高等数学函数的极值及其求法4

证
(1)
f
( x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f ( x0 ) 0,
故f ( x0 x) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
所以,函数 f ( x)在x0 处取得极大值
f (2) 18 0, 故极小值 f (2) 48. f ( x) x3 3x2 24x 20 图形如下
M
m
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0处不一定取极值, 仍用定理2.
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
2
例3 求出函数 f ( x) 1 ( x 2)3的极值.
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
(4) 求极值.
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
n! f ( x) f ( x0 ) 变号
f ( x0 ) 不是极值
②n为偶数，当x 渐增地经过x0时
( x x0 )n 不变号
f (n)( ) 不变号
n!
f ( x) f ( x0 ) 不变号
f ( x0 ) 是极值
且当 f (n)( x0 ) 0 时 f ( x0 ) 是极小值 当 f (n)( x0 ) 0 时 f ( x0 ) 是极大值
思考题解答
不正确．
例
f
(
x)
2
x2(2
sin
1 ), x
x0
2,
x0
当x
0时，f ( x)
f (0)
x2(2 sin
1 x
)
0
于是x 0为 f ( x)的极小值点
当x 0时，
f ( x) 2x(2 sin 1 ) cos 1
x
x
当 x 0时，
2x(2 sin 1 ) 0, x
x 0时, f ( x)
f ( x) f (0) 0 即 x2 2ax 1 e x
例5 设f ( x )连续，且f ( a )是f ( x )的极值，问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值
证 分两种情况讨论 ① 设 f ( x) f (a),且f (a) 0
0,使当 x (a ,a )时，有
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0. 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
f 2( x) f 2(a)
所以 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的极小值
②设f ( a ) 是f ( x )的极小值，且 f (a) 0
1 0,使当 x (a 1,a 1 )时，有
f (x) f (a) 又f ( x )在 x = a 处连续，且 f (a) 0
2 0,使当 x (a 2 ,a 2 )时，有
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内 的 一 个 点,
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
例2 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2)
令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
cos
1 x
在–1和1之间振荡
因而 f ( x)在x 0的两侧都不单调.
故命题不成立．
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
f ( x)
0
0
极
极
f (x)
大
值
小 值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
f ( x) x3 3x2 9x 5图形如下
M
m
定理3(第二充分条件)设 f ( x)在x0 处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极小值.
则 f ( x) 2x 2a ex （不易判明符号） f ( x) 2 ex 令 f ( x) 0 得 x ln 2
当 x ln 2 时, f ( x) 0 当 x ln 2 时, f ( x) 0 x ln 2是 f ( x)的一个极大值点 而且是一个最大值点，
f ( x) f (ln2) 2ln 2 2a 2 0
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
注 ①这个结论又称为Fermat定理
②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号
③不可导点也可能是极值点
可疑极值点：驻点、不可导点
可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步 判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、 右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题 即可得到解决。
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1)( x0 ) 0,但 f (n)( x0 ) 0
证明当n为偶数时， f(x0)是f(x)的极值 当n为奇数时， f(x0)不是f(x)的极值
证 由Taylor公式，得
f (x)
f ( x0 )
f
(n) (
n!
)(
x
x0
)n
又 f (n)( x)在x0处连续
函数的极值及其求法
由单调性的判定法则，结合函数的图形可知， 曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函 数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点 处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论 在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义， 值得我们作一般性的讨论。
一、函数极值的定义
y
y f (x)
a o x1
三、小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
第二充分条件;
思考题
下命题正确吗？
如果x0 为 f ( x) 的极小值点，那么必存在 x0的某邻域，在此邻域内， f ( x) 在x0 的左侧 下降，而在x0 的右侧上升.
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
例4 证明x 0时, x2 2ax 1 e x (a 0) 证 记 f ( x) x2 2ax 1 e x
f (x) 0
令 min{ 1, 2 } 则当 x (a ,a )时，有
f (a) f (x) Biblioteka Baidu f 2(x) f 2(a)
f 2( a )是 f 2( x )的极大值
同理可讨论f ( a ) 是f ( x )的极大值的情况
例6 假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且
(在x与x0之间)
lim
x x0
f (n)(x)
f (n)( x0 ) 0
因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内
f (n)( x)与 f (n)( x0 )同号
f (n)( )与 f (n)( x0 )同号
下面来考察两种情形
①n为奇数，当x 渐增地经过x0时 ( x x0 )n 变号
f (n)( ) 不变号
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
符号相同,则 f ( x) 在x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x (是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)