03‘斯坦纳最小树2

图13.5 图13.6
“虚设站”（即Steiner点）的个数和位置是解决问 虚设站” Steiner点 虚设站 题的关键。 题的关键。 Steiner点位于给定通信站点的 坐标线， 点位于给定通信站点的x “Steiner点位于给定通信站点的x坐标线，y坐标 线形成的格点上” 最多有n n=n(n-1)个 线形成的格点上”，最多有n2-n=n(n-1)个Steiner 点的可能位置，这些位置就是Steiner点的候选点. Steiner点的候选点 点的可能位置，这些位置就是Steiner点的候选点. n=9时 n(n-1)=72个Steiner点的可能位置 当n=9时，有n(n-1)=72个Steiner点的可能位置 给定的n个通信站点的集合； V0 ：给定的n个通信站点的集合； Steiner点的候选点集合 设其点数为p, 点的候选点集合， Vp : Steiner点的候选点集合，设其点数为p, Vp∩V0=φ； 为顶点集作一个加权完全图Kp+n Kp+n， 以V= Vp∪V0为顶点集作一个加权完全图Kp+n，其 中的边( 之间的直角折线距离。 中的边(u,v)的权取为点u与v之间的直角折线距离。 问题成为：求加权完全图Kp+n中包含V Kp+n中包含 问题成为：求加权完全图Kp+n中包含V0（也允许包 中的其他点）的权最小的子树。 含V中的其他点）的权最小的子树。此即求加权完 全图Kp+n Kp+n中 的最小Steiner树问题。 Steiner树问题 全图Kp+n中，V0的最小Steiner树问题。
(2)贪婪试探算法 贪婪试探算法
的最小生成树如图13.8（a），顶点按 ），顶点按 图13.5的最小生成树如图 的最小生成树如图 （ ）， 直角坐标之定位放置， 直角坐标之定位放置，右边的图是把边画成直 角折线， 角折线，该图称为其三个点的最小直角折线支 撑树。若将图13.8的右边图中重边的端点 作 的右边图中重边的端点d作 撑树。若将图 的右边图中重边的端点 为虚设站加入， 为虚设站加入，则4个点的最小生成树的权减 个点的最小生成树的权减 少了2。 少了 。
2.假设 假设
1）通信站点集合V0是整数坐标的平面 ）通信站点集合 点集； 点集； 2）两点间的距离为直角折线距离，线 ）两点间的距离为直角折线距离， 路费用正比于线路长度； 路费用正比于线路长度； 3）允许通讯线在非站点处连接。 ）允许通讯线在非站点处连接。
3.问题分析及模型 问题分析及模型
给定n个通讯站点， 给定 个通讯站点，用通讯线把这些站点联 个通讯站点 结起来，允许通讯线在非站点处连接， 结起来，允许通讯线在非站点处连接，如何 连接，可使连接通信站的线网费用最低？ 连接，可使连接通信站的线网费用最低？ 允许通讯线在站点以外的点（即“虚设站” 允许通讯线在站点以外的点（ 虚设站” 在站点以外的点 或Steiner点）连接，这样可以使线网费用 点 连接， 降低， 问题要复杂得多 得多。 降低，但问题要复杂得多。 有三个通讯站，直角坐标分别为a(0,0), 如，有三个通讯站，直角坐标分别为 b(4,3),c(6,0)
(3)改进型试探算法 改进型试探算法
如果每次迭代，都按照随意的顺序加入“虚设站” 如果每次迭代，都按照随意的顺序加入“虚设站”， 并使得到的最小生成树费用有所减少， 并使得到的最小生成树费用有所减少，直到已加入 n-2个“虚设站”，或加入任何一个剩余的可能的 个 虚设站” Steiner点都不能使费用减少为止。按步骤描述如 点都不能使费用减少为止。 步骤描述如 点都不能使费用减少为止 下 1）求给定的 个点的最小生成树，记录其费用； 个点的最小生成树， ）求给定的n个点的最小生成树 记录其费用； 2）取一个可能的 点加入， ）取一个可能的Steiner点加入，求最小生成树， 点加入 求最小生成树， 若该树的费用小于当前的费用， 若该树的费用小于当前的费用，则记录此树并更新 费用； 费用； 3）重复 ）直到已有 ）重复2）直到已有n-2个Steiner点，或任何剩余 个 点 点加入都不能减少费用。 的Steiner点加入都不能减少费用。 点加入都不能减少费用 贪婪试探算法和改进型试探算法都是近似算法， 贪婪试探算法和改进型试探算法都是近似算法，对 一般的问题未必能得到最优解。 一般的问题未必能得到最优解。
的最小Steiner树可分解为两个问题： 树可分解为两个问题： 求V0的最小 树可分解为两个问题 1）求Steiner点；2）求最小生成树。 ） 点 ）求最小生成树。 根据提示“最小Steiner树最多只需 个虚 树最多只需n-2个虚 根据提示“最小 树最多只需 设站（ 设站（Steiner点）”， 点 Vs ：表示 中任意 个点的集合。 表示Vp中任意 个点的集合。 中任意s个点的集合 ⊆ ， 对满足0≤s≤n-2的整数 和点集 的整数s和点集 对满足 的整数 和点集Vs Vp，以 V= Vs∪V0为顶点集的加权完全图 ∪ 为顶点集的加权完全图Ks+n的 的 最小生成树记为Ts, 所有 中权最小者记为 所有Ts 最小生成树记为 T*，T*即为所要求的最小 即为所要求的最小Steiner树。 ， 即为所要求的最小 树
Steiner树： 树
Steiner树——通过加入若干“虚设站”后，构造 树 通过加入若干“ 通过加入若干 虚设站” 由原站点和虚设站生成的最小生成树。 出由原站点和虚设站生成的最小生成树。若虚设站 设置得恰当， 设置得恰当，就可降低由原站点生成的最小生成树 所需的费用。用这种方法可降低费用多达13.4% 所需的费用。用这种方法可降低费用多达 注意： 注意： 1）Steiner树允许线路在通讯站点以外连接 1）Steiner树允许线路在通讯站点以外连接，这种 树允许线路在通讯站点以外连接， 连接点即为虚设站。 连接点即为虚设站。 2）为构造一个有n个站的网络，最低费用的 ）为构造一个有 个站的网络， 个站的网络 Steiner树最多只需 个虚设站，这些虚设站称为 树最多只需n-2个虚设站 个虚设站， 树最多只需 Steiner点。Steiner 点位于给定通信站点的 坐标 点位于给定通信站点的x坐标 点 坐标线形成的格点上。 线，y坐标线形成的格点上。 坐标线形成的格点上
如图13.7，星号点是给定的9个通讯站点。共 ，星号点是给定的 个通讯站点 个通讯站点。 如图 点的可能位置， 有n(n-1)=72个Steiner点的可能位置，它们 个 点的可能位置 位于过9个点的水平线与垂直线的交点上 个点的水平线与垂直线的交点上。 位于过 个点的水平线与垂直线的交点上。 且由于区域D 内不含Steiner点， 且由于区域 1,D2,D3和D4内不含 点 72个可能的 个可能的Steiner点位置可减少到 个 点位置可减少到31个 个可能的 点位置可减少到 中小圆圈所示的31个位置 （图4中小圆圈所示的 个位置）。 中小圆圈所示的 个位置）。 31 31 31 m=31,迭代次数减少到 0 + 1 + K + 7 = 3572224 迭代次数减少到
问题
假定要设计一个有9个通 假定要设计一个有 个通 讯站点的局部网络， 讯站点的局部网络，使 其造价最低。 其造价最低。这9个站的 个站的 直角坐标为： 直角坐标为： a(0,15), b(5,20), c(16,24), d(20,20), e(33,25), f(23,11), g(35,7), h(25,0), i(10,3)。 。 求出联结这9个通讯站的 求出联结这 个通讯站的 最小Steiner树。 最小 树
(4)模拟退火法 模拟退火法
这是一种通用的随机搜索法，是解决 这是一种通用的随机搜索法，是解决NPH 问题的比较有效的方法。 问题的比较有效的方法。 1）给定点集连同一些虚设点一起构成点集 ） Z，求Z的最小支撑树，其费用记为 ，置 的最小支撑树， ， 的最小支撑树 其费用记为C， k=0； ； 2）产生新的点集 ）产生新的点集S 从以下几种方式中随机选择一种： 从以下几种方式中随机选择一种： · 加入一个新的虚设点 · 去掉一个存在的虚设点 · 移动一个现有的虚设点到一个随机的允 许位置
(1)穷举法 穷举法
求最小Steiner树问题是 难题，点数较小 树问题是NP难题 求最小 树问题是 难题， 的问题可用穷举法，但若规模较大， 的问题可用穷举法，但若规模较大，应寻 求近似算法。 求近似算法。 由于费用最少的Steiner树T*上最多只需引 由于费用最少的 树 上最多只需引 个虚设点， 入n-2个虚设点，因此可从 个虚设点 因此可从m≤n(n-1)个可能 个可能 点位置中任取s个点 的Steiner点位置中任取 个点， 点位置中任取 个点， s=0,1,2,…,n-2，连同给定的 个点一起， 个点一起， ，连同给定的n个点一起 算法， 用Kruskal算法，求由这 算法 求由这n+s个点确定的赋 个点确定的赋 权完全图（ 权完全图（图中边权取为两点间的直角折 线距离）的最小生成树Ts。 线距离）的最小生成树 。 不大， 若m不大，此法可行，若m大，此法将无效。 不大 此法可行， 大 此法将无效。

秒的时间， 次。假设每次迭代只需用1/60秒的时间， 假设每次迭代只需用 秒的时间 3572224次迭代需要大约 个小时。 次迭代需要大约17个小时 次迭代需要大约 个小时。
9个给定 个给定 点和31 点和 个可能的 Steiner 点 a(0,15), b(5,20), c(16,24), d(20,20), e(33,25), f(23,11), g(35,7), h(25,0), i(10,3)
范例2 通讯网络的最佳Steiner树 范例 通讯网络的最佳 树
1.问题 问题 2.假设 假设 3.问题分析及模型 问题分析及模型 4.问题求解 问题求解
穷举法 贪婪试探算法 改进型试探算法 模拟退火法 修正的Prim启发式算法 修正的 启发式算法
5.结果 结果
1.问题 问题
给定平面上若干通讯站，两通讯站之间的线 给定平面上若干通讯站， 路长度为两点间的直角折线距离， 路长度为两点间的直角折线距离，即 d=|x1-x2|+|y1-y2| 两点间的线路费用正比于线路的长度。 两点间的线路费用正比于线路的长度。 如何布线使连接通信站的线网费用最低？ ①如何布线使连接通信站的线网费用最低？ 如何构造最小Steiner树，即最低费用的 ②如何构造最小 树 Steiner树？ 树