北邮运筹学ch7-2 最小树问题

运筹学最小生成树破圈法例题

运筹学最小生成树破圈法例题引言运筹学是一门研究如何优化决策的学科，它可以帮助我们在面对各种约束条件和目标函数的情况下，找到一个最优解。

其中一个重要的问题是最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）问题，它用于解决图论中的连通性问题。

在本文中，我们将重点讨论用破圈法（Cycle Breaking Algorithm）求解最小生成树问题的例题。

什么是最小生成树问题？最小生成树问题是在一个加权连通图中，找到一个边的子集，使得这个子集形成一棵树，并且这棵树上所有边的权重之和最小。

最小生成树问题常被用于网络设计、电力传输、通信网络等领域。

最小生成树破圈法为了解决最小生成树问题，我们介绍一种常用的算法——破圈法。

该算法的基本思想是不断将新的边加入到当前的生成树中，同时保证生成树中不会形成闭合的回路。

下面通过一个例题来详细介绍破圈法的具体步骤。

例题描述假设我们有一个无向连通图，共有6个顶点，边的权重如下表所示：边权重AB 4AD 6AC 5BC 1BD 2BE 3CE 7DE 8DF 9边权重EF 10我们的目标是找到这个图的最小生成树。

破圈法求解步骤以下是破圈法求解最小生成树问题的具体步骤：1.初始化：选择一个起始顶点作为生成树的根节点，将该顶点加入生成树的顶点集合V’中，将该顶点的所有相邻边加入到候选边集合E’中，并按权重从小到大排序。

2.迭代：从候选边集合E’中选择一条权重最小且不会形成回路的边e，将该边的两个顶点加入到顶点集合V’中，并将这条边加入生成树的边集合中。

同时更新候选边集合，将与新加入顶点有关的边加入候选边集合，并按权重排序。

3.终止条件：重复步骤2，直到生成树包含了全部的n-1个顶点，其中n为原图的顶点个数。

破圈法求解最小生成树例题解析根据以上步骤，我们逐步求解例题中给出的图的最小生成树。

Step 1: 初始化我们选择顶点A作为起始顶点，并将其加入生成树的顶点集合V’中。

北邮运筹学ch7-2 最小树问题

进入演示和练习
作业：P283 10.4 10.5
最短路问题撑树问题
Minimum Spanning Tree Problem
Ch7 Graph and Network
2013-9-13 Page 1 of 5
定义：设G＝[V,E]是一个无向图，对每一条边ei∈E有一个长度C(ei) ≥0,G的任意支撑树T各条边的长度之和称为树T的长度，记为C（T）。长度最小的支撑树称为最小树。求最小树是在一个无向连通图G中求一棵最小支撑树。求最小树问题的应用： • 电信网络（计算机网络、电话专用线网络、有线电视网络等等）的设计 • 低负荷运输网络的设计，使得网络中提供链接的部分（如铁路、公路等等）的总成本最小 • 高压输电线路网络的设计电器设备线路网络（如数字计算机系统）的设计，使得线路总长度最短 • 连接多个场所的管道网络设计
运筹学北京邮电大学
§7.2 最小支撑树问题
Minimum Spanning Tree Problem
Ch7 Graph and Network
2013-9-13 Page 2 of 5
求最小树的方法：破圈法和避圈法破圈法：任取一圈，去掉圈中最长边，直到无圈。避圈法：即选边法；加边的原则：从最短边开始选择，每次都从未选边中取最短者，但已选边中不能形成圈，直到连通（n－1条边）。

最小树问题

6.3.1 狄克斯特拉算法 (Dijkstra algorithm, 1959) 计算两节点之间或一个节点到所有节点之间的最短路令 dij 表示 vi vj 的直接距离(两点之间有边)，若两点之间没有边，则令 dij = ，若两点之间是有向边，则 dji = ；令 dii = 0，s 表示始点，t 表示终点 • 对每个节点，用两种标号：T和P，表示从始点到该节点的距离，P是最短距离(权)，为永久标号，T是目前路径的距离，是临时标号。 • 通过不断改进T值，当其最小时，将其改为P标号。 • 开始时，令始点有P=0的P标号，其它节点为T=+ .
•（3）Kruskal 算法：将图中所有边 v1 按权值从小到大排列，依次选 1 所剩最小的边加入边集 T，只 v8 要不和前面加入的边构成回路， 5 直到 T 中有 n1 条边，则 T 是最小生成树
v7
4
v2
1
v3
2
4 5
1
3
4
1
v4 5 v5
v0 2 3 v6 2 4
图的矩阵表示
将图的几何形状转化为代数矩阵形式，可大大方便计算机对图的处理与运算。 1、无权图的矩阵表示：
6.2.3 最小生成树
v5 9 v6 17 10 8 7 11 v4 16 v3 9.5 v2 v1 10

12 7 19.5

10 16 11 10 17 10 9.5 19.5 16 9.5 7 12 7 8 7 11 10 8 9 17 19.5 12 7 9
寻找连通图支撑树的方法有“破圈法”。就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个支撑树。例4 用破圈法求出下图的一个支撑树。 v2 e1 v1 e2 v3 e3 e4 e7 e8 e6 v5

教学课件：第五章-最小树问题

最小树问题的实际应用
最小树问题在现实生活中具有广泛的应用，如电路设计、网络路由、物流配送等。通过解决最小树问题，可以优化网络结构、降低成本、提高效率，为实际问题的解决提供重要的理论支持和实践指导。
最小树问题的未来研究方向
算法优化与改进
尽管已经存在许多有效的算法用于解决最小树问题，但随着问题规模的扩大和复杂度的增加，需要进一步优化和改进现有算法，以提高求解速度和精度。
04 最小小生成树问题是在最小生成树问题的基础上，给每条边赋予一个权重值，目标是寻找一棵权值最小的生成树。
详细描述
在带权重的最小生成树问题中，每条边都有一个关联的权重，表示该边的长度或代价。算法需要选择一组边，这些边能够连接所有节点并且总权值最小。常见的带权重的最小生成树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
理论分析与证明
对于最小树问题的求解算法，需要深入的理论分析和证明，以揭示算法的内在机制和性能。未来可以进一步研究算法的理论基础和数学证明，为算法的设计和分析提供更严格的依据。
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05 总结与展望
最小树问题的研究现状与成果
最小树问题的定义和性质
最小树问题是一类组合优化问题，旨在寻找一棵具有最小权值的树，该树连接给定的顶点集。最小树问题在计算机科学、运筹学和图论等领域具有广泛的应用。
最小树问题的研究进展
近年来，最小树问题的研究取得了重要的进展。研究者们提出了许多有效的算法和近似算法，用于解决最小树问题及其变种。这些算法在理论和实践方面都取得了重要的突破，为解决实际问题提供了有效的工具。
教学课件：第五章-最小树问
目录
• 引言 • 最小树问题的算法 • 最小树问题的实例分析 • 最小树问题的扩展问题 • 总结与展望

最小树与最小树形图(数学建模)讲解

最小树与最小树形图（数学建模）讲解一、最小树的定义及性质1. 定义：最小树，又称最小树，是指在给定的带权无向图中，包含图中所有顶点的一个树形结构，且树中所有边的权值之和最小。

2. 性质：（1）最小树中不存在回路；（2）对于最小树中的任意两个顶点，它们之间有且仅有一条路径；（3）最小树中边的数量等于顶点数量减一；（4）在最小树中添加任意一条边，都会形成一条回路；（5）最小树不唯一，但权值之和相同。

二、求解最小树的方法1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，其基本思想是从图中的一个顶点开始，逐步添加边和顶点，直到形成最小树。

具体步骤如下：（1）初始化：选择一个顶点作为最小树的起点，将其加入最小树集合；（2）迭代：在最小树集合和非最小树集合之间，寻找一条权值最小的边，将其加入最小树集合；（3）重复步骤2，直到所有顶点都加入最小树集合。

2. Kruskal算法Kruskal算法同样是一种贪心算法，其基本思想是将图中的所有边按权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边，判断是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合。

具体步骤如下：（1）初始化：将所有顶点视为独立的树；（2）按权值从小到大排序所有边；（3）迭代：选择权值最小的边，判断其是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合；（4）重复步骤3，直到所有顶点都在同一棵树中。

三、最小树形图的定义及求解方法1. 定义：最小树形图，又称最优树形图，是指在给定的有向图中，找到一个包含所有顶点的树形结构，使得树中所有边的权值之和最小。

2. 求解方法：朱刘算法（Edmonds' Algorithm）朱刘算法是一种用于求解最小树形图的算法，其基本思想是通过寻找图中的最小权值环，进行收缩和扩展操作，最终得到最小树形图。

具体步骤如下：（1）寻找最小权值环；（2）对最小权值环进行收缩操作，将环中的顶点合并为一个新顶点；（3）在新图中寻找最小树形图；（4）将新图中的最小树形图扩展回原图，得到原图的最小树形图。

最小树问题.

证明若T是最小支撑树，因为T∪｛e｝含有一个圈C（e），任取一个边e’ ∈ C（e）， T∪｛e｝-｛e’｝仍然是连通不含圈的、即是一个树，记T’= ｛e｝-｛e’｝，则： • 因为T是最小树，所以 w e w e ' ,由于的任意性，则e是C（e）中的最大边。
W T ' W T w e w e '
证明：（1）→（2）由于T是树，由定义知T连通且无圈。只须证明m=n-1。归纳法：当n=2时，由于T是树，所以两点间显然有且仅有一条边，满足m=n-1。假设 n=k-1时命题成立，即有k-1个顶点时，T有 k-2条边。当n=k时，因为T连通无圈，k个顶点中至少有一个点次为1。设此点为u，即u为悬挂点，设连接点u的悬挂边为[v，u]，从T中去掉[v，u]边及点u ，不会影响T的连通性，得图T’，T’为有k-1个顶点的树，所以 T’有k-2条边，再把（ v，u）、点u加上去，可知当T 有k个顶点时有k-1条边。
第2步：在Xi 确定的割集（Xi）中选一条最小权边ek， ek=[v’，vk]， v’∈Xi ，vk ∈ Xi ， Ei-1= Ei∪ek
Xi+1= Xi ∪﹛vk﹜,Xi+1= Xi ＼ ﹛vk﹜
第3步：若Xi+1=V，结束，（V，Ei+1）是所求的最小树。否则，把i换成i+1，返回第2步。
例：
定理3：图T是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰有一条链。
证明：必要性因T是连通的，故任两个点之间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾，从而任两个点之间恰有一条链。
充分性设图T中任两个点之间恰有一条链，那么易见T是连通的，如果T中含有圈，那么这个圈上的两个顶点之间有两条链，这与假设矛盾，故T不含圈，于是T是树。

运筹学课件最小生成树分解

不含圈的连通图树的基本性质若图是连通的且qp1则该图不含圈因此是树三最小生成树最小生成树的定义最小生成树的定理ijij四寻找最小生成树的方法kruskal方法矩阵计算法kruskal方法习题第一版
第二节最小生成树
什么是树？构造生成树的方法最小生成树问题寻找最小生成树的方法
一、什么是树？
树：不含圈的连通图树的基本性质
最小生成树的定义最小生成树的定理
v4
v1
水塔 6 1 5 7
5
v5
4 3 4
v6
v2
2
v3
最小生成树的数学模型
min
( i , j ) A
w
ij
xij
( i , j ) A
x
ij
n 1 S 1, S A
( i , j )S
x
ij
xij 0,1
四、寻找最小生成树的方法
5
矩阵计算结果
v4
6 5
v5
4
v1
5
1
7
3 4
v6
v2
2
v3
习题
第一版：

P. 265，第四章习题1、2。
第二版：

P. 284，第四章习题3、5。
矩阵计算方法
v1 v2
T v1 0
v3 v4
v5 v6
T v2 5 0 2 1 7 T v3 2 0 3 4 T v4 6 1 0 5 v5 7 3 5 0 4 v6 4 4 0 6
5
矩阵计算方法
v1 v2
T v1 0
v3 v4
v5 v6
T v2 5 0 2 1 7 v3 2 0 3 4 v4 6 1 0 5 v5 7 3 5 0 4 v6 4 4 0 6

最小树问题

V2 V4 V1 V2 V3 V3 V5 V1 0 1 1 V2 1 0 0 V3 1 0 0 V4 0 1 0 V5 0 1 1
V1
V4
V5
0Байду номын сангаас
0
1
1
0
1
0
1
1
0
两顶点间有边连接的记为 1 ，无边连接的记为 0。得到的矩阵一定是对称矩阵。
2、赋权无向图的矩阵表示：两顶点间有边连接的记为该边的权数。无边相连的记为，对角线上的数是 0 。得到的矩阵也是对称矩阵。例如：
5
v7
5
4
最小树，权为13
2．最小树的求法
(2)破圈法： ① 在网络图中寻找一个圈。若不存在圈，则已经得到最短树或网络不存在最短树； ② 去掉该圈中权数最大的边；反复重复 ① ② 两步，直到最小树。
v1 1 v8 4
4 2
v2 1
1 3 4
v3
1 v4 5 v5
5
v7
5
v0 2 3 v6 2 4
2．最小树的求法
求最小树的两种方法，是避圈法与破圈法
(1)避圈法：从网络图中任意节点开始寻找与该节点关联的权数最小的边，使之与已选边不构成为圈，直到选够n-1条边为止。
例
v1 1 v8 4 4 2 v2 1 1 3 4 v0 2 3 v6 2
从网络中任选一点
v3 1 v4 5 v5
•（3）Kruskal 算法：将图中所有边 v1 按权值从小到大排列，依次选 1 所剩最小的边加入边集 T，只 v8 要不和前面加入的边构成回路， 5 直到 T 中有 n1 条边，则 T 是最小生成树
v7
4

最小树问题

6.3 图与网络规划问题图与网络规划问题归纳起来主要有最小树问题、最短路问题、最大流问题、最小费用最大流问题、指派问题、货郎担问题(TSP)、选址问题等，本节将基于图与网络给出描述这些问题的最优化模型，介绍问题求解的常用算法，给出实现算法的程序和应用它们解决实际问题的实例. 6.3.1 最小树问题最小树问题就是如何求一个网络),,(W E V G 的最小树. 在交通网、电力网、管道网等的设计中常涉及最小树问题, 如“已知n 个城市间的交通线建造费用, 如何建造一个联结这n 个城市的交通网, 使总的建造费用最小.”就是一个最小树问题.[Ⅰ] 最小树问题模型设连通网络)3)(,,( V n W E V G 的邻接矩阵为n n ij a A )(, 权矩阵为n n ij w W )(, 求(0, 1)矩阵n n ij t T )(, 使得11111min (),..0,0(,1,2,,),1,.n nij ij i jij ij n n ij i j i n i i W T w t s t t a i j n t n T当时不含非零元 (6.4) 邻接矩阵为n n ij t T )(的图T 即为网络G 的最小树, )(T W 为最小树T 的权.[Ⅱ] 求最小树的算法 i) Kruskal 算法[4]Kruskal 算法是Joseph Kruskal 于1956年首次提出的求最小树算法, 属贪心算法, 依据是定理6.7, 其基本思路是从连通网络),,(W E V G (记E m V n ,)的m 条边中选取1 n 条权尽量小的边, 并使所选边的导出子图没有回路, 从而构成G 的最小树T . 算法步骤可描述如下:Step1: 把网络),,(W E V G (记E m V n ,)的m 条边从小到大排序，即.,,,21m a a a置1,0, j i S .Step2: 若1 n i S 则停止, 这时T S G ][即为所求；否则转到Step3. Step3: 若][j a S G 不构成回路, 则置j i a e 1,}{1 i e S S , 1 i i ,1 j j , 转到Step2；否则置1 j j , 转到Step2.Step3中要判断][j a S G 是否构成回路, 需确定j a 的两个端点是否在][S G 的不同连通分支中, 这可用标号法实现, 即每一步都给G 的顶点标号, 当且仅当两个点有相同的标号时, 它们才属于][S G 中的同一连通分支中.标号方法: 开始时, 将点l v 赋以标号)1(n l l , 以后取边j a , 若j a 的两个端点标号不同, 则置j i a e 1, 并用两个标号的较小者对较大标号的端点及与之有相同标号的端点标号；否则就抛弃j a , 再取边1 j a 检查.例6.6 在图6.22的网络中求一个最小树, 首先对每个点标号, 如图6.23(a), 然后再取边和修改点的标号, 直至取出4条边为止, 如图6.23(b)～(d)的实线边.按Kruskal 算法, 用Matlab 语言编程求解模型(6.4)的程序见本书配套光盘中Textbook_programs 目录的子目录Chapter06下的M 文件：KRmintree.m .Kruskal 算法属避圈法之一, 计算量为)log (22n n O , 算法的效率不太高, 特42 3 44 221v 3v 2 v 4 v 1v 5图6.22别是当问题规模比较大时, 效率更低.(a) (b)(c) (d)图6.23ii) Prim 算法Prim 算法也称Dijkstra 算法[5], 其基本思路是从G 的1 n 个独立割集中的每一个都选取一条权最小的边, 所选取边的导出子图即是所求的最小树. 算法步骤可描述如下:Step1: 置),,2,1(1n j w u j j , S , }{1v P , },,{2n v v T . Step2: 取ik j Tj k w u u }{min , 置}{ik e S S (ik e 为权值ik w 对应的边),}{k v P P ,}{\k v T T .Step3: 若 T , 则停止；否则置},{min kj j Tv j w u u j , 返回Step2.按Prim 算法, 用标号方式求图6.22的网络的最小树过程如图6.24(a)～(d). 首先给第1个点1v 以0标号, 点T v j 以j u 标号, 如图6.24(a). 点2v 的标号最小, 取边],[21v v 加入S , 检查修改与2v 相邻点的标号, 如图6.24(b). 如此直到42 3 44 221(v 3, 1) (v 2, 1) (v 4, 4) (v 1, 1)(v 5, 4) 42 3 44 221(v 3, 1)(v 2, 1)(v 4, 1) (v 1, 1)(v 5, 1)42 3 44 2 21(v 3, 3) (v 2, 1)(v 4, 4) (v 1, 1)(v 5, 5)42 3 44 221(v 3, 3) (v 2, 2) (v 4, 4) (v 1, 1)(v 5, 5)图6.24(d), 剩最后一个点4v , 它标号为2, 为边],[45v v 的权值, 取它加入S 后,][S G 即为所小的最小树.(a) (b)(c) (d)图6.24(v 3, 2) (v 2, 1)(v 4, 4) (v 1, 0)(v 5, 3)42 3 44 2 21(v 3, 2) (v 2, 1) (v 4, ∞) (v 1, 0)(v 5, ∞) 423 44 221(v 3, 2)(v 2, 1)(v 4, 2) (v 1, 0)(v 5, 3)42 3 44 22 1(v 3, 2) (v 2, 1) (v 4, 4) (v 1, 0)(v 5, 3) 42 3 44 221。

第四节最小树问题

证明
W (e) max W (e) eC ( e )
最小树及其性质续
定理 6.4.2 设 T 是 G 的支撑树，则 T 是 G 的最小树当且仅当对任意边 eT 有
W (e) min W (e) eΩ ( e )
其中 Ω(e) T * + e 为一个唯一割集。
证明定理6.4.3 设T是G的支撑树，则T是G的唯一最小树当且仅当对任意边e∈G\T，e是C(e)中的唯一最大边。
第3步若G[S∪{aj}]不构成回路，则置ei+1=aj， S=S∪{ei+1} ，i:=i+1，j:=j+1，转向第2步；否则，置 j:=j+1，转向第2步。
例
Kruskal算法的复杂性
首先，在第1步中把边按权的大小由小到大排列起来，这约需mlog2m次比较(m为此网络的边数) 其次，第2步最多循环n次
第四节最小树问题
最小树及其性质求最小树的Kruskal算法
算法步骤算法复杂性
求最小树的Dijkstra算法
算法步骤算法复杂性
最小树及其性质
支撑树T的权（或长）：W (T ) W (e) eE
最小树：G中权最小的支撑树
定理6.4.1 设T是G的一个支撑树，则T是G的最小树当且仅当对任意边e∈T*有
j
}
wik
，置T
=T
U {eik } ，
R = R U{k} ， S = S \ {k} ；
第3步
若 S = Φ ，则停止；否则，置
uk
=
min{u jS
j
,w
kj
}，
j S ，返回第 2 步。
例
Dijkstra算法的复杂性

运筹学_21 图论最小树和最大流

7
Operational Research
8
最大流问题
案例 • v1表示工厂，v6表示市场，v1-v5表示转运站。产品从工厂到市场要经过转运站。 • 弧的权数表示能通过的货物量，求如何安排运输，使到达市场数量最大？
Operational Research
9
最大流问题
（V，A），指定一个点为起点不终点，其余点叫作中间点。对于A的每条弧，都对应一个权数 wij ≥0，称为弧的容量。每一弧（vi，vj）的流量为xij，集合X={xij | （vi，vj）属于A }称为该网络一个流。可行流
（1）找到一个增广链；（2）逐一检查，给出标号；每一标号点包括两部分（第一标号表明标号从哪里来，顺则+ 逆则-；第二标号表明可调整量，取之前的最小值）。
（3）调整流量（保持每个中间点的平衡）；
（4）再找增广链。
V2
（4,4）
V4
（6,5）
最大流为10
V1
（5,4）（3,0）（4,2）（6,6）
11
最大流问题
定理：
•
算法
可行流为最大流的充要条件是丌存在关于x*的增广链。
Ford-Fulkerson算法
•
V2
（5,3）
（4,4）
V4
（6,4）
V1
（6,6）
（3,1）
（4,2）
（6,2）
（8,5）
V6
V3
（5,3）
V5
Operational Research
12
最大流问题
过程
•
从某一可行流出发，通过找增广链、检查-标号、调整三步完成算法；
流 Flow
• •

算法设计与分析课件--贪心法-最小生成树问题

6
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法思想：
❖Prim算法利用了最小生成树的上述性质。 ❖ 算法的关键是如何找出连接U和V-U所有边中的权值最小的边(u, v)，并将v加入到U中。循环执行上述操作，直至U=V为止。
7
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法设计：
❖ 设G=(V，E)是具有n个结点的无向连通带权图；设最小生成树T=(U，TE)，算法结束时U=V，TE包含于E
点的无向连通带权图，U是
V的一个非空子集。最小生
成树的一个很重要的性质：
✓ (u, v)是一条具有最小权值的边，其中 u∈U ， v∈V-U，则必存在一棵包
假设最小生成树T不包括(u,v)。将(u,v)添加到T上产生回路，将回路中另外一条边(u’,v’)去掉得到另外一个树T’
含边 (u ， v) 的最小生成树。
◼ Prim算法的求解示例：
18
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
19
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
20
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
21
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
22
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
◼ Prim算法空间复杂性：
❖定义了辅助变量Q，其占用空间为|V|，从而空间复杂度为O(|V|)。
27
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的正确性证明：
❖最优子结构性质：假设最小生成树为T，从V-U集合中添加到集合U中的结点顺序为< u0, …, ui, …, un-1, un>，需要证明：顺序< u0, …, ui, …, un-1>亦为图G’=(V\{un}， E\{e})最小生成树T’ ，其中e={原图G中与结点un相连的边}。

最小树最短路以及动态规划思想.

3
v0
10
v1
21
11
5
19
n -3
v5 33 14 6
v2 6
v4
18
v3
100
10 0
5
6
19
1211

5 6
0 6
6 0
18
14
1291
11

18 14
0 33
303
Hu Junfeng
27
mst[5]={{0,1,10}, {1,2,5}, {1,3,6}, {1,5,11} , {3,4,18}}
18
14
1291
11

18 14
0 33
303
26
mst[5]={{0,1,10}, {1,2,5}, {1,3,6}, {3,4,18}, {1,5,11} } mst[5]={{0,1,10}, {1,2,5}, {1,3,6}, {3,4,18}, {1,5,11} }
v0
10
v1
21
11
5
v5
19 33 14 6
v2
6
v4
18
v3
Hu Junfeng
0 10 19 21
10 0 5 6 11
5 0 6
6 6 0 18 14
19 21
11

18 14
0 33
33 0
24
① n=6，只有顶点v0在最小生成树中。 mst[5]={{0,1,10}, {0,2,∞}, {0,3,∞}, {0,4,19}, {0,5,21} }
图第二讲

北邮运筹学ch7-4 最大流问题

调整可行流
去掉所有标号，重新标号
标号不能继续进行，说明不存在从发点到收点的增广链，得到最大流.
66
∞①
83
1
44
②
11
④ 76
41
60
⑥
22
93
③
5
22
⑤
最大流量运筹学北京邮电大学 v=6+3=9
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
Ch7 Graph and Network
__
截集将图G＝（V，E）的点集分割成两部分 V1、V 1 并且
__
__
__
vs V1及vt V 1，则箭尾在V1箭头在V 1的弧集合（V1，V 1〕
称为一个截集，截集中所有弧的容量之和称为截集的截量。
下图所示的截集为 (V1,V1) (1,2), (3,4), (3,5) 截量C(V1,V1) 6 2 2 10
74 92
⑥7
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
Ch7 Graph and Network
2020/2/15
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4.求调整量
2② 4 2
min ,6,2,1,71 ∞ ① 6 4
10 42
5.调整可行流
82
22
去掉所有标号，重新标号
Ch7 Graph and Network
2020/2/15
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【定理】可行流是最大流当且仅当不存在发点到收点的增广链
最大流的标号算法
步骤 1. 找出第一个可行流，例如所有弧的流量fij =0 2. 用标号的方法找一条增广链 A1：发点标号（∞）， A2：选一个点 vi 已标号并且另一端未标号的弧沿着某条链向收点检查：如果弧的方向向前并且有fij<Cij，则vj标号（Cij－fij) 如果弧的方向指向vi并且有fji>0，则vj标号（fji) 当收点不能得到标号时，说明不存在增广链，计算结束。

运筹学课后答案2

运筹学（第2版）习题答案2第1章线性规划 P36~40第2章线性规划的对偶理论 P68~69 第3章整数规划 P82~84 第4章目标规划 P98~100 第5章运输与指派问题 P134~136 第6章网络模型 P164~165 第7章网络计划 P185~187 第8章动态规划 P208~210 第9章排队论 P239~240 第10章存储论 P269~270 第11章决策论 Pp297－298 第12章博弈论 P325~326 全书360页由于大小限制，此文档只显示第6章到第12章，第1章至第5章见《运筹学课后答案1》习题六6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。

【解】边[i ，j ]的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最小部分树内边0],[1j i x ij数学模型为：,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656m in 52,22,233344,510ij ijij i j ij Z c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==++≤++≤++≤++≤+++≤+++≤+++≤++++≤++++≤+++++≤=∑或,[,]i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩所有边6.2如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。

图6－42【解】弧(i ，j )的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最短路径中弧0),(1j i x ij数学模型为：,1213122324251323343524344546253545564656m in 100,00110,(,)ijiji jij Z cx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =⎧+=⎪---=⎪⎪+--=⎪⎪+--=⎨⎪++-=⎪⎪+=⎪=⎪⎩∑或所有弧 6.3如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最大流问题的线性规划数学模型。

运筹学第06章北邮

邻接矩阵为：
v1 0 v2 1 v 3 0 B v 4 1 v 5 1 v6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短路。
v2 3 v1 5 2 2 4 v4 4 v6 2
1 v3
2 v5
解（1）首先给v1以P标号，给其余所有点T标号。
P(v1 ) 0
T (vi ) (i 2 , 3,, 6)
（2） T (v2 ) min[T (v2 ) , P(v1 ) l12 ] min[ , 0 3] 3
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2 e1 v1 e2 v2 e1 v1 e2 v3 e3 e5 e6 e4 e7 v4 v3 v2 e4 e3
e4
e7
v4 e 8 e6 v5
e5
e8
v5
v1 e2 v3
v4 e6
e8
v5
（一）破圈法
（二）避圈法在图中任取一条边e1，找一条与e1不构成圈的边e2，再找一条与{e1，e2}不构成圈的边e3。一般设已有{e1， e2，…，ek}，找一条与{e1，e2，…，ek}中任何一些边不构成圈的边ek+1，重复这个过程，直到不能进行为止。
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图与网络的基本知识树及最小树问题最短路问题最大流问题最小费用最大流问题

图论方法,最小树,最短路,邮路——【MBA 数据、模型与决策】

树图：某工厂的组织结构图
厂长
生产计划科
行技术科政办供销科公室财务科
设计组工艺组
行政科
铸造工段
生
一车间
锻压工段
产
二车间
办
公
三车间
室
四图T=(V,E’)是图G=(V,E)的支撑子图，如果图T=(V,E’)是一个树，则称T是G的一个支撑树。
• 定理：图G有支撑树的充分必要条件是图G是连通的。
小学选址问题
从村庄1到村庄1234567的最短路
50
0
30
93 63
45 60
小学选址问题
各村庄之间一步直达的最短距离
村庄 V1 V2 V3 V4 V5 V6 v7
V1 v2 v3 0 30 M 30 0 20 M 20 0 M M 20 M M 60 M 15 25 MMM
v4 v5 v6 v7 M MM M M M 15 M 20 60 25 M 0 30 18 M 30 0 M M 18 M 0 15 M M 15 0
• 最小支撑树问题就是要求给定连通赋权图G的最小支撑树。 • 避圈法，破圈法
寻找图的最小支撑树
• 避圈法，破圈法
寻找图的最小支撑树
• 避圈法，破圈法
寻找图的最小支撑树
• 避圈法
寻找图的最小支撑树
• 破圈法
最短路问题
• 给定一个赋权有向图D=(V, A)，对每一个弧a=(vi, vj)，相应地有权w(a)=wij, 又给定D中的2个顶点Vs, Vt。设P是D中从Vs到Vt的一条路，定义路P的权是P中所有弧的权之和，记为w(P)。最短路就是要在所有从Vs到Vt的路中，求一条权最小的路P0，称为最短路。路P0的权称为从Vs到Vt的距离。

运筹学最小生成树问题

概念篇
设计方案
• 本设计是在C语言环境下运行的，主要有 minitree_KRUSKAL()此函数包含几个算法有对树的邻接矩阵的构造，数据的输入，克鲁斯卡尔算法（又称 Kruskal算法，其类似于求生成树的“避圈法”）求网的最小生成树，最小生成树的最小代价，输出最小生成树的顶点及其最小代价。ljjzprint(int n)定义并输出邻接矩阵。 • 主程序： • int main() • { • minitree_KRUSKAL(); （函数调用） • printf("输出邻接矩阵是：\n"); • ljjzprint(n); （函数调用） • }
结果与结论
• 顶点为：a，b，c, ，， d , e, 其标号分别为1，2，3，4，5 ，，，， • Vexh和vext分别为边的两端顶点， • weight为边的权值运行如下:
收获与致谢
• 紧张而又忙碌的课设学习终于结束了，在本次课设中我们也取得了相对很大的成就，通过本次课程设计我们也学到了很多，它增加了我们编程软件的兴趣，在具体操作中对所学的C语言的理论知识得到了巩固，达到实训的目的也发现了自己的不足之处，在以后的上机中应更加注意，同时体会到了C语言具有语句简洁，使用灵活，执行效率高等特点，并且通过此次运筹学课程设计，我们通过C语言将其中抽象的最小树问题比较直观的变现出来，掌握了求最小树问题的克鲁斯卡尔算法以及邻接矩阵的构造，特别是对C语言中数组和循环有了深刻的了解。通过实际操作将C语言编程和运筹学有机的结合起来，学会了C语言编程的基本步骤和基本方法，开发了自己的逻辑思维能力，培养了分析问题和解决问题的能力。
收获与致谢
• 在此衷心感谢学院安排这次课设，让我们又在此衷心感谢学院安排这次课设，多了一次学习交流的机会，多了一次学习交流的机会，更好的巩固了所学的知识，拓展了知识面。学的知识，拓展了知识面。本次课设能取得成功，要感谢张爱霞老师的帮助和指导。成功，要感谢张爱霞老师的帮助和指导。在课设期间老师帮助我们分析思路，提供方法，课设期间老师帮助我们分析思路，提供方法，才使得我们的程序做的更加的完善。才使得我们的程序做的更加的完善。其次是要感谢和我同组的同学感谢对方对本次课设的付出。的付出。

第五章最小树问题

[举例] 下面的图表示一个5个城市的地图，可以得到它的最小生成树的权和为19.
例2、最优布线问题（wire.???）学校有 n 台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来 . 两台计算机被连接是指它们之间有数据线连接 . 由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的.
• 例3 机器蛇 • 在未来的某次战争中,我军计划了一次军事行动，目的是劫持敌人的航母．由于这个计划高度保密，你只知道你所负责的一部分：机器蛇的通信网络.计划中要将数百条机器蛇投放到航母的各个角落里．由于航母内部舱室、管线错综复杂，且大部分由金属构成，因此屏蔽效应十分强烈，况且还要考虑敌人的大强度电子干扰，如何保持机器蛇间的联系，成了一大难题. 每条机器蛇的战斗位置由作战计划部门制定，将会及时通知你．每条机器蛇上都带有接收、发射系统，可以同时与多条机器蛇通讯．由于整个系统承载的数据量庞大，需要一个固定的通讯网络．情报部门提供了极其详尽的敌方航母图纸，使你对什么地方有屏蔽了如指掌． • 请你设计一个程序，根据以上信息构造通讯网络, 要求信息可以在任意两条机器蛇间传递，同时为了避免干扰，通讯网络的总长度要尽可能的短．
果形成圈，ej就不能加进去，而考虑下一条边ej+1,一直加到得到的支撑子图含有n-1条边时，计算结束. 加边法的计算框图：
开始：对G的边重新编号，使l(e1) ≤l(e2) ≤…≤l(em)
令支撑子图的边集合E′=Ø，令i=1
ei加到E′中去是否形成圈？
是
令i=i+1
否
令i=i+1 把ei加到E′中去 E′中的边数是否等于n-1
v1 这个图的每个顶点的度数都大 e1 e2 于等于2.先任意取一个顶点，例如 v3 v2 取v4，并且令p={v4}.因为 e3 deg(v4)≥2，所以一定有与v4关联的 e4 e5 边，任取一条这样的边，例如取e4， e6 v5 v 把e4及它的另一个端点v2加到p中去， 4 图5.2.1 使p扩大成p={v4,e4,v2}.然后再取一条与v2关联，而不属于p的边.因为deg(v2)≥2，这样的边是一