北邮运筹学ch5-3 割平面法
割平面法
《线性规划》课程设计题目：割平面法及其数值实现院系：数理科学与工程学院应用数学系专业：数学与应用数学姓名学号：*** 1********* 1********* 1********* 1******指导教师：***日期：2015 年 6 月11 日整数规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是从相应的线性规划的最优解出发的。
整数规划问题与我们的实际生活有着密切的联系，如合成下料问题、建厂问题、背包问题、投资决策问题、旅行商问题、生产顺序表问题等都是求解整数模型中的著名问题。
所以要想掌握生活中这些解决问题的方法，研究整数规划是必然的路径。
用于解决整数规划的方法主要有割平面法，分支定界法，小规模0-1规划问题的解法，指派问题和匈牙利法。
本文重要对整数规划中经常用的割平面法加以介绍及使用Matlab 软件对其数值实现。
割平面法从线性规划问题着手,在利用单纯型法的时候,当约束矩阵中出现分数,给出一种"化分为整"的方法。
然后在割平面方法来解决整数线性规划的理论基础上,把"化分为整"的方法进行到底，直到求解出最有整数解。
关键词：最优化；整数规划；割平面法；数值实现；最优解；Matlab软件。
AbstractThe integer programming are closely related to the linear programming. Some of the basic algorithms of the former are designed from the optimal solution of the corresponding linear programming. What’s more, our daily life has a close relationship with it as well, such as synthesis problem, plant problem, knapsack problem, investment decision problem, traveling salesman problem and production sequence table problems. They are famous questions in solving integer model. So, to study the integer programming is the inevitable way to master the methods of solving these problems in life. The methods used in solving the integer programming include cutting plane method, branch and bound method, and solving the problem of small-scale 0-1 programming, assignment problem and Hungarian method. In this paper, we introduce the cutting plane method and use Matlab to get its numerical implementation in the integer programming.Cutting plane method, giving us a "integrated" method when we meet the constraint matrix scores in the use of simplex method, starts from the linear programming problem. Then, based on the theory of cutting plane method to solve the integer linear programming, we use “integrated” method until the most integer solution is solved.Keywords:Optimization; Integer programming; Cutting plane method; Numerical implementation; Optimal solution; Matlab software.第一章问题描述 (2)1.1 整数规划问题概述 (2)1.2 整数规划的基本定理 (2)第二章求解整数规划问题的割平面法 (3)2.1 基本思想 (3)2.2 算法步骤 (3)2.3 算法流程图 (5)第三章数值实验 (6)3.1算例 (6)3.2 数值实现 (7)总结 (8)参考文献……………………………………………………………………………附录…………………………………………………………………………………第一章 问题描述1.1 整数规划问题概述规划中的变量（全部或部分）限制为整数，称为整数规划简称为IP 问题。
运筹学__割平面法
x1
1 0 0 0 x1 1 0 0 0
x2
0 1 0 0 x2 0 1 0 0
x3
1/6 1/4 -1/4 -1/4 x3 0 0 1 0
x4
-1/6 1/4 -1/4 -1/4 x4 -1/3 0 1 0
s1
0 0 1 0 s1 2/3 1 -4 -1
CB
0 1 0
XB
x1 x2 x3
b
2/3 1 2
1 1 1 ( x 3 x4 ) 0 2 4 4
1 1 1 x3 x4 s1 4 4 2
Cj CB 0 1 0 σj XB x1 x2 s1 b 1 3/2 -1/2 -3/2 0 x1 1 0 0 0 1 x2 0 1 0 0 0 x3 1/6 1/4 -1/4 -1/4 0 x4 -1/6 1/4 -1/4 -1/4 0 s1 0 0 1 0
CB
0 1 0
XB
x1 x2 x3
b
2/3 1 2
x1
1 0 0
x2
0 1 0
x3
0 0 1
x4
-1/3 0 1
s1
2/3 1 -4
σj
-1
0
0
0
0
-1
CB 0
XB x1
b 2/3
x1 1
x2 0
x3 0
x4 -1/3
s1 2/3
1
0
x2
x3
1
2
0
0
1
0
0
1
0
1
1
-4
σj -1 0 0 0 0 -1 此时，X1 ＝(2/3, 1), Z=1,仍不是整数解。继续以x1为源行生成割 2 2 2 平面，其条件为：
5-2割平面法
1 x2 1 0 1 0 0 1/4
0 x3 1 0 0 1 -1 -1/3
-2 0 0 0 -1/3 -1/6
3 割平面法小结
1）令xi是线性规划最优解中为分数值的一个基变量
xi aik xk bi
k
2）将bi和a ik都分解成整数部分N和非负真分数f之和
bi Ni fi , 其中0<fi 1 aik Nik fik , 其中0 fik 1
筹
学
0
x1
图2 1
2 割平面法算例
例1 求解
m a x z x1 x 2
x1 x 2 1
3
x1 x1
,x
x
2
2
0
4
x 1 , x 2 整 数
最优解为：x1
3 4
,
x2
7 4
, max
z
10 4
表1
CB
初始计算 0
表
0
最终计算 1
表
Cj
1
XB b x1
x3 1 -1
x4 4 3
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第五章 割平面法
主讲教师 武小平
主要内容
1 割平面法及其原理
2 割平面法算例
运
筹
3 割平面法小结
学
1 割平面法及其原理
割平面法添加能割去非整数解的线性约束条件，使
01
x1 3/4 1 x2 7/4 0
-5/2 0
100 x2 x3 x4 110 101 100 0 -1/4 1/4 1 3/4 1/4 1 -1/2 -1/2
运筹学课件ch05资料
4
xi3 300, xi4 150
i1
i 1
4
4
s.t. x1 j 400, x2 j 600
i1
i 1
4
4
x3 j 200y. x4 j 200(1 y)
i1
i 1
xij 0(i, j 1,2,3,4), y 0或1
第1节 整数线性规划问题的提出
❖ 现举例说明用单纯形法求得的解不能保证是整数最优 解。
min
z
P1 (d1
d
2
d
3
d
4
d
5
d
6
)
P2
d
7
P3d8
x31
x11
0.1(x11 0.5(x11
x21 x21
x31) x31)
d1
d
2
d1
d
2
0 0
x32
0.7(x12
x22
x32
)
d
3
d3
0
x12
0.2(x12
x22
x32
)
d
4
d
4
0
x33
0.5(x13
解：这是物资运输问题，其特点是事先不能确定应该建A3或A4 中哪一个，因而不知道新厂投产后的实际生产费用。引入0—1
变量
1 y
0
若建工厂A3 若建工厂A4
44
min z
cij xij y1200 (1 y)1400
j1 i1
4
4
xi1 350, xi2 400
i1
i 1
4
解：每一个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，为此令
7.4 切割平面法
x2
x2
O （a）
x1
O
x1
（b）
7
OR:SM
五、割平面法求解举例
例：某厂拟购进甲、乙两类机床生产新产品。已知甲、乙机床进价分别为 2万元和3万元；安装占地面积分别为4m2和2m2；投产后的收益分别为3百元 /日和2百元/日。厂方仅有资金14万元，安装面积18m2。为使收益最大，厂 方应购进甲、乙机床各多少台？
将（5）式标准化:
1 2
x5
x6
1 2
加到前面单纯形表最终表中，有：
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x2
0
1
0
-1
1
0
x1
1
0
0
1
-1/2
0
x3
0
0
1
1
-2
0
x6
0
0
0
0
-1/2
1
Z
0
0
0
-1
-1/2
0
用对偶
x2
0
1
0
-1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2
单纯形
x1
1
0
0
1
0
-1
法求解， 得：
x3 x5
0 0
0 0
1 0
1 0
0 1
（5）式用决策变量表达的割平面方程为 6x1 5x2 29 6
x2
图示切 割过程
15
6x1+5x2=31
6
4x1+2x2=18
5
4
第三节 割平面法
割平面法的基本思想是：首先不考虑 整数条件，增加另外的约束条件，把原来 的可行域切掉一部分，被切掉的部分不包 含任何整数可行解. 经过有限次的切割， 最终得到某个顶点的坐标恰好是整数，并
且是问题的最优解.
例如 求解整数规划问题
max Z x1 x2 x1 x2 1 3 x1 x2 4 x1 , x2 0 x , x 为整数 1 2
32 7 3 11 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
17 0 17
-1 7 1 -22 7
表3-4
S
-59 0 0 0 -1 -8
x1 x2 x3
fi 0
32 7 3 11 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
17 0 17
-1 7 1 -22 7
以 x1 为来源行得割平面不等式：
j m 1
x2
割平面
1
C (1, 1)
3 7 x1 , x2 = 4 4 max Z 10 4
1
x1
回到一般问题上：
整数规划（A）
max S c j x j a
j 1 n ij n
松弛问题（B）
max S c j x j a
j 1 n j 1 ij n
加入松弛变量 y1 ，得割平面方程
7 22 x3 1 22 x4 y1 1 2
将割平面方程表达的约束条件加到单纯形表 的最后一行，并把松弛变量补到最后一列
表3-3
S
-63 92 72 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 - 28 11 -1 22 7 22 -7 22 -15 11 3 22 1 22 -1 22 0 0 0 1
运筹学 第五章(清华三版)
构造割平面约束的一般方法如下： 构造割平面约束的一般方法如下： (1)在松弛问题的最优表中，设b列的第 个分量 k为 在松弛问题的最优表中， 列的第k个分量 在松弛问题的最优表中 列的第 个分量b 非整数，可将它分解为整数和非整数部分之和， 非整数，可将它分解为整数和非整数部分之和，即 bk =Nk + fk ， Nk＜ bk 且为整数，0＜ fk ＜1。 且为整数， ＜ 。 (2)然后，第k行中的每一个非基变量 xj的系数 akj也 然后， 然后 行中的每一个非基变量 分解为整数与非负数之和的形式， 分解为整数与非负数之和的形式，即 akj= Nkj + fkj ;Nkj ≤ akj ; 0≤ fk ＜1,则割平面方程为： 则割平面方程为： 则割平面方程为
−1
7
x3 − 2
7
x5 ≤ − 6
7
⑴
将割平面约束⑴变为等式约束后， ②将割平面约束⑴变为等式约束后，并入松弛问题 的最优表中，见下表。 的最优表中，见下表。
cj
CB
3 -1 0 0
3
-1
0
0
0
0
cj − zj
XB x1 x2 x4 x6
b
13/7 9/7 31/7 -6/7
x1
1 0 0 0 0
结论： 结论： 不能把松弛问题的最优解通过“四舍五入” ⑴ 不能把松弛问题的最优解通过“四舍五入” 或“截尾”（即凑整）处理后作为整数规划的 截尾” 即凑整） 最优解。不过，在变量取值很大时， 最优解。不过，在变量取值很大时，用上述方 法得到的解与最优解差别不大。 法得到的解与最优解差别不大。 不是可行域的顶点， ⑵ 点(4,1)不是可行域的顶点，所以直接用图解 不是可行域的顶点 法或单纯形法无法求出整数规划问题的最优 解．
割平面法的基本思想
割平面法的基本思想割平面法主要用于求解整数规划问题的方法。
1958年由美国格莫理提出。
基本思路是：先不考虑整数性约束，求解相应的线性规划问题。
若线性规划问题的最优解恰好是整数解，则此解即为整数规划问题的最优解。
否则，就增加一个新的约束条件,称为割平面。
割平面必须具有两条性质：（1)从线性规划问题的可行域中至少割掉目前的非整数最优解；（2)不割掉任何整数可行域，然后在缩小的可行域上继续解线性规划问题。
重复以上做法，经有限次切割后，必可在缩小的可行域的一个整数极点上达到整数规划问题的最优解。
混合整数线性规划（MILP）的割平面法通过将整数问题线性松弛为非整数线性问题，并对其进行求解，来求解MILP 问题。
线性规划理论说明，在温和的假定下（如果线性规划存在最优解，并且可行域不包含一条线），总存在一个极值点或顶点是最优的。
检验所获的最优解是否为整数解。
如否，则必然存在一线性不等式将最优点和真可行集的凸包分离。
找到这样的不等式是分离问题，而这样的不等式就是切割。
切割可以被加入到被松弛的线性规划中，使得当前的非整数解对松弛不再可行。
该过程不断重复，直到找到最优整数解。
用于普遍的凸连续优化和变体的割平面法有不同的名称：Kelley 法，Kelley-Cheney-Goldstein 法和捆绑法。
它们常用于不可微的凸最小化问题。
对于这类问题，通常的可微优化的梯度法无法使用，而使用这些方法可以高效地得到凸目标函数及其次梯度。
这种情况最常出现在双拉格朗日函数的凹优化中。
另一种常见情形是Dantzig-Wolfe分解应用于结构优化问题中，这类问题通常有含有指数级变量的表达式。
通过延迟列生成法按需生成这些变量等同于在对应的对偶问题上切割平面。
图1.割平面法例，如上图1，单位立方体与切割平面。
在三节点的旅行推销员问题中，该（弱）不等式表明每次旅行必须连接至少两个点。
2Gomory 切割切割平面法由Ralph Gomory 在19 世纪50 年代提出，用于解决整数规划和混合整数规划问题。
割平面法-运筹学整数规划
0
1 /2
1
0
-2
1
1 /3
-2 /3
0
-1 /6
5 /6
0
-1 /3
-4 /3
.
20
2. 对x2引入切平面方程 2/3-1/3x3-1/3x40, 整理得
x3+x42
加入原约束中, 增加剩余变量x5, 用对偶单纯形法求解得最优解为
x1=x2=x3=2, 最优值为Z=14. (画出切平面)
cj
4
3
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
.
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不符合整数条 件，那么其目标函数的值就是整数规划问题最优值的上界，而任意满足 整数条件的可行解的目标函数值将是其下界（定界），然后将相应的线 性规划问题进行分枝，分别求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的 最优值小于上述下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足 整数条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继续考虑 其它分枝，直到最终求得最优的整数解。
第二节Gomory割平面法-资料
精品课程《运筹学》
生成割平面条件的代数方法(Gomory)
用 单 纯 形 方 法 解 ( P ) 的 松 弛 问 题 ( P 0 ) 最 优 基 本 可 行 解 x0 B (A B 1, ,A B m ) xB1,,xBm
基变量的下标集合为 S 非基变量的下标集合为 S
最 后 一 张 单 纯 形 表 中 问 题 ( P 0 ) 的 典 式 为
cT x Ax b x0
可行区域记为D 由有限个或可数的格点 构成的集合
可行区域 D 0 多面凸集
精品课程《运筹学》
D和D0的关系 ⑴ ． D D 0； ⑵ ． 若 ( P 0 ) 无 可 行 解 ， 则 ( P )无 可 行 解 ； ⑶ ． (P 0 )的 最 优 值 是 (P )的 最 优 值 的 一 个 下 界 ； ⑷． 若(P0)的最优解 x0是整数向量， 则 x0 是 (P)
精品课程《运筹学》
例3.2.1 求解ILP问题
max
x2
s.t. 3 x1 2 x2 6
3 x1 2 x2 0
x1, x2 0,整数
解
这个问题及其松弛LP问
题的可行区域如图所示
精品课程《运筹学》
x2
max x2
3 • • • •
2 • • • •
1• • • •
•
•
•
•
x1
0
1 23
增加松弛变量 x3和 x4 ，得到了松弛LP问题的第 一张单纯形表
z jxj z0
jS
xB r aix j jb ij j b0 z0
精品课程《运筹学》
如 果 bi,i0,1,,m， 全 是 整 数 ， 我 们 已 经 得 到 了 ILP问 题 (P)的 最 优 解 x0. 否 则 至 少 有 一 个 bl不 是 整 数 (0lm )， 设 bl 所 对 应 的 约 束 方 程 是
5.3 割平面法
它就是图5-5中域 它就是图 中域 R的顶点 ，但不 的顶点A， 的顶点 合于整数条件。 合于整数条件。
现设想，如能找到像CD那样的直线去切割域R(图5-6)， 现设想，如能找到像CD那样的直线去切割域 图 6)， 那样的直线去切割域R( 去掉三角形域ACD，那么具有整数坐标的C (1，1)就 去掉三角形域ACD，那么具有整数坐标的C点(1，1)就 是域R′的一个极点 的一个极点， 是域R′的一个极点， 如在域R′上求解 上求解① 如在域 上求解①～④， 而得到的最优解又恰巧在C点 而得到的最优解又恰巧在 点, 就得到原问题的整数解， 就得到原问题的整数解， 所以解法的关键 关键: 所以解法的关键 就是怎样构造一个这样的 割平面” ， “割平面”CD， 它就是一个新的约束。 它就是一个新的约束。 尽管它可能不是唯一的， 尽管它可能不是唯一的， 也可能不是一步能求到的。 也可能不是一步能求到的。 下面给出本例完整的求解过程： 下面给出本例完整的求解过程：
割平面法的计算步骤： 割平面法的计算步骤： 对应的松弛问题( 1、用单纯形法求解( IP )对应的松弛问题( LP )： 用单纯形法求解( 没有可行解， 也没有可行解， ⑴. 若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解， 停止计算。 停止计算。 有最优解，并符合( 的整数条件， ⑵. 若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件， 的最优解即为( 的最优解， 则( LP )的最优解即为( IP )的最优解， 停止计算。 停止计算。 有最优解，但不符合( 的整数条件， ⑶.若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件， 转入下一步。 转入下一步。
在原问题的前两个不等式中增加非负松弛变量x 在原问题的前两个不等式中增加非负松弛变量 3、 x4，使两式变成等式约束： 使两式变成等式约束： -x1+x2+x3 =1 ⑥ 3x1+x2 +x4=4 ⑦ 不考虑条件⑤ 用单纯形表解题，见表5-2。 不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表 。
第七章3-割平面法
第三节 割平面法
2、将bi和aik都分解成整数部分 与非负真分数 之 、 都分解成整数部分N与非负真分数 都分解成整数部分 与非负真分数f之 和，即： bi = Ni+fi 其中 0<fi <1 aik =Nik + fik 其中 0≤fik <1 表示不超过b的最大整数 而N表示不超过 的最大整数。例如： 表示不超过 的最大整数。例如： 若 b=2.35 ， 则N=2，f=0.35 ， 若 b=- 0.35 ，则N=-1，f=0.65 ，
第三节 割平面法
分别代入（ 分别代入（3）式，得：
k
xi + ∑ N ik xk − N i = f i − ∑ f ik xk
k
3 、 现在提出变量 （ 包括松弛变量 ） 为整数的条件 现在提出变量（ 包括松弛变量） 当然还有非负的条件） 这时， （当然还有非负的条件），这时，上式由左边看 必须是整数， 但由右边看， 因为0 必须是整数 ， 但由右边看 ， 因为 0<fi<1 ， 所以不 能为正， 能为正，即
第三节 割平面法
就是图（ ） 中域R的极点 的极点A， 就是图 （ a） 中域 的极点 ， 它不符合整数条 我们想，如能找到象BC那样的直线去切割 件。我们想，如能找到象 那样的直线去切割 域 R（ 图 (b)） ， 去掉三角形域 （ ） 去掉三角形域ACB， 那么具有 ， 整数坐标C 整数坐标 点（1,1）就是新域的一个极点，如 ）就是新域的一个极点， 在新域上求解线性规划， 在新域上求解线性规划 ， 而得到的最优解又恰 巧在C点就得到原问题的整数解 点就得到原问题的整数解， 巧在 点就得到原问题的整数解 ， 所以解法的 关键就是怎样构造一个这样的“割平面” ， 关键就是怎样构造一个这样的“割平面”BC， 尽管它可能不是唯一的， 尽管它可能不是唯一的 ， 也可能不是一步能求 到的。下面仍就本例说明： 到的。下面仍就本例说明：
运筹学(第5章割平面)_
§5· 1整数规划模型 §5· 2纯整数规划的割平面法 §5· 4分支定界法 §5· 7最优分配问题
本章基本要求
掌握整数规划的数学模型的建摸技巧； 掌握0-1规划模型 了解割平面公式； 掌握分支定界法； 掌握匈牙利法解决最优分配问题。
整数规划
整数规划：决策变量全体或部分约
问 题
1、去掉整数约束的规划问题 的最优解与整数规划的最优 解有何关系？ 2、如何建立整数规划模型？ 如何求解整数规划问题？
例5-1 求解整数规划
(1.5, 3.33) 最优值是-4.83
放松整数约束得到的线性规划问题
为该整数规划松弛问题 任何一个整数规划都可以看成是一 个线性规划松弛问题再加上整数约 束构成 整数规划的可行域是线性规划松弛 问题可行域的一个子集.
例5-15 求解下列（AIP）： min f= -2x1-5x2 s.t. 2x1 -x2 + x3 = 9 2x1 + 8 x2 + x4 = 31 xj≥0, 整数， j=1,…，4。
1/6 5/6 1/2
1/2 1/4 1/4
整数规划最优解和线性规划 松弛问题最优解的关系
对于最大化问题
松弛问题最优解≥整数规划最优解
对于最小化问题
松弛问题最优解≤整数规划ห้องสมุดไป่ตู้优解
§5.1整数规划模型
1、固定费用问题 2、选择性约束条件
１．固定费用问题
例5-2 某工厂生产1#、2#和3#三种产 品，每种产品需经过三道工序，有关 信息如下表所示。若j#产品投产，无论 产量大或小，都需要一笔固定的费用dj， 问每种产品各生产多少，可使这一周 内生产的产品所获利润最大?试建立整 数规划模型．
gomory割平面法
gomory割平面法gomory割平面法是一种在线性规划中常用的方法，旨在通过添加割平面约束来逐步逼近最优解。
它是由美国数学家Ralph E. Gomory于1958年提出的，被广泛应用于解决线性规划问题。
1. 背景介绍线性规划是一种在数学和运筹学中广泛应用的优化问题，旨在寻找最大化或最小化一组线性约束条件下的目标函数值。
它具有广泛的应用领域，如生产规划、资源分配、运输问题等。
2. 基本原理gomory割平面法的基本原理是通过添加新的割平面约束来逼近整数约束条件下的最优解。
该方法基于单纯形法，通过检测当前解中的分数解，确定需要添加的割平面约束，并将其添加到线性规划模型中。
3. 算法步骤gomory割平面法的具体步骤如下：步骤1: 初始化线性规划问题，求解得到初始解。
步骤2: 检测解中是否存在分数解，即解中某些变量取非整数值。
步骤3: 如果解中存在分数解，根据当前解计算一个新的割平面约束，并将其添加到线性规划模型中。
步骤4: 使用单纯形法求解新的线性规划问题，得到新的解。
步骤5: 重复步骤2至步骤4，直到最优解满足整数约束条件。
4. 优点和局限性gomory割平面法在解决整数线性规划问题方面具有以下优点：- 通过添加割平面约束逐步逼近整数线性规划问题的最优解。
- 可以有效减少搜索空间，提高计算效率。
- 可以用于处理具有大规模约束条件和变量的问题。
然而，gomory割平面法也有其局限性：- 该方法在处理具有较大维度的问题时计算复杂度较高。
- 在某些情况下，该方法可能需要添加大量的割平面约束才能达到最优解。
- 对于某些特殊问题，该方法可能无法找到最优解。
5. 总结与回顾gomory割平面法是一种常用的用于解决整数线性规划问题的方法。
它通过添加割平面约束逐步逼近最优解，并具有一定的计算效率和准确性。
然而，在实际应用中需要根据具体问题评估其适用性，并结合其他方法进行求解。
在本文中，我们对gomory割平面法的基本原理进行了介绍，并给出了其算法步骤。
821《运筹学》考试大纲
中国传媒大学硕士研究生入学考试《运筹学》考试大纲一、考试的总体要求《运筹学》是为管理科学与工程类考生而设置的专业基础课程考试科目，其评价标准是高等院校优秀本科毕业生能达到的及格以上水平，以保证被录取者具有坚实的运筹学与管理科学基本理论和较强的分析实际问题的能力，有利于招生学校在专业上择优录取。
要求考生熟练掌握运筹学的基本概念、基本理论及方法，并具有对实际问题建立必要的数学模型和求解问题的能力。
二、考试的内容（一）线性规划及对偶理论1．单纯形法2．改进单纯形法3．线性规划的对偶理论4．对偶单纯形法5．灵敏度分析（二）运输问题1．运输问题的数学模型2．用表上作业法求解运输问题3．产销不平衡的运输问题及其求解方法（三）目标规划1．目标规划的数学模型2．目标规划的图解法与单纯形法（四）整数规划1．0－1型整数规划2．分支定界解法3．割平面解法4．指派问题（五）动态规划1．动态规划的基本概念和基本方法2．动态规划的最优性原理与最优性定理3．动态规划与静态规划的关系4．动态规划的应用（六）图与网络分析：1．图与树的基本概念2．最短路问题3．网络最大流问题4．最小费用最大流问题5．中国邮递员问题6．网络计划（七）决策论1．基本概念2．风险型决策问题：期望值准则、效用期望值准则、完全信息期望值、决策树三、考试的基本题型可能的题型有：是非题、选择题、填空题、简答题、计算题、综合题等。
四、考试的形式及时间笔试，不需要任何辅助工具。
考试时间为三小时。
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第6章 整数规划
解为：
表 6-1 问题 B1 z1 = 349 x1 = 4.00 x2 = 2.10
问题 B2 z2 = 341 x1 = 5.00 x2 = 1.57
显然没有得到全部变量是整数的解。现存在两个打开节点 B1 和 B2，因 z1 > z2 ，故将 z 改 为 349，那么必存在最优整数解，得到 z* ，并且
3．定界与剪枝：通过不断的分枝和求解各个子问题，分枝定界法不断修正其上下界的 过程称为定界。上界通常由各打开节点中最大的目标函数值确定，下界则由已经找到的最好 的整数解来确定。求解任何一个子问题都有以下三种可能的结果。
(1)子问题无可行解。此时无需继续向下分枝，该节点因不可行而被关闭。因为与父节 点相比，子节点是一个约束得更紧得的问题（比父节点多一个约束）。如果父节点不可行，
z3 = z = z* = 340 问题 B3 得解 x1 = 4.00 ， x2 = 2.00 为最优整数解。
问题 B
x1=4.81 x2=1.82 z0=356
z=0, z=356
x1 4
问题 B1
明显减少搜索的计算量。所有节点的被关闭表明搜索已经完成。如果此时没有找到任何整数
解，则该问题没有整数解；否则搜索过程中得到的最好的整数解就是该问题的最优解。
6.2.2 分枝定界算法
下面结合一具体例子来说明分枝定界法是如何工作的。
例 2 求解 A
max z = 40x1 + 90x2
①
⎧⎪⎪⎨⎪79xx11x++1,27x02xx2≥2≤0≤5760
0 ≤ z* ≤ 349 继续对问题 B1 和 B2 进行分解，因 z1 > z2 ，故先分解 B1 为两支。增加条件 x2 ≤ 2 者，称为问 题 B3 ；增加条件 x2 ≥ 3 者称为问题 B4 。在图 1-4 中再舍去 x2 > 2 与 x3 < 3 之间的可行域，再 进行第二次迭代。解题过程的结果都列在图 1-5 中。可见问题 B3 的解已都是整数，它的目 标函数值 z3 = 340 ，可取为 z ，而它大于 z4 = 327 。所以再分解 B4 已无必要。而问题 B2 的 z2 = 341，所以 z* 可能在 340 ≤ z* ≤ 341 之间有整数解。于是对 B2 分解，得问题 B5 ，既非整 数解，且 z5 = 308 < z3 ，问题 B6 为无可行解。于是可以断定
【运筹学】割平面法课件
问题：如何寻找割平面？
增加的约束方程须满足什么条件才能使： 1、割掉松弛规划的最优解 2、保留所有的整数解
二、割平面法
对整数规划问题 IP：max z CX
s.t
AX b X 0
x j为整数
其松弛问题L0 max z CX
s.t
AX X
b 0
设L0的
最优
解X
不
0
是
整数
解
不妨设
X 0 b10 ,bi0 ,bm0 ,0,0
0 f im j 1
X1 X2 X3 X4 X5 X6
b
j 1,2,n m
0 0 -0.5 0 0 -1.5 z-9 x2 0 1 0.5 0 0 -0.5 1 x4 0 0 -1.75 1 0 3.25 5.5
x5 0 0 -1 0 1 1 3
nm
fim j xm j fi0
j 1
bi0 fi0
对源方程：xi aim1xm1 aim j xm j ain xn bi0
nm
xi aim j xm j bi0 j 1
[aim j ] f im j 0 f im j 1
bi0 fi0
0 fi0 1
nm
xi
( aim j fim j ) xm j bi0 fi0
L0 (x1 3)得L1：
max z 8x1 5x2
2x1 3x2 12
s.t
2x1 x2 x1 3 x1 0, x2
6 0
割平面
IP的可行解 IP的可行解
L0的整数解 L1的整数解
2x1 3x2 12
L1的最优解：x1 3, x2 2 得IP的最优解：x1 3, x2 2
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n
aij x j bi
j 1
x j 0，j 1,, n
的最优解 X＝(B1b,0)T b B1b (b1, b2 ,, bm )T
设xi不为整数，xi bi aik xk xk为非基变量
k
运筹学 北京邮电大学
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
3
x1
1
0 －1/4
3/4 13/4
λj
0
0 －1/4 －5/4
最优解X=(－1/2，3/4，0，0)T， x1 、x2不满足整数要求，选
择x2行进行分割： x2
1 2
x3
1 2
x4
5 2
x2
1 2
x3
x4
1 2
x4
2
1 2
x x x 得到Gomory约束 5
1
1
2 运筹3学 北京2邮电4大学
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将 bi及aik 分离成一个整数与一个非负真分数之和：
bi [bi ] fi, aik aik fik ,0 fi 1,0 fik 1
则有
xi [bi ] fi [aij ]xk fik xk
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如果在对偶单纯形法中原切割方程的松弛变量仍为基 变量，则此松弛变量所在列化为单位向量后就可以去掉该 行该列，再切割。
【例】已知整数规划
max z 3x1 2x2
2 2
x1 x1
3x2 14 x2 9
则
fi fik xk 0
k
加入松弛变量si得
si fik xk fi
k
此式称为以xi行为源行（来源行）的割平面，或分数切割式， 或R.E.Gomory(高莫雷)约束方程。
将Gomory约束加入到松弛问题的最优表中，用对偶单纯
形法计算，若最优解中还有非整数解，再继续切割，直到全
00
1 －1/4 0 7/3
01
1 －1 0 1
00
0 －1/2 1 －1/2
0 0 －1 －1/2 0
1 0 －1 0 2 1
00
1
0 －1 4
01
1
0 －4 3
00
0
1 －2 1
0 运筹0学 北京邮－电大1学 0 －1
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设纯整数规划
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n
max Z c j x j j 1
n
aij x j bi
j 1
x j 0且为整数， j 1,, n
松弛问题
n
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2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题
第一次切割
x1+x2≤5
4,1
第二次切割
运筹学 北京邮电大学
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
x3
(1
5 6
)
x4
1
2 3
移项：
x1
x4
1
2 3
5 6
x3
5 6
x4
令
2 3
5 6
x3
5 6
x4
0
加入松弛变量s1得
s1
5 6
x3
5 6
x4
2 3
同理，对于x2行有：
s x x 1
1
2
2 运3筹学3北京邮3电大4学
3
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1.领会割平面法的基本原理 1.分离源行，求出Gomory约束 2.在最优表中增加Gomory约束，用
对偶单纯形法迭代
作业：教材P134 T5.3
0—1规划 指派问题 Exit
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1 添加到最优表中，得
2
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cj
3
CB XB x1
2
x2
0
3
x1
1
0
x5
0
λj
0
2
x2
0
2
0
0
0
x2
x3
x4
x5
b
1
1/2 －1/2 0
5/2
0 －1/4
x1
,
x2
0且为整数
【解】不考虑整数约束，松弛问题的最优表如下
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最优表
cj
3
2
0
0
CB
XB
x1
x2
x3
x4
b
2
x2
0
1
1/2 －1/2 5/2
2 x2 0
3 x1 1
0 x3 0
0 x6 0
λj
0
2 x2 0
3 x1 1
0 x3 0
0 x6 0
λj
0
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20
0
00
x2 x3
x4
x5 x6
b
1 0 －1 ½ 0 2
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得到整数最优解：X＝(4，1)，Z＝14
注1：
x2
1 2
x3
1 2
x4
5 2
1 2
1 2
x3
1 2
x4
0
Gomory约束可写为 x5 x3 x4 1
注2： Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保 留了全部整数解。
用图解法表示：
k
k
xi [bi ] [aij ]xk fi fik xk
k
k
等式两边都为整数并且有
fi fik xk fi 1
k
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3/4
Байду номын сангаас
0 13/4
0 －1/2 －1/2 1 －1/2
0 －1/4 －5/4 0
1
0
－1 ½
2
3
x1
1
0
0
1 －1/2 7/2
0
x3
0
0
1
1
－2
1
λj
0
0
0
－1 －1/2
x1行： x1
x4
1 2
x5
7 2
Gomory约束
x6
1 2
x5
运筹学 北12京邮添电大加学 到最优表中，得
cj
3
CB XB x1
部为整数解。
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例如，
x1 x2
5 6
2 3
x3 x3
1 6
1 3
x4 x4
5 3
2 3
x1行：
x1
5 6