北邮运筹学ch16 人工变量法

（1）初始表中的检验数有两种算法，第一种算法是利用第一、 三约束将x6、x7的表达式代入目标涵数消去x6和x7，得到用非基 变量表达的目标函数，其系数就是检验数；第二种算法是利用
公式计算，如 1 3 (M ) (4) 01 (M ) 2 3 2M
(参看第二章第一节)； （2）M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以 理解为它能大于给定的任何一个确定数值；
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§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
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人工变量法演示 人工变量法练习
计算公式
第二章 对偶线性规划 Exit
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束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。
这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为
人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量 作桥梁的求解方法称为人工变量法。
【例1.15】用大M法解 下列线性规划
max Z 3x1 2x2 x3
4x1 3x2 x3 4
x12x1x2
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表中λj≥0，j=1，2，…，5，从而得到最优解X=（2， 0，0，0，2）， Z=10+2M。但最优解中含有人工变 量x5≠0说明这个解是伪最优解，是不可行的，因此原 问题无可行解。
解的判断
唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线 规划具有唯一最优解
（3）在第二张中x7已出基，故没有计算第七列的数值，同理， 第三、四张表中x6、x7都已出基，故第六、七列没有计算； （4）第三、四张表中的基变量没有人工变量x6、x7，因而检 （验5数）中可不以含看M出；，人工变量是帮助我们寻求原问题的可行基，
第三张表就找到了原问题的一组基变量x2、x5、x3，此时人工 变量就可以从模型中退出，也说明原规划有可行解，但不能
Cj
CB
XB
－M
x6
0
x5
－M
x7
λj
－M
x6
0
x5
－1
x3
λj
2
x2
0
x5
－1
x3
λj
2
x2
3
x1
－1
x3
λj
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3
2
－1
0
0
－M －M b
max Z 3x1 2x2 x3－Mx6 Mx7
4x1 3x2 x3 x4 x6 4

x1

x2

2x3

x5
10
2x1 2x2 x3 x7 1
x j 0, j 1,2,,7
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再用前面介绍的单纯 形法求解，见下表。
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min Z 5x1 8x2 Mx5
3x1x12xx2
x3 6 2 x4 x5

4

x
j

0,
j
1,2,,5
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前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易
确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有
单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约
x1
x2
x3
x4
x5
－4
3
1
－1
0
1
－1
2
0
1
2
－2
1
0
0
3－2M 2+M －1+2M↑ －M
0
x6
x7
1
04
0
0 10
0
1 1→
0
0
－6
5
0
－1
0
0
3→
－3
3
0
0
1
0
8
2
－2
1
0
0
1
1
5－6M 5M↑
0
－M
0
0
－6/5 3/5 －2/5 5↑
0 1 0 0
1
0
－1/5
0
0
0
3/5
1
0
1
－2/5
0
0
x1, x2 0
【解】加入松驰变量x3、x4化为标准型
min Z 5x1 8x2
3x1 x2 x3 6

x1
2x2

x4

4

x
j

0,
j
1,2,,4
在第二个方程中加入人工变量x5，目标函数中加上M
x5一项，得到
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4x1 3x2 x3 x4 4

x1

x2

2x3

x5
10
2x1 2x2 x3 1
x j 0, j 1,2,,5
式中x4，x5为松弛变量，x5可作为 一个基变量，第一、三约束中分 别加入人工变量，x6、，x7，目标 函数中加入―MR6―MR7一项，得 到人工变量单纯形法数学模型
Cj
5
用单纯形法计算如下表所示。
－8
0
0
M
b
CB
XB
x1
x2
0
x3
3※
1
x5
1
－2
x3
x4
x5
1
0
0
6→
0
－1
1
4
M
λj
5－M↑ －8+2M
0
M
0
5
x1
1
1/3
1/3
0
0
2
x5
0
－7/3
－1/3 －1
1
2
M
λj
0
－29/3+7/3M －5/3+1/3M M
0
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肯定有最优解。
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【例1.16】求解线性规划
min Z 5x1 8x2
3x1x12xx22

6 4
多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则 线则性规划具有多重最优解.
无界解的判断: 某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规 划具有无界解
无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并且存 在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1Hale Waihona Puke Baidu
0
0
0
－5
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2 5/3 2/3 －25/3
3/5 31/5→ 11/5
13 31/3 19/3
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2x3 2x2
10 x3
1
x1、x2、x3 0 北京邮电大学 运筹学
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【解】首先将数学模型化为标准形式
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max Z 3x1 2x2 x3