多元函数的极值与最值

区域内的驻点 最值可疑点 边界上的最值点
特别, 在区域函数只有一个极值点P 时, 经判别得 f ( P ) 为最小(大)值 f ( P ) 为极小(大) 值
当区域内部最值存在, 且只有唯一的一个驻点P 时，
则驻点一定是最值点。
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第六节
多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
令
2
2
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos2 sin2 ) 0 60 , x 8 (cm) 解得: 3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有


高为
3
2 23 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
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第六节
多元函数的极值与最值
例5.有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成
第 八 积最大. 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 为 ( 24 2 x 2 x cos ) x sin 2 24 x sin 2 x 2 sin x 2 cos sin
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
f x x ( x , y ) 6 x 6 , f x y ( x , y ) 0 , f y y ( x , y ) 6 y 6
A
在点(1,0) 处 AC B 2 12 6 0 , A 0 , 为极小值;
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第六节
多元函数的极值与最值
z f ( x , y ) x 2 y(4 x y )
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第六节
多元函数的极值与最值
例4. 某厂要用铁板做一个体积为2
第 八 章
的有盖长方体水
箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 解: 设水箱长,宽分别为x ,y m ,则高为 x2y m ,
则水箱所用材料的面积为
为极大值.
f x x ( x , y ) 6 x 6 , f x y ( x , y ) 0 , f y y ( x , y ) 6 y 6
A
B
-6-
C
第六节
多元函数的极值与最值
例2.讨论函数
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
及
在点(0,0)
是否取得极值. 解: 显然(0,0)都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 有 在(0,0)点邻域内的取值可能为
令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
多 元 函 数 则: 微 分 法 及 其 应 用
1) 当AC B 0 时, 具有极值
2 2 AC B 0 时, 没有极值. 2) 当
A<0 时取极大值;
于是令 g( x ) x 2 (6 x )( 2) ,
由 g 4 x ( x 6) 2 x 2 0 ,
D
o
x
0 x6
得 x2 4 y 6 x | x 4 2,
g(0) 0, g(6) 0, g(4) f (4,2) 64,
比较后可知 f ( 2,1) 4 为最大值, f (4,2) 64为最小值.
0
长、宽、高尺寸相等 .
转 化
从条件 ( x , y ) 0中解出 y ( x )
求一元函数 z f ( x , ( x )) 的无条件极值问题
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第六节
多元函数的极值与最值
方法2 拉格朗日乘数法. 例如, 在条件 ( x , y ) 0下, 求函数 z f ( x , y ) 的极值.
( x , y , z ) 0下的极值. 多 设 F f ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z ) 1 2
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
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第六节
多元函数的极值与最值
例6. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
( D : 0 x 12 , 0 2)
x
x
24 2 x
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24
第六节
多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
A 24 x sin 2 x sin x cos sin ( D : 0 x 12 , 0 ) 2
正
负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
当 x y 0 时, z ( x y ) z ( 0,0 ) 0
2 2
2
2 2
因此
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为极小值.
第六节
多元函数的极值与最值
二 多元函数的最值
依据
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格
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朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
第六节
多元Baidu Nhomakorabea数的极值与最值
第 八 章 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 例如, 求函数 u f ( x , y , z ) 在条件 ( x , y , z ) 0 , 推广
在点(1,2) 处
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
AC B 2 12 ( 6) 0 ,
在点(3,0) 处
不是极值; 不是极值;
AC B 2 12 6 0 ,
在点(3,2) 处
AC B 2 12 ( 6) 0 , A 0 ,
第六节
多元函数的极值与最值
第六节 多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
一 多元函数的极值
二 多元函数的最值 三 条件极值
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第六节
多元函数的极值与最值
一、 多元函数的极值
第 八 章
定义: 若函数
的某邻域内有
多 则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 元 函 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 数 例如 : 微 分 在点 (0,0) 有极小值; 法 及 在点 (0,0) 有极大值; 其 应 用 在点 (0,0) 无极值.
多 2 2 2 x y 元 x y 函 数 Ax 2( y x22 ) 0 3 3 微 令 得驻点 ( 2 , 2) 分 2 A 2 ( x )0 法 y y2 及 其 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 应 用 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
第 八 章
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y , z 使在条件 x y z V0 下水箱表面积 S 2( x z y z ) x y
多 元 最小. 函 数 令 F 2( x z 微 分 法 及 其 解方程组 应 用
应 用
记
x
fx

fy
y

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第六节
多元函数的极值与最值
f x x 0
第 八 章
f y y 0 ( x, y) 0 引入辅助函数 F f ( x , y ) ( x , y )
极值点必满足
多 元 函 数 则极值点满足: 微 分 法 因此 函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0下的极值点 及 其 应 一定是函数 F ( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y ) 的驻点。 用
A>0 时取极小值.
3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
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第六节
多元函数的极值与最值
例1. 求函数
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
的极值.
解: 第一步 求驻点. 解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第 由题意可知合理的设计是存在的, 因此 八 章 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
, 当高为
3 V0 , 4
z
思考: 多 y 元 x 1) 当水箱封闭时 , 长、宽、高的尺寸如何 ? 函 数 微 提示: 利用对称性可知, x y z 3 V0 分 法 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 及 其 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 应 用 提示: F 2( x z y z ) 2 x y ( x y z V )
存在
证:
取得极值 , 故
例如,
有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
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第六节
多元函数的极值与最值
第 八 章
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
y z ) x y ( x y z V0 )
z
x
y
2z y y z 0 2z x x z 0 2( x y ) x y 0 x y z V0 0
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第六节
多元函数的极值与最值
4 3 2V 0
得唯一驻点 x y 2z 3 2V0 ,
第 八 章
如方法 1 所述 , 设 ( x , y ) 0 可确定隐函数 y ( x ) ,
则问题等价于一元函数 z f ( x , ( x )) 的极值问题, 故 多 元 极值点必满足 函 dz dy 数 fx f y 0 微 dx dx 分 法 dy x x , 故有 f x f y 0 及 因 dx y y 其
一个驻点, 故此点即为所求.
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第六节
多元函数的极值与最值
三、条件极值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
极值问题
无条件极值: 对自变量只有定义域限制
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 , 在条件 ( x , y ) 0下, 求函数 z f ( x , y ) 的极值
例3 求二元函数 z f ( x , y ) x 2 y(4 x y )在 直线 x y 6， x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大 y 值与最小值.
解
如图,
D
o
x y6
x
先求函数在 D 内的驻点，
解方程组
2 f ( x , y ) 2 xy ( 4 x y ) x y0 x fy ( x , y ) x 2 (4 x y ) x 2 y 0
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第六节
多元函数的极值与最值
定理1 (必要条件) 函数
则有 偏导数, 且在该点取得极值 , 第 ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 八 fx
章 多 元 取得极值 函 数 取得极值 微 分 法 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 . 及 其 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 应 但驻点不一定是极值点. 用
且 f ( 2,1) 4 , 得区域 D 内唯一驻点( 2,1),
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第六节
多元函数的极值与最值
y
再求 f ( x , y )在 D 边界上的最值，
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
在边界 x 0 和 y 0 上 f ( x , y ) 0 ,
x y6
在边界 x y 6 上，即 y 6 x