03‘斯坦纳最小树2

(3)改进型试探算法 改进型试探算法
如果每次迭代，都按照随意的顺序加入“虚设站” 如果每次迭代，都按照随意的顺序加入“虚设站”， 并使得到的最小生成树费用有所减少， 并使得到的最小生成树费用有所减少，直到已加入 n-2个“虚设站”，或加入任何一个剩余的可能的 个 虚设站” Steiner点都不能使费用减少为止。按步骤描述如 点都不能使费用减少为止。 步骤描述如 点都不能使费用减少为止 下 1）求给定的 个点的最小生成树，记录其费用； 个点的最小生成树， ）求给定的n个点的最小生成树 记录其费用； 2）取一个可能的 点加入， ）取一个可能的Steiner点加入，求最小生成树， 点加入 求最小生成树， 若该树的费用小于当前的费用， 若该树的费用小于当前的费用，则记录此树并更新 费用； 费用； 3）重复 ）直到已有 ）重复2）直到已有n-2个Steiner点，或任何剩余 个 点 点加入都不能减少费用。 的Steiner点加入都不能减少费用。 点加入都不能减少费用 贪婪试探算法和改进型试探算法都是近似算法， 贪婪试探算法和改进型试探算法都是近似算法，对 一般的问题未必能得到最优解。 一般的问题未必能得到最优解。
Steiner树： 树
Steiner树——通过加入若干“虚设站”后，构造 树 通过加入若干“ 通过加入若干 虚设站” 由原站点和虚设站生成的最小生成树。 出由原站点和虚设站生成的最小生成树。若虚设站 设置得恰当， 设置得恰当，就可降低由原站点生成的最小生成树 所需的费用。用这种方法可降低费用多达13.4% 所需的费用。用这种方法可降低费用多达 注意： 注意： 1）Steiner树允许线路在通讯站点以外连接 1）Steiner树允许线路在通讯站点以外连接，这种 树允许线路在通讯站点以外连接， 连接点即为虚设站。 连接点即为虚设站。 2）为构造一个有n个站的网络，最低费用的 ）为构造一个有 个站的网络， 个站的网络 Steiner树最多只需 个虚设站，这些虚设站称为 树最多只需n-2个虚设站 个虚设站， 树最多只需 Steiner点。Steiner 点位于给定通信站点的 坐标 点位于给定通信站点的x坐标 点 坐标线形成的格点上。 线，y坐标线形成的格点上。 坐标线形成的格点上
(2)贪婪试探算法 贪婪试探算法
的最小生成树如图13.8（a），顶点按 ），顶点按 图13.5的最小生成树如图 的最小生成树如图 （ ）， 直角坐标之定位放置， 直角坐标之定位放置，右边的图是把边画成直 角折线， 角折线，该图称为其三个点的最小直角折线支 撑树。若将图13.8的右边图中重边的端点 作 的右边图中重边的端点d作 撑树。若将图 的右边图中重边的端点 为虚设站加入， 为虚设站加入，则4个点的最小生成树的权减 个点的最小生成树的权减 少了2。 少了 。
(4)模拟退火法 模拟退火法
这是一种通用的随机搜索法，是解决 这是一种通用的随机搜索法，是解决NPH 问题的比较有效的方法。 问题的比较有效的方法。 1）给定点集连同一些虚设点一起构成点集 ） Z，求Z的最小支撑树，其费用记为 ，置 的最小支撑树， ， 的最小支撑树 其费用记为C， k=0； ； 2）产生新的点集 ）产生新的点集S 从以下几种方式中随机选择一种： 从以下几种方式中随机选择一种： · 加入一个新的虚设点 · 去掉一个存在的虚设点 · 移动一个现有的虚设点到一个随机的允 许位置
图13.8
一般情况下， 一般情况下，可把最小直角折线支撑树中重 边的端点作为Steiner点的侯选点。结合贪 边的端点作为Steiner点的侯选点。 Steiner点的侯选点 婪法的思想，可构造出如下的试探法， 婪法的思想，可构造出如下的试探法，能否 得到正确解，需要证明。 得到正确解，需要证明。 输入给定的n个通信站点的坐标； 1）输入给定的n个通信站点的坐标； 2）计算最小直角折线支撑树； 计算最小直角折线支撑树； 找重边，则重边的端点便是Steiner Steiner点 3）找重边，则重边的端点便是Steiner点 的侯选点； 的侯选点； 分别计算出每个侯选点作为Steiner Steiner点加 4）分别计算出每个侯选点作为Steiner点加 入后所减少的费用，该费用称为此点的价值； 入后所减少的费用，该费用称为此点的价值； 把最大价值的侯选点也作为一个给定点， 5）把最大价值的侯选点也作为一个给定点， 重复2)到5)直到没有正价值的侯选点。 重复2)到5)直到没有正价值的侯选点。 2) 直到没有正价值的侯选点
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(1)穷举法 穷举法
求最小Steiner树问题是 难题，点数较小 树问题是NP难题 求最小 树问题是 难题， 的问题可用穷举法，但若规模较大， 的问题可用穷举法，但若规模较大，应寻 求近似算法。 求近似算法。 由于费用最少的Steiner树T*上最多只需引 由于费用最少的 树 上最多只需引 个虚设点， 入n-2个虚设点，因此可从 个虚设点 因此可从m≤n(n-1)个可能 个可能 点位置中任取s个点 的Steiner点位置中任取 个点， 点位置中任取 个点， s=0,1,2,…,n-2，连同给定的 个点一起， 个点一起， ，连同给定的n个点一起 算法， 用Kruskal算法，求由这 算法 求由这n+s个点确定的赋 个点确定的赋 权完全图（ 权完全图（图中边权取为两点间的直角折 线距离）的最小生成树Ts。 线距离）的最小生成树 。 不大， 若m不大，此法可行，若m大，此法将无效。 不大 此法可行， 大 此法将无效。
在下述四类区域中不含Steiner点 点 在下述四类区域中不含
D1 = {( x , y ) | x < x00 ( k ), y < yk }; D3 = {( x , y ) | x > x10 ( k ), y < yk }; D2 = {( x , y ) | x < x01 ( k ), y > yk }; D4 = {( x , y ) | x > x11 ( k ), y > yk };
的最小Steiner树可分解为两个问题： 树可分解为两个问题： 求V0的最小 树可分解为两个问题 1）求Steiner点；2）求最小生成树。 ） 点 ）求最小生成树。 根据提示“最小Steiner树最多只需 个虚 树最多只需n-2个虚 根据提示“最小 树最多只需 设站（ 设站（Steiner点）”， 点 Vs ：表示 中任意 个点的集合。 表示Vp中任意 个点的集合。 中任意s个点的集合 ⊆ ， 对满足0≤s≤n-2的整数 和点集 的整数s和点集 对满足 的整数 和点集Vs Vp，以 V= Vs∪V0为顶点集的加权完全图 ∪ 为顶点集的加权完全图Ks+n的 的 最小生成树记为Ts, 所有 中权最小者记为 所有Ts 最小生成树记为 T*，T*即为所要求的最小 即为所要求的最小Steiner树。 ， 即为所要求的最小 树
图13.5 图13.6
“虚设站”（即Steiner点）的个数和位置是解决问 虚设站” Steiner点 虚设站 题的关键。 题的关键。 Steiner点位于给定通信站点的 坐标线， 点位于给定通信站点的x “Steiner点位于给定通信站点的x坐标线，y坐标 线形成的格点上” 最多有n n=n(n-1)个 线形成的格点上”，最多有n2-n=n(n-1)个Steiner 点的可能位置，这些位置就是Steiner点的候选点. Steiner点的候选点 点的可能位置，这些位置就是Steiner点的候选点. n=9时 n(n-1)=72个Steiner点的可能位置 当n=9时，有n(n-1)=72个Steiner点的可能位置 给定的n个通信站点的集合； V0 ：给定的n个通信站点的集合； Steiner点的候选点集合 设其点数为p, 点的候选点集合， Vp : Steiner点的候选点集合，设其点数为p, Vp∩V0=φ； 为顶点集作一个加权完全图Kp+n Kp+n， 以V= Vp∪V0为顶点集作一个加权完全图Kp+n，其 中的边( 之间的直角折线距离。 中的边(u,v)的权取为点u与v之间的直角折线距离。 问题成为：求加权完全图Kp+n中包含V Kp+n中包含 问题成为：求加权完全图Kp+n中包含V0（也允许包 中的其他点）的权最小的子树。 含V中的其他点）的权最小的子树。此即求加权完 全图Kp+n Kp+n中 的最小Steiner树问题。 Steiner树问题 全图Kp+n中，V0的最小Steiner树问题。
2.假设 假设
1）通信站点集合V0是整数坐标的平面 ）通信站点集合 点集； 点集； 2）两点间的距离为直角折线距离，线 ）两点间的距离为直角折线距离， 路费用正比于线路长度； 路费用正比于线路长度； 3）允许通讯线在非站点处连接。 ）允许通讯线在非站点处连接。
3.问题分析及模型 问题分析及模型
给定n个通讯站点， 给定 个通讯站点，用通讯线把这些站点联 个通讯站点 结起来，允许通讯线在非站点处连接， 结起来，允许通讯线在非站点处连接，如何 连接，可使连接通信站的线网费用最低？ 连接，可使连接通信站的线网费用最低？ 允许通讯线在站点以外的点（即“虚设站” 允许通讯线在站点以外的点（ 虚设站” 在站点以外的点 或Steiner点）连接，这样可以使线网费用 点 连接， 降低， 问题要复杂得多 得多。 降低，但问题要复杂得多。 有三个通讯站，直角坐标分别为a(0,0), 如，有三个通讯站，直角坐标分别为 b(4,3),c(6,0)
如图13.7，星号点是给定的9个通讯站点。共 ，星号点是给定的 个通讯站点 个通讯站点。 如图 点的可能位置， 有n(n-1)=72个Steiner点的可能位置，它们 个 点的可能位置 位于过9个点的水平线与垂直线的交点上 个点的水平线与垂直线的交点上。 位于过 个点的水平线与垂直线的交点上。 且由于区域D 内不含Steiner点， 且由于区域 1,D2,D3和D4内不含 点 72个可能的 个可能的Steiner点位置可减少到 个 点位置可减少到31个 个可能的 点位置可减少到 中小圆圈所示的31个位置 （图4中小圆圈所示的 个位置）。 中小圆圈所示的 个位置）。 31 31 31 m=31,迭代次数减少到 0 + 1 + K + 7 = 3572224 迭代次数减少到

秒的时间， 次。假设每次迭代只需用1/60秒的时间， 假设每次迭代只需用 秒的时间 3572224次迭代需要大约 个小时。 次迭代需要大约17个小时 次迭代需要大约 个小时。
9个给定 个给定 点和31 点和 个可能的 Steiner 点 a(0,15), b(5,20), c(16,24), d(20,20), e(33,25), f(23,11), g(35,7), h(25,0), i(10,3)
范例2 通讯网络的最佳Steiner树 范例 通讯网络的最佳 树
1.问题 问题 2.假设 假设 3.问题分析及模型 问题分析及模型 4.问题求解 问题求解
穷举法 贪婪试探算法 改进型试探算法 模拟退火法 修正的Prim启发式算法 修正的 启发式算法
5.结果 结果
1.问题 问题
给定平面上若干通讯站，两通讯站之间的线 给定平面上若干通讯站， 路长度为两点间的直角折线距离， 路长度为两点间的直角折线距离，即 d=|x1-x2|+|y1-y2| 两点间的线路费用正比于线路的长度。 两点间的线路费用正比于线路的长度。 如何布线使连接通信站的线网费用最低？ ①如何布线使连接通信站的线网费用最低？ 如何构造最小Steiner树，即最低费用的 ②如何构造最小 树 Steiner树？ 树
问题
假定要设计一个有9个通 假定要设计一个有 个通 讯站点的局部网络， 讯站点的局部网络，使 其造价最低。 其造价最低。这9个站的 个站的 直角坐标为： 直角坐标为： a(0,15), b(5,20), c(16,24), d(20,20), e(33,25), f(23,11), g(35,7), h(25,0), i(10,3)。 。 求出联结这9个通讯站的 求出联结这 个通讯站的 最小Steiner树。 最小 树