第四节最小树问题
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定理6.4.4 设T是G的支撑树，则T是G的唯一最小树当且仅
当对任意边e∈T ，e是Ω(e)中的唯一最小边。
Kruskal算法的步骤
第1步 开始把边按权的大小由小到大排列，即将图Fra Baidu bibliotek 边排序为a1,a2, …,am，使W(a1) ≤W(a2)≤…≤W(am) 置 S=Φ，i=0，j=1。
第2步 若|S|=i=n-1，则停止。这时G[S]=T即为所求； 否则，转向第3步。
j
}
wik
，置T
=T
U {eik } ，
R = R U{k} ， S = S \ {k} ；
第3步
若 S = Φ ，则停止；否则，置
uk
=
min{u jS
j
,w
kj
}，
j S ，返回第 2 步。
例
Dijkstra算法的复杂性
执行第2步时，第一次是(n-2)次比较， 第二次为(n-3)次比较， 第三次为(n-4)次比较，…， 因此总的比较为(n-1)(n-2)/2次
在第3步中，判定加边后是否构成回路总共约需m次 比较，而加边后点的重新标号最多需n(n-1)次比较
所以，总的计算量为 mlog2m+n+m+n(n-1)~O(n2log2n)
Dijkstra算法的步骤
第1步 置uj=w1j，T=Φ，R={1}，S={2,3, …,n}
第2步
取 uk
min{u jS
证明
W (e) max W (e) eC ( e )
最小树及其性质 续
定理 6.4.2 设 T 是 G 的支撑树，则 T 是 G 的最小树当 且仅当对任意边 eT 有
W (e) min W (e) eΩ ( e )
其中 Ω(e) T * + e 为一个唯一割集。
证明 定理6.4.3 设T是G的支撑树，则T是G的唯一最小树当且仅 当对任意边e∈G\T，e是C(e)中的唯一最大边。
第四节 最小树问题
最小树及其性质 求最小树的Kruskal算法
算法步骤 算法复杂性
求最小树的Dijkstra算法
算法步骤 算法复杂性
最小树及其性质
支撑树T的权（或长）：W (T ) W (e) eE
最小树：G中权最小的支撑树
定理6.4.1 设T是G的一个支撑树，则T是G的最小树 当且仅当对任意边e∈T*有
第3步 若G[S∪{aj}]不构成回路，则置ei+1=aj， S=S∪{ei+1} ，i:=i+1，j:=j+1，转向第2步；否则，置 j:=j+1，转向第2步。
例
Kruskal算法的复杂性
首先，在第1步中把边按权的大小由小到大排列起来， 这约需mlog2m次比较(m为此网络的边数) 其次，第2步最多循环n次
执行第3步时，第一次是(n-2)次比较， 第二次为(n-3)次比较， 第三次为(n-4)次比较，…， 因此总的比较为(n-1)(n-2)次
所以，总的计算量约为O(n2)
当对任意边e∈T ，e是Ω(e)中的唯一最小边。
Kruskal算法的步骤
第1步 开始把边按权的大小由小到大排列，即将图Fra Baidu bibliotek 边排序为a1,a2, …,am，使W(a1) ≤W(a2)≤…≤W(am) 置 S=Φ，i=0，j=1。
第2步 若|S|=i=n-1，则停止。这时G[S]=T即为所求； 否则，转向第3步。
j
}
wik
，置T
=T
U {eik } ，
R = R U{k} ， S = S \ {k} ；
第3步
若 S = Φ ，则停止；否则，置
uk
=
min{u jS
j
,w
kj
}，
j S ，返回第 2 步。
例
Dijkstra算法的复杂性
执行第2步时，第一次是(n-2)次比较， 第二次为(n-3)次比较， 第三次为(n-4)次比较，…， 因此总的比较为(n-1)(n-2)/2次
在第3步中，判定加边后是否构成回路总共约需m次 比较，而加边后点的重新标号最多需n(n-1)次比较
所以，总的计算量为 mlog2m+n+m+n(n-1)~O(n2log2n)
Dijkstra算法的步骤
第1步 置uj=w1j，T=Φ，R={1}，S={2,3, …,n}
第2步
取 uk
min{u jS
证明
W (e) max W (e) eC ( e )
最小树及其性质 续
定理 6.4.2 设 T 是 G 的支撑树，则 T 是 G 的最小树当 且仅当对任意边 eT 有
W (e) min W (e) eΩ ( e )
其中 Ω(e) T * + e 为一个唯一割集。
证明 定理6.4.3 设T是G的支撑树，则T是G的唯一最小树当且仅 当对任意边e∈G\T，e是C(e)中的唯一最大边。
第四节 最小树问题
最小树及其性质 求最小树的Kruskal算法
算法步骤 算法复杂性
求最小树的Dijkstra算法
算法步骤 算法复杂性
最小树及其性质
支撑树T的权（或长）：W (T ) W (e) eE
最小树：G中权最小的支撑树
定理6.4.1 设T是G的一个支撑树，则T是G的最小树 当且仅当对任意边e∈T*有
第3步 若G[S∪{aj}]不构成回路，则置ei+1=aj， S=S∪{ei+1} ，i:=i+1，j:=j+1，转向第2步；否则，置 j:=j+1，转向第2步。
例
Kruskal算法的复杂性
首先，在第1步中把边按权的大小由小到大排列起来， 这约需mlog2m次比较(m为此网络的边数) 其次，第2步最多循环n次
执行第3步时，第一次是(n-2)次比较， 第二次为(n-3)次比较， 第三次为(n-4)次比较，…， 因此总的比较为(n-1)(n-2)次
所以，总的计算量约为O(n2)