斯坦纳最小树

问题
假定要设计一个有9个通 讯站点的局部网络，使 其造价最低。这9个站的 直角坐标为： a(0,15), b(5,20), c(16,24), d(20,20), e(33,25), f(23,11), g(35,7), h(25,0), i(10,3)。 求出联结这9个通讯站的 最小Steiner树。
(5)修正的Prim启发式算法
受到求最小生成树的Prim算法的启发，根 据Prim算法的思想，构造出下面的求最小 直角折线Steiner树的方法。 先引入一些记号： Z： 给定的通讯站点集合； G： 给定通信站点的x坐标线，y坐标线 形成的格点全体构成的集合； T： 当前Steiner树的顶点集； S=G-Z； 算法步骤： 1）选取Z中距离最近的两点zi=(xi,yi), zj=(xj,yj)；
提示： 最小Steiner树问题是NP难题。 前面介绍的方法，除穷举法之外，每个算 法都是有效算法，但不一定能得到最优解， 一般需要对解的近似程度进行分析。 对算法的好坏，可随机给出一些通讯站， 用这些方法来求解，对算法给出的解进行 比较，看哪个算法效果最佳。
编写贪婪试探算法、改进型试探算法 的MATLAB程序，求给定的9个通讯站 的最小Steiner树。 用手工操作的方式，由修正的Prim启 发式算法求给定的9个通讯站的最小 Steiner树，体会该算法的思想。
(2)贪婪试探算法
图13.5的最小生成树如图13.8（a），顶点按 直角坐标之定位放置，右边的图是把边画成直 角折线，该图称为其三个点的最小直角折线支 撑树。若将图13.8的右边图中重边的端点d作 为虚设站加入，则4个点的最小生成树的权减 少了2。
图13.8
一般情况下，可把最小直角折线支撑树中重 边的端点作为Steiner点的侯选点。结合贪 婪法的思想，可构造出如下的试探法，能否 得到正确解，需要证明。 1）输入给定的n个通信站点的坐标； 2）计算最小直角折线支撑树； 3）找重边，则重边的端点便是Steiner点 的侯选点； 4）分别计算出每个侯选点作为Steiner点加 入后所减少的费用，该费用称为此点的价值； 5）把最大价值的侯选点也作为一个给定点， 重复2)到5)直到没有正价值的侯选点。

次。假设每次迭代只需用1/60秒的时间， 3572224次迭代需要大约17个小时。
9个给定 点和31 个可能的 Steiner 点 a(0,15), b(5,20), c(16,24), d(20,20), e(33,25), f(23,11), g(35,7), h(25,0), i(10,3)
用模拟退火法来求图13.4所给出的9个点的 最小Steiner树，在25MHz型386计算机上 运行，大约1.5分中便可得到了最优解。 对应于随机数产生器的不同种子的不同运 行，可给出全部五个不同的最优解。 在上百次运行中，模拟退火法都总是收敛 到五个最优解中的一个。 计算时间方面的优越性表明当该问题的规 模较大，穷举法不可行时，模拟退火法的 价值。
(3)改进型试探算法
如果每次迭代，都按照随意的顺序加入“虚设站”， 并使得到的最小生成树费用有所减少，直到已加入 n-2个“虚设站”，或加入任何一个剩余的可能的 Steiner点都不能使费用减少为止。按步骤描述如 下 1）求给定的n个点的最小生成树，记录其费用； 2）取一个可能的Steiner点加入，求最小生成树， 若该树的费用小于当前的费用，则记录此树并更新 费用； 3）重复2）直到已有n-2个Steiner点，或任何剩余 的Steiner点加入都不能减少费用。 贪婪试探算法和改进型试探算法都是近似算法，对 一般的问题未必能得到最优解。
在下述四类区域中不含Steiner点
D 1 {( x , y ) | x x 00 ( k ), y y k }; D 3 {( x , y ) | x x 10 ( k ), y y k }; D 2 {( x , y ) | x x 01 ( k ), y y k }; D 4 {( x , y ) | x x 11 ( k ), y y k };
求V0的最小Steiner树可分解为两个问题： 1）求Steiner点；2）求最小生成树。 根据提示“最小Steiner树最多只需n-2个虚 设站（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱteiner点）”， Vs ：表示Vp中任意s个点的集合。 对满足0≤s≤n-2的整数s和点集Vs Vp，以 V= Vs∪V0为顶点集的加权完全图Ks+n的 最小生成树记为Ts, 所有Ts 中权最小者记为 T*，T*即为所要求的最小Steiner树。
e）若dist1<dist2, 则加入path1, 若dist2<dist1, 则加入path2, 若dist1=dist2, 则对下一个最近点 重复(2)a到(2)e, 直到dist1¹ dist2, 或穷 尽了Z中所有顶点（此时任意选择）； 3）取ziZ∩(G-T),zjT,使zi,zj尽可能 近； 4）重复2），3）直到Z中的顶点均在 T中。
范例2 通讯网络的最佳Steiner树
1.问题 2.假设 3.问题分析及模型 4.问题求解
穷举法 贪婪试探算法 改进型试探算法 模拟退火法 修正的Prim启发式算法
5.结果
1.问题
给定平面上若干通讯站，两通讯站之间的线 路长度为两点间的直角折线距离，即 d=|x1-x2|+|y1-y2| 两点间的线路费用正比于线路的长度。 ①如何布线使连接通信站的线网费用最低？ ②如何构造最小Steiner树，即最低费用的 Steiner树？
2.假设
1）通信站点集合V0是整数坐标的平面 点集； 2）两点间的距离为直角折线距离，线 路费用正比于线路长度； 3）允许通讯线在非站点处连接。
3.问题分析及模型
给定n个通讯站点，用通讯线把这些站点联 结起来，允许通讯线在非站点处连接，如何 连接，可使连接通信站的线网费用最低？ 允许通讯线在站点以外的点（即“虚设站” 或Steiner点）连接，这样可以使线网费用 降低，但问题要复杂得多。 如，有三个通讯站，直角坐标分别为a(0,0), b(4,3),c(6,0)
如图13.7，星号点是给定的9个通讯站点。共 有n(n-1)=72个Steiner点的可能位置，它们 位于过9个点的水平线与垂直线的交点上。 且由于区域D1,D2,D3和D4内不含Steiner点， 72个可能的Steiner点位置可减少到31个 （图4中小圆圈所示的31个位置）。 31 31 31 m=31,迭代次数减少到 0 1 7 3572224
(4)模拟退火法
这是一种通用的随机搜索法，是解决NPH 问题的比较有效的方法。 1）给定点集连同一些虚设点一起构成点集 Z，求Z的最小支撑树，其费用记为C，置 k=0； 2）产生新的点集S 从以下几种方式中随机选择一种： ·加入一个新的虚设点 ·去掉一个存在的虚设点 ·移动一个现有的虚设点到一个随机的允 许位置
3）确定新点集S的最小支撑树，其费 用记为C1，
若C1≤C，则更新C为C1，更新当前点集 Z为S, 当k=M时停止，否则k=k+1,转2); 若C1>C，则仅以一定的概率（可取为 exp{-(C1-C)/T(k)}，其中T为一控制参数， 称为温度，随k的增大而减小,比如取 T(k)=T(0)/k，称为冷却方案）接受S作为 当前点集Z，转2)。
2）这两点的x坐标或y坐标相同，则将两点连接起 来，并把该路径上所有在G中的点以及zi,zj加入T， 否则 a）构造过(xi,yj)的连接zi,zj的直角折线路径 path1,将path1上所有属于G的点以及zi,zj加入T； b）在Z-T中找到与当前树距离最近的顶点z，其 距离记为dist1，然后删掉树中的path1； c）构造过(xi,yj)的连接zi,zj的直角折线路径 path1, 将path1上所有属于G的点以及zi,zj加入T； d）在Z-T中找到与当前树距离最近的顶点z，其 距离记为dist2，然后删掉树中的path2；
(1)穷举法
求最小Steiner树问题是NP难题，点数较小 的问题可用穷举法，但若规模较大，应寻 求近似算法。 由于费用最少的Steiner树T*上最多只需引 入n-2个虚设点，因此可从m≤n(n-1)个可能 的Steiner点位置中任取s个点， s=0,1,2,…,n-2，连同给定的n个点一起， 用Kruskal算法，求由这n+s个点确定的赋 权完全图（图中边权取为两点间的直角折 线距离）的最小生成树Ts。 若m不大，此法可行，若m大，此法将无效。
Steiner树：
Steiner树——通过加入若干“虚设站”后，构造 出由原站点和虚设站生成的最小生成树。若虚设站 设置得恰当，就可降低由原站点生成的最小生成树 所需的费用。用这种方法可降低费用多达13.4% 注意： 1）Steiner树允许线路在通讯站点以外连接，这种 连接点即为虚设站。 2）为构造一个有n个站的网络，最低费用的 Steiner树最多只需n-2个虚设站，这些虚设站称为 Steiner点。Steiner 点位于给定通信站点的x坐标 线，y坐标线形成的格点上。
结果
用穷举法可得到给定的9个通讯站的最 小Steiner树，共有5个，费用为94。 图13.9给出了这5个最小Steiner树， 其中每个Steiner树都含4个或5个 Steiner点。因此可按图13.9中任何一 个Steiner树来设计给定9个站的费用 最少的局部网络。
图13.9
图13.5
图13.6
“虚设站”（即Steiner点）的个数和位置是解决问 题的关键。 “Steiner点位于给定通信站点的x坐标线，y坐标 线形成的格点上”，最多有n2-n=n(n-1)个Steiner 点的可能位置，这些位置就是Steiner点的候选点. 当n=9时，有n(n-1)=72个Steiner点的可能位置 V0 ：给定的n个通信站点的集合； Vp : Steiner点的候选点集合，设其点数为p, Vp∩V0=φ； 以V= Vp∪V0为顶点集作一个加权完全图Kp+n，其 中的边(u,v)的权取为点u与v之间的直角折线距离。 问题成为：求加权完全图Kp+n中包含V0（也允许包 含V中的其他点）的权最小的子树。此即求加权完 全图Kp+n中，V0的最小Steiner树问题。