多元函数的极值及其求法
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第十一讲 二元函数的极值
要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。
问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题．
一．二元函数的极值
定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有
),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有
极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．
例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点
)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．
例2．函数2
2
43y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ．
从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2
2
43y x z +=的顶点，曲面在点
)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件．
定理1（必要条件）
设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 几何解释
若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为
))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-
是平行于xoy 坐标面的平面0z z =．
类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z
说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组⎩⎨
⎧==0),(0
),(0
000y x f y x f y x ，求得解),(),(),,(2211n n y x y x y x ⋯⋯，那么极值点必包
含在其中，这些点称为函数),(y x f z =的驻点．
注意1．驻点不一定是极值点，如xy z =在)0,0(点． 怎样判别驻点是否是极值点呢？下面定理回答了这个问题．
定理2（充分条件）
设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又
0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，
令 A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00，则
（1）当02
>-B AC 时，函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值，且当0A 时，有极小值00(,)f x y ；
（2）当02<-B AC 时，函数),(y x f z =在点),(00y x 没有极值；
（3）当02=-B AC 时，函数),(y x f z =在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，还要另作讨论．
求函数),(y x f z =极值的步骤：
（1）解方程组0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，求得一切实数解，即可求得一切驻点
),(),(),,(2211n n y x y x y x ⋯⋯；
（2）对于每一个驻点),(i i y x (1,2,)i n =L ，求出二阶偏导数的值C B A ,,；
（3）确定2
B A
C -的符号，按定理2的结论判定),(i i y x f 是否是极值，是极大值还是极
小值；
（4）考察函数),(y x f 是否有导数不存在的点，若有加以判别是否为极值点．
例3．考察2
2
y x z +-=是否有极值． 解 因为
2
2
y
x x x
z +-=∂∂，
2
2
y
x y y
z +=∂∂在0,0==y x 处导数不存在，但是对所
有的)0,0(),(≠y x ，均有0)0,0(),(= 注意2．极值点也不一定是驻点，若对可导函数而言，怎样？ 例4．求函数x y x y x y x f 933),(2 2 3 3 -++-=的极值． 解 先解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=0 630 9632 2 y y f x x f y x ，求得驻点为)2,3(),0,3(),2,1(),0,1(--， 再求出二阶偏导函数66+=x f xx ，0=xy f ，66+-y f yy ． 在点)0,1(处，0726122 >=⨯=-B AC ，又0>A ，所以函数在点)0,1(处有极小值为 5)0,1(-=f ； 在点)2,1(处，0722 <-=-B AC ，所以)2,1(f 不是极值； 在点)0,3(-处，0722<-=-B AC ，所以)0,3(-f 不是极值；