.5) , [21.5,22.5), [22.5,23.5) , [23.5,24.5) , [24.5 , 25.5) , [25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5 C 的城市个数

为11,则样本中平均气温不低于25.5 C的城市个数为_________ .

解析：设样本容量为n,贝U n x (0.1 + 0.12) x 1= 11,所以n= 50,故所求的城市数为50x 0.18 = 9.

答案：9

2. (2020 ?江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，—3为公比的等比数列，若从这10

个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_________ .

解析：由题意得a n= ( —3)n—1,易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和

6 3

偶数项，共6项，即6个数，所以p = 10= 5.

k = 4, x = 111>100,跳出

循环，输出k = 4.

答案：4

4?在如图所示的算法流程图中，若输出

i 的值是4,则输入x 的取值范围是

亠

开輸

T

1 \

* 0

ZZEZ

解析：??? 3x - 2>82? x >28,3x — 2>28? x >10, 3x — 2>10? x >4,3 x - 2>4? x >2,

???要使得刚好进行 4次运算后输出的x >82, 则有2

5 .（2020 ?湖南高考）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数

则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 ___________ .

-

的茎叶图,

1 | 0

3 5

方差s 2

= 1

[

n

2 X 1— x + 2

X 2 — x + …+

X n — x 2],

其中x 为X 1, X 2,…，X n 的平均数

答案：5

x =

111,

2

1

2 2 2

2

2

方差 s = 5[(8

- 11) +(9 - 11) + (10 - 11) + (13 - 11) + (15 - 11) ] = 68

答案：6.8

6?根据如图所示的伪代码，当输入

a ,

b 分别为2,3时，最后输出的 m 的值是 ____________

Read a , b If a >b The n

m- a

Else

m- b

End If

Print m

解析：a = 2, b = 3, a

7?某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300名学生?为了解学生的就业倾向，用

分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取

40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 ______________

40 4 150+ 150 + 400+ 300=而,

一 4

因此从丙专业应抽取 100 x 400= 16（人）? 答案：16

&高三（1）班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为 4的样本.已

知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 _______________ ?

解析：由题意可知，可将学号依次为

1,2,3，…，56的56名同学分成4组，每组14人，抽取的样本

中，若将他们的学号按从小到大的顺序排列，彼此之间会相差

14.故还有一个同学的学号应为

6+ 14= 20.

答案：20

9.某公司为了改善职工的出行条件， 随机抽取100

名职工，调查了他

居住地与公司间的距离（单位：千米）?由其数据绘制的

频率分布直方图如 示，则样本中职工居住地与公司间的距离不超过 4千米的人数为

解析：该运动员五场比赛中的得分为

8,9,10,13,15 ，平均得分

— 8+ 9+ 10+ 13+ 15

解析：抽样比为 解析：样本中职工居住地与公司间的距离不超过 中职工居住地与公司间的距离不超过

4千米的人数为 100X 0. 48 = 48.

4千米的频率为（0.1

们的 图所

样本

答案：48

0< x < 2,

10-（2020?北京高考改编）设不等式组0

则此点到坐标原点的距离大于 2的概率是 __________ .

解析：画草图易知区域 D 是边长为2的正方形，至噸点的距离大于 原点为圆心，以2为半径的圆的外部，所以所求事件的概率为

1

2X 2—；?n 4

2X2

所用时间 (分钟) 10 ?20 20 ?30 30 ?40 40 ?50 50 ?60

选择L 1的人

数 6 12 18 12 12

选择L 2的人

数

0 4 16 16 4

(1) 试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2) 分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3) 现甲、乙两人分别有 40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能 在允许的时间内赶

到火车 站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

解：(1)由已知共调查了 100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有 12+ 12+ 16+ 4= 44(人)，

故用频率估计相应的概率为

0.44.

(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人， 故由调查结果得频率为：

所用时间 (分钟)

10 ?20 20 ?30 30 ?40 40 ?50 50 ?60 L 1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L 2的频率

0.1

0.4

0.4

0.1

(3) 设A 1, A 分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1, B 分别表示乙选择 L 1和L 2时, 在50分钟内赶到火车站.

由(2)知 P (A ) = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6 ,

P (A a ) = 0.1 + 0.4 = 0.5 , RA)>P (A),

故甲应选择L 1.

P =

答案:

4 —n 4

11.如图，A 地到火车站共有两条路径 达火车站的人进行调查，调查结果如下：

L i 和L 2,现随机抽取100 位从A 地到

4 —n

的点在以

同理，P(B) = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 = 0.8 ,

P( B2) = 0.1 + 0.4 + 0.4 = 0.9 , P( B)< P( B2),

故乙应选择L2.

12?以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数?乙组记录中有一个数据模糊，无法确认,

在图中以X表示.

(1)如果X= 8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

⑵如果X= 9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.

2 2 2 2,

注万差s

= n

[

XL X +

X2

- X +???+ XL X ],

其中X为X1 , X2,…，X n的平均数)

解：(1)当X= 8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8+ 8 + 9 + 10 35

方差为

4 1

故所求概率为F(C) = 16= 4.8,8,9,10 ，所以平均数为

2 1

s=

4

35 2

8

- 7 +

35 2

8

- 7 +

35 2

9

-才+

10-

352

4

11

16

⑵记甲组四名同学为A, A, A, A4, 他们植树的棵数依次为9,9,11,11 ;乙组四名同学为B, B2,

B3, B,他们植树的棵数依次为9,8,9,10. 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16

(A, B) , (A,B2),(A ,B, (A1,B),

(A, B ) , (A,B2), (A,B,(A2, B),

(A, B ), (A,B2), (A,B,(A3, B),

(A,B) , (A,B2), (A4 ,B,(A4, B),

用C表示：选出的

两勺名

同,

学的

植

［树

总：

棵

数;

B), (A,B) , (A3,Ba), (A4,BO

,19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A,

个，它们是: