多元函数的极值与最值
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
多元函数的极值及最大值
例5 求表面积为 a 而体积为最大的长方体 的体积 .
2
三、最小二乘法
作业：P70 1 5 8
要找函数z f ( x, y)在附加条件 ( x, y) 0 下的可能极值点，可以 先构成辅助函数 F ( x, y) f ( x, y) ( x, y) f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 由： f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 ( x, y ) 0
例3：某厂要用铁板做成一 个体积为2m 的有盖 长方形水箱 .问长、宽、高各取怎样 的尺 寸时，才能使用料最省 ？
例4：有一宽为 24cm的长方形铁板，把它两 边 折起来做成一个断面为 等腰梯形的水槽 . 问怎样折法才能使断面 的面积最大？
3
二、条件极值 拉格郎日乘数法
无条件极值 条件极值 拉格郎日乘数法
(1) AC B 2 0时具有极值，且当 A 0时有极大 值，当A 0时有极小值；
(2) AC B2 0时没有极值；
(3) AC B 2 0时可能有极值，也可能 没有极值， 还需另作讨论 . 3 3 2 2 例2：求函数f ( x, y) x y 3x 3 y 9x的极值 .
驻点：能使 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0同时成立的点 .
可导：极值点 驻点. 驻点 ？极值点.
定理2(充分条件)：设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 )的 某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数，又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y )在( x0 , y0 )处是否取得极值的条件 如下：
极值与最值
极大值点与极小值点统称为极值点
极大值与极小值统称为极值
如：⑴ z 3x2 4y2在 (0,0)处有极小值（如下图） ⑵ z x2 y2 在 (0,0) 处有极大值（如下图） ⑶ z xy 在 (0,0) 处既无极大值也无极小值
M max{ f (x1, y1),, f (xn , yn )} m min{ f (x1, y1),, f (xn , yn )}
例2：求函数 f (x, y) x2 2xy 2 y在矩形闭区域
D {(x, y) 0 x 4,0 y 3}上的最值.
对于实际问题求最值
Lxx 4 A Lxx (40, 24) 4 0 Lxy 4 B Lxy (40, 24) 4
Lyy 8 C Lyy (40, 24) 8
B2 AC 16 0
A 0
Байду номын сангаас
(x0,y0)=(40,24)为极大值点，就 是最大值点。
最大值点与最小值点统称为最值点
最大值与最小值统称为最值
2、最值的求法
设函数 z f (x, y) 在有界的闭区域 D上连续可微，
则求最值的步骤为：
⑴求函数 z 的所有驻点(xi, yi ), i 1,, n ； ⑵求函数 z 在边界上的最大值点和最小值点 (xm, ym) ⑶求最大值与最小值
解此方程有：
x y
x0
a(ax0 a
多元函数的极值与最值
转 化
从条件( x, y) 0中解出 y ( x)
求一元函数
z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题
- 14 -
方法2 拉格朗
日乘数法.
例如,
在条件( x, y) 0下, 求函数 z f ( x, y) 的极值.
如方法 1 所述 ,
设 ( x, y) 0 可确定隐函数
y (x),
(
D
:
0
x
12,
0
2
)
令 Ax 24sin 4x sin 2x sin cos 0 A 24x cos 2x2 cos x2(cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin2 ) 0
比较后可知 f (2,1) 4为最大值, f (4,2) 64为最小值.
z f (x, y) x2 y(4 x y)
- 10 -
4. 某厂要用铁板做一个体积为2
箱, 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
的有盖长方体水
解:
设水箱长,宽分别为x ,y m ,
则水箱所用材料的面积为
但在该点不取极值.
-3-
定理2 (充 分条件) 若函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
解得:
60, x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到,
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值多元函数是在多个自变量的基础上建立起来的函数，其中每个自变量可以取不同的取值范围。
函数中的每个自变量都有可能对因变量产生影响，因此在寻找该类函数的极值和最值时，需要使用二元函数求导以及极值的方法进行研究分析。
本文将详细阐述多元函数的极值与最值的相关概念和定理，并探讨如何应用这些方法进行问题解决。
一、多元函数的极值和最值1. 极值极值是指一个函数在可定义范围内的自变量取值中，使得该函数取得最大值或者最小值的某个特定点。
当函数在该点处的导数为0时，这个点被称为函数的驻点；如果在该点处导数变号，那么该点就是函数的极值点。
因此，求多元函数的极值就需要用到多元函数求导的技巧，从而找到导函数为0的点。
2. 最值最值是指一种特殊的极值，它是多元函数在所有可定义自变量取值范围内所取得的最大值或最小值。
一般来说，函数的最值不一定是在驻点处取得，而是可能在该函数的可定义区间的极点或边界处取得。
二、多元函数的求导方法多元函数的求导方法一般可以通过偏函数求导的方式实现。
即，将多元函数转化为一组由每个自变量为变量的一元函数，再对每个一元函数分别求导。
由于多元函数的求导方法较为复杂，因此需要有以下几个步骤：1. 将多元函数转化为一系列一元函数可以将多元函数按照自变量分别取值范围确定的函数写成形如f(x1,x2,...,xn) = y的形式。
其中，x1,x2,...,xn表示自变量，y为因变量。
2. 对每一个自变量求偏导数在多元函数中，并不是所有自变量对函数的影响都是一样的。
因此，我们必须分别计算每个自变量的导数，即偏导数。
在对每个自变量求偏导数时，其他变量都被视为常量，只对当前变量进行求导操作。
3. 求出最终导数表达式在求出所有的偏导数之后，需要根据求导规则求出最终的导数表达式。
为了求出多元函数的驻点，需要将各个偏导数求出的结果联立，并得到所有自变量为未知数的方程组。
4. 解方程组求得极值或最值最后，我们可以使用解线性方程组的方法，从而求得多元函数的极值或最值点。
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
多元函数极值与最值
多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。
而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。
对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。
1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。
（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。
1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。
1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。
2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。
2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。
它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。
具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。
它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。
具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。
3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。
3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。
多元函数的极值与最值
（2） B AC
2
B C 0 时没有极值；
正定
B 2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值， （3）
还需另作讨论．
13
例4 求函数 f ( x, y) x 3 y 3 3 x2 3 y2 9 x 的极值.
f x 3 x 2 6 x 9 0 x 3, 1 解 令 f y 3 y 2 6 y 0 y 0, 2 求得驻点： (3,0), (1,0), (3,2), (1,2) ,
其中 为参数， Fx f x ( x , y ) ( x , y ) 0 x 令 F y f y ( x , y ) ( x , y ) 0 , y F ( x , y ) 0 解出 x , y , ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区 域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往
可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若
函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就 是最大值点或最小值点.
26
例9 在周长为2 p 的一切三角形中,求出面积最大的三角形. 解 设三角形的三条边长分别为 x , y, z ,
注意到 x 0, sin 0 ,化简后解得 x 8, , 3
由实际问题可知,S 必有最大值,且内部唯一驻点,故当
x 8,
3
时,槽的截面积最大, S最大 48 3 .
18
例7
已知某产品的需求函数为 Q 200000 1.5 x 0.1 y 0.3 ， p
解出 x , y , z ，就是可能的极值点的坐标 .
多元函数极值和最值知乎
多元函数极值和最值
多元函数的极值和最值是在数学中研究多元函数的重要概念。
在多元函数中，有多个自变量，因此需要使用多元微积分的方法来求解极值和最值。
以下是对多元函数极值和最值的基本概念和求解方法的解释：
1.极值：在多元函数中，极值是指函数取得的最大值或最小
值。
极大值是函数取得的最大值，极小值是函数取得的最
小值。
极值点是函数极值所对应的自变量的取值。
在数学
中，通过求解函数的偏导数或海森矩阵，可以找到函数的
极值点。
2.最值：最大值是函数取得的最大值，最小值是函数取得的
最小值。
最值点是函数最值所对应的自变量的取值。
在多
元函数中，求解最值需要考虑函数的取值范围和约束条件。
求解多元函数的极值和最值通常需要以下步骤：
a. 求解函数的偏导数：对于多变量函数，需要求取每个自变量的偏导数，然后令其等于零，得到极值点的一组可能解。
b. 检查偏导数的零点：对于求得的极值点，需要检查哪些是临界点，即是否是真正的极值点。
这可以通过进行二阶偏导数测试或观察局部整体性质进行判断。
c. 检查边界条件：如果多元函数的定义域是有界的，需要检查定义域的边界上是否存在可能的极值点。
d. 比较和确定最大值和最小值：通过比较各个候选的极值
点的函数值，确定多元函数的最大值和最小值。
需要注意的是，求解多元函数的极值和最值是一个复杂的过程，并且在实践中可能会遇到各种难题。
合理使用数学工具和技巧，以及仔细分析问题的特性和约束条件，能够有效地求解多元函数的极值和最值。
大学数学多元函数的极值与最值
大学数学多元函数的极值与最值多元函数是数学领域中的重要概念之一，研究多元函数的极值与最值对于优化问题的解决具有重要作用。
在本文中，将介绍多元函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。
一、多元函数的极值与最值概念多元函数是指涉及多个自变量和依赖变量的函数。
对于多元函数而言，极值即为函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值和最小值。
二、求多元函数的极值与最值的方法1. 隐函数求导法当函数无法直接表示为显式解析式时，可以通过隐函数求导的方法来求解极值。
该方法主要依靠链式法则来计算导数，进而确定极值的位置。
2. 梯度法梯度法是一种常用的优化算法，可以用来求解多元函数的极值问题。
其基本思想是沿着函数值下降最快的方向进行搜索，直到找到极值点。
3. 条件极值对于多元函数在一定条件下的极值问题，可以利用拉格朗日乘数法求解。
该方法通过引入约束条件，将多元函数的极值问题转化为带约束条件的无条件极值问题。
三、多元函数极值与最值的应用1. 经济学中的应用多元函数的极值与最值在经济学中有着广泛的应用。
以生产成本函数为例，通过求取其极小值可以得到最低成本的生产方案，帮助企业提高效益。
2. 工程优化问题在工程领域中，多元函数的极值与最值的求解能够帮助工程师找到最优设计方案，减少资源的浪费，提高整体效益。
3. 金融学中的投资问题在金融学中，多元函数的极值与最值的计算可以被应用于投资组合方面。
通过求取最大收益或最小风险的投资组合，可以帮助投资者制定合理的投资策略。
四、总结通过本文对大学数学多元函数的极值与最值的介绍，我们了解了多元函数极值的概念以及求解方法。
多元函数的极值与最值在实际问题中有着广泛应用，对于优化问题的解决具有重大意义。
因此，学好多元函数的极值与最值的相关知识，对于我们深入理解数学的应用和发展具有重要意义。
多元函数的极值与最值
=0
不能确定的
5. 极值的充分条件
并设：A = fx′′x (P0 ), B = fx′′y (P0 ),C = f y′′y (P0 ),则：
B2 − AC A <0
<0 >0
>0
f (P0 )是 极大值
极小值 非极值
=0
不能确定的
例1 求 f ( x, y ) = x 2 + y 2的极值。
A B2 − AC
Pi是 f (Pi )是
P1 −12
72 驻点 非极值
P2 −12 − 72 极大值点 极大值
P3 12 − 72 极小值点 极小值
P4 12 72 驻点 非极值
6. 极值的充要条件举例
例3 设 z = f ( x, y ) = x 2 + xy + 2 y 2的极值。
令
令
解：z′x = 3x + y = 0且z′y = x + 4 y = 0
令
令
解：f x′ = 3x2 + 6x − 9 = 0且f y′ = −3 y 2 + 6 y = 0
⇒ P1(−3,0), P2 (−3,2), P3 (1,0), P4 (1,2)为驻点 A = f x′x′ = 6x + 6, B = f x′y′ = 0, C = f y′′y = −6 y + 6
7. 多元函数的极值（广义的定义）
f 在顶点A、B、C、D处有极大值
z
B
A
C
D
z=f(x,y)
0
y
x
7. 多元函数的极值（广义的定义）
D是尖点，f 在点D处有极大值
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值多元函数是指含有多个变量的函数。
在数学中，多元函数的极值和最值是研究函数在定义域内取得的最大值或最小值的问题。
本文将探讨多元函数的极小值与极大值，以及如何确定极值的方法。
1. 极值的定义和判断方法多元函数的极大值和极小值定义如下：对于函数f(x1, x2, ..., xn)，若存在一个点P(x1, x2, ..., xn)使得在点P的某个邻域内，对于任意(x1', x2', ..., xn')，f(x1', x2', ..., xn') ≤ f(x1, x2, ..., xn)，则称f(x1, x2, ..., xn)在点P取得极小值；若存在一个点Q(x1, x2, ..., xn)使得在点Q的某个邻域内，对于任意(x1', x2', ..., xn')，f(x1', x2', ..., xn') ≥ f(x1, x2, ..., xn)，则称f(x1, x2, ..., xn)在点Q取得极大值。
判断函数极值的方法常用的有以下几种：- 一阶导数法：求出函数的所有一阶偏导数，并解方程组求出所有临界点，再通过二阶偏导数或利用一阶导数的符号变化判断临界点的性质（极大值或极小值）。
- 二阶导数法：计算函数的所有二阶偏导数，并判断二阶导数的符号确定临界点的性质。
- 极值判别法：利用Hessian矩阵来判断函数的极值，若Hessian矩阵是正定的，则函数取得极小值；若Hessian矩阵是负定的，则函数取得极大值。
2. 寻找多元函数的最值寻找多元函数的最值的方法有以下几种：- 符号法：将函数在定义域边界上的取值代入函数，通过比较得到最大值和最小值。
- 拉格朗日乘数法：当函数的自变量受到一定的限制条件时，可以利用拉格朗日乘数法来求解函数的最值。
- 最优化算法：通过迭代计算的方式，利用数值优化算法来求解函数的最值，例如梯度下降法、牛顿法等。
第六节多元函数的极值与最值
(2)求偏导
F f 0
x x x
令
F f 0
y y y
解得 (x, y) 及
F
0
(3)判断求出的点(x, y) 是否为条件极值点,
通常都是根据问题本身的实际意义确定.
例6 设长方体三边长度之和为a,试问三边
各取什么值时所得长方体的体积最大?
解 设三边长度各为 x, y, z 体积为V
A f xx ( x0 , y0 ) B fxy ( x0 , y0 ) C f yy( x0 , y0 ) D B2 AC
(1)若 D 0, 且A 0, 则 (x0, y0 )是极大值点 (2)若 D 0, 且A 0, 则 (x0, y0 )是极小值点 (3)若 D 0, 则(x0, y0 ) 不是极值点
D B2 AC 9 36xy
对 (0,0) D 9 0 不是极值点
对 (1,1) D 27 0 且 A 6 0是极小值点
此时极小值为 f (1,1) 1.
补充 求 f (x, y) x2(2 y2 ) y ln y 的极值.
(2009年考研真题9分)
解 zx 2x(2 y2 ) zy 2x2 y ln y 1
(4)若 D 0, 则(x0, y0 ) 不确定.
例1 求 z x3 y3 3xy 的极值.
解 zx 3x2 3 y zy 3 y2 3x
令
zx 3x2 3 y 0
zy 3 y2 3x 0
解得 (0,0) (1,1)
A zxx 6x B zxy 3 C zyy 6 y
令
zx
2x(2
y2)
0
zy 2x2 y ln y 1 0
解得 (0, 1 )
e
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题，而当函数的自变量不止一个时，就会涉及到多元函数的极值与最值问题。
本文将对多元函数的极值与最值进行探讨和讲解。
1. 极值的概念在一元函数中，我们知道极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
而在多元函数中，极值的概念与一元函数类似，也是指函数在某一点或某一区域内取得的最大值或最小值。
2. 极值的判定条件对于一元函数，我们通过导数的正负性来判断极值点。
而对于多元函数，判断极值点更加复杂。
我们需要利用偏导数和二阶导数的信息来进行判定。
a. 偏导数的判定方法偏导数是多元函数在某个自变量上的变化率，可以用来判断极值点的存在与否。
当偏导数为零时，可能存在极值点，但不一定。
我们需要进一步利用二阶偏导数的信息来判定。
b. 二阶偏导数的判定方法二阶偏导数是多元函数的偏导数再次求导得到的结果。
通过对二阶偏导数的判断，我们可以判定极值点的性质。
- Hessian矩阵的判定方法Hessian矩阵是由二阶偏导数组成的矩阵，通过判断Hessian矩阵的正定性、负定性或不定性，可以判断极值点的类型。
正定矩阵对应极小值点，负定矩阵对应极大值点，而不定矩阵则表示没有极值点。
3. 最值的概念除了极值点外，多元函数还有最值概念。
最值表示在给定区域内使函数取得最大值或最小值的点。
4. 最值的判定方法对于多元函数的最值问题，我们需要考虑两个因素：极值点和区域边界。
a. 极值点的判定方法和极值判定类似，我们利用偏导数和二阶偏导数的信息来判断极值点的存在与性质。
b. 区域边界的判定方法当给定区域为有界闭区域时，我们需要考虑边界上的点是否为最值点。
这一判断方法需要将边界上的点代入函数进行求值比较。
5. 实例分析接下来，我们通过一个实例来具体分析多元函数的极值与最值问题。
假设有一个二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5，我们要求函数的极值与最值。
多元函数的极值与最值
第二步 判别.
求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
在点(1,0) 处
A
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
-5-
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
在点(3,2) 处
AC B2 12 (6) 0, A 0,
为极大值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
不是极值; 不是极值;
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
B
C
-6-
例2.讨论函数
及
是否取得极值.
显然(0,0)解都:是它们的驻点 ,
在点(0,0) 并且在 (0,0) 有
sin 0 , x 0
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin2 ) 0
解得:
60, x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到,
而在域D 内只有
一个驻点,
故此点即为所求.
- 13 -
三、条件极值
极值问题
无条件极值: 条件极值:
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,
断定此唯一驻点就是最小值点.
即当长、宽均为
高为
3
2 23
2
3
2
- 11 -
时, 水箱所用材料最省.
因此可
32
例5.有一宽为 24cm 的长方形铁板 把它折起来做成
多元函数的极值与最值求解
多元函数的极值与最值求解在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。
对于多元函数，我们常常需要求解它的极值与最值，以便确定函数的特征与性质。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法。
一、极值的定义与求解方法在多元函数中，极值是指函数在某个局部区域内取得的最大值或最小值。
极值的求解可以通过以下方法进行：1. 边界法：如果多元函数在一个有限的闭区域内定义且连续，在区域内的边界上取到的值必然是极值。
因此，我们可以通过计算多元函数在边界上的值来确定极值。
需要注意的是，在使用边界法时，我们应当首先确定区域的边界。
2. 梯度法：多元函数的梯度表示函数在某个点处的变化率和方向。
对于一个局部极值点，函数在该点处的梯度应当为零。
因此，我们可以通过求解多元函数的梯度并令其为零来确定极值点。
3. Lagrange乘数法：Lagrange乘数法适用于求解多元函数在约束条件下的极值问题。
通过引入一个或多个约束条件，我们可以将多元函数的极值问题转化为无约束条件下的极值问题。
随后，可以使用梯度法或其他方法求解。
二、最值的定义与求解方法在多元函数中，最值指的是函数在某个区域内取得的最大值或最小值。
最值的求解可以通过以下方法进行：1. 整体法：整体法是指先求出函数在整个定义域上的取值，然后从中选取最大值或最小值作为最值。
该方法适用于函数在整个区域内单调递增或单调递减的情况。
2. 极值法：可以通过先求解函数的极值点，然后在这些点处比较函数的取值来确定最值。
需要注意的是，函数的最值可能存在于极值点处，也可能存在于边界上。
3. 梯度法：与求解极值类似，可以通过计算多元函数的梯度，并在梯度为零的点处比较函数的取值来确定最值。
三、示例为了更好地理解多元函数的极值与最值的求解方法，我们来看一个具体的示例。
假设有一个二元函数 f(x,y) = x^2 + y^2，我们需要求解这个函数的极值与最值。
首先，我们计算函数的梯度∇f = (2x, 2y)。
多元函数的极值和最值
最值的应用场景
经济学：研究商品价格、供需关系等，预测市场变化 物理学：计算物体运动轨迹、能量变化等，解释自然现象 工程学：优化设计、控制参数等，提高产品性能和效率 统计学：分析数据分布、预测未来趋势等，辅助决策制定
THANKS
汇报人：XX
极值的判定条件
二阶导数测试：判断一阶导数是否变号 边界条件：检查边界点的函数值 鞍点：判断函数值在边界点的变化趋势 实际应用：根据具体问题选择合适的判定条件
极值的应用场景
经济学：研究价格、供需关系等变量的极值点，预测市场变化。 物理学：分析力学、电磁学等领域中，利用极值原理研究物理现象。 工程学：优化设计、机械制造等领域中，利用极值寻找最优解，提高性能和效率。 统计学：在数据分析和预测中，利用极值理论进行异常值检测和数据处理。
最值求解的步骤
确定多元函数的定义域
对多元函数进行一阶偏导数的 求解
求解多元函数的一阶偏导数为 0的点，得到驻点
判断驻点是否为极值点，若不 是，则继续寻找其他驻点
Part Three
多元函数的极值和 最值的联系与区别
极值和最值的定义和性质比较
极值定义：函数在某点的值大于或小于其邻近点的值，称为该点的极值。
多元函数的极值和最值
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录
01 多 元 函 数 的 极 值
02 多 元 函 数 的 最 值
03 多 元 函 数 的 极 值 和
最值的联系与区别
Part One
多元函数的极值
极值的定义和性质
极值的概念：函数在某点的值大于或小于其邻近点的值 极值的性质：极值点处导数为零或不存在，且单调性改变 极值的判定：通过一阶、二阶导数或海涅定理等判定方法 极值的分类：极大值和极小值
多元函数的极值与最大值最小值
多元函数的极值与最大值最小值多元函数的极值与最大值最小值是数学分析领域中重要的概念。
在实际问题中，我们经常需要确定一个函数在给定条件下的最大值或最小值，这对于优化问题求解、经济学建模、物理学模型等都具有重要的应用价值。
本文将介绍多元函数的极值和最大最小值的概念、求解方法以及一些实际应用。
一、多元函数的极值多元函数是指含有两个或多个自变量的函数，通常表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn为自变量。
对于多元函数来说，极值的概念与一元函数类似，都是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
1.1 局部极值多元函数的局部极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
对于局部极值点(x1,x2,...,xn)，满足以下条件：1) 在(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内，函数值在该点处达到极值；2) 对于(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内的任一点(x1+Δx1,x2+Δx2,...,xn+Δxn)，函数值均小于(或大于)在(x1,x2,...,xn)点处的函数值。
寻找多元函数的局部极值需要使用偏导数的概念。
偏导数是指将多元函数对某一个变量求导时，将其他变量视为常数进行求导。
具体计算方法为在函数中对每个自变量分别求偏导数，然后令偏导数等于零，解方程组找到所有偏导数为零的点，即为可能的极值点。
再通过二阶偏导数的符号确定每个极值点的极值类型。
1.2 全局极值多元函数的全局极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
与一元函数的全局极值类似，全局极值点是指函数在整个定义域中取得最大值或最小值的点。
寻找多元函数的全局极值需要通过计算函数的驻点和边界上的函数值，并比较它们的大小。
驻点是指函数的偏导数为零的点，边界上的函数值可以通过限制条件将多元函数转化为一元函数，然后使用求一元函数的最大值或最小值的方法进行求解。
根据驻点和边界上的函数值，比较它们的大小即可确定全局极值。
二、多元函数的最大值与最小值在实际问题中，我们经常需要求解多元函数在给定约束条件下的最大值或最小值，这可以通过求解最优化问题来实现。
大学数学易考知识点多元函数的极值与最值
大学数学易考知识点多元函数的极值与最值大学数学易考知识点：多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值是大学数学中一个重要且常考的知识点。
本文将介绍多元函数的极值与最值的概念、求解方法和相关的应用。
一、多元函数的极值与最值的概念多元函数是包含多个自变量的函数，例如f(x, y)。
在二元函数中，常用的自变量为x和y。
而多元函数的极值与最值则是对于这些自变量的取值范围内，函数所能达到的最大值或最小值。
极值分为两种：极大值和极小值。
对于函数f(x, y)，如果在某个点(x0, y0)处，当邻域内的任意点(x, y)满足f(x, y)≤f(x0, y0)，则称f(x0, y0)为函数的极大值；如果邻域内的任意点(x, y)满足f(x, y)≥f(x0, y0)，则称f(x0, y0)为函数的极小值。
最值指的是整个定义域范围内的最大值和最小值。
对于函数f(x, y)，如果在定义域内的任意点(x, y)满足f(x, y)≤f(x', y')，则f(x', y')为函数的最大值；如果在定义域内的任意点(x, y)满足f(x, y)≥f(x', y')，则f(x', y')为函数的最小值。
二、多元函数的极值与最值的求解方法1. 极值的判定方法为了找到多元函数的极值点，可以利用偏导数进行判定。
对于二元函数f(x, y)，可以分别对x和y求偏导数，得到fx和fy。
然后解方程组fx=0和fy=0，求得所有满足条件的(x, y)，即为极值点。
2. 极值的判定条件为了判断所得到的极值点是极大值还是极小值，可以利用二阶偏导数。
对于二元函数f(x, y)，求fx对x的二阶偏导、fy对y的二阶偏导和fx对y的二阶偏导。
计算得到的二阶偏导数称为Hessian矩阵。
（1）若Hessian矩阵为正定矩阵，则该点为极小值点。
（2）若Hessian矩阵为负定矩阵，则该点为极大值点。
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Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos2 sin2 ) 0 60 , x 8 (cm) 解得: 3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
第六节
多元函数的极值与最值
第六节 多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
一 多元函数的极值
二 多元函数的最值 三 条件极值
-1-
第六节
多元函数的极值与最值
一、 多元函数的极值
第 八 章
定义: 若函数
的某邻域内有
多 则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 元 函 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 数 例如 : 微 分 在点 (0,0) 有极小值; 法 及 在点 (0,0) 有极大值; 其 应 用 在点 (0,0) 无极值.
正
负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
当 x y 0 时, z ( x y ) z ( 0,0 ) 0
2 2
2
2 2
因此
-7-
为极小值.
第六节
多元函数的极值与最值
二 多元函数的最值
依据
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
( D : 0 x 12 , 0 2)
x
x
24 2 x
- 12 -
24
第六节
多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
A 24 x sin 2 x sin x cos sin ( D : 0 x 12 , 0 ) 2
第 八 章
如方法 1 所述 , 设 ( x , y ) 0 可确定隐函数 y ( x ) ,
则问题等价于一元函数 z f ( x , ( x )) 的极值问题, 故 多 元 极值点必满足 函 dz dy 数 fx f y 0 微 dx dx 分 法 dy x x , 故有 f x f y 0 及 因 dx y y 其
高为
3
2 23 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
- 11 -
第六节
多元函数的极值与最值
例5.有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成
第 八 积最大. 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 为 ( 24 2 x 2 x cos ) x sin 2 24 x sin 2 x 2 sin x 2 cos sin
z f ( x , y ) x 2 y(4 x y )
- 10 -
第六节
多元函数的极值与最值
例4. 某厂要用铁板做一个体积为2
第 八 章
的有盖长方体水
箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 解: 设水箱长,宽分别为x ,y m ,则高为 x2y m ,
则水箱所用材料的面积为
一个驻点, 故此点即为所求.
- 13 -
第六节
多元函数的极值与最值
三、条件极值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
极值问题
无条件极值: 对自变量只有定义域限制
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 , 在条件 ( x , y ) 0下, 求函数 z f ( x , y ) 的极值
存在
证:
取得极值 , 故
例如,
有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
-3-
第六节
多元函数的极值与最值
第 八 章
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
区域内的驻点 最值可疑点 边界上的最值点
特别, 在区域函数只有一个极值点P 时, 经判别得 f ( P ) 为最小(大)值 f ( P ) 为极小(大) 值
当区域内部最值存在, 且只有唯一的一个驻点P 时，
则驻点一定是最值点。
-8-
第六节
多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
( x , y , z ) 0下的极值. 多 设 F f ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y,.
- 17 -
第六节
多元函数的极值与最值
例6. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
转 化
从条件 ( x , y ) 0中解出 y ( x )
求一元函数 z f ( x , ( x )) 的无条件极值问题
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第六节
多元函数的极值与最值
方法2 拉格朗日乘数法. 例如, 在条件 ( x , y ) 0下, 求函数 z f ( x , y ) 的极值.
应 用
记
x
fx
fy
y
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第六节
多元函数的极值与最值
f x x 0
第 八 章
f y y 0 ( x, y) 0 引入辅助函数 F f ( x , y ) ( x , y )
极值点必满足
多 元 函 数 则极值点满足: 微 分 法 因此 函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0下的极值点 及 其 应 一定是函数 F ( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y ) 的驻点。 用
第 八 章
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y , z 使在条件 x y z V0 下水箱表面积 S 2( x z y z ) x y
多 元 最小. 函 数 令 F 2( x z 微 分 法 及 其 解方程组 应 用
多 2 2 2 x y 元 x y 函 数 Ax 2( y x22 ) 0 3 3 微 令 得驻点 ( 2 , 2) 分 2 A 2 ( x )0 法 y y2 及 其 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 应 用 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
0
长、宽、高尺寸相等 .
于是令 g( x ) x 2 (6 x )( 2) ,
由 g 4 x ( x 6) 2 x 2 0 ,
D
o
x
0 x6
得 x2 4 y 6 x | x 4 2,
g(0) 0, g(6) 0, g(4) f (4,2) 64,
比较后可知 f ( 2,1) 4 为最大值, f (4,2) 64为最小值.
-2-
第六节
多元函数的极值与最值
定理1 (必要条件) 函数
则有 偏导数, 且在该点取得极值 , 第 ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 八 fx
章 多 元 取得极值 函 数 取得极值 微 分 法 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 . 及 其 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 应 但驻点不一定是极值点. 用
A>0 时取极小值.
3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
-4-
第六节
多元函数的极值与最值
例1. 求函数
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
的极值.
解: 第一步 求驻点. 解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
y z ) x y ( x y z V0 )
z
x
y
2z y y z 0 2z x x z 0 2( x y ) x y 0 x y z V0 0
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第六节
多元函数的极值与最值
4 3 2V 0
得唯一驻点 x y 2z 3 2V0 ,
为极大值.
f x x ( x , y ) 6 x 6 , f x y ( x , y ) 0 , f y y ( x , y ) 6 y 6
A
B
-6-
C
第六节
多元函数的极值与最值
例2.讨论函数
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
及
在点(0,0)
是否取得极值. 解: 显然(0,0)都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 有 在(0,0)点邻域内的取值可能为
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格
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朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
第六节
多元函数的极值与最值
第 八 章 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 例如, 求函数 u f ( x , y , z ) 在条件 ( x , y , z ) 0 , 推广
第二步 判别. 求二阶偏导数