2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析-专题21 概率分布与数学期望-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘

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解析-2020年江苏省高考数学试卷(原卷版)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知(0)2P ，A ，B 是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．。

解析2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学

机密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．柱体的体积V Sh一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},则A∩B=.【命题意图】本题考查集合中的简单的交集计算.【解析】由集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},所以A∩B={0,2}.答案:{0,2}2.已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2−i)的实部是.【命题意图】本题主要考查复数的四则运算.【解析】z=(1+i)(2−i)=3+i,则实部为3.答案:33.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是.【命题意图】本题主要考查数据特征中的平均数的计算.=4可知a=2.【解析】由4+2a+(3-a)+5+65答案:24.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是.【命题意图】本题主要考查古典概型.【解析】总事件数为6×6=36,满足条件的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,则点数和为5的概率为436=19.答案:195.如图是一个算法流程图,若输出y 的值为-2,则输入x 的值为 .【命题意图】本题主要考查流程图选择问题,注意选择条件. 【解析】由题可知y ={2x ,x>1,x+1,x≤1,当y =-2时,得x +1=-2,则x =-3. 答案:-36.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2 -y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ,则该双曲线的离心率是 .【命题意图】本题主要考查双曲线的性质,渐近线问题. 【解析】由x 2a2−y 25=0得渐近线方程为y =±√5ax , 又a >0,则a =2,由c 2=a 2+5=9,c =3,得离心率e =c a =32. 答案:32【光速解题】e =√1+(√52)2=32.答案:327.已知y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 23,则f (-8)的值是 . 【命题意图】本题主要考查函数性质,利用奇偶性求函数值. 【解析】y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 23, 则f (-8)=-f (8)=-823=-4.答案:-48.已知sin 2(π4+α)=23,则sin 2α的值是 .【命题意图】本题主要考查三角函数恒等变换,利用整体思想求值. 【解析】方法一:因为sin 2(π4+α)=23, 由sin 2(π4+α)=12[1−cos (π2+2α)] =12(1+sin 2α)=23,解得sin 2α=13. 方法二:sin 2α=-cos (π2+2α) =2sin 2(π4+α)-1=13.答案:139.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm 3.【命题意图】本题主要考查正棱柱、圆柱的体积计算,要求学生要熟记公式.【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为V ,正六棱柱的体积为V 1,圆柱的体积为V 2,则V 1=6×12×2×2×sin 60°×2=12√3(cm 3),V 2=π×(0.5)2×2=π2(cm 3), 所以V =V 1-V 2=12√3-π2(cm 3).答案:12√3-π210.将函数y =3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象与y 轴最近的对称轴方程是 .【命题意图】本题主要考查三角函数的图象的平移变换和性质.重点考查直观想象的数学核心素养. 【解析】设f (x )=y =3sin (2x +π4),将函数f (x )=3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度得g (x )=f (x -π6)= 3sin (2x -π3+π4)=3sin (2x -π12),则y =g (x )的图象的对称轴为2x - π12=π2+k π,k ∈Z,即x =7π24+kπ2,k ∈Z,k =0时,x =7π24,k =-1时,x =-5π24,所以平移后的图象与y 轴最近的对称轴的方程是x =-5π24. 答案:x =-5π24【误区警示】解决本题时一定要看清要求的对称轴方程是平移后的图象与y 轴最近的对称轴方程.求出平移后的图象的对称轴方程为x =7π24+kπ2(k ∈Z),不要误认为k =0时,x =7π24就是本题的答案,还应验证k =-1时,x =-5π24,两者进行比较,才能得出答案.11.设{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比为q 的等比数列,已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n +2n -1(n ∈N *),则d +q 的值是 .【命题意图】本题主要考查根据前n 项和求数列的通项公式,多写一项,进行作差运算,根据结构得到数列通项.重点考查学生数学运算的核心素养.【解析】设数列{a n },{b n }的首项分别为a 1,b 1,前n 项和分别为A n ,B n ,则A n =d2n 2+(a 1-d2)n ,B n =b1q -1q n +b11−q ,结合S n =n 2-n +2n -1,得{d2=1,q =2,解得{d =2,q =2,所以d +q =4.答案:412.已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R),则x 2+y 2的最小值是 .【命题意图】本题主要考查不等式,利用消元法结合基本不等式求最值. 【解析】因为5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R),所以y ≠0, 所以x 2=1−y 45y 2,则x 2+y 2=15y 2+45y 2≥2√425=45, 当且仅当15y 2=45y 2时,即y 2=12, x 2=310时,x 2+y 2的最小值是45.答案:45【光速解题】4=(5x 2+y 2)·4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2,故x 2+y 2≥45,当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2,即x 2=310,y 2=12时,取等号.所以(x 2+y 2)min =45. 答案:4513.在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若=m+(32-m)(m 为常数),则CD的长度是.【命题意图】本题主要考查平面向量共线的应用.重点考查直观想象及数学运算的核心素养.【解析】作AE⊥BC,交BC于点E.设=λ=λm+λ(32-m),因为C,D,B三点共线,所以λm+λ(32-m)=1,解得λ=23,所以AD=3=AC,所以CD=2·AC·cos C=185.答案:18514.在平面直角坐标系xOy中,已知P(√32,0),A,B是圆C:x2+(y-12)2=36上的两个动点,满足P A=PB,则△P AB面积的最大值是.【命题意图】本题主要考查直线与圆相交问题,通过设圆心角表示面积,利用导数求最值.突出考查数学运算的核心素养.【解析】方法一:如图,作PC所在直径EF,交AB于点D,因为P A=PB,CA=CB=R=6,所以PC⊥AB.要使面积S△P AB最大,则P,D位于C的两侧,并设CD=x,计算可知PC=1,故PD=1+x,AB=2BD=2√36−x2,故S△P AB=12AB·PD=(1+x)√36−x2,设∠BCD=θ,则x=6cos θ,S△P AB=(1+x)√36−x2=(1+6cos θ)·6sin θ=6sin θ+18sin 2θ,0<θ<π2, 记函数f (θ)=6sin θ+18sin 2θ,则f'(θ)=6cos θ+36cos 2θ=6(12cos 2θ+cos θ-6), 令f'(θ)=6(12cos 2θ+cos θ-6)=0, 解得cos θ=23(cos θ=-34<0舍去),显然,当0<cos θ<23时,f'(θ)<0,f (θ)单调递减;当23<cos θ<1时,f'(θ)>0,f (θ)单调递增; 结合cos θ在(0,π2)上单调递减,故cos θ=23时,f (θ)最大,此时sin θ=√1−cos 2θ=√53, 故f (θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5,即△P AB 面积的最大值是10√5.方法二:由已知PC =1,设12∠ACB =α(α∈(0,π2)),则△P AB 的面积S =12·(6cosα+1)·12sin α=6sin α(6cos α+1), 令S'=6(12cos 2α+cos α-6) =6(4cos α+3)(3cos α-2)=0,解得cos α0=23(负值舍去),所以S 在(0,α0)上单调递增,在(α0,π2)上单调递减,所以S max =6×√53×5=10√5. 答案:10√5二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,B 1C ⊥平面ABC ,E ,F 分别是AC ,B 1C 的中点. (1)求证:EF ∥平面AB 1C 1; (2)求证:平面AB 1C ⊥平面ABB 1.【命题意图】本题主要考查立体几何线面平行、面面垂直的证明,考查学生空间想象能力和推理能力.【证明】(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EF∥AB1,因为EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以B1C⊥AB,又因为AB⊥AC,AC∩B1C=C,AC⊂平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,所以AB⊥平面AB1C,因为AB⊂平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.16.（本小题满分14分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=√2,B=45°.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-45,求tan∠DAC的值.【命题意图】本题主要考查正余弦定理及两角和差公式的应用,考查学生解题的严谨性.【解析】(1)由余弦定理,得cos B=cos 45°=a 2+c2-b22ac=26√2=√22,因此b2=5,即b=√5,由正弦定理csinC =bsinB,得√2sinC=√5√22,因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=-45,所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35,因为∠ADC∈(π2,π),所以C∈(0,π2),所以cos C=√1−sin2C=2√55,所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)=sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525,因为∠DAC ∈(0,π2),所以cos ∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525, 故tan ∠DAC =sin∠DACcos∠DAC =211. 17.（本小题满分14分）某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O 在水平线MN 上,桥AB 与MN 平行,OO'为铅垂线(O'在AB 上),经测量,左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO'的距离a (米)之间满足关系式h 1=140a 2;右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO'的距离b (米)之间满足关系式h 2=-1800b 3+6b.已知点B 到OO'的距离为40米.(1)求桥AB 的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD 和EF .且CE 为80米,其中C ,E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元),桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0),问O'E 为多少米时,桥墩CD 与EF 的总造价最低？【命题意图】本题主要考查实际生活问题中的模型建立及导数的实际应用.重点考查数学建模的核心素养. 【解析】(1)过A ,B 分别作MN 的垂线,垂足为A',B', 则AA'=BB'=-1800×403+6×40=160(米).令140a 2=160,得a =80,所以AO'=80,AB =AO'+BO'=80+40=120(米). (2)设O'E =x ,则CO'=80-x ,由{0<x <400<80−x <80,得0<x <40.设总造价为y ,则y =3k2[160−140(80-x )2]+k [160−(-1800x 3+6x)] =k800(x 3-30x 2+160×800), y'=k800(3x 2-60x )=3k800x (x -20),因为k >0,所以令y'=0,得x =0或x =20, 所以当0<x <20时,y'<0,y 单调递减;当20<x <40时,y'>0,y 单调递增.所以,当x =20时,y 取最小值,即当O'E 为20米时,造价最低. 18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中,若椭圆E :x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 在椭圆E 上且在第一象限内,AF 2⊥F 1F 2,直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B. (1)求△AF 1F 2的周长;(2)在x 轴上任取一点P ,直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ,求·的最小值;(3)设点M 在椭圆E 上,记△OAB 与△MAB 的面积分别是S 1,S 2,若S 2=3S 1,求M 的坐标.【命题意图】本题考查了(1)利用椭圆的定义求焦点三角形的周长;(2)求平面向量数量积最值问题;(3)面积比值转化为高之比,从而转化为平行线间的距离求出直线方程.考查数学运算、直观想象的核心素养. 【解析】(1)△AF 1F 2的周长=2a +2c =6.(2)由椭圆方程得A (1,32),设点P (t ,0),则直线AP 方程为y =321−t (x -t ),令x =a 2c =4得y Q =6−32t 1−t =12−3t 2(1−t ), 即Q (4,12−3t 2−2t),=(t -4,12−3t 2t -2),·=t 2-4t =(t -2)2-4≥-4, 即·的最小值为-4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1,M 到直线AB 的距离为d 2, 若S 2=3S 1,则12×|AB |×d 2=12×|AB |×d 1×3,即d 2=3d 1, 由题意可得直线AB 的方程为y =34(x +1), 即3x -4y +3=0,所以d 1=35,d 2=95.由题意得,M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点, 设平行于AB 的直线l 为3x -4y +m =0,与直线AB 的距离为95, 所以√9+16=95,即m =-6或12.当m =-6时,直线l 为3x -4y -6=0, 即y =34(x -2),联立{y =34(x -2)x 24+y 23=1,可得(x -2)(7x +2)=0,即{x M =2y M =0,或{x M =−27y M =−127, 所以M (2,0)或(-27,-127).当m =12时,直线l 为3x -4y +12=0, 即y =34(x +4),联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0,Δ<0,所以无解.综上所述,M 点坐标为(2,0)或(-27,-127).19.（本小题满分16分）已知关于x 的函数y =f (x ),y =g (x )与h (x )=kx +b (k ,b ∈R)在区间D 上恒有f (x )≥h (x )≥g (x ). (1)若f (x )=x 2+2x ,g (x )=-x 2+2x ,D =(-∞,+∞).求h (x )的表达式; (2)若f (x )=x 2-x +1,g (x )=k ln x ,h (x )=kx -k ,D =(0,+∞).求k 的取值范围;(3)若f (x )=x 4-2x 2,g (x )=4x 2-8,h (x )=4(t 3-t )x -3t 4+2t 2(0<|t |≤√2),D =[m ,n ]⊆[-√2,√2],求证:n -m ≤√7.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.【解析】(1)由f (x )=g (x )得x =0.又f'(x )=2x +2,g'(x )=-2x +2,所以f'(0)=g'(0)=2,所以,函数h (x )的图象为过原点,斜率为2的直线,所以h (x )=2x.经检验:h (x )=2x 符合题意. (2)h (x )-g (x )=k (x -1-ln x ), 设φ(x )=x -1-ln x ,则φ'(x )=1-1x =x -1x , φ(x )≥φ(1)=0,所以当h (x )-g (x )≥0时,k ≥0.设m (x )=f (x )-h (x )=x 2-x +1-(kx -k )=x 2-(k +1)x +(1+k )≥0, 当x =k+12≤0时,m (x )在(0,+∞)上递增,所以m(x)>m(0)=1+k≥0,所以k=-1.>0时,Δ≤0,当x=k+12即(k+1)2-4(k+1)≤0,(k+1)(k-3)≤0,-1≤k≤3.综上,k∈[0,3].(3)①当1≤t≤√2时,≤0.(*)由g(x)≤h(x),得4x2-8≤4(t3-t)x-3t4+2t2,整理得x2-(t3-t)x+3t4-2t2-84令Δ=(t3-t)2-(3t4-2t2-8),则Δ=t6-5t4+3t2+8.记φ(t)=t6-5t4+3t2+8(1≤t≤√2),则φ'(t)=6t5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)<0恒成立,所以φ(t)在[1,√2]上是减函数,则φ(√2)≤φ(t)≤φ(1),即2≤φ(t)≤7所以不等式(*)有解,设解集为{x|x1≤x≤x2},因此n-m≤x2-x1=√Δ≤√7.②当0<t<1时,f(-1)-h(-1)=3t4+4t3-2t2-4t-1.设v(t)=3t4+4t3-2t2-4t-1,v'(t)=12t3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-1),.令v'(t)=0,得t=√33)时,v'(t)<0,v(t)是减函数;当t∈(0,√33,1)时,v'(t)>0,v(t)是增函数;当t∈(√33v(0)=-1,v(1)=0,则当0<t<1时,v(t)<0,(或证:v(t)=(t+1)2(3t+1)(t-1)<0)则f(-1)-h(-1)<0,因此-1∉(m,n).因为[m,n]⊆[-√2,√2],所以n-m≤√2+1<√7.③当-√2≤t <0时,因为f (x ),g (x )均为偶函数, 因此n -m ≤√7也成立. 综上所述,n -m ≤√7. 20.（本小题满分16分）已知数列{a n }(n ∈N *)的首项a 1=1,前n 项和为S n ,设λ与k 是常数,若对一切正整数n ,均有S n+11k-S n 1k=λa n+11k成立,则称此为“λ-k ”数列.(1)若等差数列{a n }是“λ-1”数列,求λ的值;(2)若数列{a n }是“√33-2”数列,且a n >0,求数列{a n }的通项公式;(3)对于给定的λ,是否存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列,且a n ≥0?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.【命题意图】本题以数列为载体,综合考查等差数列的基本性质,及解决数列综合问题的能力,综合考查代数推理、转化化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力. 【解析】(1)k =1时,a n +1=S n +1-S n =λa n +1,所以λ=1. (2)√S n+1-√S n =√33√a n+1,a n +1=S n +1-S n =√33√a n+1(√S n+1+√S n ), 因此√S n+1+√S n =√3√a n+1.√S n+1=23√3a n+1,S n +1=43a n +1=43(S n +1-S n ). 从而S n +1=4S n .又S 1=a 1=1,所以S n =4n -1,a n =S n -S n -1=3·4n -2,n ≥2. 综上,a n ={1,n =13·4n -2,n ≥2.(3)设各项非负的数列{a n }(n ∈N *)为“λ-3”数列, 则S n+113-S n 13=λa n+113,即√S n+13-√S n 3=λ√S n+1-S n 3.因为a n ≥0,且a 1=1,所以S n +1≥S n >0, 则√S n+1S n3-1=λ√S n+1S n-13.令√S n+1S n3=c n ,则c n -1=λ√c n 3-13(c n ≥1),即(c n -1)3=λ3(c n 3-1)(c n ≥1).(*)①若λ≤0或λ=1,则(*)只有一解为c n =1,即符合条件的数列{a n }只有一个.(此数列为1,0,0,0,…) ②若λ>1,则(*)化为(c n -1)(c n2+λ3+2λ3-1c n +1)=0,因为c n ≥1,所以c n 2+λ3+2λ3-1c n +1>0,则(*)只有一解为c n =1,即符合条件的数列{a n }只有一个.(此数列为1,0,0,0,…)③若0<λ<1,则c n 2+λ3+2λ3-1c n +1=0的两根分别在(0,1)与(1,+∞)内,则方程(*)有两个大于或等于1的解:其中一个为1,另一个大于1(记此解为t ). 所以S n +1=S n 或S n +1=t 3S n .由于数列{S n }从任何一项求其后一项均有两种不同结果, 所以这样的数列{S n }有无数多个,则对应的{a n }有无数多个.综上所述,能存在三个各项非负的数列{a n }为“λ-3”数列,λ的取值范围是0<λ<1. 21．【选做题】A .平面上点A (2,-1)在矩阵M =[a 1-1b]对应的变换作用下得到点B (3,-4). (1)求实数a ,b 的值; (2)求矩阵M 的逆矩阵M -1.【命题意图】本题主要考查矩阵的基本运算及对应变换. 【解析】(1)[a1-1b ][2-1]=[2a -1-2-b] =[3-4], 所以{2a -1=3,-2-b =−4.解得{a =2,b =2.(2)由(1)知M =[21-12]. |M |=2·2+1·1=5,所以M -1=[25-151525].B.在极坐标系中,已知点A (ρ1,π3)在直线l :ρcos θ=2上,点B (ρ2,π6)在圆C :ρ=4sin θ上(其中ρ≥0,0≤θ<2π). (1)求ρ1,ρ2的值;(2)求直线l 与圆C 的公共点的极坐标.【命题意图】本题主要考查极坐标公式及极坐标的意义、极坐标的求法.【解析】(1)ρ1=2cosπ3=4,ρ2=4sin π6=2.(2)联立得4sin θcos θ=2得sin 2θ=1, 因为ρ≥0,0≤θ<2π, 所以θ=π4,ρ=2√2,所以公共点的极坐标为(2√2,π4). C.设x ∈R,解不等式2|x +1|+|x |<4.【命题意图】本题主要考查含有绝对值的不等式的解法. 【解析】当x >0时,2x +2+x <4,解得0<x <23;当-1≤x ≤0时,2x +2-x <4,解得-1≤x ≤0;当x <-1时,-2x -2-x <4,解得-2<x <-1. 综上,解集为(-2,23).22.在三棱锥A -BCD 中,已知CB =CD =√5,BD =2,O 为BD 的中点,AO ⊥平面BCD ,AO =2,E 为AC 的中点. (1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值;(2)若点F 在BC 上,满足BF =14BC ,设二面角F -DE -C 的大小为θ,求sin θ的值.【命题意图】本题主要考查利用空间向量法求异面直线所成的角及二面角.重点考查如何建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,再利用公式求角.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,2),B (1,0,0),C (0,2,0),D (-1,0,0),E (0,1,1).(1)=(1,0,−2),=(1,1,1),则cos<,>==√1515.故直线AB 与DE 所成角的余弦值为√1515. (2)由已知得F (34,12,0),=(74,12,0),=(1,1,1),设平面DEF 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则{x 1+y 1+z 1=0,74x 1+12y 1=0, 令x 1=2,得{y 1=−7,z 1=5,所以n 1=(2,-7,5).设平面DEC 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2), 又=(1,2,0),则{x 2+y 2+z 2=0,x 2+2y 2=0, 令x 2=2,得{y 2=−1,z 2=−1,所以n 2=(2,-1,-1), 所以|cos θ|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=√6×√78=√1313, 所以sin θ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913. 23.甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n 次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为X n ,恰有2个黑球的概率为p n ,恰有1个黑球的概率为q n .(1)求p 1,q 1和p 2,q 2;(2)求2p n +q n 与2p n -1+q n -1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示).【命题意图】本题主要考查概率的求法及数学期望的求法.重点考查学生利用所学知识解决实际问题的能力.【解析】(1)p 1=13×1=13,q 1=23×1=23.p 2=13p 1+23×13q 1=727, q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627. (2)当n ≥2时,p n =13p n -1+23×13q n -1=13p n -1+29q n -1,q n =23p n -1+(23×23+13×13)q n -1+23×(1-p n -1-q n -1)=-19q n -1+23, 所以2p n +q n =13(2p n -1+q n -1)+23, 则2p n +q n -1=13(2p n -1+q n -1-1), 又2p 1+q 1-1=13,所以2p n +q n =1+(13)n. X n 的概率分布如下:X n 0 1 2 P1-p n -q nq np n则E (X n )=q n +2p n =1+(13)n.。

2020年高考江苏版高考数学 21.3 离散型随机变量的均值与方差

21.3　离散型随机变量的均值与方差挖命题【考情探究】5年考情考点内容解读考题示例考向关联考点预测热度离散型随机变量的均值与方差求期望与方差2017江苏,23离散型随机变量的概率分布及期望独立事件的概率★★★分析解读离散型随机变量主要考查期望,一般不涉及方差,模型考查也基本上是书中所涉及的模型.以中档题为主.破考点【考点集训】考点　离散型随机变量的均值与方差1.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.1223(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X 的分布列及数学期望.解析　(1)记甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜分别为事件A,B,C.由题意得P(A)==,(23)3827P(B)=··=,C 23(23)21323827P(C)=··=.C 24(23)2(13)212427(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=3)=P(A)+P(B)=,1627P(X=2)=P(C)=,427P(X=1)=··=,C 24(23)2(13)212427P(X=0)=1-P(1≤X ≤3)=.19所以X 的分布列为X 0123P194274271627从而E(X)=0×+1×+2×+3×=.194274271627209答:甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率分别为,,.甲队得分X 的数学期望为.8278274272092.(2018江苏扬州考前模拟)在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AA 1=2,从正四棱柱的8个顶点中任取32个点构成三角形,记三角形的面积为X.(1)求P(X=4)的值;(2)求X 的分布列和数学期望.解析　(1)共有种等可能基本事件,其中满足X=4的有2=8种,C 38C 34记“X=4”为事件A,则P(A)==.2C 34C3817(2)X 的可能取值为2,2,2,4,2,235P(X=2)==,P(X=2)==,P(X=2)==,P(X=4)==,P(X=2)==,2C 34C 381724C 34C 382734C 34C 38272C 34C 381752C 34C3817则X 的分布列为X 22223425P1727271717所以E(X)==.1×2+2×22+2×23+4×1+1×2576+42+43+257炼技法【方法集训】方法　离散型随机变量的期望的综合问题1.某公司有10万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:一年后可能获利10%,可能损失10%,可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为,,;如果投资乙项目,一年后可能获利20%,可能损失12141420%,这两种情况发生的概率分别为α和β(α+β=1).(1)如果把10万元投资甲项目,用X 表示投资收益(收益=回收资金-投资资金),求X 的概率分布列及数学期望E(X);(2)若10万元资金投资乙项目的收益不低于投资甲项目的收益,求实数α的取值范围.解析　(1)把10万元资金投资甲项目,一年后可能获利1万元,可能损失1万元,可能不赔不赚.所以X 的所有可能取值为1,-1,0.(单位:万元)所以X 的分布列为X 1-10P121414所以X 的数学期望E(X)=1×+(-1)×+0×=(万元).12141414(2)把10万元资金投资乙项目,一年后可能获利2万元,可能损失2万元.设Y 表示10万元资金投资乙项目的收益,则Y 的分布列为Y 2-2Pαβ所以E(Y)=2α-2β=2α-2(1-α)=(4α-2)万元.由题意,得E(Y)≥E(X),即4α-2≥,解得α≥.14916由概率的意义知0≤α≤1,所以α的取值范围是.[916,1]2.(2017江苏南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a 为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a,求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布列及数学期望.解析　(1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A,则事件A 的对立事件为“没有演唱1首原创新曲”.A 所以P(A)=1-P()=1-=.A C 45C481314(2)设乐队共演唱了Y 首原创新曲,则随机变量Y~H(4,3,8),P(Y=k)=,其中k=0,1,2,3.C k 3C4-k5C 48所以Y 的概率分布列为Y 0123P1143737114因为X=aY+2a(4-Y)=a(8-Y),当Y=0,1,2,3时,对应X=8a,7a,6a,5a.所以X 的概率分布列为X5a6a7a8aP1143737114数学期望E(X)=5a×+6a×+7a×+8a×= a.1143737114132过专题【五年高考】A 组　自主命题·江苏卷题组　(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m 个白球,n 个黑球(m,n ∈N *,n ≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n 的抽屉内,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X 的数学期望,证明:E(X)<.n(m +n )(n -1)解析　本小题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其性质,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P==.C n -1m +n -1C n m +n nm +n (2)随机变量X 的概率分布为:X1n 1n +11n +2…1k …1m +n PC n -1n -1C n m +n Cn -1nC n m +nC n -1n +1C n m +n …C n -1k -1C n m +n…C n -1n +m -1C n m +n随机变量X 的期望为:E(X)=·=·.m +n ∑k =n 1k C n -1k -1C n m +n 1C n m +n m +n ∑k =n1k (k -1)!(n -1)!(k -n )!所以E(X)<1C n m +n m +n ∑k =n(k -2)!(n -1)!(k -n )!=1(n -1)C nm +n m +n∑k =n (k -2)!(n -2)!(k -n )!=(1+++…+)1(n -1)C n m +nC n -2n -1C n -2nC n -2m +n -2=(+++…+)1(n -1)C n m +n C n -1n -1C n -2n -1C n -2n C n -2m +n -2=(++…+)1(n -1)C n m +nC n -1nCn -2n C n -2m +n -2=…=(+)1(n -1)C n m +n C n -1m +n -2C n -2m +n -2==,C n -1m +n -1(n -1)C nm +nn(m +n )(n -1)即E(X)<.n(m +n )(n -1)B 组　统一命题、省(区、市)卷题组考点　离散型随机变量的均值与方差1.(2018浙江改编,7,4分)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是ξ012P1-p 212p 2则当p 在(0,1)内增大时,下列说法正确的是 . ①D(ξ)减小 ②D(ξ)增大③D(ξ)先减小后增大④D(ξ)先增大后减小答案　④2.(2017浙江改编,8,4分)已知随机变量ξi 满足P(ξi =1)=p i ,P(ξi =0)=1-p i ,i=1,2.若0<p 1<p 2<,则下列12结论正确的是 . ①E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2);②E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2);③E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2);④E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2).答案　①3.(2018课标全国Ⅰ理,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析　(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p 2(1-p)18.C 220因此f '(p)=[2p(1-p)18-18p 2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p).C 220C 220令f '(p)=0,得p=0.1,当p ∈(0,0.1)时, f '(p)>0;当p ∈(0.1,1)时, f '(p)<0.所以f(p)的最大值点为p 0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.4.(2017北京理,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.(只需写出结论)解析　本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y 的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y 的值小于60的概率为=0.3.1550(2)由题图知,A,B,C,D 四人中,指标x 的值大于1.7的有2人:A 和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.C 22C 2416C 12C 12C 2423C 22C2416所以ξ的分布列为ξ012P162316故ξ的期望E(ξ)=0×+1×+2×=1.162316(3)在这100名患者中,服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差.方法总结　①在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利用期望的公式求其数学期望;②在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或分散程度进行比较.5.(2017天津理,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.121314(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解析　本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=××=,(1-12)(1-13)(1-14)14P(X=1)=×1-×1-+1-××1-+××=,121314121314(1-12)(1-13)141124P(X=2)=××+××+××=,P(X=3)=××=.(1-12)131412(1-13)141213(1-14)14121314124所以,随机变量X 的分布列为X 0123P14112414124随机变量X 的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.141124141241312(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数,Z 表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=×+×141124112414=.1148所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.1148技巧点拨　解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提.C 组　教师专用题组1.(2016天津理,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率;(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望.解析　(1)由已知,有P(A)==.C 13C 14+C 23C21013所以,事件A 发生的概率为.13(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)==,C 23+C 23+C 24C210415P(X=1)==,C 13C 13+C 13C 14C 210715P(X=2)==.C 13C 14C210415所以,随机变量X 的分布列为X 012P415715415随机变量X 的数学期望E(X)=0×+1×+2×=1.415715415评析本小题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.2.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X 的分布列和数学期望.解析　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=××=.56453412(2)依题意得,X 所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××1=,16561516564523所以X 的分布列为X 123P161623所以E(X)=1×+2×+3×=.16162352评析本题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识.3.(2014安徽,17,12分)甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独2313立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数,求X 的分布列和均值(数学期望).解析　用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,A k 表示“第k 局甲获胜”,B k 表示“第k 局乙获胜”,则P(A k )=,P(B k )=,k=1,2,3,4,5.2313(1)P(A)=P(A 1A 2)+P(B 1A 2A 3)+P(A 1B 2A 3A 4)=P(A 1)P(A 2)+P(B 1)P(A 2)P(A 3)+P(A 1)P(B 2)P(A 3)P(A 4)=+×+××=.(23)213(23)22313(23)25681(2)X 的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A 1A 2)+P(B 1B 2)=P(A 1)P(A 2)+P(B 1)P(B 2)=,59P(X=3)=P(B 1A 2A 3)+P(A 1B 2B 3)=P(B 1)P(A 2)P(A 3)+P(A 1)P(B 2)P(B 3)=,29P(X=4)=P(A 1B 2A 3A 4)+P(B 1A 2B 3B 4)=P(A 1)P(B 2)P(A 3)P(A 4)+P(B 1)P(A 2)P(B 3)P(B 4)=,1081P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.881故X 的分布列为X 2345P59291081881EX=2×+3×+4×+5×=.5929108188122481评析本题考查了独立事件同时发生,互斥事件至少有一个发生、分布列、均值等知识,考查应用意识、运算求解能力,准确理解题意是解题的关键.4.(2015北京,16,13分)A,B 两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A 组:10,11,12,13,14,15,16;B 组:12,13,15,16,17,14,a.假设所有病人的康复时间互相独立,从A,B 两组随机各选1人,A 组选出的人记为甲,B 组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a 为何值时,A,B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解析　设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”,事件B j 为“乙是B 组的第j 个人”,i,j=1,2,...,7.由题意可知P(A i )=P(B j )=,i,j=1,2, (7)17(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A 5∪A 6∪A 7)=P(A 5)+P(A 6)+P(A 7)=.37(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知,C=A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6.因此P(C)=P(A 4B 1)+P(A 5B 1)+P(A 6B 1)+P(A 7B 1)+P(A 5B 2)+P(A 6B 2)+P(A 7B 2)+P(A 7B 3)+P(A 6B 6)+P(A 7B 6)=10P(A 4B 1)=10P(A 4)P(B 1)=.1049(3)a=11或a=18.5.(2014天津,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.解析　(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==.C 13·C 27+C 03·C 37C3104960所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.4960(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).C k4·C3-k 6C 310所以随机变量X 的分布列是X 0123P1612310130随机变量X 的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.161231013065评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.6.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列和均值(数学期望).解析　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,P(A)==.A 12A 13A25310(2)X 的可能取值为200,300,400.P(X=200)==,A 22A25110P(X=300)==,A 33+C 12C 13A 22A 35310P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=.110310610故X 的分布列为X 200300400P110310610EX=200×+300×+400×=350.110310610【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共10分)1.(2018江苏高邮中学月考)随机变量ξ的概率分布列如下表:X 78910P0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是 . 答案　8.22.(2019届江苏太仓中学月考)一牧场有10头奶牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ,则V(ξ)= . 答案　0.196二、解答题(共50分)3.(2018江苏徐州考前模拟)已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组,其中歌唱组有4名男生,1名女生,舞蹈组有2名男生,2名女生,学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出.(1)求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数;(2)记X 为选出的4名同学中女生的人数,求X 的分布列和数学期望.解析　(1)由题意知,所有的选派方法共有·=60种,C 25C 24其中有3名女生的选派方法共有··=4种,C 14C 11C 22所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60-4=56种.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)===,C 24C 22C 25C24660110P(X=1)===,C 14C 11C 22+C 24C 12C 12C 25C 244+2460715P(X=2)===,C 14C 11C 12C 12+C 24C 22C 25C2416+6601130P(X=3)===,C 14C 11C 22C 25C 24460115所以X 的分布列为X 0123P1107151130115所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.1107151130115754.(2018江苏南师附中考前模拟)如图,设P 1,P 2,…,P 6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点.现任选其中三个不同点构成一个三角形,记该三角形的面积为随机变量S.(1)求S=的概率;32(2)求S 的分布列及数学期望E(S).解析　(1)从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法,C 36其中S=的为有一个角是30°的直角三角形(如△P 1P 4P 5),共6×2=12种,32所以P ==.(S =32)12C 3635(2)S 的所有可能取值为,,.3432334S=的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3),共6种,34所以P ==.(S =34)6C36310S=的为等边三角形(如△P 1P 3P 5),共2种,334所以P ==.(S =334)2C 36110又由(1)知P ==,故S 的分布列为(S =32)12C 3635S3432334P31035110所以E(S)=×+×+×=.34310323533411093205.(2019届江苏盐城中学月考)某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为P 1=,乙的命中率为P 2.在射击23活动中,每人射击两发子弹,则完成一次检测.在一次检测中,若两人命中次数相同且都不少于一发,则称该射击小组为“和谐组”.(1)若P 2=,求该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率;12(2)若计划在2019年每月进行1次检测,记这12次检测中该小组获得“和谐组”的次数为X,如果E(X)≥5,求P 2的取值范围.解析　(1)记该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P,则P=+×××=.(C 12×23×13)(C 12×12×12)2323121213即该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为.13(2)该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P=×[×P 2×(1-P 2)]+=P 2-.(C 12×23×13)C 12(23×23)P 228949P 22因为该小组在这12次检测中获得“和谐组”的次数服从二项分布X~B(12,P),所以E(X)=12P.由E(X)≥5得12≥5,(89P 2-49P 22)解得≤P 2≤.3454因为P 2≤1,所以P 2的取值范围为≤P 2≤1.346.(2018江苏海安高三上学期第一次质量测试,23)某厂每日生产一种大型产品2件,每件产品的投入成本为2 000元.产品质量为一等品的概率为0.5,二等品的概率为0.4,每件一等品的出厂价为10 000元,每件二等品的出厂价为8 000元.若产品质量不能达到一等品或二等品,除成本不能收回外,每生产一件产品还会带来1 000元的损失.(1)求在连续生产3天中,恰有一天生产的两件产品都为一等品的概率;(2)已知该厂某日生产的2件产品中有一件为一等品,求另一件也为一等品的概率;(3)求该厂每日生产该种产品所获得的利润ξ(元)的分布列及数学期望.解析　(1)一天中两件产品都为一等品的概率为0.52=.14记“连续三天中,恰有一天生产的两件产品都为一等品”为事件A,则P(A)=××=.C 1314(1-14)22764(2)记“2件产品中有一件为一等品”为事件C,“2件产品都为一等品”为事件B,则P(C)=×+×+×=,P(BC)=×=.12121212121234121214所以已知一件为一等品,另一件也为一等品的概率是==.P (BC )P (C )143413(3)利润ξ(元)的可能取值为16 000,14 000,5 000,12 000,3 000,-6 000.则P(ξ=16 000)=0.52=0.25,P(ξ=14 000)=×0.5×0.4=0.4,C 12P(ξ=5 000)=×0.5×0.1=0.1,P(ξ=12 000)=0.42=0.16,C 12P(ξ=3 000)=×0.1×0.4=0.08,P(ξ=-6 000)=0.12=0.01.C 12ξ的分布列为ξ16 00014 000 5 00012 000 3 000-6 000P0.250.40.10.160.080.01所以ξ的数学期望E(ξ)=16 000×0.25+14 000×0.4+5 000×0.1+12 000×0.16+3 000×0.08-6 000×0.01=12 200(元).7.(2019届江苏淮阴中学月考)射击测试有两种方案.方案1:先在甲靶射击一次,以后都在乙靶射击;方案2:始终在乙靶射击.某射手命中甲靶的概率为,命中一次得3分;命中乙靶的概率为,命中一次得2分.若2334没有命中,则得0分.用随机变量ξ表示该射手一次测试累次得分,如果ξ的值不低于3分就认为通过测试,立即停止射击;否则继续射击,但一次测试最多打靶3次,每次射击的结果相互独立.(1)如果该射手选择方案1,求其测试结束后所得总分ξ的分布列和数学期望E(ξ);(2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大?请说明理由.解析　在甲靶射击命中记作A,不中记作;在乙靶射击命中记作B,不中记作,A B 其中P(A)=,P()=1-=,P(B)=,P()=1-=.23A 231334B 3414(1)ξ的所有可能取值为0,2,3,4,则P(ξ=0)=P( )=P()P()P()=××=,A B B A B B 131414148P(ξ=2)=P(B )+P(　B)=P()P(B)P()+P()P()·P(B)=××+××=,A B A B A B A B 133414131434648P(ξ=3)=P(A)=,23P(ξ=4)=P(BB)=P()P(B)P(B)=××=.A A 133434948所以ξ的分布列为ξ0234P14864823948所以E(ξ)=0×+2×+3×+4×=3.14864823948(2)设射手选择方案1通过测试的概率为P 1,选择方案2通过测试的概率为P 2,P 1=P(ξ≥3)=+=,239484148P 2=P(ξ≥3)=P(BB)+P(B B)+P(BB)=××+××+×=.B B 14343434143434342732因为P 1>P 2,所以选择方案1通过测试的可能性大.。

精品解析：2020年江苏省高考数学试卷(解析版)

【答案】
11.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．
【答案】
12.已知，则的最小值是_______．
【答案】
13.在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
令，
当，，
此时，
当，，
但对任意的恒成立.
等价于对任意的恒成立.
的两根为，
则，
所以 .
令，则 .
构造函数，，
所以时，，递减， .
所以，即 .
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件得 ,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
【详解】
设圆心到直线距离为，则
所以
令（负值舍去）
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
故答案为：
【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得 .
（2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）由余弦定理得，所以 .

2020年高考数学试题-江苏卷(参考答案)

x
所以 u(x)min u(1) 0 .则 x 1 ln x 恒成立，所以当且仅当 k 0 时， f (x) g(x) 恒成立．另一方面， f (x) h(x) 恒成立，即 x2 x 1 kx k 恒成立，也即 x2 (1 k)x 1 +k 0 恒成立．因为 k 0 ，对称轴为 x 1 k 0 ，
（2）在
△ADC
中，因为
cos ADC 4 5
，所以
ADC
为钝角，而
ADC C CAD 180 ，所以 C 为锐角 . 故 cos C 1 sin 2 C 2 5 , 则 5
tan C sin C 1 . 因为 cos ADC 4 ，所以 sin ADC 1 cos2 ADC 3 ，
（2）因为 B1C 平面 ABC ， AB 平面 ABC ，所以 B1C AB 。又 AB AC ，B1C 平
面 AB1C1 ， AC 平面 AB1C ， B1C AC C ，所以 AB 平面 AB1C 。又因为 AB 平
面 ABB1 ，所以平面 AB1C 平面 ABB1 。
16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力。满分 14 分。
Sn1 1 3
Sn
3
Sn1 1 ． Sn
令
Sn1 Sn
bn ，则 bn
1
3 3
bn2
1 ，即 (bn
1)2
1 3
(bn2
1)(bn
1) ．
解得 bn 2 ，即
Sn1 Sn
2
，也即
Sn1 Sn
4，
所以数列{Sn} 是公比为4的等比数列．
因为
S1

2020年高考数学江苏卷附答案解析版

绝密★启用前
在
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
注意事项此
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 6 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160
分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试
数学试卷第 3 页（共 6 页）
（1）求△AF1F2 的周长；
（2）在 x 轴上任取一点 P ，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q ，求 OPQP 的最
小值；
数学试卷第 4 页（共 6 页）
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
题
第Ⅰ卷
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．
置．上．.
1.已知集合 A {1，0，1，2} ， B {0，2，3} ，则 A B
.
无
2.已知 i 是虚数单位，则复数 z 1 i2 i 的实部是
.
3.已知一组数据 4， 2a ， 3 a ， 5 ， 6的平均数为 4，则 a 的值是
a2 5
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
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2020-2021学年江苏省高考数学预测卷(2)及答案解析

江苏省高考数学预测卷（2）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是．2．已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan x（x∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|= ．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解的概率是．7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则= ．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为．9．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式f（2﹣ln（x+1））＞f（3）的解集为．10．曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是．11．设向量=（4sin x，1），=（cos x，﹣1）（ω＞0），若函数f（x）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为．12．设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t 的取值范围是．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C的离心率为．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=．（Ⅰ）求tanA及角B的值；（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD 的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．17．如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH是足球场地边线所在的直线，AB是球门，且AB=8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P）所对AB的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．（1）若PH=20，求tan∠APB的值；（2）如图，当某运动员P沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？18．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．19．已知函数f（x）=alnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数g（x）=2x+f（x）的最小值为0，求a的值；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+ax2+（a2+2）x，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设函数y=f（x）与函数u（x）=的图象的一个公共点为P，若过点P有且仅有一条公切线，求点P的坐标及实数a的值．20．已知数列{a n}，{b n}的首项a1=b1=1，且满足（a n+1﹣a n）2=4，|b n+1|=q|b n|，其中n∈N*．设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n．（Ⅰ）若不等式a n+1＞a n对一切n∈N*恒成立，求S n；（Ⅱ）若常数q＞1且对任意的n∈N*，恒有|b k|≤4|b n|，求q的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件：（ⅰ）若存在唯一正整数p的值满足a p＜a p﹣1；（ⅱ）T m＞0恒成立．试问：是否存在正整数m，使得S m+1=4b m，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．四.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为线段OA上一点，BM的延长线交⊙O 于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．求证：PM2=PA•PC．B．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分0分）22．已知矩阵M=，N=，若MN=．求实数a，b，c，d的值．C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知点A（2，），B（1，﹣），圆O的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）求圆O的直角坐标方程．D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．26．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n≥1，n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）求证：对任意的自然数n∈N*，不等式a1•a2…a n＜2•n!成立．江苏省高考数学预测卷（2）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是 5 ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】利用并集定义先求出A∪B，由此能求出集合A∪B中所有元素之和．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={﹣1，0，1，1，2，3}，∴集合A∪B中所有元素之和是：﹣1+0+1+2+3=5．故答案为：5．2．已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算化为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求【解答】解：∵（1+2i）z=i，∴z===+，∴复数z的虚部为．故答案为3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan x（x∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|= 2．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】解方程求出函数y与直线y=1的交点A的横坐标，再求线段的长|MA|．【解答】解：令y=tan x=1，解得x=1+4k，k∈Z；又x∈（﹣2，2），∴x=1，∴函数y与直线y=1的交点为A（1，1）；又M（﹣3，﹣1），∴|MA|==2．故答案为：2．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】利用定义求这组数据的平均数、方差和标准差即可．【解答】解：数据12，8，10，11，9的平均数为：=×（12+8+10+11+9）=10，方差为：s2=×[（12﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（9﹣10）2]=2；∴这组数据的标准差为s=．故答案为：．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为﹣1 ．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=﹣1，n=2016时不满足条件n＜2016，退出循环，输出S的值为﹣1，即可得解．【解答】解：输入s=0，n=1＜2016，s=0，n=2＜2016，s=﹣1，n=3＜2016，s=﹣1，n=4＜2016，s=0，n=5＜2016，…，由2016=503×4+3得，输出s=﹣1，故答案为：﹣1．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解，∴16a2﹣20a2﹣4a≥0，∴﹣1≤a≤0时方程有实根，∵在区间[﹣1，2]上任取一实数a，∴所求的概率为P==．故答案为：7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则= 5 ．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】先利用向量的加法把转化为，再代入原题整理后即可求得结论．【解答】解：因为=（+）+（+）=+（）=．∴（）•（）=（）•（）=﹣=32﹣22=5．故答案为58．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为 4 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出A1C1⊥平面A1MB，从而三棱锥A1﹣MBC1的体积=，由此能求出结果．【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2=BC2，∴A1C1⊥A1B1，∵AA1∩A1B1=A1，∴A1C1⊥平面A1MB，∵M是AA1的中点，∴===3，∴三棱锥A1﹣MBC1的体积：====4．故答案为：4．9．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式f（2﹣ln（x+1））＞f（3）的解集为{x|﹣1＜x＜﹣1} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由题意，f（x）=，在（2，+∞）单调递增，x＜2，f（x）max=1＜f（3）=3．f（2﹣ln（x+1））＞f（3）化为2﹣ln（x+1）＞3，即可解不等式．【解答】解：由题意，f（x）=，在（2，+∞）单调递增，x＜2，f（x）max=1＜f（3）=3．∵f（2﹣ln（x+1））＞f（3），∴2﹣ln（x+1）＞3，∴ln（x+1）＜﹣1，∴0＜x+1＜，∴﹣1＜x＜﹣1，∴不等式f（2﹣ln（x+1））＞f（3）的解集为{x|﹣1＜x＜﹣1}，故答案为{x|﹣1＜x＜﹣1}．10．曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，计算切线与坐标轴的交点坐标，即可得出三角形面积．【解答】解：f′（x）=lnx+x•=lnx+1，∴在点P（1，0）处的切线斜率为k=1，∴在点P（1，0）处的切线l为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1，∵y=x﹣1与坐标轴交于（0，﹣1），（1，0）．∴切线y=x﹣1与坐标轴围成的三角形面积为S=×1×1=．故答案为：．11．设向量=（4sin x，1），=（cos x，﹣1）（ω＞0），若函数f（x）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为（0，2] ．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】化简f（x）=sinωx，根据正弦函数的单调性得出f（x）的单调增区间，从而列出不等式解出ω的范围．【解答】解：f（x）=+1=2sin xcos x=sinωx，令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ，解得﹣+≤x≤+，k∈Z，∵ω＞0，∴f（x）的一个单调增区间为[﹣，]，∴，解得0＜ω≤2．故答案为（0，2]．12．设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t 的取值范围是＜t＜1 ．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】求导，求导函数的单调性，将不等式转化为具体不等式，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x+cosx，x∈（0，1），∴f′（x）=1﹣sinx＞0，函数单调递增，∵f（t2）＞f（2t﹣1），∴1＞t2＞2t﹣1＞0，∴＜t＜1，故答案为＜t＜1．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知b=1，求出A点坐标，代入双曲线方程化简即可得出a，c的关系，从而得出离心率的值．【解答】解：F（c，0），B（0，1），∴b=1．设A（m，n），则=（m，n﹣1），=（c﹣m，﹣n），∵=3，∴，解得，即A（，），∵A在双曲线﹣y2=1的右支上，∴﹣=1，∴=．∴e==．故答案为：．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为ln．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】根据题意可将（a，b），（c，d）分别看成函数=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，然后利用两点的距离公式，结合几何意义进行求解．【解答】解：因为==1，所以可将P：（a，b），Q：（c，d）分别看成函数y=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，设M（t，t+3lnt）是曲线y=x+3lnx的切点，因为y′=1+，故点M处的切斜的斜率k=1+，由题意可得1+=2，解得t=3，也即当切线与已知直线y=2x+3平行时，此时切点M（3，3+3ln3）到已知直线y=2x+3的距离最近，最近距离d==，也即（a﹣c）2+（b﹣d）2==ln，故答案为：ln二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=．（Ⅰ）求tanA及角B的值；（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的性质可得B=，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出tanA．（Ⅱ）根据正弦定理求出b，再根据余弦定理求出c．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，则B=，∵sin（+A）=，∴cosA=，∴sinA==，∴tanA==；（Ⅱ）由正弦定理可得=，∴b==7，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即25=49+c2﹣11c，解得c=3或c=8，∵cosA=＞cos，∴A＜，∴C＞，∴c=3舍去，故c=8．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD 的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．17．如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH是足球场地边线所在的直线，AB是球门，且AB=8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P）所对AB的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．（1）若PH=20，求tan∠APB的值；（2）如图，当某运动员P沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？【考点】74：一元二次不等式的解法；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）计算tan∠APH与tan∠BPH的值，利用两角差的正切公式求出tan∠APB 的值；（2）设PH=x，x∈（0，100），计算tan∠APH、tan∠BPH的值，求出tan∠APB的解析式，利用基本不等式求出它的最大值即可．【解答】解：（1）AB=8，AH=40﹣4=36，PH=20，∴tan∠APH==，tan∠BPH==，∴tan∠APB=tan（∠BPH﹣∠APH）==；即PH=20，tan∠APB的值为；（2）设PH=x，x∈（0，100），∴tan∠APH=，tan∠BPH=，∴tan∠APB=tan（∠BPH﹣∠APH）===≤==，当且仅当x=12时取“=”；∴当运动员P沿着边线带球行进时，离AB所在直线的距离为12码开始射门进球的可能性会最大．18．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J8：直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出O点到直线x﹣y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．【解答】解：（1）因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2．（2）设直线l的方程为，即bx+ay﹣ab=0，由直线l与圆O相切，得，即，，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y﹣2=0．（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，直线MP与x轴交点，，直线NP与x轴交点，，===2，故mn为定值2．19．已知函数f（x）=alnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数g（x）=2x+f（x）的最小值为0，求a的值；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+ax2+（a2+2）x，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设函数y=f（x）与函数u（x）=的图象的一个公共点为P，若过点P有且仅有一条公切线，求点P的坐标及实数a的值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）函数整理为g（x）=alnx+2x，求导，由题意可知，函数的最小值应在极值点处取得，令f′（x）=0，代入求解即可；（Ⅱ）函数整理为h（x）=alnx+ax2+（a2+2）x，求导得h′（x），对参数a进行分类讨论，逐一求出单调区间；（Ⅲ）设出公共点坐标P（m，n）的坐标，求出坐标间的关系，得到lnm﹣m+1=0，通过讨论函数ω（x）=lnm﹣m+1的单调性解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）g（x）=f（x）+2x=alnx+2x，（x＞0），g′（x）=+2，a≥0时，g′（x）＞0，函数在（0，+∞）递增，无最小值，a＜0时，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞﹣，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜﹣，∴函数g（x）=f（x）+2x在（0，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，故函数在x=﹣处取得最小值，∴aln（﹣）﹣a=0，解得：a=﹣2e；（Ⅱ）h（x）=f（x）+ax2+（a2+2）x=alnx+ax2+（a2+2）x，∴h′（x）=，当a=0时，h（x）=2x，定义域内递增；当a≠0时，令h′（x）=0，∴x=﹣或x=﹣，当a＞0时，h′（x）＞0，h（x）定义域内递增；当a＜0时，当a＞﹣时，函数的增区间为（0，﹣），（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；当a＜﹣时，函数的增区间为（0，﹣），（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；当a=﹣时，定义域内递增．（Ⅲ）a=符合题意，理由如下：此时P（1，0）设函数f（x）与u（x）上公共点P（m，n），依题意有f（m）=u（m），f′（m）=u′（m），即，⇒得到lnm﹣m+1=0，构造函数ω（x）=lnm﹣m+1，（x＞0）ω′（x）=，可得函数ω（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，而ω（1）=0∴方程lnm﹣m+1=0有唯一解，即m=1，a=20．已知数列{a n}，{b n}的首项a1=b1=1，且满足（a n+1﹣a n）2=4，|b n+1|=q|b n|，其中n∈N*．设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n．（Ⅰ）若不等式a n+1＞a n对一切n∈N*恒成立，求S n；（Ⅱ）若常数q＞1且对任意的n∈N*，恒有|b k|≤4|b n|，求q的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件：（ⅰ）若存在唯一正整数p的值满足a p＜a p﹣1；（ⅱ）T m＞0恒成立．试问：是否存在正整数m，使得S m+1=4b m，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）{a n}是公差为2的等差数列，代入求和公式即可得出S n；（II）用q表示出|b k|和4|b n|，根据q的范围及恒等式得出q﹣2=0；（III）利用条件可得{a n}，{b n}的通项，求出S m+1，4b m，从而得出m的存在性．【解答】解：（I）∵（a n+1﹣a n）2=4，a n+1＞a n，∴a n+1＞a n=2，∴{a n}是以a1=1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴S n==n2．（II）∵|b n+1|=q|b n|，∴|b n|=q|b n﹣1|=q2|b n﹣2|=q n﹣1|b1|=q n﹣1．|b k|=1+q+q2+…+q n=，∵常数q＞1且对任意的n∈N*，恒有|b k|≤4|b n|，∴≤4q n﹣1，即1﹣q n+1≥4q n﹣1﹣4q n，∴q n﹣1（q2﹣4q+4）≤1，即q n﹣1（q﹣2）2≤1恒成立，∴q=2．（III）由（II）可知{|b n|}是以1为首项，以2为公比的等比数列，∵T m＞0，∴{b n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，即b n=2n﹣1，∵（a n+1﹣a n）2=4，∴a n+1﹣a n=2或a n+1﹣a n=﹣2，∵存在唯一正整数p的值满足a p＜a p﹣1，∴当n≤p﹣1或n≥p时，{a n}是公差为2的递增数列，∴p≥2，①若p=2，则a n=，∴S m=（m﹣2）2，∴S m+1=（m﹣1）2，而4b m=4•2m﹣1=2m+1，∴4b m﹣S m+1=2m+1﹣（m﹣1）2＞0，下面用数学归纳法给出证明：当m=1时，结论显然成立，假设m=k时，结论成立，即2k+1﹣（k﹣1）2＞0，则2k+2﹣k2＞2•2k+1﹣（k﹣1）2＞2k+1﹣（k﹣1）2＞0，即当m=k+1时，结论也成立，∴4b m﹣S m+1＞0恒成立，即不存在正整数m使得S m+1=4b m．②若p≥3，则a1=1，a2=3，∴S2=1+3=4=4b1，∴P≥3时，存在正整数m=1，使得S m+1=4b m．综上，当p=2时，不存在正整数m使得S m+1=4b m；当p≥3时，存在正整数m使得S m+1=4b m，此时m=1．四.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为线段OA上一点，BM的延长线交⊙O 于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．求证：PM2=PA•PC．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论【解答】证明：连接ON，则∵PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB，∵OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN，∴PM2=PN2=PA•PC．B．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分0分）22．已知矩阵M=，N=，若MN=．求实数a，b，c，d的值．【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】利用矩阵的乘法公式，建立方程，即可求实数a，b，c，d的值．【解答】解：由题意，，∴a=1，b=﹣1，c=2，d=2．C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知点A（2，），B（1，﹣），圆O的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）求圆O的直角坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出A，B的直角坐标，即可求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）将原极坐标方程ρ=4sinθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）点A（2，），B（1，﹣），直角坐标为A（0，2），B（，﹣），k AB=﹣（4+）∴直线AB的直角坐标方程为y=﹣（4+）x+2；（Ⅱ）将原极坐标方程ρ=4sinθ，化为：ρ2=4ρsinθ，化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4．D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．【考点】R6：不等式的证明．【分析】利用基本不等式，再相加，即可证得结论．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，∴a2b2+b2c2≥2ab2c，a2b2+c2a2≥2a2bc，c2a2+b2c2≥2abc2∴2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2ab2c+2a2bc+2abc2∴a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+a2bc+abc2∴≥abc．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，能求出m，由频率分布直方图，能求出抽取样本的平均数．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，∴m=35，由频率分布直方图，得：．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为0.05×100=5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，，，∴ξ的分布列为：ξ123P（ξ）所以．26．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n≥1，n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）求证：对任意的自然数n∈N*，不等式a1•a2…a n＜2•n!成立．【考点】8K：数列与不等式的综合；81：数列的概念及简单表示法．【分析】（Ⅰ）代值计算即可，（Ⅱ）先利用分析法，要证明不等式成立，只需要证明等式（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）≥1﹣（+++…+）恒成立即可，用数学归纳法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n=（n≥1），∴a1==，a2==，a3==，（Ⅱ）∵a n==，可得a1•a2…a n=，因此欲证明不等式a1•a2…a n＜2•n!成立，只需要证明对一切非零自然数n，不等式（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＞恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，且因1﹣（+++…+）=1﹣（）=1﹣（1﹣）＞1﹣=，故只需要证明对非零自然数，不等式（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）≥1﹣（+++…+）恒成立即可，下面用数学归纳法证明该不等式成立，①显然当n=1时，不等式1﹣≥1﹣成立，②假设当n=k时不等式成立，即（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）≥1﹣（+++…+）成立，那么当n=k+1时，（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）≥[1﹣（+++…+）]（1﹣），即不等式右边=1﹣（+++…+）﹣+（+++…+），注意到（+++…+）＞0，所以，（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）≥1﹣（+++…++），这说明当n=k+1时，不等式也成立，由①②可知，不等式对一切非零自然数都成立，。

2020年高考江苏版高考数学 21.2 条件概率及相互独立事件、n次独立重复试验模型及二项分布

21.2 条件概率及相互独立事件、n次独立重复试验模型及二项分布挖命题【考情探究】分析解读本节作为江苏的选考内容在江苏高考中是间或出现的,通常与随机变量及其分布列、超几何分布结合在一起考查,难度一般中等.破考点【考点集训】考点一条件概率及相互独立事件1.(2019届江苏连云港赣榆中学月考)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(2)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.解析记A表示事件:“该地的1位车主购买甲种保险”;B表示事件:“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”;C表示事件:“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”;D表示事件:“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”;E表示事件:“该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买”,则(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B,P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.(2)D=,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,P(E)=×0.2×0.82=0.384.2.(2018江苏淮安清江中学月考)有甲、乙、丙、丁四名网球运动员,通过对过去战绩的统计,在一场比赛中,甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6,0.8,0.9.(1)若甲和乙之间进行三场比赛,求甲恰好胜两场的概率;(2)若四名运动员每两人之间进行一场比赛,求甲恰好胜两场的概率.解析(1)甲和乙之间进行三场比赛,甲恰好胜两场的概率P=×0.62×0.4=0.432.(2)记“甲胜乙”“甲胜丙”“甲胜丁”三个事件分别为A,B,C,则P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(C)=0.9.则四名运动员每两人之间进行一场比赛,甲恰好胜两场的概率P(AB+A C+BC)=P(A)P(B)(1-P(C))+P(A)(1-P(B))P(C)+(1-P(A))P(B)P(C)=0.6×0.8×0.1+0.6×0.2×0.9+ 0.4×0.8×0.9=0.444.考点二n次独立重复试验模型及二项分布1.(2018江苏苏州新区一中月考)在一次数学考试中,第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做每一道题的概率均为.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率;(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ,求ξ的概率分布列.解析(1)记A表示事件“甲选做第21题”,B表示事件“乙选做第21题”,则“甲选做第22题”为,“乙选做第22题”为,则甲、乙两名学生选做同一道题为事件AB+. ∵事件A,B相互独立,∴,相互独立,∴P(AB+)=P(AB)+P()=P(A)P(B)+P()P()=×+-×-=.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ~B,∴P(ξ=k)=·--=(k=0,1,2,3,4),∴随机变量ξ的分布列为2.(2019届江苏常州二中月考)某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6,击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.(1)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;(2)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A).解析(1)依题意知X~B,P(X=0)=-=,P(X=1)=-=,P(X=2)=-=,P(X=3)=-=,P(X=4)=-=.∴X的分布列为(2)设A i表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分”i=1,2.B i表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.依题意知P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,A=A1∪B1∪A1B1∪A2B2,所求的概率为P(A)=P(A1)+P(B1)+P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)·P()+P()P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28.炼技法【方法集训】方法独立重复试验及二项分布1.(2019届江苏常州一中周练)某公交公司对某线路客源情况统计显示,公交车从每个停靠点出发后,乘客人数及频率如下表:(1)从每个停靠点出发后,乘客人数不超过24人的概率约是多少?(2)全线途经10个停靠点,若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9,公交公司就考虑在该线路增加一个班次,请问该线路需要增加班次吗?解析(1)由题表知,乘客人数不超过24人的频率是0.10+0.15+0.25+0.20=0.70,则从每个停靠点出发后,乘客人数不超过24人的概率约是0.70.(2)由题表知,从每个停靠点出发后,乘客人数超过18人的概率约为,设途经10个停靠站,乘车人数超过18人的个数为X,则X~B,∴P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1---×-=1--10×=>0.9,故该线路需要增加班次.2.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},B1={顾客抽奖1次获一等奖},B2={顾客抽奖1次获二等奖},C={顾客抽奖1次能获奖}.由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因为P(A1)==,P(A2)==,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=×-+-×=.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B.于是P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为X的数学期望为E(X)=3×=.过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点一条件概率及相互独立事件1.(2015课标Ⅰ改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为.答案0.6482.(2014山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C 上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D 上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.解析(1)记A i为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3), 则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=;记B i为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,得P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=×+×+×+×=,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(2)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得P(ξ=0)=P(A0B0)=×=,P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=×+×=,P(ξ=2)=P(A1B1)=×=,P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=×+×=,P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=,P(ξ=6)=P(A3B3)=×=.可得随机变量ξ的分布列为所以数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.3.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.解析记A i表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A i)=×0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(·A0·)=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)考点二n次独立重复试验模型及二项分布1.(2018课标全国Ⅲ理改编,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p= .答案0.62.(2016四川理,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.答案3.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .答案4.(2014陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2 000元的概率.解析(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,∵利润=产量×市场价格-成本,∴X所有可能的取值为500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000,300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800.P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,所以X的分布列为(2)设C i表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(C i)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×0.82×0.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.评析本题考查了离散型随机变量的分布列,相互独立事件,二项分布等知识;考查应用意识,分类讨论的意识、运算求解的能力.教师专用题组1.(2014四川,17,12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.解析(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=××-=,P(X=20)=××-=,P(X=100)=××-=,P(X=-200)=××-=.所以X的分布列为(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-=.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)X的数学期望为EX=10×+20×+100×-200×=-.这表明,获得的分数X的均值为负.因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.评析本题主要考查随机事件的概率、古典概型、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力,考查运算求解能力、应用意识和创新意识.2.(2013陕西理,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)==,P(B)==.∵事件A与B相互独立,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)=P(A)·P()=P(A)·[1-P(B)]=×=.或··(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)==,∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P()=××=,P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)=××+××+××=,P(X=2)=P(AB)+P(A C)+P(BC)=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=××=,∴X的分布列为∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共20分)1.(2018江苏海门中学检测)打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打10次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标,则他们都中靶的概率是.答案2.(2019届江苏丹阳中学月考)如果生男孩和生女孩的概率相等,则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为.答案3.(2019届江苏太仓中学月考)端午节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为.答案4.(2019届江苏盱眙中学月考)在四次独立重复试验中,事件A在每次试验中出现的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为.答案二、解答题(共50分)5.(2018江苏徐州铜山中学期中)某同学在上学路上要经过A,B,C三个有红绿灯的路口,已知他在A,B,C三个路口遇到红灯的概率依次是,,,遇到红灯时停留的时间依次是40秒,20秒,80秒,且在各个路口遇到红灯是相互独立的.(1)求这名同学在第三个路口C首次遇到红灯的概率;(2)记这名同学因遇到红灯停留的总时间为X秒,求X的概率分布列与期望E(X).解析(1)设这名同学在第三个路口C首次遇到红灯为事件M,因为事件M等于事件“这名同学在第一个路口A和第二个路口B都没有遇到红灯,在第三个路口C遇到红灯”,所以P(M)=-×-×=.答:这名同学在第三个路口C首次遇到红灯的概率为.(2)X的所有可能取值为0,20,40,60,80,100,120,140.P(X=0)=-×-×-=;P(X=20)=-××-=;P(X=40)=×-×-=;P(X=60)=××-=;P(X=80)=-×-×=;P(X=100)=-××=;P(X=120)=×-×=;P(X=140)=××=.所以X的分布列为所以E(X)=0×+20×+40×+60×+80×+100×+120×+140×= .6.(2018江苏苏中三市、苏北四市三调)将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1,2,3,4的四个抽屉中.(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率;(2)设随机变量X表示放在2号抽屉中书的本数,求X的分布列和数学期望E(X).解析(1)将4本不同的书放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中,共有44=256(种)不同放法.记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A,则事件A共包含=24(个)基本事件,所以P(A)==,所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为.(2)解法一:X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.所以X的分布列为所以X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1. 解法二:每本书放入2号抽屉的概率为P(B)=,则P()=1-=.根据题意知X~B,所以P(X=k)=·-,k=0,1,2,3,4,所以X的分布列为所以X的数学期望为E(X)=4×=1.7.(2017江苏南京、盐城高三第一次模拟)某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的分布列与数学期望E(X).解析(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率P=1-=.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5,由题意得X~B,P(X=k)=·-,k=0,1,2,3,4,5.则P(X=0)=·=,P(X=1)=··=,P(X=2)=··=,P(X=3)=··=,P(X=4)=··=,P(X=5)=·=,所以X的分布列为所以X的数学期望E(X)=0×+×1+×2+×3+×4+×5=.或E(X)=5×=8.(2019届江苏溧阳中学月考)甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛.双方约定:①比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利,比赛结束);②双方各派出三名队员,前三场每位队员各比赛一场.已知甲俱乐部派出队员A1,A2,A3,其中A3只参加第三场比赛,另外两名队员A1,A2比赛场次未定;乙俱乐部派出队员B1,B2,B3,其中B1参加第一场与第五场比赛,B2参加第二场与第四场比赛,B3只参加第三场比赛.根据以往的比赛情况,甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表:(1)若甲俱乐部计划以3∶0取胜,则应如何安排A1,A2两名队员的出场顺序,使得取胜的概率最大?(2)若A1参加第一场与第四场比赛,A2参加第二场与第五场比赛,各队员每场比赛的结果互不影响,设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X,求X的分布列及数学期望E(X).解析(1)设A1,A2分别参加第一场,第二场,则P1=××=,设A2,A1分别参加第一场,第二场,则P2=××=,∴P1>P2,∴甲俱乐部安排A1参加第一场,A2参加第二场,则以3∶0取胜的概率最大.(2)比赛场数X的所有可能取值为3,4,5,P(X=3)=××+××=,P(X=4)=×××+×+×××+×=,P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=,∴X的分布列为∴E(X)=3×+4×+5×=.9.(2018江苏南通最后一卷)甲、乙两位同学参加数学建模比赛,在备选的5道题中,甲答对每道题的概率都是;乙能答对其中的3道题.甲、乙两人都从备选的5道中随机抽出3道题独立进行测试,规定至少答对2题才能获奖.(1)求甲答对的题数X的概率分布列和数学期望;(2)求甲、乙至少有一人获奖的概率.解析(1)据题意,X的所有可能取值分别为0,1,2,3.因为甲答对其中每道题的概率都是,所以X~B,P(X=k)=--,k=0,1,2,3.所以X的概率分布列为X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=2.注直接使用公式计算也可以(2)记“甲获奖”为事件A,设乙答对的题数为Y,“乙获奖”为事件B.P(A)=P(X=2)+P(X=3)=+=;P(B)=P(Y=2)+P(Y=3)=+=.记“甲、乙至少有一人获奖”为事件M,则为“甲、乙两人都未获奖”.P(M)=1-P()=1-P()=1-P()P()=1-(1-P(A))·(1-P(B))=1--×-=. 答:甲、乙至少有一人获奖的概率为.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷,含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷，含答案）参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1.若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ▲ 。

【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。

-202.已知向量a r 和向量b r 的夹角为30o，||2,||3a b ==r r ，则向量a r 和向量b r 的数量积a b ⋅r r = ▲。

【解析】考查数量积的运算。

32332a b ⋅=⋅⋅=r r 3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ▲ .【解析】考查利用导数判断函数的单调性。

2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

亦可填写闭区间或半开半闭区间。

4.函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= ▲ .【解析】考查三角函数的周期知识。

注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

2020届普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)密卷二(含附加题)

2020届江苏高考数学附加题专题复习

高三数学附加题专题(含解析)-----概率
1. （本小题满分10分）
甲，乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲，乙两人均从装有4只红球、1只黑球的袋中轮流不放回摸取1只球，摸到黑球的人获胜，并结束该局.
（1）若在一局中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；
（2）若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸井获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X 的概率分布及数学期望.
2.
为了丰富学生的课余生活，某校决定在每周的同一时间开设舞蹈、美术、声乐、棋类四门校本活动课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本活动课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．
（1）求甲、乙、丙三人均不选择舞蹈课程的概率；
（2）设X为甲、乙、丙三人中选择舞蹈课程的人数，求X的概率分布和数学期望E(X)．
3. 已知知正四棱锥S-ABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为ξ。

（1）求概率P（ξ＝2）；
（2）求ξ的分布列和数学期望。

4. 在某次活动中，有5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品
中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．
（1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；
ξ=-，求随（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记X Y
机变量ξ的分布列及数学期望．。

2020年江苏省高考数学试卷及答案详解,

2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1. 已知集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B=________.2. 已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是________.3. 已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是________.4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________.5. 下图是一个算法流程图，若输出y值为−2，则输入x的值是________.6. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是________.7. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)的值是________.8. 已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是________.9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正________cm 2.10. 将函数y =3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列.已知{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是________.12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R )，则x 2+y 2的最小值是________.13. 在△ABC 中，AB =4， AC =3， ∠BAC =90∘，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA →=mPB →+(32−m)PC →(m 为常数），则CD 的长度是________.14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P (√32,0)，A ，B 是圆C:x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是________. 二、解答题15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证： EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1.16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知a=3，c=√2，∠B=45∘.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45，求tan∠DAC的值.17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线（O′在AB上）．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离ℎ1（米）与D到OO′的距离a（米）之间满足关系式ℎ1=140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离ℎ2（米）与F到OO′的距离b（米）之间满足关系式ℎ2=−1800b3+6b．已知点B到OO′的距离为40米．(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF. 且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）. 桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价32k（万元）(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．(1)求△AF1F2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →⋅QP →的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19. 已知关于x 的函数y =f (x ) ，y =g (x )与ℎ(x )=kx +b (k,b ∈R )在区间D 上恒有f (x )≥ℎ(x )≥g (x ).(1)若f (x )=x 2+2x ，g (x )=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x )的表达式；(2)若f (x )=x 2−x +1，g (x )=k ln x ，ℎ(x )=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f (x )=x 4−2x 2，g (x )=4x 2−8，ℎ(x )=4(t 3−t )x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n ]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7.20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k=λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列. (1)若等差数列是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1.【答案】{0,2}【考点】交集及其运算【解析】集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B．【解答】解：集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B={0,2}.故答案为：{0,2}.【点评】此题暂无点评2.【答案】3【考点】复数代数形式的混合运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：z=(1+i)(2−i)=3+i，则实部为3.故答案为：3.【点评】此题暂无点评3.【答案】2【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】=4，解：由4+2a+(3−a)+5+65可知a=2.故答案为：2.此题暂无点评4.【答案】19【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：总事件数为6×6=36，满足条件的事件为(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)为共4种，则点数和为5的概率为436=19.故答案为：19.【点评】此题暂无点评5.【答案】−3【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知当y=−2时，当x>0时，y=2x=−2，无解；当x<0时，y=x+1=−2，解得：x=−3. 故答案为：−3.【点评】此题暂无点评6.【答案】32【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由x 2a2−y25=1得渐近线方程为y=±√5ax.∴c2=a2+5=9，∴c=3，∴离心率e=ca =32.故答案为：32. 【点评】此题暂无点评7.【答案】−4【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 2 3，则f(−8)=−f(8)=−823=−4.故答案为：−4.【点评】此题暂无点评8.【答案】13【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为sin2(π4+α)=23，由sin2(π4+α)=12[1−cos(π2+2α)]=12(1+sin2α)=23，解得sin2α=13.故答案为：13.9.【答案】12√3−π2【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：记此六角螺帽毛坯的体积为V，正六棱柱的体积为V1，内孔的体积为V2，则V1=6×12×2×2×sin60∘×2=12√3，V2=π×(0.5)2×2=π2，所以V=V1−V2=12√3−π2.故答案为：12√3−π2.【点评】此题暂无点评10.【答案】x=−5π24【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=3sin(2x+π4)，将函数f(x)=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度得：g(x)=f(x−π6)=3sin(2x−π3+π4)=3sin(2x−π12)，则y=g(x)的对称轴为2x−π12=π2+kπ,k∈Z，即x=7π24+kπ2,k∈Z.当k=0时，x=7π24，当k=−1时，x=−5π24，故答案为：x =−5π24. 【点评】此题暂无点评 11.【答案】 4【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：因为{a n +b n }的前n 项和为： S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，当n =1时，a 1+b 1=1，当n ≥2时，a n +b n =S n −S n−1 =2n −2+2n−1，所以当n ≥2时，a n =2(n −1)，b n =2n−1，且当n =1时，a 1+b 1=0+1=1成立，则d =a 2−a 1=2−0=2， q =b 2b 1=21=2，则d +q =4. 故答案为：4. 【点评】此题暂无点评 12. 【答案】45【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2，即x 2=310，y 2=12时取(x 2+y 2)min =45.【点评】此题暂无点评 13. 【答案】 185【考点】二倍角的正弦公式正弦定理向量的共线定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由向量系数m +(32−m)=32为常数，结合等和线性质可知|PA →||PD →|=321，故PD =23PA =6，AD =PA −PD =3=AC ，故∠C =∠CDA ，故∠CAD =π−2C . 在△ABC 中，cos C =ACBC =35.在△ADC ，由正弦定理CDsin ∠CAD =ADsin C ，即CD =sin (π−2C)sin C⋅AD =sin 2C sin C⋅AD =2AD cos C=2×35×3=185.故答案为：185. 【点评】此题暂无点评 14. 【答案】10√5 【考点】与圆有关的最值问题利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，∵PA=PB，CA=CB=R=6，∴PC⊥AB.∵EF为直径，要使面积S△PAB最大，则P，D位于C点两侧，并设CD=x，计算可知PC=1，故PD=1+x, AB=2BD=2√36−x2，故S△PAB=12AB⋅PD=(1+x)⋅√36−x2.令x=6cosθ，其中θ∈(0, π2)，S△PAB=(1+x)√36−x2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ.记函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，则f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos2θ+cosθ−6).令f′(θ)=6(12cos2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23或cosθ=−34<0(舍去)，显然，当0≤cosθ<23时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增.结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos2θ=√53，故f(θ)max=6×√53+36×√53×23=10√5，即△PAB面积的最大值是10√5.故答案为：10√5.【点评】此题暂无点评二、解答题15.【答案】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【点评】此题暂无点评16.【答案】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【点评】此题暂无点评17.【答案】解：(1)过A，B分别作MN的垂线，垂足为A1，B1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ，由{0<x <40，0<80−x <80，解得：0<x <40，则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20，所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减；当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低．答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低．【考点】利用导数研究函数的最值函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)过A ，B 分别作MN 的垂线，垂足为A 1，B 1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ，由{0<x <40，0<80−x <80，解得：0<x <40，则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20，所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减；当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低．答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低．【点评】此题暂无点评 18.【答案】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)，设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4，即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3，即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点.设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，所以√9+16=95，即m =−6或12．当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0,或{x M =−27,y M =−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4). 联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解．综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆中的平面几何问题直线与椭圆结合的最值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)，设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t 2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4，即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3，即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点. 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，所以√9+16=95，即m =−6或12．当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0或{x M =−27,y M=−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4).联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解．综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127). 【点评】此题暂无点评 19. 【答案】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为由函数y=f x的图像可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数与方程的综合运用利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，，x1x2=3t4−2t2−84所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【点评】此题暂无点评20.【答案】解：(1)k=1时，a n+1=S n+1−S n=λa n+1，由n为任意正整数，且a1=1，a n≠0，可得λ=1.(2)√S n+1−√S n=√3√a n+1，3a n+1=S n+1−S n=√3√a n+1(√S n+1+√S n)，3因此√S n+1+√S n=√3√a n+1，√3a n+1，即√S n+1=23S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )，所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0，令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0，则0<α<1<β，则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件，对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【考点】数列递推式一元二次方程的根的分布与系数的关系等比数列的通项公式等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1，由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0，可得λ=1.(2)√S n+1−√S n =√33√a n+1， a n+1=S n+1−S n =√33√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3√a n+1，即√S n+1=23√3a n+1， S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )，所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0，令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0，则0<α<1<β，则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件，对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【点评】此题暂无点评。

精编版精品解析：2020年江苏省高考数学试卷(原卷版)

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(243x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ~k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ~1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ~3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示)．。

2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析-专题21 概率分布与数学期望-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘

高考冲刺提分必备2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析专题21 概率分布与数学期望【真题感悟】1、【2019年江苏,23】在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈L 令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）当1n =时，X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ③若02b d ==，，则AB ≤3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X 的所有可能取值是21n +和24n +，且2222242442(1),(4)C C n n P X n P X n ++=+==+=．因此，222246()1(1)(4)1C n P X n P X n P X n +≤=-=+-=+=-．2、【2010江苏，22】某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．【答案】（1）（2）0.8192【解析】解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=0.8×0.9=0.72，P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08，P （X=-3）=0.2×0.1=0.02． ∴X 的分布列为：（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4-n 件．由题设知4n-（4-n ）≥10，解得n≥又n ∈N ，得n=3，或n=4．所求概率为P=C 43×0.83×0.2+0.84=0.8192答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．3. 【2012江苏，22】设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．【答案】(1)411．(2)6()11E ξ+=【解析】解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有238C对相交棱，因此232128C 834(0)C 6611P ξ⨯====.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1的共有6对，故21261(C 11P ξ===，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ)＝4161111111--=，所以随机变量ξ的分布列是因此616()1111111E ξ+=⨯+=4. 【2014江苏，22】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同. （1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X . 【答案】（1）518；（2）20()9E X =. 【解析】（1）由题意22243229518C C C P C ++==；（2）随机变量X 的取值可能为2,3,4，44491(4)126C P X C ===，313145364913(3)63C C C C P X C +===， 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为13120()21434631269E X =⨯+⨯+⨯=. 【考纲要求】1. 离散型随机变量及其分布列（考查要求为了解）2. 超几何分布（考查要求为了解）3. 条件概率及相互独立事件（考查要求为了解）4. n 次独立重复试验的模型及二项分布（考查要求为理解）5. 离散型随机变量的均值与方差（考查要求为理解）【考向分析】1. 江苏高考中，一般考古典概型、相互独立、二项概型基础上的随机变量的分布，期望与方差。

2020年江苏省高考数学试卷及答案详解,

2020年高考江苏省数学卷试题及参考答案

2020@ABCDEF3GHIJKBLMS6) AM D%'Wrtr V %8?( e 8 lWrt (?lWrtD% A ! A !% A " A 5 4" B (,4 A “F13.在 *ABC 中 AB % 4 AC =$,6BA %90°,.在边 BC±9延长A.到P ,使得AP %9,若P " %#" + (2 — #)PC#为常数"，则CD 的长度是(第 1$ —)!%•在平面直角坐标系zOy 中,已知P! W 9 A %/— 1(0(1(20(B %/0(2(0(v A 9AB =____.2. 已知i 是虚数单位,则复数n %(1 + i)(2 —i"的实部是___•3. 已知一组数据4,2" ,3 — ",5,6的平均数为4,则" 的值是—•%•将一的正方体骰子抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 •5•右图是一个算法流程图•若输出y 的值为一2,则输入z 的值是____•'•- 标系zOy 中,若双曲线—2 — y =1! ( 0)的"5一条渐近线方程为y %槡—, 则该双曲线的是 •(•已知y =9(z )是奇函数，当z . 0 时9(z " %z -,则 9(一 8)的__&已知sin 2(4 +") %2，则sin2"的值是S3/ 输lx /y*—x+ 1/输3 7(第5题)B 是圆C ：z 2 + (y —— ) =$6上的两个动点，满足PA %PB ，则*PAB 面积的最大值是 _ .二、解答题:本大题共'小题，共计9,分.- 题卡* " w %算 •15. (本小题14分)三棱柱ABC 一A iB i G 中,AB 丄AC , B —丄 ABC ,@, A是AC , B —的中1 )'@A 4AB 1C 1 -(2)' AB 1C 丄 ABB 116. (本小题14分)△ABC 中 A B C 的对边为"3 c 已 " %$ c %槡,B =45°.1 ) sin C 的 -(第15题)(第16题)-•如图，六帽毛坯是由一个六棱柱一个圆柱所构的.已帽的六边边长为2c#,高为2cm,内孑L为0.5cm,则此六帽毛坯的体积是—cm $(第9题)将函数y %$sin (2z + 4"的图象向右平移卡个单位长度，则平移后的中与y 轴最近的对称的方程是—•!!设/$ 0是公差为 > 的数列，/$ 0是公比为5的数列.已知数列｛"$+3$｝的前$项和S $ =$2 — $ + 2$ — 1($ $ +& "，则 > + q 的值是____•12.已知 5z 2y 2 +y 4 %1(z ,y $ R ),则 z 2 +y 2 的最是—•(2) 边 BC a 一 .( cUT 6A.C4—V ，求 an6.AC 的值.51(.(本小题满分14分)o v 中9一,™ ™]的5所 ' O g BN ™AB 与BN 平行,O C7为铅垂线(O '在A^L.)•经测量,左 AO 上任一点D 到BN 的：1(g ) D OO 7 的 "(g ) d]系式i %1"2;右侧曲线BO±,任40 一点A 到BN的 2(g ) A OO 7 的 3(g ) d]足关系式？2%—丄3$ +63.已知点B 到O 0的距800为40g（1）求桥AB的长度-（2）计划建于07的桥墩CD和EA,且C@为80米，其中C@在AB上（不）•桥墩@A每米造价*（万元），桥墩CD米造价$2*（万元）（*（0）,问（第17题）07@为米y，桥墩CD@A的u价.!*（本小题满分16分）十123在平面直角坐标系'/1中,已知椭圆@:41的左,为A1A2，点A在椭圆@上且第.#（AA23A1A2（AA1圆@相交于另一点B.1)△AA1A2的$长-(2)在'轴上任取一P,AP圆@的o""交于E,+0"P*+E"P的-(3)w M圆@,<△0AB△MAB的为S1,S2,q S2%3S1,M的坐标. !-•(本小题16分)已于'的k1%9(')(1%:(')?(') %*'+3(*3$$)]D—9(').(').:(')1)q9(')%'2+2',:(')%—'2+2',D%(—8,十8),求力(')的表达式；(2)q9(')%'2—'+1,:(')%*ln'?(')%*'—*.%(,十8),求*的取值范围-3)q9!')%'4—2'2,:!')%4'2—8?!')%4($—I)'—3严+2产(0#I)/槡2),D%[#, $2,1一槡2，槡22，求证'一#/槡槡.2,.（本小题16分）已知数列/$0$$N&）的首项如％1,前$项和为S$*设入与*是常数，若对一数$，均有S$—1—S$%&"$—1成立，则称此数列为％〜*&数1"若数/"$0是%&〜1&数,的-（2）若数列/$｝是％$#2&数列，且"$〉0,求数列/$｝的通项公式；（3）对于给定的&,是否存在三个不同的数列/$为％〜3”数列，且"$.0?若存在，求&的取值范围;若不存在，说明•S6*'A(2!,A-A A.%/%0A"+++++ ++A+"++++i++A++++*++++"*i A4w%算•A.[选修4-2'换2(本小题满分10分)"1A(2,—1)M%12对应的变换作用下，（3,—4）（1）求实数",的值-（2）求矩阵M的逆矩M—1B・［选修4-4：坐标系与参数方程2（本小题满分10）在极坐标系中，已知点A（1,$）在直线7：（cos$ %2上，点，（（2,!"在圆C（%4si$$上（其中4.0,0/$#2!)(1)求P1,P2的值；(2)求出直线7与圆C的公共的极标01[选修4-5：不等式选讲2(本小题10分)设'$$,•不式2)'+1)+)')#4,A-22A%23A"A!,4"B,4 A*"w%算步骤.22.（本小题10分）三棱锥A-BCD中，已知CB%C D一槡槡,BD%2,O为BD的中点,AO丄平BCD+0=2@为AC的中（1）；AB与D@所成角的余-(第22—)（2）若点A在BC±,满足BF%1BC,设二面角A—D@—C的”为$sKn$的23.（本小题满分10分）甲口袋中2｝黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球,现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换一口袋,重复$8的操作，记甲口袋中黑球个数为x $ （2个黑球的概率为4$ （1 } Ct ,5$1" P 1 （51[P 2 （92-⑵求24$ + q $与24$-1 + 5$—的递推关系式和x 的数学 @x $"用$表示）S6 ） Asv6C 为故 cos C % 71 — sin 2 C % —槡,JV tan C % s b —5co<C1—一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方A 5 4"B 70 41. {0,202.3$.24. 15. —3$ 1 )6. — 7. — 4 8. $ 9.12 槡$ ——10. z % 一511. 4 12. 42451$.或 014. 10槡554所以 sin Z ADC %5槡 1 ― cos 2 /AD — % $ , tan 6ADCsin Z ADC 5因为 cUT 6ADCco<6ADC_ __$% 一 4+ :an 6DAC % :an180°—:an (6ADC + 6C )— /ADC — /C ) %tan /ADC + tan C 1 ― tan /ADC J tan C-$ +11—211-、题15.本小题主要考查直线与直线直线与平面、平面与平面的位置关系等基识，考象能力和推理论|r 41%4证明！1）因为ij 是ACB i C 的中点，所以EA 4 +B 1 •AB i U 平面 AB i C i ,所以EA 〃平面 AB i C i . /（2）因为B i C 丄平面/ABC AB ； ABC ,所以 B i C 丄 AB . 〃又AB 丄AC ,B ： U 平面（第15—）AB 1C AC ; AB 1C B 1C 9AC %C 所 AB丄 AB 1C又因为 AB U ABB 1 所AB 1C 丄1（题主要考数的、Y 数、基础知识,考查直观想象和数学用数学知识45 y @题的能力 41%4： 1） w AA1BB 1 CD 1 EA 1 > BN A 1B 1 D 1 A 1 是 f由条件知,当O, % 40时,BB ： % 一罕 J 403 +6 J 40 %160 v AA 1 %160由：OA 2 % 160 ,得 OA % 80.所 AB % O 7A + O 7B %80+40 %120(g )⑵以O 为原点,OOO '为y 轴建立标系ABB 116.本小题主要考查正理、理、同 •角数关系、i 与差的数等基口识，考算能力41%4（第16题）+6z因为CE % 80 ,所以OC % 80 ― z .w D (z —80 y 1 ) v y 1 %1(80 —z )2,所以 CD %160 — y 2 % 160 + 80z（第17题）zOy (如图所示).w A (z y 2 ) z $ (040)则 y % 80+6z , ea %C O' L r bny 抽2解：(1)在 *ABC 中,因为"% $ , c % 槡,B % 45°，由E T 32 %"2 +c 2 —2"c cos B 32 %9+2—2J—1z 2 +4z$ J 2cos 45° % 5,所以 3 % 槡.3 c 5在*ABC 中,由正弦定理3 % i C '得亍%槡厂,所以sin C<in C54(2)在*ADC 中，因为cos 6A DC % —三,所以56ADC 为钝角,而 6ADC +6C +6CAD % 180° ,所160-y ： % 160-1 (80-z )2记桥墩CD 和EA 的总造价为f (z ),则f (z ) %*(160 + 80z $ -6z ) + 2*(-：z 2 +4z ).—$z 2 +160)(0<z <40).80$ $*2 — $z )%$0z (z —20)令f z )0, z % 20%*9f (z ) %*“ ' % 20 y (9!' "aN '1"™AB tt ,120 g -⑵当0@为20米时，桥墩CD [@A 的总造价最低.'(0,20)20(20, +40)9 7 (')—0+9(')<极小值=!*本小题主要考查直线方程、椭圆方程、圆的几何性质、t i “F d ~% #S # O “"v查推理论证能力分析问题能力和运算能力满分!'4'2 12解：⑴设椭圆@：4 + $ = 1的长轴长为2"(短轴长为 23,焦距为 2c,则"2 % 4,32 % 3(2 % 1.所以△AF 1F 2的周长为 2" + 2c % 6.(2)椭圆E 的右准线为'% 4.设 P ! ,0) E (4,1),则 OP % (' ,0) EP %!' —4(—1)(0 "P *+E "P%' ('—4) % ('—2)2一 4 .一 4,在'% 2时取等号.所 O "P *+E "P 的为—4'2 12⑶因为椭圆E ： 4 + $2 % 1的左、右焦点分别为A 1A 2,点A 在椭圆E 上且在第一象限内AA 2丄3F 1F 2,则 A 1 (— 1,0) , A 2(1,0) , A (1 , 2))所以直线AB '3' —41+3 % 0设MG ,),因为S 2 % 3S 1,所以点M 到直线AB 距a O AB 的 3此得)3'一4»+3 % $ x )3J 0—4J 0+3),55则3' —41+12 %0 '3' —41—6 %0由 O '2 127'2 +24'+ 32 % 0 ,此方程〔4 + 3 %1 ,•-$' — 41 — 6 = 0 ,由 O '2 127'2—12'一4 = 0 ,所以'%〔4 + 3 %1 ,2 或'％ — •7'3' —41—6 %0 •f 1 %0 '121 = & 7因此点M 的坐标为(2,0)或(—7, —7).!-•本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合用数学思分析与解决问题以及逻辑推理能力分!'分!1) i 9(') .?(') .:(')( '2 +2' .*' +3 .—'2 +2'(取' %0( 0 .3 .0(所 3%由'2+2' .*',得'2 + (2 — *')' .0,此式对一切' $ (—8,+8) — ;,所 (2—*)2 /0,则*%2,此时2' .—'2 +2' — ;, 所 ?(' ) % 2'(2)?(') —:(') %*('—1—7$'),' $(0, +8) 令 w '\ % ' — 1 — X '，贝W {') % 1 —1，令‘(')%0, ' %1'(0,1)1(1, +8)W '(')—0+W (')<极小值=所 W (')#X$ %W 1) %0 则' —1 .XB ' — ;, 所且 * .0 时?(' ) .:(' ) — ;一方 ,9(' ) .?(' ) — ;, ~'2 —'+1 .*'— * — ; ,'~'2 — 1+*)' +1+* .0 — ;1 +*因为* . 0,对称轴为'% —2—〉0,所 1 +* )2 —41 +* ) /0, • —1 /* /3因此,*的取值范围是0 / * / 3.(3)①当1/I /槡2时，:(' ) /?(' ), 4'2 —8 /4(I 3 —I )'—I 4 +I 2 ,42整理得'2 — ($ —I' +J /0.(>)% % !I 3 —I )2 — I 4 —I 2 —8),则% %I 6 —I 4 +I 2 +8记 *() % I 一 5严 +3f 2 + 8(1 / I /槡2),则 *'() % 6t 5 —20t $ +6f % 2t (3f 2 —1)(2 — 3)#0 — ; ,所以*()在1,槡2]上是减函数，则*(2)/*() /* 1 ), ~ 2 /* !I ) /7所以不等式(>)有解,设解为'1 /' /'2,因此$ —# / '2 — '1 % 槡% / 槡槡.② 0 #I #1 时,9!—1) —?!—1) %3I 4 +4I 3 —2I 2 —4I —1设 +() % 3严 +4I 一21 一一 1,+ 7!I ) %1&I 3 +1&I &—4I —4 %4!I +1) 3I &—1),令+() % 0,得 i % 槡3.当i $(0,槡+)时，+ !)#0，!)是减函数；当i $ (槡$,)时+ ()(0+()是增函数.+ (0"% —1,+ 1"% 0, 则 0 #I #1 时,+ (I "#0 (或 '+ (I "% (I +1"2 (3I +1"(I —1"#0" 则9(—1"—?(—1"#0,因此—1 ? (#,$"因为1#(2,1一槡2(22,所以$—#/槡2+1<槡.③当—槡/方<0时，因为f(!"((z"均为偶函数，因此$—#/槡也成立•综上所述(一#/槡.20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运YS6“GHt@Ai|r4164!1"因为数/"$0l%&#1&数(v8$+1—8$%&"$+1(~"$+1%&"$+1(也即(&—1)"$+i%0,此式对一切正整数$均成立.q&)1(v"$+1%0—立("$—"2%0("2—"1%—1(/"$0l数所以&%1.(此时,任意首项为1的等差数列都是％〜1&数"$(2)因为数列/$0$$+&)是％$〜2”数列,槡/------$槡"$+1—8$■(8$(0(v因为"$(0(所8$+1槡3$—1,即解得3$%2(卩代槡81%2,也即菩1%4,7$8$所以数列｛8$｝是公比为4的等比数列.因为81%"1%1,所8$%4$—1v"%1($%1),"$%$J4$—2($.2)($)设各项非负的数列/$0$$+&)为%〜$&数,I：：______则8諒i—8$%&"右$+：,即槡8卄i—槡$%&槡8$+i—8$.因为"$.0,"11,所8$+1.8$(0,则令槡，则c$—1%&槡2$—1(c$.1),即(C$—1)$%&$(c$—1)(c$.1)(>)①若&/0或&%1,则(>)只有一解为c$%1(卩符合条件的数列/$｝只有一个.(此数列为1(((,…)②若&(1,则(>)化为(c$—1)*(”+&$+：—$+1)%0,&$+2因为c$所以c2+^-c$+i>0,贝|」(>)只有&$—1—解为c$%1,即件的数｛"$0只一个(此数为10( 0(0(…)&$+2③若0<&<1,则疋+—C$+1=0的两根分别&$—1在(0()与1+8)内，则方程(>)有两个大于或等于1的解:其中一个为1,另一个大于1(记此解为I所8$+1%8$或8$+1%I$8$由于数列8$｝从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列8$｝有无数多个，则对应的/"$0数个综上所述，能存在三个各项非负的数列/$｝为％〜$&数列，入的取值范围是0<&<1.数学*(附加题)参考答案21,题-.［选修4-2：矩阵与变换2本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识考查运算求解能力满分10分."12$!1)因为1212%12(所—13—1—42"—1%$(/解"%3%2(所—2—3%—421&%12—1221(2)因为&%1—122(M.t(&)%2J2—1J(—1)@2一1B55%5)0(所&(从&—1%12A55CB.［选修4-4：坐标系与参数方程2题主要考的7基识"考运算求解能力满分104.解：⑴由4ic os!%2,得41%4；42%4sib!%2,$6又(0()(即(0,6))也在圆C上，因此42%2或04cos$%2,(2"｛4sin$cos$%2,所sin2$% 4%4sin$,1.因为4.0(/$<2!,所以$%!‘4%2槡.所以公共点的极坐标为(2/2,4).0［选修4-5：不等式选讲2本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解推理论证能力.满分10分.解：当'〉0时，原不等式可化为2' + 2+' # 4,解得20#' #$ — 一1/'/0时，原不等式可化为2' +2 —' #4(解 —1 /' /0 -' #—1 时( 不式化为 —2' —2' #4(解 —2 #' #—1(不等式的解集为/1—2#' # 20•22 , 题- 题主要考#%基识，考象能力算能力分!,分解：⑴连结OC ,因为CB % CD,0为BD 中点，所以CO 丄 BD .又AO 丄BCD ,所以AO 丄OB +0丄OC .以/",0,0A o为基底，建立空间直角坐标s O —'1D因为 BD % 2 , CB % CD % 槡,AO % 2 , 所 B 100"D !—100"C !020" A !002" 因为 E 为 AC 的中所 E !011" v +A "B % 10 —2"D "E % 111"所以 |cos #AB DE 〉 % V *^" %|AB| • DE 1 + 0 — 2 槡15 槡X 槡 %冇因此,直线AB 与DE 所成角的余弦值为槡5!)因为点F 在BCJL ,BF = 4,C , BC = (-1 ,20)所以B F = 4b C = (— 4，2'0).又D " % (2,0,0),故D " %7"+BA % (7,1,0)•w $1 % ('1(11(D 1) 为DEA 的.}-((~DE * $1 % 0,1'1 +11 % 0,v/"~O 7 1[DF * $1 % 0, 〔4'1 + 211 % 0，a '1 %2( 11 % —7(D 1 %5(所$1 % (2(—75)w $2 % ('2(12(D 2) 为 DEC 的.} -"+D "E * $1 % 0(Q DC % (1,2,0),则DC * $2 % 0(所以 si n$ % 槡1 一 cos 2$ % 2槡#.23.【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基识，考 bc> 能力推理论能力分!,分!1)41524$C ! C ! ! C 2 C 3 2C 3 *C 3 %3(1 %C 3 *C 3 %3，C ! C 3 C 2 C ! )42 %C $ *C $ *41+C 3 *C $*51+0*(1 — 41—51)%! 2 7341 + 951 % 27，C 1 C 3 丄 C 2 C 2 丄 C 1 C 1\ 丄 C 3C 3*C I *41 +(C ! *C I + C ! *冬丿・51+&・C 2) ! 2 !6(2 ) $ .2 时(C 1 c $ 丄C 2 C 1 丄c 门C $ ・ c $ ・ 4$—1 +c $ ・ C $ ・ 5$— +0 ・(1—4$—1 —) ! 2 ，5$-1)% $ 4 $— + 95$—，C 2 C 3 C 2 C 2 C ! C !5$%C 3 * C 3 * 4$—1 + ( * C 3 + C 3 * C 3丿 * 5$— +C 3 C 2)!2 ，24!2X ① + ②，得24$ +5$ % $4$ — 1 -- 5$—1 — 5$—12 ! 2+ $ % $(24$-1 + 5$—1) + $•从而 24$ + 5$ — 1 % 1(24$t +5$— —1)，又 241+51! ! !$—!—1 % $，所以 24$ + 5$ % 1 + $(3)% 1 +($ $ N & "%①②，5$£，所以5$%， P $+3 ! $!故 1 一 4$—5$ % 1^(— 9 ) + 5($ $ N & 丿V $ 的Y'$01241 — 4$ — 5$5$4$则 E(X $) % 0 X (1 — P $ —5$)+ 1X q $ +2X 4$ =1 +Y 2 % —1(所 $2 % (2(—1)()$1 * $2 % 4 + 7 —5 % 槡1)$1)*)$2 槡78 x 7613。

2020届普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学密卷二(含附加题) (word版附答案))

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷二数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差()2211ni i s x x n ==-∑，其中11n ii x x n ==∑柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 锥体的体积13V Sh =，其中S 是椎体的底面积，h 是椎体的高.一．填空题：本题共14小题.请把答案填写在答题卡相应位置上1.集合{}210A x x =->，{}3,x B y y x R ==∈，则A B =I ________. 2.复数1z i =+（i 为虚数单位），则共轭复数z 的虚部________.3.已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r，a b -=r r ，则2a b -=r r________.4.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知81335a a =，且10a >，若n S 取得最大值，则n =________.5.甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以3：1获胜的概率是________.6.已知A ，B ，P 是双曲线()222210x y a b a b-=>0,>上的不同三点，且0OA OB +=u u u r u u u r r （O 点为坐标原点），若直线PA ，PB 的斜率乘积34，则该双曲线的离心率等于________.7.设常数a R ∈，如果52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为-80，那么a =________.8.奇函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f -=，则不等式()()110x f x --<的解集是________.9.已知两点A （-1，0），B （1，0），若直线0x y a -+=上存在点P 满足0AP BP =u u u r u u u rg ，则实数a 的取值范围是________.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，中心为O ，12BF BC =u u u r u u u r ，1114A E A A =u u u u r u u u r，则四面体OEBF 的体积为________.11.已知3cos 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3544x ππ<<，则2sin 22sin 1tan x x x +=-________. 12.O 是ABC V 内一点，且220OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，ABC V 和OBC V 的面积分别是ABC S V 和OBC S V ，则OBCABCS S =V V ________. 13.函数()f x 是定义R 在上的偶函数，且满足()[)()(]2, 0,1,1,2x x f x g x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，()()2f x f x +=-，则曲线()y f x =与3log y x =的交点个数为________.14.A ，B 分别为1C ：210x y -+=和2C ：210y x -+=的点，则AB 的最小值为________. 二.解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin a c A C a b B -+=-. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B 的最大值.16.如图1，已知菱形AECD 的对角线AC ，DE 交于点F ，点E 为AB 的中点.将ADE V 沿线段DE 折起到PDE 的位置，如图2所示.（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；（Ⅱ）求证：平面PBC ⊥平面PCF ；（Ⅲ）在线段PD 、BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面CFM//平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由.17.如图，圆O 是一半径为20米的圆形草坪，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A ，B 两点在O e 上，A ，B ，C ，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A ，B ，C ，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到A ，B ，C ，D 四点线路OA ，OB ，OC ，OD .（Ⅰ）若正方形边长为20米，求广场的面积；（Ⅱ）求铺设的4条线路 OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值.18.已知抛物线C ：24x y =，过点（2，3）的直线l 交C 于A ，B 两点，抛物线C 在点A ，B 处的切线交于点P .（Ⅰ）当点A 的横坐标为4时，求点P 的坐标；（Ⅱ）若Q 是抛物线C 上的动点，当PQ 取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程. 19.已知函数()ln ,x axf x a R x-=∈. （Ⅰ）若函数()f x 只有两个零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x ≠，求证：122x x e +>. 20.记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b -=，则称{}n b 是{}n a 的“极差数列”.（Ⅰ）若32n a n =-，求{}n b 的前n 项和；（Ⅱ）证明：{}n b 的“极差数列”仍是{}n b ；数学Ⅱ（附加题）21【选做题】：本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵2513A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4621B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，求二阶方阵X ，满足AX=B .B .[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l ：32cos 431sin4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线C ：2cos sin x y a θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），其中0a >.若曲线C 上所有点均在直线l 的右上方，求a 的取值范围.C .[选修4-5：不等式选讲]已知正数x ，y ，z 满足1x y z ++=.（Ⅰ）求证：22212323235x y z y z z x x y ++≥+++；（Ⅱ）求2161616x y z ++的最小值.【必做题】第22题、第23题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.在如图所示的四棱锥F ABCD -中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB//CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面 ABCD ，CB=CD=CF .（Ⅰ）求直线DF 与面BFC 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D BF C --的余弦值.23.对于正整数n ，如果()k k N *∈个整数1a ，2a ，…，k a 满足121k a a a n ≤≤≤≤≤L ，且12k a a a n +++=L ，则称数组()12,,,k a a a L 为n 的一个“正整数分拆”.记12,,,k a a a L 均为偶数的“正整数分拆”的个数为12,,,,n k f a a a L 均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g . （Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；（Ⅱ）对于给定的整数()4n n ≥，设()12,,,k a a a L 是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值.参考答案：2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷二数学Ⅰ答案一．填空题1.()1,+∞2.-13.4.205.0.2592 6 7.-2 8.{}20x x x ><或9.⎡⎣ 10.196 11.2875 12.1513.10 14二、解答题15.解：（Ⅰ）由()()()sin sin sin a c A C a b B -+=- ()()()222222a c Ra Rc a b Rb a b c ab ⇒-+=-⇒+-=.由2221cos 22a b c C ab +-==，又∵0C π<<，∴3C π=.即角C 的大小3π.（Ⅱ）211sin sin sin sin sin 23264A B A A A ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵203A π<< ∴当3A π=时，sin sin A B 的最大值为34. 16.解：（Ⅰ）在菱形AECD 中，由条件，知：DE ⊥PF ，DE ⊥AF ，AF PF F =I ∴DE ⊥平面PCF（Ⅱ）四边形AECD 为菱形，∴AE=DC ，AE//DC ；又∵点E 为AB 的中点，∴EB= DC ，EB// DC ，即四边形DEBC 为平行四边形.由（Ⅰ）知，DE ⊥平面PCF ，∴BC ⊥平面PCF . 又∵BC ⊂面PCB∴平面PBC ⊥平面PCF .（Ⅲ）存在满足条件的M ，N ，且M ，N 分别是PD ，BC 的中点. 如图，分别取PD ，BC 的中点M ，N ，连接 MF ，CM ，EN ，PN . ∵四边形DEBC 为平行四边形，∴EF//CN ，EF=12BC=CN ，∴FC//EN 在PDE V 中，M ，F 分别是PD ，DE 的中点，MF//PE又∵EN ，PE ⊂面PEN ，PE EN E =I ，ME ，CF ⊂面CMF ，MF CF F =I∴平面CFM//平面PEN . 17.解：（Ⅰ）连接AB ，显然正方形ABCD 的面积为400ABCD S =.∵OA=OB=AB=20，∴AOB V 为正三角形，则3AOB π∠=，故扇形AOB 的面积为¼2211200202233AOBs r ππθ==⨯=g g g . 又∵AOB V的面积220ABC S ==V ∴弓形面积为¼2003ABC AOBS S S π=-=V 弓形故广场面积为2004003ABCD S S π+=+-弓形. （Ⅱ）过点O 作OK ⊥CD ，垂足为K ，过点O 作OH ⊥AD （或其延长线），垂足为H .设04OAD πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则20sin OH θ=，20cos AH θ=.∴240sin 20cos DH AD AH OH AH θθ=-=-=-.∴OD ===当8πθ=时，)201OD =最小值故铺设的4条线路 OA ，OB ，OC ，OD总长度的最小值)220140⨯+=米.18.解：（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，当14x =时，14y =. 此时直线AB 的方程为：()431442422y x y x --=-⇒=+- AB 直线方程与抛物线方程联立21224y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得：2280x x --= 由韦达定理，248x =-，∴22x =-，21y =. 由24x y =，得：'2xy =.∴122AP x k ==，212BP x k ==-. AP 直线方程：()42424y x y x -=-⇒=- ① BP 直线方程：()()1121y x y x -=---⇒=--⎡⎤⎣⎦ ② 联立①②，得1p x =，2p y =-. 故点P 的坐标（1，-2）.（Ⅱ）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，AB 直线方程：()23y k x =-+ AB 直线方程与抛物线方程联立()2324y kx k x y ⎧=+-⎪⎨=⎪⎩，得： ()244320x kx k ---= 由韦达定理，()12124423x x kx x k +=⎧⎪⎨=-⎪⎩gAP 直线方程：()22111114224x x x x y x x y x -=-⇒=- ③BP 直线方程：()22222224224x x x x y x x y x -=-⇒=- ④联立③④，得1222p x x x k +==，2112112232244p x x x x x x y k +⋅=-==-g. 所以点P 的轨迹方程：3y x =-.设(),Q QQ x y ，则PQ ===≥=当2Q x =时，PQ 1Q y =.PQ =32k =. 此时，AB 直线方程：()332322y x y x =-+⇒= 故点Q 的坐标（2，1），直线l 的方程32y x =. 19.解：（Ⅰ）出题意知，ln 0x ax -=，得ln xa x=，令()ln x g x x =，()1ln '0xg x x-==，得x e = ∴()g x 在（0，e ）单调递增，在（e ，+∞）单调递减.()()1g x g e e==极大值.g （1）=0，当x ∈（e ，+∞），g （x ）>0.故10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设211x e x >>≥， ()11212122ln ln ln ln x ax x x a x x x ax =⎧⇒-=-⎨=⎩；只要证1221121112ln ln ln x x x x x e x x x a+->==>-即可. 令21x t x =，则1t >. 则21221212211111ln 2ln 202ln ln 11x x x x x x x t t x x x x t x -+-->⇒>⇒->-++.令()()1ln 211t g t t t t -=->+. ()()()()222114'011t g t t t t t -=-=>++.∴()g t 在（1，+∞）单调递增，()()10g t g >=，得证. ∴122x x e +>20.解：（Ⅰ）因为{}n a 为递增数列，故32n M n =-，1n m =. ∴()3213122n n b n --==- ∴{}n b 的前n 项和为()213332244n n n S n n -==-g .（Ⅱ）因为{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +≤=L L L ，{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +≥=L L L ，∴{}{}{}{}1211211212max ,,,min ,,,max ,,,min ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-L L L L ∴()11,2,3,n n b b n +≥=L . 又因为1110b a a =-=，∴{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b -=-=L L ，所以{}n b 的“极差数列”仍是{}n b . 21【选做题】A .[选修4-2：矩阵与变换] 解：由题意，得25113A ==. ∴135112A A A -*-⎛⎫== ⎪-⎝⎭.由AX B =，得1X A B -=，所以3546223122108X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所求的二阶方阵22308X -⎛⎫= ⎪⎝⎭.B .[选修4-4：坐标系与参数方程]解：直线l 的普通方程：30x y ++=.由题意，2cos sin 30a θθ++>()3θϕ+>-3，解得0a < C .[选修4-5：不等式选讲]解：（Ⅰ）()()()()2222232323232323x y z y z z x x y x y z y z z x x y⎛⎫+++++++≥++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭∵1x y z ++=∴()()()()222212323232323235x y z x y z y z z x x y y z z x x y ++++≥=++++++++.（Ⅱ）2161616x y z ++≥当且仅当2x y z ==时，“=”成立 ∵1x y z ++=∴221z z +=，12z =.当14x y ==，12z =时，21616166x y z ++≥故2161616x y z ++的最小值为6. 【必做题】22.解：方法一：定义法（Ⅰ）过点C 作CG ⊥BC 交BD 于点G ，过点G 作GE//DF 交BF 于点E ，连接CE . 故直线GE 与平面BFC 所成的角即为直线DF 与平面BFC 所成的角.∵FC ⊥平面 ABCD ，FC ⊂平面FCB ∴平面ABCD ⊥平面FCB又∵ABCD FCB BC CG BCCG FCB CG ABCD =⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⊂⎩I 平面平面平面平面故CEG ∠直线GE 与平面BFC 所成的角. 设BC=DC=CF=a .在BCD V 中，∵BC=CD ，120DCB ∠=︒∴30BDC DBC ∠=∠=︒，2cos30BD a =︒=. 在Rt GCB V中，tan30GC BC =︒=g，2BG CG ==；在BDF V中，GE BG GE DF BD =⇒==. 在Rt GCE V中，sin CG CEG GE ∠=== 故直线DF 与平面BFC. 方法二：空间向量（略）（Ⅱ）方法一：找平面角由（Ⅰ）知，CG ⊥平面FCB ，过点C 作CH ⊥BF 交BF 于点H ，连接GH ，显然H 是BF 的中点. ∴CH ⊥BF ，GH ⊥BF .即CHG ∠为二面角D BF C --的平面角. 在Rt FCB V中，BC CF a CH ==⇒；在Rt GCB V中，GC =；在Rt GCH V中，GH ===；cos CHCHG GH∠=== 即二面角D BF C --. 方法二：空间向量（略） 23.解：解：（Ⅰ）（1，1，1，1），（1，1，2），（1，3），（2，2），（4）. （Ⅱ）由题意，知122k a a a n =≤≤≤≤L ，且12k a a a n +++=L ，得12+2k n a a a k =++≥L ，即2n k ≤. ∴当n 是偶数时，k 的最大值是2n （此时，()22,2,,2k L 14243共有个是n 的一个“正整数分拆”）；当n 是奇数时，k 的最大值是12n - （此时，()122,2,,2,3k -L 1442443共有个是n 的一个“正整数分拆）.。

【高考冲刺】2020届普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)密卷二(含附加题)

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷二数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差()2211n ii s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.锥体的体积13V Sh =，其中S 是椎体的底面积，h 是椎体的高.一．填空题：本题共14小题.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.集合{}210A x x =->，{}3,x B y y x R ==∈，则A B =I ________.2.复数1z i =+（i 为虚数单位），则共轭复数z 的虚部________.3.已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r，a b -=r r，则2a b -=r r ________. 4.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知81335a a =，且10a >，若n S 取得最大值，则n =________.5.甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以3：1获胜的概率是________.6.已知A ，B ，P 是双曲线()222210x y a b a b-=>0,>上的不同三点，且0OA OB +=u u u r u u u r r （O 点为坐标原点），若直线PA ，PB 的斜率乘积34，则该双曲线的离心率等于________.7.设常数a R ∈，如果52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为-80，那么a =________.8.奇函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f -=，则不等式()()110x f x --<的解集是________.9.已知两点A （-1，0），B （1，0），若直线0x y a -+=上存在点P 满足0AP BP =u u u r u u u rg ，则实数a 的取值范围是________.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，中心为O ，12BF BC =u u u ru u ur ，1114A E A A =u u u u ru u u r，则四面体OEBF 的体积为________.11.已知3cos 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3544x ππ<<，则2sin 22sin 1tan x x x +=-________. 12.O 是ABC V 内一点，且220OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，ABC V 和OBC V 的面积分别是ABC S V 和OBC S V ，则OBC ABCSS =V V________.13.函数()f x 是定义R 在上的偶函数，且满足()[)()(]2, 0,1,1,2x x f x g x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，()()2f x f x +=-，则曲线()y f x =与3log y x =的交点个数为________.14.A ，B 分别为1C ：210x y -+=和2C ：210y x -+=的点，则AB 的最小值为________. 二.解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin a c A C a b B -+=-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B 的最大值. 16.如图1，已知菱形AECD 的对角线AC ，DE 交于点F ，点E 为AB 的中点.将ADE V 沿线段DE 折起到PDE 的位置，如图2所示.（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；（Ⅱ）求证：平面PBC ⊥平面PCF ；（Ⅲ）在线段PD 、BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面CFM//平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由.17.如图，圆O 是一半径为20米的圆形草坪，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A ，B 两点在O e 上，A ，B ，C ，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A ，B ，C ，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到A ，B ，C ，D 四点线路OA ，OB ，OC ，OD.（Ⅰ）若正方形边长为20米，求广场的面积；（Ⅱ）求铺设的4条线路 OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值.18.已知抛物线C ：24x y =，过点（2，3）的直线l 交C 于A ，B 两点，抛物线C 在点A ，B 处的切线交于点P.（Ⅰ）当点A 的横坐标为4时，求点P 的坐标；（Ⅱ）若Q 是抛物线C 上的动点，当PQ 取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程.19.已知函数()ln ,x axf x a R x-=∈. （Ⅰ）若函数()f x 只有两个零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x ≠，求证：122x x e +>. 20.记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b -=，则称{}n b 是{}n a 的“极差数列”.（Ⅰ）若32n a n =-，求{}n b 的前n 项和；（Ⅱ）证明：{}n b 的“极差数列”仍是{}n b ；数学Ⅱ（附加题）21【选做题】：本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵2513A ⎛⎫=⎪⎝⎭，4621B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，求二阶方阵X ，满足AX=B. B.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l ：32cos 431sin4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线C ：2cos sin x y a θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），其中0a >.若曲线C 上所有点均在直线l 的右上方，求a 的取值范围.C.[选修4-5：不等式选讲]已知正数x ，y ，z 满足1x y z ++=.（Ⅰ）求证：22212323235x y z y z z x x y ++≥+++；（Ⅱ）求2161616x y z ++的最小值.【必做题】第22题、第23题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.在如图所示的四棱锥F ABCD -中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB//CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面 ABCD ，CB=CD=CF.（Ⅰ）求直线DF 与面BFC 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D BF C --的余弦值. 23.对于正整数n ，如果()k k N *∈个整数1a ，2a ，…，k a 满足121k a a a n ≤≤≤≤≤L ，且12k a a a n +++=L ，则称数组()12,,,k a a a L 为n 的一个“正整数分拆”.记12,,,k a a a L 均为偶数的“正整数分拆”的个数为12,,,,n k f a a a L 均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g .（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；（Ⅱ）对于给定的整数()4n n ≥，设()12,,,k a a a L 是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值.参考答案：2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷二数学Ⅰ答案一．填空题1.()1,+∞2.-13.4.205.0.25926.7.-2 8.{}20x x x ><或9.⎡⎣ 10.196 11.2875 12.15二、解答题 15.解：（Ⅰ）由()()()sin sin sin a c A C a b B -+=-()()()222222a c Ra Rc a b Rb a b c ab ⇒-+=-⇒+-=.由2221cos 22a b c C ab +-==，又∵0C π<<，∴3C π=. 即角C 的大小3π.（Ⅱ）211sin sin sin sin sin 23264A B A A A ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵203A π<<∴当3A π=时，sin sin A B 的最大值为34.16.解：（Ⅰ）在菱形AECD 中，由条件，知：DE ⊥PF ，DE ⊥AF ，AF PF F =I∴DE ⊥平面PCF（Ⅱ）四边形AECD 为菱形，∴AE=DC ，AE//DC ；又∵点E 为AB 的中点，∴EB= DC ，EB// DC ，即四边形DEBC 为平行四边形.由（Ⅰ）知，DE ⊥平面PCF ，∴BC ⊥平面PCF. 又∵BC ⊂面PCB∴平面PBC ⊥平面PCF.（Ⅲ）存在满足条件的M ，N ，且M ，N 分别是PD ，BC 的中点. 如图，分别取PD ，BC 的中点M ，N ，连接 MF ，CM ，EN ，PN. ∵四边形DEBC 为平行四边形， ∴EF//CN ，EF=12BC=CN ，∴FC//EN在PDE V 中，M ，F 分别是PD ，DE 的中点，MF//PE又∵EN ，PE ⊂面PEN ，PE EN E =I ，ME ，CF ⊂面CMF ，MF CF F =I ∴平面CFM//平面PEN. 17.解：（Ⅰ）连接AB ，显然正方形ABCD 的面积为400ABCD S =. ∵OA=OB=AB=20，∴AOB V 为正三角形，则3AOB π∠=，故扇形AOB 的面积为¼221120020233AOBs r ππθ==⨯=g g g . 又∵AOB V的面积220ABC S =V ∴弓形面积为¼2003ABC AOBS S S π=-=V 弓形故广场面积为2004003ABCD S S π+=+-弓形.（Ⅱ）过点O 作OK ⊥CD ，垂足为K ，过点O 作OH ⊥AD （或其延长线），垂足为H.设04OAD πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则20sin OH θ=，20cos AH θ=.∴240sin 20cos DH AD AH OH AH θθ=-=-=-.∴OD===当8πθ=时，)201OD =最小值故铺设的4条线路 OA ，OB ，OC ，OD总长度的最小值)220140⨯+=米.18.解：（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，当14x =时，14y =.此时直线AB 的方程为：()431442422y x y x --=-⇒=+- AB 直线方程与抛物线方程联立21224y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得：2280x x --=由韦达定理，248x =-，∴22x =-，21y =.由24x y =，得：'2xy =.∴122AP x k ==，212BP x k ==-.AP 直线方程：()42424y x y x -=-⇒=- ①BP 直线方程：()()1121y x y x -=---⇒=--⎡⎤⎣⎦ ② 联立①②，得1p x =，2p y =-. 故点P 的坐标（1，-2）.（Ⅱ）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB 直线方程：()23y k x =-+AB 直线方程与抛物线方程联立()2324y kx k x y⎧=+-⎪⎨=⎪⎩，得：()244320x kx k ---=由韦达定理，()12124423x x kx x k +=⎧⎪⎨=-⎪⎩gAP 直线方程：()22111114224x x x x y x x y x -=-⇒=- ③BP 直线方程：()22222224224x x x x y x x y x -=-⇒=- ④联立③④，得1222p x x x k +==，2112112232244p x x x x x x y k +⋅=-==-g. 所以点P 的轨迹方程：3y x =-.设(),Q Q Q x y ，则PQ ===≥=当2Q x=时，PQ 1Q y =.PQ =32k =. 此时，AB 直线方程：()332322y x y x =-+⇒=故点Q 的坐标（2，1），直线l 的方程32y x =.19.解：（Ⅰ）出题意知，ln 0x ax -=，得ln xa x=，令()ln x g x x =，()1ln '0xg x x-==，得x e =∴()g x 在（0，e ）单调递增，在（e ，+∞）单调递减.()()1g x g e e==极大值. g （1）=0，当x ∈（e ，+∞），g （x ）>0.故10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设211x e x >>≥，()11212122ln ln ln ln x ax x x a x x x ax =⎧⇒-=-⎨=⎩；只要证1221121112ln ln ln x x x x x e x x x a+->==>-即可.令21x t x =，则1t >. 则21221212211111ln 2ln 202ln ln 11x x x x x x x t t x x x x t x -+-->⇒>⇒->-++.令()()1ln 211t g t t t t -=->+.()()()()222114'011t g t t t t t -=-=>++.∴()g t 在（1，+∞）单调递增，()()10g t g >=，得证. ∴122x x e +> 20.解：（Ⅰ）因为{}n a 为递增数列，故32n M n =-，1n m =.∴()3213122n n b n --==- ∴{}n b 的前n 项和为()213332244n n n S n n -==-g .（Ⅱ）因为{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +≤=L L L ，{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +≥=L L L ，∴{}{}{}{}1211211212max ,,,min ,,,max ,,,min ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-L L L L ∴()11,2,3,n n b b n +≥=L . 又因为1110b a a =-=，∴{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b -=-=L L ，所以{}n b 的“极差数列”仍是{}n b . 21【选做题】A.[选修4-2：矩阵与变换] 解：由题意，得25113A ==. ∴135112A A A -*-⎛⎫== ⎪-⎝⎭. 由AX B =，得1X A B -=，所以3546223122108X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所求的二阶方阵22308X -⎛⎫=⎪⎝⎭. B.[选修4-4：坐标系与参数方程]解：直线l 的普通方程：30x y ++=.由题意，2cos sin 30a θθ++>()3θϕ+>-3<，解得0a <<. C.[选修4-5：不等式选讲]解：（Ⅰ）()()()()2222232323232323x y z y z z x x y x y z y z z x x y⎛⎫+++++++≥++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭∵1x y z ++=∴()()()()222212323232323235x y z x y z y z z x x y y z z x x y ++++≥=++++++++.（Ⅱ）2161616x y z ++≥当且仅当2x y z ==时，“=”成立 ∵1x y z ++=∴221z z +=，12z =.当14x y ==，12z =时，21616166x y z ++≥故2161616x y z ++的最小值为6.【必做题】 22.解：方法一：定义法（Ⅰ）过点C 作CG ⊥BC 交BD 于点G ，过点G 作GE//DF 交BF 于点E ，连接CE. 故直线GE 与平面BFC 所成的角即为直线DF 与平面BFC 所成的角. ∵FC ⊥平面 ABCD ，FC ⊂平面FCB ∴平面ABCD ⊥平面FCB又∵ABCD FCB BC CG BCCG FCB CG ABCD =⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⊂⎩I 平面平面平面平面故CEG ∠直线GE 与平面BFC 所成的角.设BC=DC=CF=a .在BCD V 中，∵BC=CD ，120DCB ∠=︒∴30BDC DBC ∠=∠=︒，2cos30BD a =︒=. 在Rt GCB V中，tan30GC BC =︒=g，2BG CG =；在BDF V中，GE BG GE DF BD =⇒==. 在Rt GCE V中，sin CG CEG GE ∠===故直线DF 与平面BFC方法二：空间向量（略）（Ⅱ）方法一：找平面角由（Ⅰ）知，CG ⊥平面FCB ，过点C 作CH ⊥BF 交BF 于点H ，连接GH ，显然H 是BF 的中点. ∴CH ⊥BF ，GH ⊥BF.即CHG ∠为二面角D BF C --的平面角. 在Rt FCB V中，BC CF a CH ==⇒=；在Rt GCB V中，GC ；在Rt GCH V中，GH =；cos CHCHG GH∠===即二面角D BF C --. 方法二：空间向量（略） 23.解：解：（Ⅰ）（1，1，1，1），（1，1，2），（1，3），（2，2），（4）. （Ⅱ）由题意，知122k a a a n =≤≤≤≤L ，且12k a a a n +++=L ，得12+2k n a a a k =++≥L ，即2n k ≤.∴当n 是偶数时，k 的最大值是2n（此时，()22,2,,2k L 14243共有个是n 的一个“正整数分拆”）；当n 是奇数时，k 的最大值是12n - （此时，()122,2,,2,3k -L 1442443共有个是n 的一个“正整数分拆）.。

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2. 随机变量的概率分布及期望，内容多，处理方式灵活，可以考查其中一块，可以内部综合，可以作为问题的背景与其他内容结合考，复习时要注重基础，以不变应万变.【高考预测】考查方向为求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，考查要点首先确定概率分布是不是一些熟知的类型时，否则需全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率【迎考策略】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p :)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.【强化演练】1．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时，（） A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．方法2：则222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．（1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率．【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X =2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P （X =2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1． 3．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）20243．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333kkkP X k k -===．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====U ．由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立，从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====U(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+==(3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=． 4．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=．（2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====．所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD ==U()()()()P C P D P C P D =+ 0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=，(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=．（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列； (ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii) 45 127p =，解释见解析．【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--， (1)(1)P X αβ==-，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即114()i i i i p p p p +--=-．又因为1010p p p -=≠，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=L 为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+L877610()()()p p p p p p =-+-++-L81413p -=．由于8=1p ，故18341p =-，所以44433221101( 411()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039 257p=≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．6．某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同学数学获一等奖的概率为，物理，化学，生物获一等奖的概率都是，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量表示该同学获得一等奖的总数，求的概率分布和数学期望．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）解：记“该同学获得个一等奖”为事件，，则，，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为．（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，所以的概率分布为故．7．从集合的所有非空子集中，等可能地取出个．（1）若，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；（2）若，记所取子集的元素个数之差为，求的分布列及数学期望．【答案】(1) .(2) 分布列见解析，.【解析】（1）当时，记事件：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.则集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，所以，（2）当时，的所有可能取值为则所以的数学期望.8．已知正六棱锥的底面边长为，高为．现从该棱锥的个顶点中随机选取个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.（1）求概率的值；（2）求的分布列，并求其数学期望．【答案】(1) .(2)分布列见解析，.【解析】（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，共有种取法，其中的三角形如，这类三角形共有个因此.（2）由题意，的可能取值为其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；其中的三角形如，这类三角形共有个；因此所以随机变量的概率分布列为：所求数学期望.9．袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程次后，袋中红球的个数记为.(I)求随机变量的概率分布及数学期望；(Ⅱ)求随机变量的数学期望关于的表达式.【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】(1)由题意可知.当时，即二次摸球均摸到红球，其概率是；当时，即二次摸球恰好摸到一红，一白球，其概率；当时，即二次摸球球均摸到白白球球其概率是.所以随机变量的概率分布如下表：(一个概率得一分不列表不扣分)数学期望.(Ⅱ)设，.则，.，，，，，.所以，..由此可知，.又，所以.10．如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．（1）求S＝的概率；（2）求S的分布列及数学期望E(S)．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法，其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，所以P(S＝)＝＝.（2）S的所有可能取值为，，.S＝的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，所以P(S＝)＝＝.S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，所以P(S＝)＝＝.又由（1）知P(S＝)＝＝，故S的分布列为SP所以E(S)＝×＋×＋×＝.11．某篮球运动员每次在罚球线投篮投进的概率是0.8，且各次投篮的结果互不影响．（1）假设这名运动员投篮3次，求恰有2次投进的概率（结果用分数表示）；（2）假设这名运动员投篮3次，每次投进得1分，未投进得0分；在3次投篮中，若有2次连续投进，而另外一次未投进，则额外加1分；若3次全投进，则额外加3分，记为该篮球运动员投篮3次后的总分数，求的分布列及数学期望（结果用分数表示）．【答案】（1）0.384；（2）见解析【解析】（1）设为该运动员在3次投篮中投进的次数，则. 在3次投篮中，恰有2次投进的概率;（2）由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6.,;;;.所以的分布列是0 1 2 3 6P 0.008 0.096 0.128 0.256 0.512.12．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求的值；（2）求的数学期望．【答案】(1) ,(2)【解析】（1）由题意，得又，解得，（2）由题意，所以13．盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ 【答案】(1) 1116(2)见解析【解析】（1）∵卡片上分别标有数﹣i ，i ，﹣2，2其中i 是虚数单位， ∴P （A ）=24=12， P （B ）=1﹣P （B ）=1﹣[00413441111()()()2222C C ⋅⋅+⋅⋅]=1﹣516=1116（2）a ，b ，ξ的可能取值如下表所示：由表可知：P （ξ=1）=416=14，P （ξ=2）=816=12，P （ξ=4）=416=14∴随机变量ξ的分布列为∴Eξ=1×14+2×12+4×14=9414．某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为0，两辆车的车牌尾号为6，车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的. 该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车.∴.答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.（2）由题意，的可能值为0，1，2，3，4；；；；..答：的数学期望为.15．在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．（1）求概率；（2）求的概率分布及数学期望．【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形，则事件：“”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含种情形，第二类包含种情形．∴．（2）的所有可能值为300，400，500，600，700．则，，，．∴的概率分布列为：X300 400 500 600 700P∴（元）．。