函数极值的几种求法
高考复习专题四—求极值的六种方法
高考复习专题四—求极值的六种方法高中学生可以体会
1.极值的定义
极值（extremum）是指函数在其中一区间的最大值或最小值。
也就是说，当函数在一定范围内取得最大（或最小）值时，该值称为該函数在该范围上的极值。
2.求极值的六种方法
（1）最值法
即直接从函数的图形上来确定函数最大值和最小值，只要找到这样的定义域点，使它是图的最高点或最低点，那么该点就是函数的极大值或极小值点。
（2）十字法
即使用十字观测的方法，通过求解相邻两点的切线的斜率，搭配图形定义域，确定函数的极值点，进而确定函数的最大值和最小值。
（3）观察法
即对函数进行全面性的观察，然后根据函数的规律，用数值验证的方法，确定该函数的最大值和最小值。
（4）求导数法
即通过求解函数的导数，然后观察函数的单调性，从而求得函数的极值点，进而确定函数的最大值和最小值。
（5）二分法
即把定义域分成二份，根据函数的单调性，确定极值点，从而确定函数的最大值和最小值。
（6）逐段求和法
即把定义域分成多份，根据函数的单调性，对每一点分段求解，确定极值点，从而确定函数的最大值和最小值。
求极值的三种方法
求极值的三种方法一、直接法。
先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值二、导数法（1）、求导数f'(x)；（2）、求方程f'(x)=0的根；（3）、检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。
举例如下图：该函数在f'(x)大于0，f'(x)小于0，在f'(x)=0时，取极大值。
同理f'(x)小于0，f'(x)大于0时，在f'(x)=0时取极小值。
扩展资料：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。
如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。
此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。
因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。
1、求极大极小值步骤：求导数f'(x)；求方程f'(x)=0的根；检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。
f'(x)无意义的点也要讨论。
即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。
2、求极值点步骤：求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。
上述所有点的集合即为极值点集合。
扩展资料：定义：若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。
函数极值点求解方法
函数极值点求解方法引言函数的极值点是指函数在某个区间内取得最大值或最小值的点。
求解函数的极值点是数学中的一个重要问题，具有广泛应用价值。
本文将介绍几种常见的函数极值点求解方法。
二次函数的极值点求解方法当函数是一个二次函数时，可以使用求导法来求解极值点。
具体步骤如下：1. 将函数表示为二次函数的标准形式：$f(x)=ax^2+bx+c$。
2. 求导函数：$f'(x)=2ax+b$。
3. 令导数等于0，解方程得到极值点的横坐标：$2ax+b=0$，解得$x=-\frac{b}{2a}$。
4. 将横坐标代入原函数中，求得纵坐标。
高阶函数的极值点求解方法对于高阶函数，求解极值点可以依靠计算机算法进行近似求解。
其中，一种常用的方法是牛顿法。
具体步骤如下：1. 初始化变量，设初始点$x_0$。
2. 使用公式：$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，进行迭代，直到满足终止条件。
3. 最终迭代得到的$x_n$就是函数的极值点。
数值优化算法求解极值点除了上述方法外，还可以使用数值优化算法来求解函数的极值点。
常见的数值优化算法有梯度下降法、粒子群优化等。
这些算法一般适用于函数复杂、无法用解析方法求解的情况。
结论本文介绍了几种常见的函数极值点求解方法。
对于简单的二次函数，我们可以使用求导法求解极值点；对于复杂的高阶函数，可以采用牛顿法进行近似求解；而对于更加复杂的函数，可以使用数值优化算法来求解。
在实际应用中，选择合适的求解方法可以提高求解效率，为问题的解决提供有效的支持。
高考复习专题四—求极值的六种方法
高考复习专题四—求极值的六种方法求极值是高考数学中常考的一个重要知识点。
掌握求极值的方法能够帮助我们解决一些实际问题，也能够在高考中拿到高分。
下面我们来分析一下求极值的六种方法。
一、函数图象法通过观察函数的图象，我们可以找到函数的极大值和极小值。
要找到函数的极值，首先我们需要画出函数的图象。
然后观察图象，找到曲线上最高点和最低点，这些点就是函数的极大值和极小值。
二、导数法借助导数的性质，我们可以求出函数的极值点。
求极值点的过程分为两步：一是求出函数的导数；二是令导数等于零，解方程求出极值点。
极大值和极小值点都是函数导数等于零的点，但是需要注意导数为零的点不一定都是极值点，还需通过二阶导数判断。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求极值的常用方法，它可以用来求解具有约束条件的极值问题。
当我们需要在一定条件下最大化或最小化一个函数时，可以利用拉格朗日乘数法。
在解题过程中，我们需要设置一个拉格朗日函数，通过求偏导数找到极值点。
需要注意的是，拉格朗日乘数法的求解过程较为繁琐，需要较强的数学功底。
四、几何法有些极值问题通过几何方法可以得到比较简单的解法。
例如，其中一函数的值随着其中一个变量的增大而增大，那么这个函数的最大值一定在这个变量的取值范围的边界上取到。
同理，这个函数的最小值也在这个变量的取值范围的边界上取到。
五、代数方法有时候，我们可以通过巧妙地构造一个代数式来求解极值问题。
可以使用变量代换、平方等技巧，将原问题转化为一个更容易求解的问题。
例如，利用平方差公式可以将一个含有平方项的多项式转化为一个差的平方的形式，从而更容易求得极值点。
六、综合运用方法有些问题的求极值过程比较复杂，需要综合运用上述多种方法来求解。
在解题过程中，我们可以根据题目的要求和条件，灵活地选择合适的方法来求解。
以上是求极值的六种方法的解析。
在高考复习中，我们需要理解这些方法的原理和应用场景，并通过大量的练习来提高解题的能力。
函数极值的求解方法
函数极值的求解方法函数极值是许多数学问题中的关键，它们可以帮助我们确定函数的最大值或最小值。
在现实生活的许多场景中，寻找函数的极值可以帮助我们做出更好的决策。
然而，函数极值的求解方法并不是那么容易的事情。
在本文中，我们将探讨一些常见的函数极值求解方法。
一. 常数法常数法是最简单的寻找函数极值的方法。
这个方法认为，如果一个函数在某一个点处取得了最大值或最小值，那么这个点的一阶导数应该等于零。
因此，我们只需要求出函数的一阶导数，然后令它等于零，就可以求出函数的极值点。
常数法的优点在于其简单和直观，而且可以用于多种函数形式。
然而，这个方法也有缺点，因为函数可能在极值点处不连续，或者在这些点处存在重复的极值。
此外，它也无法处理高次导数。
二. 二分法二分法是另一个寻找函数极值的方法。
这个方法认为，如果一个函数在某个区间内单调递增，那么它在这个区间的左端点处取得最小值，在右端点处取得最大值。
因此，我们可以通过二分法来不断缩小区间，直到确定函数的极值。
二分法的优点在于其简单和直观，而且可以用于多种函数形式。
此外，它也可以处理高次导数和函数不连续的情况。
然而，这个方法需要反复迭代，所以运算速度可能不够快。
三. 牛顿法牛顿法是一种迭代算法，用于逼近函数的极值点。
这个方法认为，如果一个函数在某个点上有极值，那么它在这个点的一阶导数应该等于零。
我们可以通过不断迭代来逼近函数的极值点。
牛顿法的优点在于其快速收敛和可以处理高次导数的能力。
然而，这个方法有一些缺点。
首先，它需要一个初始点。
如果初始点不好选择，那么该算法可能会失败。
其次，当函数有多个极值点时，牛顿法可能只能找到其中一个。
最后，这个方法可能会遭遇数值上的问题，如数值不稳定、迭代过程崩溃等。
综上所述，常数法、二分法和牛顿法都是常见的函数极值求解方法。
每种方法都有优缺点，需要根据具体情况选择最适合的方法。
对于某些特定的函数形式，可能还需要使用更复杂的方法，如拉格朗日乘数法、约束条件下极值法等。
计算函数极值的方法
计算函数极值的方法
计算函数极值的方法，主要有几种：一是微分法；二是关联函数法；三是拉格朗日法，以及常用的圆锥法。
1、微分法：
即将函数的参数进行调整，并根据函数的导数相等或为0的原理，来求得函数的极值点。
具体来说，可以计算出函数f(x)的导数f '(x)，并设置f'（x）= 0，求解出f（x），因此即可找出极值点。
2、关联函数法：
通过把函数的极值问题重新定义为某种关联函数的极值的搜索问题，然后借助关联函数的性质求得变量的极值。
这是一种特殊的求极值方法，只有当函数可以重新定义为关联函数时，才能使用此方法。
3、拉格朗日法：
这是一种优化算法，即把求极值问题转化为一个最优化问题，通过求解最优点，来求得函数的极值点。
4、圆锥法：
圆锥法也称为泰勒-展开式法，是在函数f（x）的某一点处对f （x）做一次二阶导数的展开。
展开后的表达式可以用圆的形
式表示，因此这种方法称为圆锥法。
以上是求取函数极值的方法，可以根据函数的特性，选择合适的方法来计算函数的极值点。
求函数最值极值的方法
求函数最值极值的方法
1、配方法:形如的函数，根据一次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。
2、判别式法:形如的分式函数，将其化成系数含有y的关于x的二次方程。
由于,.≥0,求出y的最值，此种方法易产生增根，因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性:首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。
4、利用均值不等式，形如的函数,及≥s，注意正,定,等的应用条件，即:a,b均为正数，是定值，a=b的等号是否成立。
5、换元法:形如的函数，令,反解出x,代入上式，得出关于t的函数，注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。
还有三角换元法,参数换元法。
6、数形结合法形:如将式子左边看成一个函数，右边看成一个函数，在同-坐标系作出它们的图象，观察其位置关系,利用解析几何知识求最值。
求利用直线的斜率公式求形如的最值。
7、利用导数求函数最值:首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(x)的关系:若f(x)=f(-x),偶函数;若f(x)=-f(-x),奇函数。
求极值的方法
求极值的方法在数学中，求极值是一个非常重要的问题，它涉及到函数的最大值和最小值，对于优化问题和实际应用都具有重要意义。
本文将介绍一些常见的求极值的方法，帮助读者更好地理解和掌握这一数学概念。
一、导数法。
求极值的常见方法之一是利用导数。
对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到函数的极值点。
具体来说，我们首先求出函数的导数，然后令导数等于零，解出方程得到极值点的横坐标，再代入原函数求得纵坐标，就可以得到函数的极值点。
二、二阶导数法。
除了利用一阶导数来求极值外，我们还可以利用二阶导数。
对于函数的极值点，其一阶导数为零，而且二阶导数的符号可以告诉我们这个极值点是极大值还是极小值。
当二阶导数大于零时，函数在该点取得极小值；当二阶导数小于零时，函数在该点取得极大值。
三、拉格朗日乘数法。
对于带有约束条件的极值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法。
这种方法适用于多元函数的极值求解，通过引入拉格朗日乘数，将带有约束条件的极值问题转化为无约束条件的极值问题，然后利用导数或者其他方法求解。
四、牛顿法。
牛顿法是一种迭代求解的方法，可以用来求函数的零点，同时也可以用来求函数的极值点。
通过不断迭代，我们可以逼近函数的极值点，从而得到极值的近似解。
五、凸优化方法。
对于凸函数的极值问题，我们可以使用凸优化方法来求解。
凸优化是一类特殊的优化问题，其解具有良好的性质和稳定性，因此在实际问题中有着广泛的应用。
六、遗传算法。
除了传统的数学方法外，我们还可以利用遗传算法来求解极值问题。
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化方法，通过不断迭代和选择，可以得到函数的极值点。
综上所述，求极值的方法有很多种，不同的方法适用于不同的问题，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解。
希望本文对读者有所帮助，能够更好地理解和掌握求极值的方法。
求极值的方法有多少种类型
求极值的方法有多少种类型
求极值的方法有以下几种类型：
1. 导数法：通过求函数的导数，找到导数为0的点，然后判断该点是极大值还是极小值。
2. 二阶导数法：通过求函数的二阶导数，判断二阶导数的符号来确定极值点的类型。
3. 等式法：将函数的表达式转化为一个等式，然后通过解等式的方法找到极值点。
4. 梯度下降法：通过迭代的方式，不断地调整自变量的取值，使得函数的值逐渐趋近于极小值。
5. 约束条件法：在一定的约束条件下，找到函数的最大值或最小值。
6. 极值判别法：通过判别式来判断函数的极值点的类型。
7. 极值定理：根据极值定理，如果函数在一个区间内连续且可导，并且在该区间的端点处的函数值不等于无穷大，则在该区间内一定存在极值点。
8. 拉格朗日乘数法：在一定的约束条件下，通过引入拉格朗日乘子，将求极值的问题转化为求解方程组的问题。
9. 条件极值法：在满足一定的条件下，求解函数的最值。
10. 数值优化法：通过计算机的数值计算方法，找到函数的最值近似解。
求极值的若干方法
求极值的若干方法极值问题是数学中常见的一类问题，指的是在一定范围内寻找函数取得最大值或最小值的点。
求解极值问题的方法多种多样，下面将介绍几种常用的方法。
一、导数法导数法是求解极值问题最常用的方法之一、它的基本思想是通过函数的导数来判断函数在其中一点的增减情况，进而推断函数的极值点。
求解步骤如下：1.求函数的导数。
2.解方程f'(x)=0，求出导数的根。
3.构造函数f(x)在导数根的左右区间上的函数表格，确定函数在这些区间上的增减情况。
4.根据增减情况和导数的性质，判断函数的极值点。
二、二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），它的最值可以通过二次函数的几何性质来求解。
1.若a>0，则f(x)的图像开口朝上，此时最小值为f(-b/2a)；2.若a<0，则f(x)的图像开口朝下，此时最大值为f(-b/2a)。
三、一元函数的最值对于一元函数f(x)，如果它在有限的区间[a,b]上连续，那么它在这个区间上必然有最大值和最小值。
我们可以通过以下方法来求解：1.求出函数的导数f'(x)。
2.求出f'(x)=0的解，这些点可能是函数的极值点。
3.将求得的解代入函数中，根据f''(x)的正负性判断这些点的类型（极大值点或极小值点）。
4.将区间的端点与求得的极值点比较，找出最大值和最小值。
四、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可以求解约束条件下的极值问题。
具体步骤如下：1. 建立带有约束条件的目标函数。
假设有一个目标函数f(x1,x2, ..., xn)，并且有一个或多个约束条件g(x1, x2, ..., xn)=0。
2. 设置拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ)=f(x1, x2, ...,xn)+λg(x1, x2, ..., xn)。
3. 分别对x1, x2, ..., xn和λ求偏导数，并令偏导数为0。
4.解方程组，并判断解是否满足约束条件。
数学解决函数极值的三种方法
数学解决函数极值的三种方法函数的极值指的是函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
求解函数的极值是数学中的重要问题之一，有着广泛的应用。
本文将介绍三种常用的数学方法来解决函数的极值问题。
一、导数法导数法是求解函数极值最常用的方法之一。
该方法基于导数的性质，通过求函数的导数来研究函数在不同点的变化情况。
假设函数f(x)在[a, b]区间内连续可导。
下面是求解函数极值的步骤：1. 求出函数f(x)的导数f'(x)。
2. 求出导数f'(x)的零点，即解方程f'(x) = 0。
3. 求出[a, b]区间内导数f'(x)的极值点，即对导数f'(x)求导，得到f''(x)，再求出f''(x) = 0的解。
4. 将[a, b]区间内得到的所有解代入原函数f(x)中，得出这些点对应的函数值。
5. 比较得出的函数值，找出最大值和最小值。
导数法求解函数极值的优点是简单易懂，只需要求导和解方程，相对较快。
但该方法的缺点是依赖函数的可导性，对于非连续或不可导的函数不适用。
二、一元二次函数法一元二次函数法是解决函数极值问题的另一种常用方法。
该方法适用于形如f(x) = ax² + bx + c的二次函数。
下面是使用一元二次函数法求解函数极值的步骤：1. 将函数f(x)化为顶点形式，即使用平方完成或配方法将函数转化为f(x) = a(x-h)² + k的形式。
2. 根据一元二次函数的性质，当a>0时，函数在顶点(h, k)处取得最小值；当a<0时，函数在顶点(h, k)处取得最大值。
3. 找出顶点的横坐标h，即x = -b/2a。
代入f(x)，求得函数的极值。
一元二次函数法的优点是适用范围广，并且可以直观地得到函数的极值点。
但对于不是二次函数的情况，该方法并不适用。
三、二阶导数法二阶导数法是一种更加精确的求解函数极值的方法。
求极值的方法
求极值的方法
求极值的方法有很多种，以下给出几种常见的方法：
1. 寻找零点：对于一元函数，可以通过求导并令导数为零，然后解方程找到函数的零点，即可找到函数的极值点。
通过判断零点的二阶导数的符号，可以确定该点是极大值点还是极小值点。
2. 利用函数性质：对于一些简单的函数，根据函数的性质可以直接得到其极值点。
例如，对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx +
c$，当$a>0$时，函数的极小值点在顶点处，当$a<0$时，函数的极大值点在顶点处。
3. 利用辅助函数：对于一些复杂的函数，可以构造辅助函数来求极值。
例如，对于分式函数$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$，可以
构造辅助函数$F(x) = g(x) - \lambda h(x)$，其中$\lambda$为待
定常数。
然后，求辅助函数的导数，并令导数为零，解方程得到$x$的值，再将$x$带入原函数求得极值。
4. 使用拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的极值问题，可以使用拉格朗日乘子法。
首先，将约束条件写成一个方程组，将目标函数与方程组进行组合，构造拉格朗日函数。
然后，对拉格朗日函数求偏导，并令偏导数为零，解方程组得到$x$的值，再将$x$带入原函数求得极值。
不同的函数和问题类型，适用的求极值方法也可能有所不同，需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，在求解过程中需要
注意辅助函数和方程的合理性，以及解的存在性和唯一性等问题。
高等数学求极值的方法
高等数学求极值的方法
高等数学中，求极值的方法有以下几种：
1. 导数法：对于一元函数，求解其导数，然后按照导数的性质判断临界点的类型（最大值、最小值还是拐点），再根据函数在临界点和区间端点的取值情况确定极值。
2. 条件极值法：对于含有一个或多个约束条件的极值问题，可以通过构建拉格朗日函数，并利用约束条件求解导数为零的点，然后根据约束条件和拉格朗日函数在这些点上的取值情况确定极值。
3. 二阶导数法：对于二次函数，可以利用二阶导数的符号判断极值点的类型（凹点还是凸点），然后根据函数在极值点和区间端点的取值情况确定极值。
4. 参数法：对于含有参数的函数，可以通过求导数并整理化简后，推导出关于参数的方程，进而求解参数值对应的极值点。
5. 函数图像法：通过观察函数的图像，寻找函数的极大值和极小值。
求函数极值的若干方法
求函数极值的若干方法函数极值是数学分析中非常基础和重要的概念之一，研究函数的极值有助于我们了解函数的性质和行为。
在实际应用中，函数的极值问题也具有广泛的应用，比如优化问题、最优化问题等。
下面我将介绍一些常用的方法来求解函数的极值。
1.导数法：导数法是求解函数极值的最常用方法之一、对于定义在开区间上的函数，极值点一定是函数的驻点，也就是导数为零或不存在的点。
因此，我们可以通过求函数的导数来找到极值点。
具体的步骤如下：a.求取函数的导数。
b.令导数等于零，并解方程得到可能的极值点。
c.比较函数在极值点和区间端点处的函数值，找到函数的最大值和最小值。
2.高阶导数法：导数法能够找到函数的驻点，但并不能保证驻点就是极值点。
通过计算函数的高阶导数，我们可以进一步判断驻点的类型，从而确定是否为极值点。
具体步骤如下：a.求取函数的导数。
b.计算导数的导数，即求高阶导数。
c.令高阶导数等于零，并解方程得到可能的极值点。
d.比较函数在极值点和区间端点处的函数值，找到函数的最大值和最小值。
3.二次型理论：对于定义在闭区间上的函数，我们可以通过二次型理论来求解极值点。
a.分别求取函数在区间端点和驻点处的函数值。
b.比较函数值，找到函数的最大值和最小值。
4.单峰函数的分段法：对于单峰函数，即在一些区间上具有唯一的极值点的函数，我们可以通过分段法来求解极值点。
具体步骤如下：a.将函数的定义域分为若干个小区间。
b.求取每个小区间内的驻点，并比较函数值。
c.找到最大值和最小值，即为函数的极值点。
5.约束条件法：对于有约束条件的函数极值问题，我们可以使用拉格朗日乘子法来求解。
具体步骤如下：a.构建拉格朗日函数。
b.求取拉格朗日函数的极值点。
c.比较极值点对应的函数值，找到函数的最大值和最小值。
除了以上方法，还有一些特殊函数的求解方法，如三角函数、指数函数、对数函数等。
对于这些特殊函数，我们可以通过函数的性质和特点来求解极值点。
总结起来，求解函数极值的方法多种多样，不同的函数和问题需要选择不同的方法来求解。
求极值的方法
求极值的方法在数学中，求函数的极值是一个非常重要的问题，它涉及到函数的最大值和最小值。
对于一个实数函数，我们希望找到它的极大值和极小值，这样我们就能够更好地理解函数的性质和特点。
在本文中，我们将介绍几种常见的求极值的方法，希望能够帮助读者更好地理解这一问题。
一、导数法。
求解函数的极值通常可以通过求导数的方法来进行。
对于一个函数f(x)，我们可以先求出它的导数f'(x)，然后找出f'(x)的零点和间断点，这些点就是函数f(x)的可能极值点。
接下来，我们可以通过二阶导数的符号来判断这些可能的极值点是极大值还是极小值。
如果f''(x)>0，那么f(x)在该点取极小值；如果f''(x)<0，那么f(x)在该点取极大值。
二、边界法。
对于一个闭区间[a,b]上的函数f(x)，我们可以通过求解f(a)和f(b)来找出函数在该区间上的极值。
具体来说，如果f(a)和f(b)中有一个是极大值或极小值，那么该值就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的极值。
这种方法适用于一些特殊的函数和区间，可以帮助我们快速找到函数的极值。
三、拉格朗日乘数法。
在求解带有约束条件的极值问题时，我们可以使用拉格朗日乘数法来进行求解。
假设我们要求解函数f(x,y)在条件g(x,y)=c下的极值，我们可以构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)-c)，然后通过求解L(x,y,λ)的偏导数来找到极值点。
这种方法适用于多元函数的极值问题，可以帮助我们更好地理解带有约束条件的极值问题。
四、数值法。
对于一些复杂的函数，我们可能无法通过解析的方法来求解它的极值。
这时，我们可以借助计算机来进行数值求解。
通过在一定范围内对函数进行取值，然后找出其中的极大值和极小值，可以帮助我们更好地理解函数的性质。
这种方法在实际问题中非常实用，可以帮助我们解决一些复杂的极值问题。
综上所述，求极值的方法有很多种，每种方法都有其适用的范围和特点。
求函数极值的几种方法
求解函数极值的几种方法1.1函数极值的定义法说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法定理（充分条件）设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=，如果x 取0x 的左侧的值时，()0f x '>，x 取0x 的右侧的值时，()0f x '<，那么()f x 在0x 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件.例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值 解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞， 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=，得到驻点为10x =，225x =，31x =.列表讨论如下： 表一：23()(1)f x x x =-单调性列表说明：导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的，但是如果函数()f x 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法 对于问题：Min (,)z f x y =s.t (,)0x y =如果**(,)x y 是该问题的极小值点，则存在一个数λ，使得****(,)(,)0x x f x y g x y λ+=****(,)(,)0y y f x y g x y λ+=利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数例2 在曲线31(0)y x x =>上求与原点距离最近的点.解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函数2231()w x y y x λ=++-然后，令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得43320201x x y y x λλ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩这是唯一可能取得最值的点 因此x y ==. 说明：Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ，使得****(,)(,)0x x f x y g x y λ+=****(,)(,)0y y f x y g x y λ+=这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad 0()0f p =的点0p ；②在0p点的Hessene 矩阵H ，判定H 正定或负定，若H 正定则()f p 在0p 点取得极小值；若H 负定则()f p 在0p 点取得极大值.例3 求三元函数222(,,)23246f x y z x y z x y z =++++-的极值解 先求驻点，由 220440660x y zf x f y f z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得1,1,1x y z =-=-=-所以驻点为0(1,1,1)p ---.再求Hessene 矩阵，因为 2,0,0,4,0,0,0,0,6xx xz xy yy yz yx zx zy zz f f f f f f f f =========所以 200040006H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由此可知，H 是正定的，所以(,,)f x y z 在0(1,1,1)p ---点取得极小值：222(1,1,1)(1)2(1)312(1)4(1)6166f ---=-+⨯-+⨯+⨯-+⨯--⨯-=-说明：此方法适合多元函数求极值的放法，要注意求偏导数以及 Hessene 矩阵.。
求极值的方法
求极值的方法一、导数法。
求极值的常用方法之一是利用导数。
对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到函数的驻点和拐点，进而确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求出函数的导数；2. 解出导数为0的方程，得到函数的驻点；3. 利用二阶导数的符号来判断驻点的类型，从而确定函数的极值。
二、边界法。
对于定义在闭区间上的函数，我们可以通过边界法来求取函数的极值。
具体步骤如下：1. 求出函数在闭区间端点处的函数值；2. 求出函数在闭区间内部的驻点；3. 比较上述所有点的函数值，最大值即为函数的最大值，最小值即为函数的最小值。
三、拉格朗日乘数法。
对于带有约束条件的极值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法来求解。
具体步骤如下：1. 根据约束条件建立拉格朗日函数；2. 求出拉格朗日函数的偏导数，并令其等于0；3. 解方程组，得到极值点。
四、牛顿法。
对于无法通过导数法求解的函数，我们可以使用牛顿法来求取函数的极值。
具体步骤如下：1. 选取一个初始点，计算函数在该点的函数值和导数值；2. 根据函数值和导数值，利用牛顿迭代公式来更新下一个点；3. 重复上述步骤，直到满足精度要求为止。
五、全局优化方法。
对于复杂的多维函数，我们可以利用全局优化方法来求取函数的全局极值。
常见的全局优化方法包括遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等。
总结。
求极值是数学中的一个重要问题，我们可以利用导数法、边界法、拉格朗日乘数法、牛顿法以及全局优化方法来求解。
不同的方法适用于不同的函数和问题，我们需要根据具体情况来选择合适的方法。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
高中物理-求极值的六种方法
高中物理-求极值的六种方法求极值是数学中的重要问题，解决这个问题不仅有助于我们理解函数的性质，还有助于应用于很多实际问题的求解。
下面介绍六种常用的方法求极值：导数法、辅助线法、割线法、牛顿法、拉格朗日乘数法和试探法。
一、导数法：导数法是最常见，也是最基本的求极值方法。
极值点处的导数为零或不存在。
1.求导数：设函数y=f(x)，首先求出导数f'(x)。
2.导数为零：令f'(x)=0，得出x的值。
3.导数不存在：检查导数在f'(x)为零的点附近是否存在极值点。
二、辅助线法：辅助线法是通过构造一条辅助线，将函数转化为一个变量的方程，然后通过解方程来求解极值点。
1.构造辅助线：根据函数的特点，选取一个合适的辅助线方程（比如斜率为1或-1），将函数转化为一个变量的方程。
2.解方程：将辅助线方程和原函数方程联立，解得x的值。
3.求解极值点：将x的值代入原函数方程，求出对应的y值。
三、割线法：割线法是通过构造一条割线，通过不断迭代来逼近极值点。
1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。
2.构造割线：构造一条过(x0,f(x0))和(x1,f(x1))两点的割线，其中x1=x0-λf(x0)，λ是一个合适的步长。
3.迭代求值：迭代求解极值点，即不断重复步骤2，直到割线趋近于极值点。
四、牛顿法：牛顿法利用函数的导数和二阶导数的信息来逼近极值点，是一种高效的求解极值的方法。
1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。
2.迭代求值：根据牛顿迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)，不断迭代求解极值点，直到满足结束条件。
五、拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法，适用于那些涉及多个变量和多个约束条件的问题。
1. 列出函数和约束条件：设函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g(x1, x2, ..., xn)=c。
2. 构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn) + λ(g(x1, x2, ..., xn)-c)，其中λ是拉格朗日乘数。
极值的求解及应用
极值的求解及应用极值是数学分析中的重要概念，指的是函数在某个定义域内取得的最大值和最小值。
极值的求解及应用是数学分析中的基础内容之一，涉及到函数的最优化问题以及其在各个科学领域中的实际应用。
一、极值的求解方法常见的求解函数极值的方法有以下几种：一阶导数法、二阶导数法、拉格朗日乘数法。
1. 一阶导数法：使用一阶导数可以求得函数的极值点。
如果函数在极值点处导数为零，那么这个点就是函数的极值点，同时要按照函数的性质确定是极大值还是极小值。
然而，导数为零并不一定保证这个点是极值点，还需要使用二阶导数进行进一步的判定。
2. 二阶导数法：使用二阶导数可以判定函数在极值点处的极值类型。
如果函数在某个点的一阶导数为零，并且二阶导数大于零，那么这个点就是函数的极小值点；反之，如果二阶导数小于零，那么这个点是函数的极大值点。
3.拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法适用于求解带有约束条件的最优化问题。
对于有n个变量和m个约束条件的最优化问题，可以构建一个泛函函数，通过使用拉格朗日乘数法，将约束条件与目标函数结合起来，并通过求解泛函函数的偏导数为零来求得极值点。
二、极值应用的例子极值的求解与应用在日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
以下是几个极值应用的例子：1. 经济学中的利润最大化问题：在市场经济中，企业通过确定合适的产量与售价来达到最大化利润的目标。
利用一阶导数法，可以求得利润函数的极值点，从而确定适当的产量和价格。
2.物理学中的运动最优化问题：在物理学中，例如弹道学中，要求在给定条件下，使得物体的飞行轨迹距离最远或时间最短。
通过构建合适的数学模型和方程，利用导数法可以求得极值点，从而得到最优解。
3. 机器学习中的模型优化问题：在机器学习中，通过构建合适的数学模型，可以将其视为一个优化问题。
利用梯度下降算法，通过求解模型参数的极值点，可以找到最优的模型参数，从而实现模型的优化。
4. 人口学中的人口增长问题：人口学研究中经常需要解决人口增长的模型和问题。
求函数极值的若干方法
求函数极值的若干方法函数极值是数学中一个重要的概念，用于描述函数在一些点上取得的最大值或最小值。
求函数极值的方法有很多种，下面将介绍一些常见的方法，包括微积分法和图像法。
一、微积分法1.导数法：函数在极值点上的导数为0，因此可以通过求导数的方法来寻找函数的极值点。
具体步骤如下：a.首先求出函数的导数；b.解方程f'(x)=0，求出所有导数为0的点，这些点就是函数的可能极值点；c.求出这些可能极值点对应的函数值，找出最大值或者最小值。
2.二阶导数法：函数在极值点上的二阶导数有特殊的性质。
具体步骤如下：a.首先求出函数的导数和二阶导数；b.解方程f'(x)=0，求出所有导数为0的点，这些点就是函数的可能极值点；c.计算这些可能极值点对应的二阶导数的值。
如果f''(x)>0，则函数在该点上有极小值；如果f''(x)<0，则函数在该点上有极大值。
3.极值判别法：对于一些特殊的函数，可以利用极值判别法来判断函数的极值。
常见的极值判别法有如下几种：a.变号法：判断函数在极值点左右两侧的变化趋势，如果左侧是增量，右侧是减量，则函数在该点上有极大值；如果左侧是减量，右侧是增量，则函数在该点上有极小值。
b.拐点法：寻找函数的拐点，拐点是函数的导数的极值点。
如果函数在拐点上的二阶导数大于0，则函数在该点上有极小值；如果函数在拐点上的二阶导数小于0，则函数在该点上有极大值。
c.边界法：求解函数在区间的边界点上的函数值，将这些函数值与函数的内部极值点的函数值比较，找出最大值或最小值。
二、图像法1.函数图像法：通过观察函数的图像来估计函数的极值点。
函数的极值点对应函数图像上的最高点或最低点。
2.导数图像法：通过观察函数的导数图像来判断函数的极值点。
导数的图像上的极值点对应原函数的极值点。
需要注意的是，以上的方法仅仅是一些基本的求函数极值的方法，对于特殊的函数，可能需要应用更复杂的方法来求解。
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函数极值的几种求法──针对高中生所学知识摘要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。
极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。
本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。
关键词：函数；单调性；导数；图像；极值Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school.Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value“函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。
之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量[]1。
就这样“函数”这词逐渐盛行。
在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数”。
显然，在李善兰的这个定义中的函数就是：凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。
这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思。
从1775年欧拉对函数定义之后，又有法国数学家柯西、俄国数学家罗巴契夫斯基等数学家不断对函数定义进行改进和完善。
最后德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x 的每一个值，y 总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x ，y 之间的对应方法如何，均将y 称为x 的函数”。
虽然函数的定义在不断变化但它的本质属性都是一样的。
变量y 称为x 的函数，只须有一个法则存在，那就是这个函数取值范围中的每一个值，有一个唯一确定的y 值和它对应，不管这个法则是公式、图象、表格或其他形式。
对中学生来说常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数，及由这几类函数中两类或多类形成的复合函数。
中学生一般不采用定义法去求函数的极值，中学生常用的是图像法和求导法。
本文首先简单介绍高中数学常见的函数类型和常用的求函数极值的方法，继而通过具体实例阐述求极值方法和函数类型如何匹配。
1 预备知识定义1.1[]2 函数的极值设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有()()0f x f x <，则()0f x 是函数()f x 的一个极大值。
如果附近所有的点，都有()()0f x f x >，则()0f x 是函数()f x 的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
定义1.2 一次函数在某一变化过程中，设有两个变量x 和y ，如果可以写成b kx y +=(k 为一次项系数0≠k ，b 为常数)的形式，那么我们就说y 是x 的一次函数，其中x 是自变量，y 是因变量。
定义1.3[]3 二次函数把形如c bx ax y ++=2（其中c b a ,,是常数，0≠a ）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
定义1.4[]4 指数函数把形如)10(y ≠>=a a x a 且的函数叫做指数函数，其中x 是自变量。
定义1.5[]4 对数函数把形如)10(log ≠>=a a y x a 且的函数叫做对数函数，其中自变量是x 。
2 求极值方法在各种函数类型中的应用函数是高中数学重要的内容,而函数的性质是高考命题的重点,又是高考命题的热点之一,利用导数方法研究函数的单调性,确定单调区间,研究函数的极值问题比传统的方法要简捷得多,因此在求极值时应把导数法作为主要研究方法[]5。
除了求导法另一种常见的方法就是图像法。
图像法适合简单的可以画出图像的一些函数，对于中学生来说遇到的函数80%都可以画出图像。
函数图像画出后我们可以根据图像所表示的纵坐标再结合极值的定义观察函数的极值。
求导法是先求出所求函数的导数，然后根据导数与零的大小关系判断函数的单调性，继而判断极值，求导法对一些复杂的函数特别是复合函数非常的适用。
下面我们通过具体实例阐述方法和函数类型如何匹配。
2.1 一次函数b kx y +=（b k ,0≠为常数） 一次函数比较简单在整个定义域内是整体单调递增或整体单调递减。
对形如b kx y +=的一次函数的导数为k y ='，由此可知一次函数的单调性主要和k 值有关，0>k 则函数单调递增，0<k 函数单调递减。
例2.1 求函数52y +=x 的极值法一 求导法52y +=x 这个函数的k 值为2，显然02>也就是说该函数单调递增，现在函数的极值就和其定义域有关。
当自变量x 最大时函数有极大值，当自变量x 最小是函数有极小值，若自变量无最大值最小值则函数没有极值。
①我们假设该函数的定义域是[]40,3-，那么当3x -=时函数有极小值()1-53-2=+⨯=极小值y ,当40=x 时函数有极大值855402y =+⨯=极大值。
②假设该函数的定义域为[]∞+∞，-则函数无极大值极小值。
③若函数的定义域位[]40-，∞函数无极小值，在40=x 时取得极大值855402y =+⨯=极大值④若定义域为[]∞+，3-函数无极大值，有极小值()1-53-2=+⨯=极小值y 。
法二 图像法一次函数b kx y +=的图像都是一条直线。
函数52y +=x 的图像如下：图2-1 52y +=x 图像通过察我们发现函数值y 随自变量x 的值增大而增大，也就是说x 最大时函数有极大值，x 最小时函数有极小值。
一次函数相对来说比较简单，我认为求极值最好的方法是看k 值。
当0> k 时自变量x 最大时函数有极大值，自变量x 最小时函数有极小值。
当0<k 时自变量x 最大时函数有极小值，自变量x 最小时函数有极大值，若自变量x 无最值则函数无极值。
在此还有一点要提醒的就是通常所说的正比例函数，反比例函数都属于一次函数，故其极值的求法可用一次函数的方法。
2.2 二次函数c bx ax y ++=2（其中c b a ,,是常数，0≠a ）二次函数较一次函数复杂的多，但其极值的求法和一次函数大同小异，最常见的也是求导法和图像法。
当用求导法来求极值时，需先求出导数然后判断导函数在那个区间范围内大于（等于）零，在那个区间范围内小于（等于）零，当导数大于等于零时原来的二次函数在该区间单调递增，当导数小于零时原来的二次函数在该区间单调递减，知道了单调性再来求极值就轻而易举了。
图像法就是画出函数的图形，根据图形结合极值定义求出函数极值。
下面我针对具体函数7-822x x y +=其定义域为]2,4-（这个二次函数来详细阐述这两种方法。
例2.2 求函数7-822x x y +=]2,4-（∈x 的极值法一 求导法通过计算我们知道该函数的导数为84'+=x y 我们令其导函数大于等于零即084≥+x 解得2-≥x 也就是说函数7-822x x y +=在[]2,2-∈x 上单调递增，当2-=x 时y有最小值，当x=2时y 有最大值。
同理我们可以知道函数7-822x x y +=在()2-4-，（由于在递增区间上已经取过-2，所以此处的-2不能再取，只能用圆括号）上单调递减，因为-4和-2前为圆括号，也就是说自变量x 不能等于-4和-2，所以函数在上()2-4-，无最小值也无最大值。
综上所诉函数7-822x x y +=在]2,4-（上有最小值()()15-7-2-82-22=*+*=最小值y ，最大值177-28222=*+*=最大值y .因为该函数在]2,4-（上连续所以其最小值等于其极小值，最大值等于其极大值。
所以此函数在]2,4-（上有极小值-15，极大值17。
法二 图像法二次函数的图像为一条抛物线函数7-822x x y +=]2,4-（∈x 的图像如下图所示:图2-2 7-822x x y +=]2,4-（∈x 图像通过观察可知，函数在点B 取得极小值-15，在点A 取得极大值17。
2.3 指数函数)1a 0(≠>=且a a y x此类函数比较简单，单调性在定义域内是整体的，无论是求导还是画图都很容易发现函数的单调性与a 值得大小有关。
在1>a 时函数在整个定义域内单调递增，和一次函数像似自变量x 取最大值时函数有极大值，自变量x 取最小值时函数有极小值，自变量x 取最小值时函数有极大值。
下面我们通过一个具体的函数来操作一下。
例2.3 求函数x y 21=和x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=212(x 取值范围是]3,2[-)的极值对1y 这个函数来说其2=a ，1>a ，根据上面结论我们知道函数在整个定义域内单调递增，当2-=x 是函数1y 有极小值41，当3=x 时函数1y 有极大值8。