第6章 逐次逼近法

第六章 逐次逼近法 §1 线性方程组解的误差分析 因为线性方程组涉及到矩阵和向量，为了对线性方程组的近似解进行误差估计，以及后面研究迭代法解线性方程组的收敛性，需要对向量和矩阵引进范数的概念。

一、向量和矩阵的范数 1．向量的范数

定义 1 如果向量空间n

R 上的某个非负实值函数()N =x x 满足条件：

（1）正定性：0≥x ，当且仅当=0x 时0=x ；

（2）齐次性：c c =x x ，c 为任意实数； （3）三角不等式：+≤+x y x y 。

则称⋅为n R 上的一个向量范数。

n 维向量空间

12{|(,,,),,1,2,,}n

n i R x x x x R i n ==∈= x x

上常用的三种范数：

（1）向量的2—范数：

2

=

x

；

（2）向量的∞—范数：

1max i i n

x ∞

≤≤=x

； （3）向量的1—范数：

∑==n

i i

x x 1

1。

例1 设(1,2,3,4)T

=--x ，则

214

1max 4,

123410.

i i x ∞

≤≤=====++-+-=x x

x

后面我们研究迭代法解线性方程组时，需要讨论算法的收敛性。为此，先给出算法产生的迭代点列收敛的概念。

定义2 设()

()()1(,,)k k k n

n

x x R =∈ x

，

*

*

*1

(,,)n

n

x x R =∈ x ，若

)

,,2,1(,lim *)(n i x x

i

k i

k ==∞

→，

则称点列()

{}k x 收敛于*

x ，并记作

()*

lim k k →∞

=x x

。

由定义可知：

()

*

lim k k →∞

=x

x ()

*lim k k ∞

→∞

⇔-=0x

x

，

()

*

lim k k →∞

=x

x ()*1lim k k →∞

⇔-=0x x ，

()

*

lim k k →∞

=x

x ()

*2

lim k k →∞

⇔-=0x

x

。

2．矩阵的范数

定义 3 如果矩阵空间n

n R

⨯上的某个非负实

值函数()N =A A 满足以下条件：

（1） 正定性：0≥A ，且0=⇔=0A A ；

（2）齐次性：c c =A A ，c 为任意实数； （3）三角不等式：+≤+A B A B ； 则称()N A 为n

n R

⨯上的一个矩阵范数。

在研究方程组解的误差时，常需要涉及到矩阵乘积的范数以及矩阵与向量乘积的范数，为了研究的方便，我们要求它们之间满足

≤Ax A x ，≤AB A B ，

其中前一个条件称为矩阵范数与向量范数的相容性，后一个条件称为矩阵范数的可乘性。

并非所有的矩阵范数都满足相容性和可乘性，下面用向量范数定义一类矩阵范数，这种矩阵范数满足上述两个条件。

定义 4 设,n n n

R R ⨯∈∈x A ，给定一种向量范数v x ，相应地定义一个矩阵范数

1

max

max v v

v v

x v

≠===x Ax A Ax

x

，

称之为矩阵A 的算子范数。

性质1 设A 是矩阵A 的一个算子范数，则 （1）≤Ax A x ；(相容性)

（2）≤AB A B ；(可乘性)

（3）=A I 时，1=I 。

定理1 对于矩阵的算子范数，如果1

()

1

11-±≤

-I B B 。

证明 如果B I ±为奇异矩阵，则方程组

0)(=±x B I

有非零解，设为0x ，于是

00Bx x =， 从而

0000x x B Bx Bx x <≤== ，

这是矛盾。 又

1

1

1()()

()()

I I B I B I B B I B ---=±±=±±±，

所以

1

1

)()

(--±=±B I B I B I ，

两边取范数，得

1

11

1

()

()

()1()

,

I B I B I B I B I B B I B ----±=±≤+±≤+±

移项，得

()1)

(11

≤±--B I B ，

因此

B B I -≤

±-11)

(1

。

常用的矩阵算子范数有下述三种： （1）矩阵的行范数：