函数的极值及其求法1

三、导数的应用

函数的极值及其求法

在学习函数的极值之前，我们先来看一例子：设有函数，容易知道点x=1及x=2是此函数单调区间的分界点，又可知在点x=1左侧附近，函数值是单调增加的，在点x=1右侧附近，函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外)，＜均成立，点x=2也有类似的情况(在此不多说),为什么这些点有这些性质呢？

事实上，这就是我们将要学习的内容——函数的极值，

函数极值的定义设函数在区间(a,b)内有定义，x 0是(a,b)内一点.

若存在着x 0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x 0点除外)，＜均成立，则说是函数的一个极大值；

若存在着x 0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x 0点除外)，＞均成立，则说是函数的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。

我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？

学习这个问题之前，我们再来学习一个概念——驻点凡是使的x 点，称为函数的驻点。

判断极值点存在的方法有两种：如下

方法一：设函数在x 0点的邻域可导，且.

情况一：若当x 取x 0左侧邻近值时，

＞0，当x 取x 0右侧邻近值时，＜0，则函数在x 0点取极大值。

情况一：若当x 取x 0左侧邻近值时，

＜0，当x 取x 0右侧邻近值时，＞0，则函数在x 0点取极小值。

注：此判定方法也适用于导数在x 0点不存在的情况。

用方法一求极值的一般步骤是：

a)：求；

b)：求的全部的解——驻点；

c)：判断在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。例题：求极值点

解答：先求导数

再求出驻点：当时，x=-2、1、-4/5

判定函数的极值，如下图所示