多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及其求法
定理 设A是一个n n对称矩阵,
A正定 所有顺序主子式大于0
a11 a12 L a1k
a21 a22 L a2k
MM
M
所有特征值大于0 .
ak1 ak 2 L akk
(即特征方程 | E - A | 0的根大于0)
以 2 2 矩阵为例: A a11 a12 a21 a22
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
则有
若 H f (P0 )正定, 则由引理知存在m 0使得
(h, k)H f (P0)(h, k)' m2.
故对充分小的U(P0), 只要(x, y) x0 h, y0 k U(P0), 就有
f (x, y)
f ( x0 ,
y0
)
(
m 2
o(1))
设函数z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内 有一阶及二阶连续偏导数,且 P0是 f 的驻点,
则当H f (P0 )是正定矩阵时, f 在 P0取得极小值;
当H f (P0 )是负定矩阵时, f 在 P0取得极大值; 当H f (P0 )是不定矩阵时, f 在 P0不取极值.
极大值和极小值
x
例1. 已知函数
A 则( )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 提示: 由题设
(2003 考研)
定理1 (必要条件) 函数
存在
偏导数, 且在该点取得极值 ,
则有
证:
取得极值 ,
故
取得极值 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
(h2
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
06第六节多元函数的极值及其求法.docx
第六节多元函数的极值及其求法在实际问题中,我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题.与一元两数的情形类似,多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系.下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.分布图示★引例★二元函数极值的概念例1・3★极值的必要条件★极值的充分条件★求二元函数极值的一般步骤★例4★例5★求最值的一般步骤★例6★例7★例8★例9★例10★例11★条件极值的概念★拉格郎H乘数法★例12★例13★例14★例15★例16*数学建模举例★线性冋归问题★线性规划问题★内容小结★课堂练习★习题6-6内容提要:一、二元函数极值的概念定义1设函数z = /(兀刃在点(勺,北)的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于(兀°,%)的任意一点(兀,刃,如果/(兀,刃 </(兀0,%),则称函数在(兀(),儿)有极大值;如果/(兀,刃>/(兀0,%),则称函数在(心,北)有极小值;极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定理1(必要条件)设函数z = /(X, y)在点(兀0,北)具有偏导数,.目.在点(兀0,);0)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即f x(无),y())= 0, f y(心,y()) = 0. (6.1)与一元函数的情形类似,对于多元函数,凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2 (充分条件)设函数z二f(x,y)在点(兀,儿)的某邻域内有直到二阶的连续偏导数,又人(心儿)"'人(兀0』0)=。
•令f xx(x Q,y Q) = A, 4(x0,j0) = B, /,v(x0,y0) = C.(1)当AC-B2> 0时,函数/(x,y)在(兀°,%)处有极值,且当A >0时有极小值/(x0,y0);A < 0时有极大值/(勺,儿);(2)当AC-B2< 0时,函数f(x,y)在(兀(),儿)处没有极值;(3)当AC-B2= 0时,函数f(x,y)在(兀0,凡)处可能有极值,也可能没有极值.根据定理1与定理2,如果函数/(x,y)具有二阶连续偏导数,则求z = /(兀』)的极值的一般步骤为:第一步解方程组久(兀,〉,)=0,人(兀,刃=0,求出/(x,y)的所有驻点;第二步求出函数/(x,y)的二阶偏导数,依次确定各驻点处A、B、C的值,并根据AC-B2的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数/(x, j)在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数/(兀,刃的最大值和最小值的一般步骤为:(1)求函数/(X, y)在D内所有驻点处的函数值;(2)求/(x, y)在£>的边界上的最大值和最小值;(3)将前两步得到的所有函数值进行比较,其屮最大者即为最大值,最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中,如杲根据问题的性质,可以判断出函数/(x, y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数/(x,y)在D内只有一个驻点,则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f (x, y)在D上的最大值(最小值).三、条件极值拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量一般只要求落在定义域内,并无其它限制条件,这类极值我们称为无条件极值.但在实际问题中,常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题.对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数f(x, y)和0(x,y)在区域D内有一阶连续偏导数,则求z = fg刃在D内满足条件gy) = 0的极值问题,可以转化为求拉格朗H函数L(x, y, 2) = f (x, y) + A(p(x, y)(其中2为某一常数)的无条件极值问题.于是,求函数z = /(兀』)在条件°(九刃=0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为:(1)构造拉格朗H函数L(x, y, A) = f(x, y) + y)其屮2为某一常数;(2)由方程组L x = f x (兀,y)+九<Px (兀,y) =0, < L y = f y (x, y) + A(p y (兀,y) =0,L 入—0(兀,y) = 0解出x,y,A,其中x』就是所求条件极值的可能的极值点.注:拉格朗tl乘数法只给出函数取极值的必要条件,因此按照这种方法求出来的点是否为极值点,还需要加以讨论.不过在实际问题中,往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:四、数学建模举例例题选讲:二元函数极值的概念例1 (E01)函数z = 2x2 +3y2在点(0, 0)处有极小值.从几何上看,z = lx1 + 3y2表示一开口向上的椭圆抛物而,点(0,0,0)是它的顶点.(图7-6-1).例2 (E02)函数z二-+ >,2在点(0,0)处有极大值.从几何上看,z二-+ >,2表示一开口向下的半圆锥面,点(0,0,0)是它的顶点.(图7-6-2).例3 (E03)函数z = /-x2在点(0,0)处无极值.从儿何上看,它表示双曲抛物面(马鞍面)(图7-6-3)例 4 (E04)求函数/(x, y) = ? - y3 + 3x2 + 3y2 - 9x的极值.解先解方程组解得驻点为(1,0), (1, 2), (-3,0), (-3, 2).再求出二阶偏导数(x,y) = 6x + 6, f xy(x,y) = 0, f yy Xx,y) =-6y + 6.亠一 9 [ fXx,y) = 3x 2 +6x-9 = 0在点(1,0)处,AC — B 2=12・6>0,又彳 9, A>0,厶a )2-3),2+6)=0故函数在该点处有极小值/(1,0) = -5; 在点(1,2)处,(-3,0)处,AC-B 2=-12-6<0,故函数在这两点处没有极值;在点(-3, 2)处,AC-B 2=-U-(-6) >0,又A v0,故函数在该点处有极大值/(-3,2) = 31.例5证明函数z = (1 + e y )cosx-ye y 有无穷多个极大值而无一极小值.又 A = z :. =-(l + o' )cos 七 B = z xy =-e y sinx, C = z ;. =e y (cosx-2-y). 在点(2砸,0)g z)处,4 = 一2, B = 0, C = -l, AC-B 2=2>0t又A v 0,所以函数z 取得极大值;在点(⑵2 +1)龙,一2)仇w Z )处,A = 1 + 0-2, B = 0, C = —0-2, AC-B 2 = -e~2-e _4<0,此时函数无 极值.证毕.二元函数的最大值与最小值例6求函数/(兀,刃=兀2-2兀y + 2y 在矩形域D = {(x, y) | 0 < x < 3,0 < y < 2}上的最大值和最小值.解 先求函数f(x,y)在D 内驻点.由f x = 2x-2y = 0, f y =-2x + 2 = 0求得/在D 内部 的唯一驻点(1, 1),且/(1J) = 1.其次求函数/(兀,刃在D 的边界上的最大值和最小值.如图所示.区域D 的边界包含四条直线段厶 —在厶上y = 0, /(x,()) = /,()5x53.这是x 的单调增加函数,故在厶上f 的最大值为 /(3,0) = 9,最小值为 /(0,0) = 0.同样在厶2和厶4上/也是单调的一元函数,易得最大值、最小值分别为/(3, ()) = 9, /(3,2) = 1 (在厶2 上),/(0,2) = 4, /(0,0) = 0(在厶4 上),而在厶上〉,=2, /(x, 2) = X 2-4X + 4, 05兀5 3,易求出/在厶上的最大值/(0,2) = 4,最小值= -(l + e v )sinx = 0= e?v (cosx-l-y) = 0 x = k 兀 尸(_护_1伙wZ )・/(2, 2) = 0.将/在驻点上的值/(1,1)与厶,厶2上3,厶4上的最大值和最小值比较,最后得到/在D上的最大值/(3,0) = 9,最小值/(0,0) = /(2,2) = 0.例7求二元函数z = /(x, y) = x2y(4 -x- y)在直线x + y = 6 , x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点,解方程组/;(兀,y) = 2xy(4-x-y)-x2y = 0f;(x, y) = x2 (4-x- y) - x2 y = O'得唯一驻点(2,1),且/(2,1) = 4,再求/(兀,y)在D边界上得最值,在边界兀 + y = 6上,即y = 6 —兀,于是/(x,y) = x2(6-x)(-2),由f; - 4x(x一6) + 2x2 = 0,得x} - 0, x2 - 4 i > y = 6 - x = 2,而/(4,2) = -64,所以/(2,1) = 4为最大值,/(4,2) = -64为最小值.例8求函数/(x,y) = 3x2 + 3y2一/在区域D:x2+y2 <16±的最小值.解先求/(x, y)在D内的极值.由= 6兀一3x2, fy(x,y) = 6y,解方程组]& - 3” = 0得驻点©()),(2, 0).由于6y = 0f: (0,0) = 6, £; (0,0) = 0, f;y (0,0) = 6,龙(2,0) = -6, (2,0) = 0, f;y (2,0) = 6.所以,在点(0, 0) ^bB2-AC = -36<0, A = 6>0,ttffi (0, 0)处有极小值/(0,0) = 0.在点(2,0)处B2-AC = 36>0,故函数在点(2,0)处无极值.再求f (x, y)在边界x2 +y2 = 16上的最小值.由于点(x, y)在圆周x2 +y2 = 16上变化,故可解出y2=16-x2(-4<x<4),代入/'(x,y)中,有z = /(x,y) = 3x2 + 3>,2一兀3 = 48-x3(-4 <x< 4),这时z是兀的一元函数,求得在|~4,4]上的最小值z'=4 =-16.最后比较可得,函数/(x, y) = 3x 2 + 3y2 -?在闭区间D 上的最小值/(4,0) = -16.例9求z=「7 的最大值和最小值.x+b+i (宀于+])_2曲+刃二(兀2 +),2+1)_2)心+刃 —(宀 3)2 -,△ - ―(X 2+^2+1)2因为lim 厂弓 =0,即边界上的值为零.又 口 +y +1例10 (E05)某厂要用铁板做成一个体积为2加3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各 取怎样的尺寸时,才能使用料最省.解 设水箱的长为”,宽为艸,则其高应为2/xym.此水箱所用材料的面积此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点(兀,y). 令人=2 y ——-=0, A v = 2 x ——T =0.解这方程组,得唯-•的驻点x = V2, y = V2.根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点.因此当水箱的长为呵”、宽为呵川、高为甘乖=臥时,水箱所用的材料最省.注:体积一定的长方体小,以立方体的表面积为最小.例11 (E06)设s 为商品A 的需求量,§2为商品3的需求量,其需求函数分别为q } = 16-2p )+4/?2,?2 = 20 + 4门 一10/?2,总成本函数为 C =2q 2,其中 M ,% 为商 品A 和B 的价格,试问价格卩,必取何值时可使利润最大?2 2、(2 2) 初+ y ——+ %—=2 与 + _ + _ 1 厂 小 (兀y ) A =2 (x > 0, y >0).=0,解得驻点丄_LJi'近/ 血丿‘1r解按题意,总收益函数为R = P4 + P 2q 2 = 〃|(16-2#|2-+4/?2)+ 卩2(20 + 4/?| -IO%),于是总利润函数为L = R_C = q 、(P\_3) + q2(P2 _2)-3)(16-2刃 + 4”2)+ (卩2一2)(20 + 4p -10卩2)・为使总利润最大,求一阶偏导数,并令其为零:- = 14-4/?! +8血=0,学=4(。
4多元函数的极值
4多元函数的极值及其求法一、无条件极值1、f(x,y)=sin x+cos y+cos(x-y)(0≤x,y≤π/2)P116 8.8.4解:f x= cos x-sin(x-y)f y= -sin y+sin(x-y)⇒cos x=sin y解得驻点:P1(0,π/2)、P2(π/2,0)、P3(π/3,π/6)、P4(π/6,π/3)、P5(π/4,π/4)只有P3上A= f xx= -sin x-cos(x-y)|P3=-√3B= f xyx= cos(x-y)|P3=√3/2C= f yy= -cos y-cos(x-y)|P3=-1AC-B2= (-√3)(-1)-(√3/2)2=√3-3/4>0,P3极大值点极大值f(π/3,π/6)=3√3/22、求由x2+y2+z2-2x+2y-4z-10 = 0 确定的隐函数z=z(x,y)的极值解:P116 8.8.5[一] 2x+2zz x-2-4z x= 0 z x=(1-x)/(z-2)2y+2zz y-2y-4z y= 0 z y=(1+y)/(z-2)⇒驻点(1,-1)对应P(1,-1,6)、Q(1,-1,-2)A= z xx= [-(z-2)-(1-x) z x ]/(z-2)2|P=-1/4B= z xyx=-(1-x) z x/(z-2)2|P=0C= z yy= [-(z-2)-(1+y)z y]/(z-2)2|P=-1/4AC-B2= (-1/4)(-1/4)-02>0,A<0,在P达到极大值6A= z xx= [-(z-2)-(1-x) z x ]/(z-2)2|Q =1/4B= z xyx=-(1-x) z x/(z-2)2|Q =0C= z yy= [-(z-2)-(1+y)z y]/(z-2)2|Q=1/4AC-B2= (1/4)(1/4)-02>0,A>0,在Q达到极小值-2[二] (x-1)2+(y+1)2+(z-2)2=42z极大=2+4=6,z极小=2-4=-2二、条件极值1、求z=x2+y2,在条件x+y=1下的条件极值。
9(8)多元函数的极值及其求法
函数的极大值与极小值统称为函数的 极值.
函数的极大值点与极小值点统称为函数的 极值点.
注 多元函数的极值也是局部的, 是与P0的邻域
内的值比较. 一般来说:极大值未必是函数的最大值. 极小值未必是函数的最小值.
有时, 极小值可能比极大值还大.
函数
存在极值, 在简单的情形下是 椭圆抛物面
容易判断的. 例 函数 z 3 x 2 4 y 2
例4 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面 积最大. 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 为 ( 24 2 x 2 x cos ) x sin 2
24 x sin 2 x sin x cos sin ( D : 0 x 12 , 0 ) 2
点的偏导数必然为零: f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0. 证 不妨设 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处有极大值, 则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意( x , y ) ( x0 , y0 ), 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ), 故当y y0 , x x0时,
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值应用问题
三、条件极值
一、多元函数的极值和最值
1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值: 是在一点附近(区间) 将函数值比大小. 定义 设在点P0的某个去心邻域, f ( P ) f ( P0 ), 则称 点P0为函数的极大值点. f ( P0 )为极大值. 类似可定义极小值点和极小值.
其中 为某一常数, 可由
学习_课件98多元函数的极值及其求法
例4、 求 函 数f ( x, y) x2 y2 2x 1的 极 值. 例5、 求 函 数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的 极 值.
3、多元函数的最值 (1)无即约:束寻求 最目优标化函问数题的最大(小)值.
在条件 x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1) ,
由
G
x0
x02 a2
0,
体积最小,求切点坐标.
解 设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
令F ( x,
y,
z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
则Fx |P
2 x0 , a2
Fy |P
2 y0 , b2
Fz |P
2z0 c2
过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为
x0 a2
其中1,2均为常数,可由 偏导数为零及条件解出
x, y, z, t ,即得极值点的坐标.
例 7 将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 u x3 y2z为最大.
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法
注意:偏导数不存在的点也是可疑的极值点, 是否是极值要用定义去判断。
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求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步 求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证,这两个函数都以(0,0)为驻点,且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值,而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
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y y y
结束
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多元函数取得极值的条件
定理 1(必要条件) :设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数,且在点( x0 , y0 ) 处有极值,则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知,当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时, f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号,于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )
8-8第八节 多元函数的极值及其求法
三 条 件 极 值
(1) 其中x,y,z须满足约束条件 xyz=2(米3) (2) 依题意,例6成为求(1)式满足条件(2)的最小值.这类附有
解条件极值问题的一个办法是化为无条件极值,即普通极值 问题.
高 等 数 学 电 子 教 案
例如由(2)得到z=2/xy,代入(1),象例6那样去解普通极值问题. 但是对于一般的条件φ(x,y,z)=0,解出其中的某个变量,有时 是复杂的,困难的,甚至是不可能的.例如,不能显化的隐函数 就是这样.下面我们介绍Lagrange乘数法是求解条件极值的 常用方法. 例如要求函数 u=f(x,y,z,t)
3
2
表面积为 6 3 4。
高 等 数 学 电 子 教 案
例7. 在已知的椭球面内一切内接的长方体(各边分别平行坐 标轴)中,求其体积最大的. 椭球面方程为
x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b c
x2 y2 z 2 长方体体积为V = 8 xyz.而( x, y, z )必须满足 2 + 2 + 2 = 1. a b c
高 等 数 学 电 子 教 案
第八节 多元函数的极值及其求法
在实际问题中常常遇到多元函数的最值问题.在一元函 数的微分学中,我们曾经用导数求解极值和最值问题;现 在讨论如何利用偏导数来求多元函数的极值与最值,讨论 时以二元函数为例,其结论可类似地推广到三元及三元以 上的函数.
学 数
多元函数的极值及最大值,最小值 一. 多元函数的极值及最大值 最小值
高 等 数 学 电 子 教 案 二 最大值和最小值
由连续函数性质知,函数在有界闭区域D上连续,则函数在D上 一定有最大值和最小值.和一元函数一样,多元函数的最大值和 最小值可能在D内取得,也可能在D的边界上取得.因此,求可微 函数的最值的一般方法是:求出函数f(x,y)在D内所有的驻点处 的函数值及在D的边界上的最大值和最小值,把它们加以比较,
多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1(必要条件) 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值,则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2(充分条件) 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导,又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ,令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下:
(1)02>-B AC 时具有极值,且当0<A 时有极大值,当0>A 时有极小值;
(2)02<-B AC 时没有极值(在()00,y x 处不取极值);
(3)02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论。
二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点,可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=,
其中λ为参数。
()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。
08-多元函数的极值及其求法课件
多元函数的极值及其求法多元函数的极值多元函数的最大值、最小值条件极值拉格朗日乘数法多元函数的极值定义 设函数()z f x y =,的定义域为D ,()000,P x y 则称函数在点()00,x y 有极大值(或极小值) ()00,f x y为D 的内点,若存在0P 的某个邻域()0U P D ⊂,如果对于该邻域内任何异于0P 的点(),x y , 都有()()00,,f x y f x y < (或()()00,,f x y f x y >),极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.例 函数2234z x y =+在点(0,0)处有极小值.()0,00z =, 例 函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值.当()(),0,0x y ≠时, 0z >.=在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小例函数z xy值.()0,00z=,而在点(0, 0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.设n 元函数()u f P =在点0P 的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于0P 的点P , 都有则称函数()fP 在点0P 有极大值(或极小值)()0f P .()()0f P f P < (或()()0f P f P >),定理1(必要条件) 设函数()z f x y =,在点()00,x y 具 有偏导数, 且在点()00,x y 处有极值, 则有()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =.不妨设()z f x y =,在点()00,x y 处有极大值. 证 依极大值的定义, 对于点()00,x y 的某邻域内异于()00,x y 的点(),x y , 都有不等式特殊地, 在该邻域内取0y y =而0x x ≠的点,也应有()()00,,f x y f x y <()()000,,f x y f x y <这表明一元函数()0,f x y 在0x x =处取得极大值,因而有()00,0x f x y =.类似地可证()00,0y f x y =.从几何上看, 这时如果曲面()z f x y =,在点()000,,x y z 处有切平面, 则切平面()()()()0000000,,x y z z f x y x x f x y y y -=-+-成为平行于xoy 坐标面的平面0z z =.凡是能使()00,0xf x y =, ()00,0y f x y =同时成立的点()00,x y 称为函数()z f x y =,的驻点.具有偏导数的函数的极值点必定是驻点.但函数的驻点不一定是极值点.例如, 函数z xy =在点 (0,0)处的两个偏导数都是零, 但(0,0)不是极值点.定理2(充分条件) 设函数()z f x y =,在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,令()00,xx f x y A =, ()00,xy f x y B =, ()00,yy f x y C =则()f x y ,在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:(2)20AC B -<时没有极值;(1) 20AC B ->时具有极值, 且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值;(3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值.极值的求法: 第一步 解方程组求得一切实数解, 即可得一切驻点.第二步 对于每一个驻点()00,x y , 求出二阶偏导数的 ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,值A 、B 和C .第三步 定出2AC B -的符号, 按定理2的结论判定()00,f x y 是否是极值、是极大值 还是极小值.例 求函数()3322,339f x y x y x y x =-++-的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f yx 得驻点为()1,0、()1,2、()3,0-、()3,2-.求得1,3x =- ; 0,2y =再求出二阶偏导数(),66xx f x y x =+,(),0xy f x y = ,(),66yy f x y y =-+.在点()1,0处,21260AC B -=⋅>, 又0A >,所以函数在()1,0处有极小值()1,05f =-;在点()1,2处, ()21260AC B -=⋅-<,所以()1,2f 不是极值;所以()3,0f -不是极值;所以函数在()3,2-处有极大值()3,231f -=.在点()3,0-处, 21260AC B -=-⋅<,在点()3,2-处,()21260AC B -=-⋅->, 又0A <,不是驻点也可能是极值点.例如,函数220,0处有极大值,=-+在点()z x y0,0不是函数的驻点.但()多元函数的最大值、最小值如果()f x y ,在有界闭区域D 上连续, 则()f x y ,在 D 上必定能取得最大值和最小值.假定函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻 点, 如果函数在D 的内部取得最大值(最小值), 那么这个 最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).求最大值和最小值的一般方法将函数()f x y ,在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大的就是最大 值, 最小的就是最小值.实际问题中如果根据问题的性质, 知道函数()f x y , 的最大值(最小值)一定在D 的内部取得, 而函数在D 内 只有一个驻点, 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 ()f x y ,在D 上的最大值(最小值).例 某厂要用铁板做成一个体积为38m 的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为x , 宽为y , 则其高应为xy8. 此水箱所用材料的面积为)0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x yx xy xy x xy y xy A令0)8(22=-=x y A x , 0)8(22=-=yx A y , 得2x =, 2y =.当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为82m 22=⋅时, 水箱所用的材料最省.条件极值拉格朗日乘数法例如, 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.求表面积为2a 的长方体的最大体积.设长方体的三棱的长为x y z 、、, 则体积V xyz =.x y z 、、还必须满足附加条件22()xy yz xz a ++=.由条件2)(2a xz yz xy =++, 解得)(222y x xy a z +-=, 于是得 V ))(2(22y x xy a xy +-=. 有些条件极值问题可以化为无条件极值问题.例如, 求表面积为2a 的长方体的最大体积.函数()z f x y =,在条件()0x y ϕ=,下取得极值的必要 条件.如果函数()z f x y =,在()00,x y 取得所求的极值, 则()00,0x y ϕ=.假定在()00,x y 的某一邻域内()f x y ,与()x y ϕ,均有连续的一阶偏导数, 将其代入目标函数()z f x y =,, 得的函数()y x ψ=, 定理, 由方程()0x y ϕ=,确定一个连续且具有连续导数而()00,0y x y ϕ≠. 由隐函数存在一元函数()()z f x x ψ=,.0x x =是一元函数()()z f x x ψ=,的极值点,由取得极值的必要条件, 有即()()0000d d ,,0d d x y x x x x z yf x y f x y xx--=+=()()()()00000000,,,0,x x y y x y f x y f x y x y ϕϕ-=设λϕ-=),(),(0000y x y x f y y , 则函数()z f x y =,在条件 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ ()0x y ϕ=,下在()00,x y 取得极值的必要条件是拉格朗日乘数法要找函数()z f x y =,在条件()0x y ϕ=,下的可能极值点, 可以先构成辅助函数()()()L x y f x y x y λϕ=+,,,其中λ为某一常数. 然后解方程组(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)0L x y f x y x y x x x L x y f x y x y y y y x y λϕλϕϕ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=⎩ 由这方程组解出,x y 及λ, 则其中(),x y 就是所要求的可能的极值点.此方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.例 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱的长为x y z 、、, 构成辅助函数解方程组()()2,222L x y z xyz xy yz xz a λ=+++-,(,,)2()0(,,)2()0(,,)2()02222L x y z yz y z x L x y z xz x z y L x y z xy y x z xy yz xz aλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩ 得a z y x 66===, 这是唯一可能的极值点. 最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.。
7-7多元函数的极值及其求法
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.
可类似定义 n 元函数
u=f
(x1,
x2,…
,xn)
的极值
1
z
例1 函数 z x2 y2 在 (0, 0) 处有极小值.
旋转抛物面
xo
y
例2函数 z x2 y2
在 (0,0) 处有极大值. 锥面
例3 函数 z xy
z x
3 x2 =0
唯一驻点为(0,0)。
z
3 y2 =0
该点的函数值为z(0,0)=0
y
在D的边界上求z=x3+y3的极值. 条件:x2 y2 =1
用拉格朗日乘数求解,
引入辅助函数 L( x, y) x3 y3 ( x2 y2 1)
19
例3 求z= x3+y3在D:x2+y2≤1上的最大值和最小值。
3
3
3
而依题意知体积最大的内接长方体存在,
故内接长方体最大体积为
83
Vmax
abc. 9
18
例3 求z= x3+y3在D:x2+y2≤1上的最大值和最小值。
解:函数z= x3+y3在有界闭区域 x2+y2≤1上一定可取 得最大值和最小值
区域 {( x, y) : x2 y2 1}内部:求驻点
得:x1 0, y 6 x |x0 6, f (0,6) 0 x2 4 y 6 x |x4 2, f (4,2) 64,
比较后可知 f (2,1) 4为最大值, f (4,2) 64为最小值.
11
多元函数的极值9.8
由这方程组解出x,y,则x,y就是所要求的可能的极值点. 这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情 形. 至于如何确定所求的点是否是极值点,在实际问题中往往 可根据问题本身的性质来判定.
例7 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积. 解 设长方体的三棱的长为x,y,z,则问题就是在条件
ϕ x ( x0 , y 0 ) =0 与ϕ(x0,y0)=0 同时成立. fx(x0,y0) − fy(x0,y0) ϕ y ( x0 , y 0 )
f y ( x0 , y 0 )
设
ϕ y ( x0 , y 0 )
=−λ, 上述必要条件变为
f x ( x0 , y 0 ) + λϕ x ( x0 , y 0 ) = 0, f y ( x0 , y 0 ) + λϕ y ( x0 , y 0 ) = 0, ϕ ( x0 , y 0 ) = 0.
令
由题意可知,水箱所用材料面积的最小值一定存在,并在开区域 D:x>0,y>0内取得. 又函数在 D 内只有唯一的驻点( 3 2 , 3 2 ), 2 3 3 因此当水箱的长为 2 m、宽为 2 m、高为 3 3 = 3 2 m 时, 2⋅ 2 水箱所用的材料最省.
二、条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值: 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 例如,求表面积为a 2 而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体的三棱的长为x,y,z,则问题归结为求函数V=xyz在附 加条件2(xy+yz+xz)=a2下的极值.
例5 某厂要用铁板做成一个体积为2m2的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取多少时,才能使用料最省.
2 解 设水箱的长为 x m,宽为 y m ,则其高应为 m. xy 此水箱所用材料的面积为 2 2 2 2 A=2(x y+y· +x· ), 即 2(x y + + ) (x>0,y>0). x y xy xy 2 2 A x=2(y− 2 )=0,A y=2(x− 2 )=0.得 x= 3 2 ,y= 3 2 . x y
9-8多元函数的极值及其求法
辅助函数L称为拉格朗日 函数. 辅助函数 称为拉格朗日( Lagrange )函数 利用拉格 称为拉格朗日 函数 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 拉格朗日乘数法
推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 个约束条件的情形 例如, 例如 求函数 u = f (x, y, z) 在条件 ϕ(x, y, z) = 0,
特别地当 y = y0 , x ≠ x0 时 ,有 f ( x , y0 ) < f ( x0 , y0 ) ,
从而一元函数 f ( x , y0 ) 在 x = x0 处有极大值 ,
同理可 所以 f x ( x0 , y0 ) = 0 ; 同理可 得 f y ( x0 , y0 ) = 0 .
的点称为驻点 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 定理可推广到二元以上的函数 定理可推广到二元以上的函数. 广到二元以上的函数
即要求函数 u = x 3 y 2 z 在条件 x + y + z = 12 下
的最大值.
L( x, y, z , λ ) = x y z + λ ( x + y + z − 12)
3 2
Lx = 3 x 2 y 2 z + λ = 0 L y = 2 x 3 yz + λ = 0 则由 Lz = x 3 y 2 + λ = 0 L = x + y + z − 12 = 0 λ
方法1 方法 代入法. 化
条 从 件ϕ( x, y) = 0中 出 y =ψ( x) 解
求一元函数 z = f ( x,ψ ( x)) 的无条件极值问题 有 如 目标函数 约束条件 求条件极值 求条件极值
9-8多元函数的极值及其求法
例2 求函数 f ( x, y ) x 2 y (4 x y ) 在由直线 x y 6, 0, 0 所围闭区域 D 上的最值. x y ( 1995) y 解 先求函数在D 内的驻点, x y6 f x 2 x y(4 x y ) x 2 y 0 ,D 解方程组 2 2 f y x (4 x y ) x y 0 o x à ÷ ò D Ú ¨º ×ã ( 2,1) ¬ Ç f ( 2,1) 4 £ µ Ç Ó Ä Î Ò ¤µ £Ò ¬
则有二元函数极值的定义
设函数 f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义,
且对该邻域内任一异于P0 ( x0 , y0 ) 的点 P ( x, y ), 均有 f ( x, y ) f ( x0 , y0 ),( 或 f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) ),
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤:
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0, f y ( x, y ) 0 .
求出实数解,得驻点.
Ú ú ¼ µ ¶ °
Ú ù ¼ µ È °
Ú ¿ º ö ¤ã Ô Ã Ò · ×µ ( x0 , y0 ) ´ £ ¦ ¬
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
¶ Ó » Ð
f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ¬ £
Ì ±µ µ y y0 £ x x0 Ê £ Ó Ø ð Ø ± ¬ ±¬ Ð
f ( x , y0 ) f ( x0 , y0 ) £ ¬
´ ¶ Ò Ô ¹ Ê f ( x , y0 ) Ô x x0 ´ Ó » ´ Ö £ Ó ÷ º ª ¯ ù Ú ¦ Ð « ó µ ¬ Ë Ò f x ( x0 , y0 ) 0 º 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0 . ù Ô £
0808多元函数的极值及其求法
f y ( x , y ) = −3 y 2 + 3,
令 f x ( x , y ) = f y ( x , y ) = 0,
得驻点 : (1,1), (1,−1), ( −1,1), ( −1,−1),
. 为 例5 现要用铁皮做一个体积 2m3的有盖长方体水箱
尺寸时 水箱的用料最省 ,水箱的用料最省 . 问当长宽高各取怎样的
解:设水箱的长为 x m,宽为 y m, 高为 z m, 宽为
水箱所用材料的面积为 : A = 2( xy + yz + zx ), ( x > 0, y > 0, z > 0), 其中 : xyz = 2.
令 Ax = A y = 0, 即令 2( y − ) = 0, ) = 2( x − y2 x2
解之得唯一驻点 : ( 3 2 , 3 2 ),
2
2
又由题意 , 最小值一定存在 , 且在开区域内取到 ,
∴ 可断定 当x = y = 3 2时, A最小 , 且此时 z = 3 2 ,
∴ 当长宽高均为 3 2m时, 水箱的用料最省 .
◆无条件极值: 无条件极值: 对自变量除了有定域内的限制,无其它条件. 对自变量除了有定域内的限制,无其它条件
二、条件极值、拉格朗日乘数法 条件极值、 ◆条件极值:对自变量有附加条件的极值. 条件极值:对自变量有附加条件的极值.
. 为 例5 现要用铁皮做一个体积 2m3的有盖长方体水箱
尺寸时 水箱的用料最省 ,水箱的用料最省 . 问当长宽高各取怎样的
第八节多元函数的极值及其求法
z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式,得
V xy a2 2xy 2(x y)
再求它的无条件极值就行了.
这是一种间接求条件极值的方法. 但是,在很多情形,条件极值问题不能或很难化为
无条件极值问题,(比如,从附加条件不能将其中一个 变量由其余变量表示出来),这时, 上述方法就行不 通了. 可是, 实际中又有大量这类问题需要解决, 为此, 下面给大家介绍一种直接求条件极值的方法,
对该邻域内的异于 (x0, y0) 的任意点 (x, y), 都有 f (x, y) f (x0, y0) .
取定 y y0,当0 | x x0 | 时, 点(x, y0) U (P0, ) , 且(x, y0) (x0, y0), 因而应有
f (x, y0) f (x0, y0)
即 当0 | x x0 | 时, 有
第三步 根据极值的充分条件, 对驻点 (x0, y0) 是否为极值点,以及是极大值点还是极小值点
作出判断。
例1 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值.
解 定义域: 整个平面
fx 3x2 6x 9 0
fy
3y2 6y
0
解得: x 1 x 1 x 3
求 V xyz (x 0, y 0, z 0)
在附加条件 2xy 2yz 2zx a2
下的最大值.
条件极值问题
怎样求条件极值? 有些可以化为无条件极值问题来求。
例如上面的问题:
求 V xyz (x 0, y 0, z 0) 在附加条件 2xy 2yz 2zx a2
下的最大值. 由附加条件解得
f (x, y) f (x0, y0)
( )
则称函数 f (x,y) 在点 (x0 ,y0) 有极大值 f(x0 ,y0), (极小值)
高等数学第九章第八节 多元函数的极值及其求法
求出实数解,得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ),
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号,再判定是否是极值.
例 3 求函数 f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的极值。
练习题答案
一、1、(3,2),大,36; 二、(8 , 16).
55
2、大, 1; 4
练习题
一、
填空题:
1、
函数 f ( x, y) (6x x 2 )(4 y y 2 ) 在
_______点取得极_________值为___________.
2、
函数 z xy 在附加条件 x y 1下
的极______值为_____________.
二、 在 平 面 xOy 上 求 一 点 , 使 它 到 x 0, y 0 及 x 2 y 16 0三平面的距离平方之和为最小.
求函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的极值。
(2)拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的
可能极值点,
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y),
其中 为某一常数,可由
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下: (1) AC B2 0时具有极值,
当 A 0时有极大值, 当 A 0时有极小值;
(2) AC B2 0时没有极值; (3) AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值,
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第十一讲 二元函数的极值要求:理解多元函数极值的概念,会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值。
问题提出:在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题,与一元函数相类似,多元函数的最大值,最小值与极大值,极小值有密切的关系,因此以二元函数为例,来讨论多元函数的极值问题.一.二元函数的极值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义,对于该邻域内的所有),(),(00y x y x ≠,如果总有),(),(00y x f y x f <,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值;如果总有),(),(00y x f y x f >,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值. 函数的极大值,极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 例1.函数xy z =在点)0,0(处不取得极值,因为在点)0,0(处的函数值为零,而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点. 例2.函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值.因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f .从几何上看,点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点,曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ,从而得到函数取得极值的必要条件.定理1(必要条件)设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y .几何解释若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ,那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为是平行于xoy 坐标面的平面0z z =.类似地有三元及三元以上函数的极值概念,对三元函数也有取得极值的必要条件为0),,(000=z y x f x ,0),,(000=z y x f y ,0),,(000=z y x f z说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题,但它明确指出找极值点的途径,即只要解方程组⎩⎨⎧==0),(0),(0000y x f y x f y x ,求得解),(),(),,(2211n n y x y x y x ⋯⋯,那么极值点必包含在其中,这些点称为函数),(y x f z =的驻点.注意1.驻点不一定是极值点,如xy z =在)0,0(点.怎样判别驻点是否是极值点呢下面定理回答了这个问题.定理2(充分条件)设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续偏导数,又0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y ,令 A y x f xx =),(00,B y x f xy =),(00,C y x f yy =),(00,则(1)当02>-B AC 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值,且当0<A 时,有极大值00(,)f x y ,当0>A 时,有极小值00(,)f x y ;(2)当02<-B AC 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 没有极值;(3)当02=-B AC 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 可能有极值,也可能没有极值,还要另作讨论.求函数),(y x f z =极值的步骤:(1)解方程组0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y ,求得一切实数解,即可求得一切驻点 ),(),(),,(2211n n y x y x y x ⋯⋯;(2)对于每一个驻点),(i i y x (1,2,)i n =L ,求出二阶偏导数的值C B A ,,;(3)确定2B AC -的符号,按定理2的结论判定),(i i y x f 是否是极值,是极大值还是极小值;(4)考察函数),(y x f 是否有导数不存在的点,若有加以判别是否为极值点.例3.考察22y x z +-=是否有极值.解 因为22y x x x z +-=∂∂,22y x y y z +=∂∂在0,0==y x 处导数不存在,但是对所有的)0,0(),(≠y x ,均有0)0,0(),(=<f y x f ,所以函数在)0,0(点取得极大值.注意2.极值点也不一定是驻点,若对可导函数而言,怎样例4.求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.解 先解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=063096322y y f x x f y x ,求得驻点为)2,3(),0,3(),2,1(),0,1(--, 再求出二阶偏导函数66+=x f xx ,0=xy f ,66+-y f yy .在点)0,1(处,0726122>=⨯=-B AC ,又0>A ,所以函数在点)0,1(处有极小值为5)0,1(-=f ;在点)2,1(处,0722<-=-B AC ,所以)2,1(f 不是极值;在点)0,3(-处,0722<-=-B AC ,所以)0,3(-f 不是极值;在点)2,3(-处,0722>=-B AC ,又0<A ,所以函数在点)2,3(-处有极大值为31)2,3(=-f .二.函数的最大值与最小值求最值方法:⑴ 将函数),(y x f 在区域D 内的全部极值点求出;⑵ 求出),(y x f 在D 边界上的最值;即分别求一元函数1(,())f x x ϕ,2(,())f x x ϕ的最值;⑶ 将这些点的函数值求出,并且互相比较,定出函数的最值.实际问题求最值根据问题的性质,知道函数),(y x f 的最值一定在区域D 的内部取得,而函数在D 内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最值.例4.求把一个正数a 分成三个正数之和,并使它们的乘积为最大.解 设y x ,分别为前两个正数,第三个正数为y x a --,问题为求函数 )(y x a xy u --=在区域D :0>x ,0>y ,a y x <+内的最大值. 因为)2()(y x a y xy y x a y xu --=---=∂∂,)2(x y a x y u --=∂∂, 解方程组⎩⎨⎧=--=--0202x y a y x a ,得3a x =,3a y =. 由实际问题可知,函数必在D 内取得最大值,而在区域D 内部只有唯一的驻点,则函数必在该点处取得最大值,即把a 分成三等份,乘积3)3(a 最大.另外还可得出,若令y x a z --=,则即 33z y x xyz ++≤. 三个数的几何平均值不大于算术平均值.三.条件极值,拉格朗日乘数法引例 求函数22y x z +=的极值.该问题就是求函数在它定义域内的极值,前面求过在)0,0(取得极小值;若求函数22y x z +=在条件1=+y x 下极值,这时自变量受到约束,不能在整个函数定义域上求极值,而只能在定义域的一部分1=+y x 的直线上求极值,前者只要求变量在定义域内变化,而没有其他附加条件称为无条件极值,后者自变量受到条件的约束,称为条件极值.如何求条件极值有时可把条件极值化为无条件极值,如上例从条件中解出x y -=1,代入22y x z +=中,得122)1(222+-=-+=x x x x z 成为一元函数极值问题,令024=-='x z x ,得21=x ,求出极值为21)21,21(=z . 但是在很多情形下,将条件极值化为无条件极值并不这样简单,我们另有一种直接寻求条件极值的方法,可不必先把问题化为无条件极值的问题,这就是下面介绍的拉格朗日乘数法.利用一元函数取得极值的必要条件.求函数),(y x f z =在条件下取得极值的必要条件.若函数),(y x f z =在00(,)x y 取得所求的极值,那么首先有00(,)0x y ϕ=.假定在00(,)x y 的某一邻域内函数),(y x f z =与均有连续的一阶偏导数,且00(,)0y x y ϕ≠.有隐函数存在定理可知,方程0),(=y x ϕ确定一个单值可导且具有连续导数的函数()y x ψ=,将其代入函数),(y x f z =中,得到一个变量的函数于是函数),(y x f z =在00(,)x y 取得所求的极值,也就是相当于一元函数(,())z f x x ψ=在0x x =取得极值.由一元函数取得极值的必要条件知道 000000(,)(,)0x y x x x x dz dy f x y f x y dx dx ===+=, 而方程0),(=y x ϕ所确定的隐函数的导数为 00000(,)(,)x x x y x y dydx x y ϕϕ==-. 将上式代入00000(,)(,)0x y x x dyf x y f x y dx =+=中,得00000000(,)(,)(,)0(,)x x y y x y f x y f x y x y ϕϕ-=, 因此函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下取得极值的必要条件为 0000000000(,)(,)(,)0(,)(,)0x x y y x y f x y f x y x y x y ϕϕϕ⎧-=⎪⎨⎪=⎩. 为了计算方便起见,我们令 0000(,)(,)y y f x y x y λϕ=-, 则上述必要条件变为0000000000(,)(,)0(,)(,)0(,)0x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,容易看出,上式中的前两式的左端正是函数的两个一阶偏导数在00(,)x y 的值,其中λ是一个待定常数.拉格朗日乘数法求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能的极值点.⑴ 构成辅助函数),(),(),(y x y x f y x F λϕ+=,(λ为常数)⑵ 求函数F 对x ,对y 的偏导数,并使之为零,解方程组得λ,,y x ,其中y x ,就是函数在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点的坐标;⑶ 如何确定所求点是否为极值点在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定.拉格朗日乘数法推广求函数),,,(t z y x f u =在条件(,,,)0x y z t ϕ=,(,,,)0x y z t ψ=下的可能的极值点.构成辅助函数其中21,λλ为常数,求函数F 对z y x ,,的偏导数,并使之为零,解方程组 得z y x ,,就是函数),,,(t z y x f u =在条件(,,,)0x y z t ϕ=,(,,,)0x y z t ψ=下的极值点. 注意:一般解方程组是通过前几个偏导数的方程找出,,x y z 之间的关系,然后再将其代入到条件中,即可以求出可能的极值点.例6.求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱长分别为z y x ,,,则问题是在条件下,求函数xyz v = )0,0,0(>>>z y x 的最大值.构成辅助函数)222(),,(2a xz yz xy xyz z y x F -+++=λ,求函数F 对z y x ,,偏导数,使其为0,得到方程组 由)1()2(,得 z y z x y x ++=, 由 )2()3( , 得 zx y x z y ++=, 即有, ()(),x y z y x z x y +=+= ,()(),y x z z x y y z +=+=,可得z y x ==,将其代入方程02222=-++a xz yz xy 中,得 a z y x 66===. 这是唯一可能的极值点,因为由问题本身可知最大值一定存在,所以最大值就是在这可能的极值点处取得,即在表面积为2a 的长方体中,以棱长为a 66的正方体的体积为最大,最大体积为3366a v =. 例7.试在球面2224x y z ++=上求出与点(3,1,1)-距离最近和最远的点. 解 设(,,)M x y z 为球面上任意一点,则到点(3,1,1)-距离为但是,如果考虑2d ,则应与d 有相同的最大值点和最小值点,为了简化运算,故取2222(,,)(3)(1)(1)f x y z d x y z ==-+-++,又因为点(,,)M x y z 在球面上,附加条件为222(,,)40x y z x y z ϕ=++-=.构成辅助函数(,,)F x y z 222(3)(1)(1)x y z =-+-++222(4)x y z λ+++-.求函数F 对z y x ,,偏导数,使其为0,得到方程组从前三个方程中可以看出,,x y z 均不等于零(否则方程两端不等),以λ作为过渡,把这三个方程联系起来,有 311x y z x y z λ--+-===或311x y z--==, 故3,x z y z =-=-,将其代入2224x y z ++=中,得222(3)()4z z z -+-+=, 求出z =,再代入到3,x z y z =-=-中,即可得x =y = 从而得两点(,, 对照表达式看出第一个点对应的值较大,第二个点对应的值较小,所以最近点为,最远点为(.。