北邮运筹学ch16 人工变量法
大学本科 运筹学 教程 人工变量法、对偶问题(4)
Z′* = - 8
Z* = 8
人工变量法之二——两阶段法 两阶段法 人工变量法之二
• 第一阶段 寻找一个基可行解 第一阶段:寻找一个基可行解 方法:加入人工变量 加入人工变量,构造一新的求极小值的目标函数 方法 加入人工变量 构造一新的求极小值的目标函数 minω=∑X人 表明X （1）当minω=0,表明 人不为基变量 则得到此阶段的 ） 表明 不为基变量,则得到此阶段的 一个最优解,转入第二阶段 转入第二阶段。 一个最优解 转入第二阶段。 （2）当minω＞0，表明 人仍为基变量，原问题无可 ） ＞ ，表明X 仍为基变量， 行解。 行解。 • 第二阶段：求最优解 第二阶段： 将原目标函数换回， 将原目标函数换回，以第一阶段得到的最优解为初始 基可行解，用单纯形法迭代。为简化计算，在此阶 基可行解，用单纯形法迭代。为简化计算， 段的表中去掉人工变量。 段的表中去掉人工变量。
c
原问题： 原问题：maxZ=70x1+120x2 s.t. 9x1 + 4x2 ≤360 4x1 + 5x2 ≤200 3x1 + 10x2 ≤300 x1 , x2 ≥ 0
影子价格
s.t. 9y1 + 4y2 + 3y3≥70 4y1 + 5y2 + 10y3≥120 y1 、y2 、y3 ≥0
分别为劳动力、设备、 设：y1 、y2 、y3分别为劳动力、设备、原材料的租赁价格
maxZ=70x1+120x2 s.t. 9x1 + 4x2 ≤360 4x1 + 5x2 ≤200 3x1 + 10x2 ≤300 x1 , x2 ≥ 0
产品A 劳动力（工时） 设备（台时） 原材料（公斤） 单位产品利润（元） 9 4 3 70 产品B 资源限额 4 5 10 120 360 200 300
单纯形法-人工变量法
max z=3x1+4x2 x1 +x2 40
2x1+x260 x1-x2 =0 x1 ,x2 0
cj →
CB XB b 0 x3 40 0 x4 60 -M x5 0
cj- zj
0 x3 40 0 x4 60 3 x1 0
cj- zj 4 x2 20 0 x4 0 3 x1 20
3 40
x1 x2 x3 1 11 2 10 [1] -1 0
例 max z=3x1+5x2 3x1 +5x2 15 2x1 + x2 5 2x1+2x2 11 x1 ,x2 0
CB XB b
0 x3 15 0 x4 5
0 x5 11
cj-zj
5 x2 3 0 x4 2 0 x5 5
cj-zj
3 50 00 x1 x2 x3 x4 x5 3 [5 ] 1 0 0 2 1010 2 2001 3 5000 3/5 1 1/5 0 0 7/5 0 -1/5 1 0 4/5 0 -2/5 0 1
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
x5 x6 3 x7 1
x1 , , x7 0
这时，初始基和初始基可行解很明显。X(0)=(0，0，0， 11，0，3，1)T不满足原来的约束条件。如何使得可从 X(0)开始，经迭代逐步得到x6=0，x7=0 的基可行解， 从而求得问题的最优解，有两种方法：
• 两种方法
– 大M法 – 二阶段法
约束方程为“>=”或“=”的情形（加人工变量）
标准型：
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
单纯形法-人工变量法
θ
11 3/2 1
第一阶段求得的结果是ω = 0,最优解是（0,1,1,12,0,0,0）T 一阶段求得的结果是ω 0,最优解是 最优解是（ 12, 一阶段求得的结果是 是原线性规划问题的基可行解。 因人工变量 x6= x7=0，所以 ，所以(0,1,1,12,0)T 是原线性规划问题的基可行解。
第二阶段运算:
例:
max z=3x1+4x2 x1 +x2 ≤40 2x1+x2≤60 x1-x2 =0 x1 ,x2 ≥0
cj→ CB XB b x 3 40 0 x 4 60 0 0 -M x 5 cj - zj 0 0 3 4 0 3 x3 x4 x1 40 60 0 3 x1 1 2 [1] 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 4 x2 1 1 -1 [2] 3 -1 0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -1/3 1/3 1/3 -7/3 -M x5 0 -1 1 0
大M法 法
在目标函数中加上惩罚项。 在目标函数中加上惩罚项。
max =3x1-x2-x3-Mx6-Mx7 3 其中M为充分大的正数 为充分大的正数。 其中 为充分大的正数。 = 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 x3 + x7 = 1 − 2 x1 + x1 ,L , x7 ≥ 0 只要原问题有可行解， 只要原问题有可行解，随着目标函数向最大化方向的改善 人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， ，人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， 进而得到基最优解。 进而得到基最优解。 反之， 反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量 为基变量，便说明原问题无可行解。 的单纯形表格为： 为基变量，便说明原问题无可行解。例8的单纯形表格为： 的单纯形表格为
人工变量法 基本可行解
人工变量法基本可行解人工变量法是一种经济学中常用的策略性分析方法，它的核心思想是将一项政策变量（通常是政府政策）视为外生给定，并通过构建一个人工变量来评估该变量对某一兴趣变量的影响。
在经济学领域，人工变量法被广泛应用于政府政策评估、市场分析和决策制定等方面。
在这篇文章中，我们将就人工变量法的基本可行解进行一步一步的回答，深入探讨其原理、适用范围以及优缺点等相关问题。
首先，让我们通过阐述人工变量法的基本原理来开始我们的讨论。
人工变量法的核心思想是通过引入一个人工变量来模拟某一外生给定变量对兴趣变量的影响。
这可以帮助我们解决研究中经常遇到的内生性问题，即无法确定因果关系的问题。
通过构建一个人工变量，我们可以将外生性变量的影响与内生性变量的影响区分开来，从而更准确地评估政策变量对兴趣变量的影响。
接下来，让我们讨论人工变量法的适用范围。
人工变量法适用于各种研究领域，尤其是在政策评估和决策制定中具有广泛的应用。
人工变量法可以用于评估政府政策的效果，例如教育政策、税收政策和社会保障政策等。
此外，在市场分析中，人工变量法也可以帮助我们了解市场竞争对价格和供求关系的影响。
然而，人工变量法也存在一些局限性和挑战。
首先，为了构建一个有效的人工变量，我们需要确保该变量与其他内生变量无关。
这可能需要进行精心的设计和数据收集，以确保人工变量具有外生性。
其次，人工变量法还要求我们拥有足够的数据和样本量，以确保评估结果的统计显著性和可信度。
最后，人工变量方法也面临着理论假设和模型设定的挑战，这些假设和设定可能对最终的评估结果产生重大影响。
在实际应用中，人工变量法可以采用多种方法来构建人工变量和评估政策效果。
其中一种常见的方法是利用自然实验或随机化实验的结果来构建人工变量。
这种方法可以帮助我们解决内生性问题，并提供可靠的因果推断。
另一种方法是利用工具变量方法来构建人工变量。
工具变量方法通过引入一个与政策变量相关但与内生性变量无关的变量来评估政策的效果。
初始可行基的求法——人工变量法
2x1 x2 4 3x1 x2 1 x1, x2 0
max z1 2x1 3x2 M (x5 x6 )
2x1 x2 x3 x5 4
3x1 x2
x4 x6 1
x1,, x6 0
cj
CB XB
-M x5 -M x6
σj
-M x5
3
退化解出现的原因是模型中存在多余的 约束，使多个基可行解对应同一顶点。当出 现退化解时，有可能出现迭代计算的循环， 但可能性极其微小，为避免循环，可取下标 较小的变量换出。
8（4）先用大M法，再用两阶段法 求解LP问题：
min z x1 3x2 4x3 3x4
3x1 6x2 x3 2x4 15 6x1 3x2 2x3 x4 12 x1, x2 , x3 , x4 0
11
4x1 2x1
x2
2x3 x3
x5 x6 3 x7 1
x1,, x7 0
cj
0
0
0
0
0
1
1
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
0
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
1
x6
3
-4
1
2
0
-1
1
0
1
x7
1
-2
0 [1] 0
0
0
1
σj
6
-1
-3
0
1
0
0
0
x4
10
3
-2
0
1
0
0
(北邮出版社)运筹学课本答案
No .1 线性规划1、某织带厂生产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而工厂有供纺纱的总工时7200h ，织带的总工时1200h 。
(1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大；(2) 如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化？对模型的解是否有影响？解：(1)设A 的产量为x 1，B 的产量为x 2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3 +(406-140)x 4=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4s.t. ⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i(2)如果组织这次生产有一次性的投入20万元，由于与产品的生产量无关，故上述模型只需要在目标函数中减去一个常数20万，因此可知对模型的解没有影响。
2、将下列线性规划化为极大化的标准形式解：将约束条件中的第一行的右端项变为正值，并添加松弛变量x 4，在第二行添加人工变量x 5，将第三行约束的绝对值号打开，变为两个不等式，分别添加松弛变量x 6, x 7，并令x x x 333='-''，则有max[-f (x )]= {-2 x 1 -3 x 2 -5('-''x x 33)+0 x 4 -M x 5+0 x 6 +0 x 7} s.t. 0,,,,,,,1355719 13 5571916 9976 5 7654332173321633215332143321≥'''=+''+'-+-=+''-'+-=+''+'-+-=+''-'+--⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±≥≤+-=-+--≥-+++=不限321321321321321 ,0,13|5719|169765..532)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x f3、用单纯形法解下面的线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.021********* ..352)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 解：在约束行1,2,3分别添加x 4, x 5, x 6松弛变量，有初始基础可行解和单纯形答：最优解为x 1 =244.375, x 2 =0, x 3 =123.125, 剩余变量x 6 =847.1875；最优解的目标函数值为858.125。
LP_LEC-4-人工变量法
两阶段法：•辅助规划； •去掉人工变量，单纯形法。
2006-9-19 14
对目标函数求max的线性规划问题, 用单纯形法计算步骤的框图
2006-9-19
15
添加松弛变量、人工变 量, 列出初始单纯形表 计算非基变量 各列的检验数бj 所有бj≤0 无可行解 唯一最优解
Y Y
基变量中有 非零的人工 变量
1 2 [1] -3 0 0 1 0 0 0 1 0
x6 0 1 0 0 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 1 -2 2 0 -1 0 0 0 0 0 1
x7 0 11 0 3/2 1 1 0 0 -1 -2 1 1 3 -5 4 1 -2 0 1
11
θi
第一阶段结果为ω=0。x6、x7是人工变量。所以解 （0，1，1，12，0)T 是线性规划问题的基可行解。进入第二阶段，在第一阶 段的最终表中去掉人工变量，添入原目标函数系数得： Cj -3 1 1 0 0 0 x4 1 2 [3] 0 1 x2 1 -2 1 x3 1 -1 σj - 3 x1 4 1 1 x2 1 0 1 x3 9 0 σj 2 0
2006-9-19 9
第二阶段： 将第一阶段最优表格中去掉人工变量，将目 标函数系数换成原问题的目标函数系数，接下去 用单纯形法计算，直到得到最优解为止。 例2：同上 第一阶段：求解辅助规划问题
minω = x6 + x7
= 11 ⎧x1 − 2x2 + x3 + x4 ⎪− 4x + x + 2x − x5 + x6 =3 ⎪ 1 2 3 s.t. ⎨ + x3 + x7 = 1 ⎪− 2x1 ⎪x1, x2 , x3 , x5 , x6 , x7 ≥ 0 ⎩
运筹学5人工变量及其处理方法
min w = x6 + x7
max w' = − x6 − x7
= 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 s.t. + x3 + x7 = 1 − 2 x1 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3L7)
法的不足 大M法的不足 法的
在用计算机求解时，不容易确定 在用计算机求解时，不容易确定M 的取值， 过大容易引起计算误差。 的取值，且M过大容易引起计算误差。 过大容易引起计算误差
二. 两阶段法
将新LP的求解过程分成两个阶段： 将新 的求解过程分成两个阶段： 的求解过程分成两个阶段 第一阶段：求解第一个 第一个LP： 第一阶段：求解第一个 ：
基变换＋ 基变换＋调基
/
[ ]
1 /
[ ]
12 3 / /
最优解： （4，1，9，0，0，0，0）T， 最优解 ， ， ， ， ， ， ） 最优值 最优值：2
人工变量x6,x7已不在基变量中，故 人工变量 不在基变量中， 基变量中 原LP的最优解为 4，1，9，0，0）T， 的最优解为 ， ， ， ， ） （ 最优值 最优值为2
辅助LP 辅助
m i =1
min w = ∑ xn +i
i =1
m
max w' = −∑ xn +i
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n + x n +1 = b1 a x + a x + L + a x + x n + 2 = b2 21 1 22 2 2n n s.t .M M M a x + a x + L + a x + x n + m = bm m1 1 m2 2 mn n x1 , x 2 , L , x n ≥ 0, x n +1 ,..., x n + m ≥ 0
第三讲 线性规划的人工变量法(Max型)
线性规划的两阶段法(初始单纯形表1)
辅助问题的标准形式 的系数矩阵为：
a11 a12 ... a1n 1 0 ... 0 a a ... a 0 1 ... 0 21 22 2n ˆ A ... ... ... ... ... ... ... am1 am 2 ... amn 0 0 ... 1
大M法（1） 把原问题化为下列形式：其中M是任意大的正数
n max z c j x j My1 My2 Mym j 1 a x a x a x y b 11 1 12 2 1n n 1 1 ( LP1) a21 x1 a22 x2 a2 n xn y2 b2 s.t. am1 x1 am 2 x2 amn xn ym bm x j 0 j 1, 2, , n , yi 0 i 1, 2,
T
线性规划的两阶段法(1) 原线性规划问题为 第一阶段:
max z CX ( LP) AX b s.t. X 0
构造原(LP)的辅助问题
ym a1n xn y1 b1 a2 n xn y2 b2 amn xn ym bm
max z z 3x1 2 x2 x3 x1 x2 x3 x4 6 x3 x5 4 x1 s.t. x2 x3 x6 3 x j 0( j 1,...,6)
则第一阶段的辅助问题为
两阶段法的计算步骤: 第一步 用单纯形法求辅助问题的最优单纯形表T(B*) 和最优值w*. 第二步 若 w*＞0,则原线性规划无可行解,停止求解, 否则转第三步. 第三步 T(B*)中基变量中不含人工变量y,则把T(B*)中人 工变量所在列划去,把检验数行用原规划的目标函 数的系数替代再把基变量的检验数化为0,即得原 规划的一个可行基的单纯形表.再用单纯形法迭 代,直到终止.否则转第四步. 第四步 w*=0,T(B*)中基变量中含有人工变量yr,若yr所在 行的对应的X系数全为0 ,则划去T(B*)中yr所在行 和所在的列,转第三步。否则以某变量xS的系数 brs0为轴心项进行换基迭代后转第三步。
§43 人工变量法
0
0
LPⅡ min z 3 x1 2 x2 x3 Mx6 Mx7
2 2 1 0 0 0 1
4 x1 3 x2 x3 x4 x6 4
x1
x2
2 x3
x5
10
2
x1
2 x2
x3
x.7
1
x j 0, j 1, , 7
3
2
0
0
1 2
3
得 LPⅠ 的基础可行解：
2 x 0
0
可行基： B1 ( p1 , p2 , p5 )
3 2
计算 ：b00 和 b0i 的数据.
建立 LPⅠ对应基 B1 的单纯形表。
例2
用两阶段法解线性规划问题:
min S 4x1 3x3
0
LPⅡ
x1
x2 x4 3
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4
0
min z x1 2x2 Mx5
1 2 1 0 1
A
1
0
0
1
0
x1 2x2 x3 x5 4
x1
x2
x4 1
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4 ,
取初始可行基
B (P6 , P5 , P7 ) E cB (c6 , c5 , c7 ) ( M , 0, M ),
计算： CBb CB A C
人工变量法和两阶段法.ppt
y2≥0， 不满足
该约束 对偶问题不可行 条件
若原问题有可行解而其对偶问题无可行解， 则原问题目标函数值无界。
性质3 最优性
设 Xˆ 是原问题的可行解，Yˆ 是对偶问题的可行
解，当 CXˆ Yˆb 时，Xˆ ,Yˆ 是最优解。
对任何可行解，均有 Yˆb CXˆ Yˆb ，故 Yˆ 是目
标函数取值最小的可行解，因而是最优解。
a23 x3 a23 x3
a23 x3 a23 x3
b2
b2
a31 x1
a32 x2
a33 x3
a33 x3
b3
x1
0,
x2
0，x3
0，x3
0
对称 形式 线性 规划 模型 的对
max Z CX
minW Y偶b 模
原问题： AX b 对偶问题： YA C 型
X
0
Y 0
令各约束对应的对偶变量分别为y1，y2，y2，y3 则对偶模型为 :
4 x1
16 y2
4x2 12 y3
x1 , x2 0
min 8 y1 16 y2 12 y3
s.t .
y1 4 y2
2
2 y1
4 y3 3
y1 , y2 , y3 0
4.2.2 一般形式的线性规划模型与对偶模型之间的关系 对于非对称形式的线性规划模型如何写出其对
偶模型？ 其思路是首先将非对称形式转换为对称形式，然
max z CX (P) AX b
X 0
Prime problem
min Yb
(D) YA C Y 0
Dual problem
max Z 6 x1 8 x2 原问题中各系数矩阵为
《运筹学》_习题_线性规划部分练习题及_答案
一、思考题1. 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？2. 线性规划问题的一般形式有何特征？3. 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4. 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6. 什么是线性规划的标准型，如何把一个耳非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7. 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9. 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10 .大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11. 什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？二、判断下列说法是否正确。
1. 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2. 线性规划的可行解集是凸集。
3. 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5. 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
CT i A 07. 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与J对应的变量都可以被选作换入变量。
8 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9.单纯形法计算中，选取最大正检验数 k 对应的变量 x k 作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。
10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
1.5 人工变量法
第五节 人工变量法
单纯形表是从一个初始基可行解开始的，如果在线性规 划问题的系数矩阵中不存在一个 m 阶单位矩阵，也即很难找 到一个初始可行基怎么办？ 例1：
MaxZ 3 x1 x 2 x3 x1 2 x 2 x3 11 4 x x 2 x 3 1 2 3 2 x1 x3 1 x1 , x2 , x3 0
引进人工变量 x6 ， x7 ，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为 所有人工变量之和的极小化
MaxZ x6 x7 11 x1 2 x2 x3 x4 4 x x 2 x x x 3 1 2 3 5 6 x7 1 2 x1 x3 x1 , x2 ,..., x7 0
停止
循 环
是
无界解
bi 计算 i ( a lk 0) a lk
15
用非基变量 替换基变量
xk xl
列出下一个 新单纯形表
OR:SM
E-mail：lijun@
16 OR:SM
做一下，看你理解了没有？
• 1、用大M法求解Max型线性规划问题时，人工变量在目 标函数中的系数均为（ -M），若最优解的（基变量）中 含有人工变量，则原问题无解。 • 2、两阶段法比大M的优点是（不用M），主要是方便用 计算机求解。 • 3、对非典式线性规划问题，用单纯形法求解时，通常通 过（添加人工变量）构造初始可行基。
0
M
根据上表列出初始单纯形表 A
14 OR:SM
线性规划小结
A
求 : j cj z j
所有 j 0
否
循环
是
基变 量中是否 含有 x a
运筹学课件：人工变量法(1)
人工变量法(1)
问题举例
min Z 3 x1 x 2 x 3
x1 2 x 2 x 3 11
s
.. t .
4 x1 2 x1
x2 x3
2x3 1
3
x1 , x 2 , x 3 0
人工变量
如果在线性规划模型 的标准型中，不存在 m*m阶单位阵，则可 采用添加人工变量的 方法来构建单位阵。
s..t.
4 x1 2 x1
x2 x3
2x3 x5 x7 1
x6
3
x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 , x7 0
max Z 3x1 x2 x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3 x4 11
s..t.
4x1 2x1
x2 x3
2x3 1
x5
3
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
第四讲
Operation Research
第二阶段
第四讲
Operation Research
第四讲
Operation Research
单纯型法小结（1）
标准型的转化总结
≤
第四讲
Operation Research
单纯型法小结（2）
第四讲
2.进行初等矩阵变换，得到单位 基阵
Operation Research
max Z 50 x 1 100 x 2
x1 x 2 300
s
.t
.
2 x
x
2
1
x2 250
400
x 1 , x 2 0
Operation Research
对偶问题的提出（2）
3.3 人工变量法
x2 x3
2x3 1
x5
3
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
若A中不存在m阶单位矩阵，为了形成一个m阶单位矩阵，可给每个约束 方程人为地加上一个人工变量。
5
OR:SM
分牛的故事
老大：1/2 老二：1/4 老三：1/5
牛在印度被视为 神物，不能宰杀， 问如何按老父亲
的遗愿分？
6
OR:SM
MaxW=0?
是
否 原问题没有可行解
13
引进人工变量x6，x7，构造辅助
问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
MaxZ x6 x7
x1 2x2 x3 x4
11
4x1 2x1
x2 x3
2x3
x5
x6 3 x7 1
x1, x2,..., x7 0
把辅助问题的最优解作为原问 题的初始基础可行解
运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
1、何为单纯形法？
1. 如 何 得到？
对于典式，选标 准型中的松弛变量为 初始基变量，因为其 系数组成单位阵，解 必可行！
计 算 σj=cjcBpj’, ≤ 0 则 通 过 ， 否 则下一步？
找出一个初始可行解
2、如何 判断？
是否最优？
4. 是 否
通过四个定理 判断解是其中哪 一个情况？
22
8.在两阶段法中，如果第一阶段最 优解的目标函数值不为0，表明原 线性规划问题无可行解。
OR:SM
2. 从 求 得 的 基可行解出 发，对原问 题继续迭代， 求最优解。
12
OR:SM
二、两阶段法—原理
MaxZ 3x1 x2 x3
运筹学-北邮全
max f ( x ) 40 x1 45 x2 24 x3 2 x1 3 x2 x3 100 s.t. 3 x1 3 x2 2 x3 120 x1 , x2 , x3 0
x1 CB XB b 40 x4 100 0 2 x5 120 0 3 OBJ = 0 zj 0 cj-zj 40 x2 45 3 3 0 45 x3 24 1 2 0 24 x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 0
19
2 x1 x2 x3 10 8 E G x1 A B 3 x2 x4 8 7 s.t. C x2 x5 7 6 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 4 2 最优解 : x1 2, x2 6, 3
9 2 max 1 O 1 2 3 4
10
x2
F E A B G C
9 8 7 6 5 4 3
2 )=1 f(x )=0 f(x
2 3
2 1
1
O
1
2
3
4
D 5 6
7
H 8 11
x1
线性规划问题的几个特点：
• • • • 线性规划问题的可性解的集合是凸集 线性规划问题的基础可行解一般都对应于凸集的极点 凸集的极点的个数是有限的 最优解只可能在凸集的极点上，而不可能发生在凸集 的内部
12
1.2 线性规划问题的单纯型解法
1.2.1 线性规划问题的标准形式 为了使线性规划问题的解法标准，就要把一般形式 化为标准形式
max(min) f ( x ) c j x j
j 1
n
s.t .
n i 1,2,, m aij x j ( , )bi , j 1 x j 0( 0,不限 ), j 1,2,, n
人工变量法 基本可行解 -回复
人工变量法基本可行解-回复什么是人工变量法？人工变量法是一种经济学和统计学中使用的一种方法，用于解决因果推断中的内生性问题。
内生性是指某个变量同时受到其他变量的影响，并且会影响到我们想要研究的变量。
人工变量法的基本思想是通过引入一个“人工变量”，以模拟实验的效果，来解决内生性问题。
这种方法在经济学中应用十分广泛，特别是在实证研究中。
那么，为什么我们需要使用人工变量法呢？在经济学和社会科学领域的研究中，很多时候我们无法进行随机对照实验。
在这种情况下，内生性问题就可能出现。
内生性问题会导致结果的偏误和不准确性。
例如，我们想研究教育对收入的影响，但同时收入也可以影响到个人的教育水平。
这种内生性问题使得我们无法得出准确的因果关系。
人工变量法的出现就是为了解决这样的问题。
如何使用人工变量法呢？首先，为了使用人工变量法，我们需要找到一个与我们研究变量相关但与误差项无关的“人工变量”。
这个“人工变量”在理论上与误差项独立，因此其影响可以视为随机。
这个“人工变量”可以是政策变化、自然实验或其他与我们所研究变量相关的变化。
然后，我们通过回归分析来使用人工变量法。
我们将“人工变量”与我们想要研究的变量进行回归分析，通过分析其系数和统计显著性来得出因果关系。
由于“人工变量”与误差项独立，因此其系数可以为我们提供准确的因果效应估计。
此外，在使用人工变量法时，我们还需要考虑其他的统计问题，如内生性检验、仪器变量的选择和合理性等。
这些统计问题的解决也是使用人工变量法的关键步骤。
人工变量法的局限性是什么？尽管人工变量法在解决内生性问题上有很大的优势，但它也存在一些局限性。
首先，寻找一个与误差项无关的“人工变量”是一个挑战。
在实际研究中，很难找到与我们研究变量相关但与误差项无关的变量。
这使得我们需要仔细选择和分析“人工变量”的可靠性。
其次，人工变量法的可行性也取决于我们的样本容量和数据的可用性。
如果我们的样本容量较小或数据的可用性受限，那么使用人工变量法可能会受到限制。
线性规划的人工变量法(NO6)
解：加入人工变量，化成有初始可行基的问题
max z 3x1 0 x2 x3 0 x4 0 x5 Mx6 Mx7
x1 x2 x3 x4
4
s.t.
2x1
+x2 3x2
x3 x3
x5 x6 1 x7 9
xi 0,i 1, 2,3,4,5,6,7
8
max z 3x1 0 x2 x3 0 x4 0 x5 Mx6 Mx7
③对于minZ判别最优性准则应是Cj－Zj≥0。 ④大M法适合于计算机计算，不适用于手工求解。
12
（2）两阶段法
第一阶段：不考虑原问题是否存在基可行解；给原LP问
题的约束条件加入人工变量，构造仅含人工变量的目标函
数并要求实现最小化（即使原LP问题目标函数是求最大化
）的辅助问题：
MinW=xn+1+…+xn+m
1
0
-1
0
20
cj
2
1
0
-1
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0 0
Z
x3 x5
min z 26x5
s.t.
x1 x2 2x61 +x2
2 6
xi 0,i 1, 2
[1] 2
2
min z1 x5
1
0
s.t. 211x1x1+xx22
x3
0
0x4
=2-1 x5 =6 -1
xi 0,i 1, 2，3，4，5
原问题的最优表。从表中可知原问题的最优解为X1=1/2， X2=3/2，最优目标函数值为Z=9/4。
注意：第二阶段在填单纯形表时，检验数行的值是将
ch1-6人工变量法
束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。
这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为
人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量 作桥梁的求解方法称为人工变量法。
【例1.15】用大M法解下列线性规划
max Z 3x1 2x2 x3
4x1 3x2 x3 4
x12x1x2
x1
x2
x3
x4
x5
－4
3
1
－1
0
1
－1
2
0
1
2
－2
1
0
0
3－2M 2+M －1+2M↑ －M
0
x6
x7
1
04
0
0 10
0
1 1→
0
0
－6
5
0
－1
0
0
3→
－3
3
0
0
1
0
8
2
－2
1
0
0
1
1
5－6M 5M↑
0
－M
0
0
－6/5
1
3/5
0
－2/5
0
5↑
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
－1/5
0
0
3/5
1
1
－2/5
0
0
0
CB
XB
－M
x6
0
x5
－M
x7
λj
－M
x6
0
x5
－1
x3
λj
2
x2
0
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max Z 3x1 2x2 x3－Mx6 Mx7
4x1 3x2 x3 x4 x6 4
x1
x2
2x3
x5
10
2x1 2x2 x3 x7 1
x j 0, j 1,2,,7
北京邮电大学 运筹学
再用前面介绍的单纯 形法求解，见下表。
北京邮电大学 运筹学
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
The Artificial Variable Method 2019/9/15
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人工变量法演示 人工变量法练习
计算公式
第二章 对偶线性规划 Exit
北京邮电大学 运筹学
多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则 线则性规划具有多重最优解.
无界解的判断: 某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规 划具有无界解
无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并且存 在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。
4x1 3x2 x3 x4 4
x1
x2
2x3
x5
10
2x1 2x2 x3 1
x j 0, j 1,2,,5
式中x4，x5为松弛变量，x5可作为 一个基变量，第一、三约束中分 别加入人工变量，x6、，x7，目标 函数中加入―MR6―MR7一项，得 到人工变量单纯形法数学模型
肯定有最优解。
北京邮电大学 运筹学
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
The Artificial Variable Method 2019/9/15
Page 5 of 8
【例1.16】求解线性规划
min Z 5x1 8x2
3x1x12xx22
6 4
（1）初始表中的检验数有两种算法，第一种算法是利用第一、 三约束将x6、x7的表达式代入目标涵数消去x6和x7，得到用非基 变量表达的目标函数，其系数就是检验数；第二种算法是利用
公式计算，如 1 3 (M ) (4) 01 (M ) 2 3 2M
(参看第二章第一节)； （2）M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以 理解为它能大于给定的任何一个确定数值；
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
The Artificial Variable Method 2019/9/15
Page 1 of 8
前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易
确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有
单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约
束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。
这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为
人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量 作桥梁的求解方法称为人工变量法。
【例1.15】用大M法解 下列线性规划
max Z 3x1 2x2 x3
4x1 3x2 x3 4
x12x1x2
（3）在第二张中x7已出基，故没有计算第七列的数值，同理， 第三、四张表中x6、x7都已出基，故第六、七列没有计算； （4）第三、四张表中的基变量没有人工变量x6、x7，因而检 （验5数）中可不以含看M出；，人工变量是帮助我们寻求原问题的可行基，
第三张表就找到了原问题的一组基变量x2、x5、x3，此时人工 变量就可以从模型中退出，也说明原规划有可行解，但不能
Ch1 Linear Programming
The Artificial Variable Method 2019/9/15
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min Z 5x1 8x2 Mx5
3x1x12xx2
x3 6 2 x4 x5
4
x
j
0,
j
1,2,,5
2x3 2x2
10 x3
1
x1、x2、x3 0 北京邮电大学 运筹学
§1.6人工变量法 The Artificial Variable Method
【解】首先将数学模型化为标准形式
Ch1 Linear Programming
2019/9/15
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max Z 3x1 2x2 x3
x1, x2 0
【解】加入松驰变量x3、x4化为标准型
min Z 5x1 8x2
3x1 x2 x3 6
x1
2x2
x4
4
x
j
0,
j
1,2,,4
在第二个方程中加入人工变量x5，目标函数中加上M
x5一项，得到
北京邮电大学 运筹学
§1.6人工变量法
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
－5
北京邮电大学 运筹学
2 5/3 2/3 －25/3
3/5 31/5→ 11/5
13 31/3 19/3
§1.6人工变量法
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Cj
CB
XB
－M
x6
0
x5
－M
x7
λj
－M
x6
0
x5
－1
x3
λj
2
x2
0
x5
－1
x3
λj
2
x2
3
x1
－1
x3
λj
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
The Artificial Variable Method 2019/9/15
Page 3 of 8
3
2
－1
0
0
－M －M b
The Artificial Variable Method 2019/9/15
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表中λj≥0，j=1，2，…，5，从而得到最优解X=（2， 0，0，0，2）， Z=10+2M。但最优解中含有人工变 量x5≠0说明这个解是伪最优解，是不可行的，因此原 问题无可行解。
解的判断
唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线 规划具有唯一最优解
Cj
5
用单纯形法计算如下表所示。
－8
0
0
M
b
CB
XB
x1
x2
0
x3
3※
1
x5
1
－2
x3
x4
x5
1
0
0
6→
0
－1
1
4
M
λj
5－M↑ －8+2M
0
M
0
5
x1
1
1/3
1/3
0
2
x5
0
－7/3
－1/3 －1
1
2
M
λj
0
－29/3+7/3M －5/3+1/3M M
0
北京邮电大学 运筹学
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
x1
x2
x3
x4
x5
－4
3
1
－1
0
1
－1
2
0
1
2
－2
1
0
0
3－2M 2+M －1+2M↑ －M
0
x6
x7
1
04
0
0 10
0
1 1→
0
0
－6
5
0
－1
0
0
3→
－3
3
0
0
1
0
8
2
－2
1
0
0
1
1
5－6M 5M↑
0
－M
0
0
－6/5 3/5 －2/5 5↑
0 1 0 0
1
0
－1/5
0
0
0
3/5
1
0
1
－2/5
0
0