第12讲 旅行售货商问题和斯坦纳最小树问题

易解的旅行售货商问题
1. C = (cij ) n× n 为上三角阵; 2. 金字塔形旅游
指派问题可以看成松弛的TSP问题,我们在解决上三角阵的情况时主要 使用指派问题的算法.
C为上三角阵的情况
引理:设C是上三角矩阵,Φ满足Φ(n)=1的最优指派,则 c(Φ ) = ∑ ciΦ (i ) i =1 为最有旅游总长度的下界.
Lawler算法
1. 计算最短路.如果网络中每条边的边长不满足三角不等式,则计 算所有顶点对之间的最短路及路长,用最短路长代替原来的边长, 产生一个完全网络. 2. 3. 求最小支撑树.对每个点集N V P, | N |≤ n 2 ,构造出 P ∪ N 的最小支撑树. 构造最小斯坦纳最小树.求出2中得到的所有树中的最小树,然后 将该树中的每条边还原成最短路中的边,从而还原成原来网络中的 一个树.
正权网络中的斯坦纳最小树
给定无向网络 G = (V , E , ω ), P V , | P |= n, | V | | P |= s 网络上每条边权值为正.在允许使用V-P中的点的情况下,如何连接P 中的点成一个树,使总长度尽可能小.
P中的点称为正则点,原点,V-P中的点为斯坦纳的点,斯点.
∑ (c π
i =0
n
i (i )
+ piπ (i ) ) = ∑ ciπ (i ) + ∑ piπ ( i )
i =0 i =0
n
n
实际问题
例子:现有一卷有图案的墙纸,墙纸上的图案以一定的周期重复出现, 不妨设周期为1,先要从这卷墙纸上切割下n片,设第i片纸需从图案的si 初开始,f i处结束,中间含li个重复的图案 0 ≤ si , f i ≤ 1 ,因此若从卷 纸上先割下第i片后再去割第j片,浪费的量为
最小支撑树算法MST
1. 求网络的最小支撑树; 2. 从一个度为1的城市出发,沿每条边来回走一次,经过每个城市并, 回到出发点. 3. 按"抄近路"原则,使得除起点外,每个城市仅经过一次.
Christofides算法
1. 求出连接n个城市的最小支撑树T; 2. 找出T中度数为奇数的顶点,求出这些奇度点所组成的完全网络的 最小权完美匹配M,将M加入T,得到一个包含所有顶点的图; 3. 利用抄近路原则得到一个旅游;
旅行售货商问题和斯坦纳最小树问题
旅行售货商问题
一个售货商想去几个城市推销商品,他希望从公司所在城市出发后, 在其旅途中恰好路过他所要去的每个城市一次,最后返回出发地.假 设他已知每对城市间的距离,问如何安排旅行路线,所走的路线总长 度最短,这就是旅行售货商问题(Travellin Salesman Problem , TSP).也称货郎担问题.
最优指派为 1 → 4 → 3 → 7 → 1,2 → 2,5 → 6 → 5
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
最近邻域算法NN
1. 任选一个城市i1,构造一个仅含此城市的部分旅游(i1). 2. 设当前部分旅游为(i1,i2,…,ik),k<n; 若ik+1是不在当前部分旅游中的 所有城市里离ik最近的城市,则将ik+1加入原部分旅游中,那么得 到了新的部分旅游(i1,i2,…,ik+1). 3. 如果当前部分旅游已含有所有城市,则停止,否则,转2.
�
2
例子
0 0 0 C0 0 0 0 1 7 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 8 3 0 0 0 0 3 16 7 4 0 0 0 2 9 6 4 18 0 0 9 1 3 0 5 8 2
1 7 20 3 2 5 0 12 8 16 9 8 0 0 3 7 6 2 0 4 4 9 0 0 0 0 0 0 18 1 0 0 0 0 0 3
min ∑∑ cij xij
i =1 j =1
n
n
s.t.∑ xij = 1, i = 1,2,...n; ∑ xij = 1, j = 1,2,..., n
j =1 j =1
n
n
xij = 0或1, i, j = 1,2,..., n, 且不含子旅游
实际问题
例子:现需在一台机器上加工n个零件,这些零件可按任意先后顺序在 机器上加工,我们希望加工完成所有零件总时间尽可能少.由于加工工 艺的要求,加工零件j时机器必须处于相应状态sj.设起始未加工任何零 件时机器处于状态s0,且当所有零件加工完成后续恢复到s0状态.一直 从状态si调整到状态sj需要时间cij,零件j本身加工时间为pj.为方便起 见,引入一个虚零件,其加工时间为p0=0,要求状态为s0,则{0,1,2,…,n} 的一个圈置换π就表示对所有零件的一个加工顺序,在此置换下,完成 所有加工所需要的总时间为
n
引理:设C是上三角阵,Φ满足Φ(n)=1的最优指派,则最优旅游τ的总 长度等于 c (Φ ) ,且τ可从Φ中构造出来.
算法
1 从C中删去第i列第n行,得到 (n 1) × (n 1) 矩阵 C ' ,然后求 C ' 的最优指派. 如果最优指派中不含子旅游则结束; 否则,取子旅游数目为s≥2,删掉最优指派中的反向弧(n,1),以及 s≥2, (n,1) 每个子旅游中的反向弧;则得到一些路,其中一条必为由1到n的; 设其它的路分别为j1到i1,j2到i2,…..,js-1到is-1,且j1 >j2>…>js-1,添加弧 (n,j1)(i1,j2)(i2,j3)….(is-2,js-1),(is-1,1).算法结束
MST算法
1. 2. 对P中任何一对顶点,求出它的最短路; 构造一个一个以P为顶点集的完全图Gs,定义每条边的长为相应 顶点在G中的最短路长; 3. 求Gs的最小支撑树Tmin 4. 将Tmin中每条边还原成G中最短路的边,从而得到G中的一个连接 P的一个斯坦纳树.
作业
P153:4;
P165:7
TSP问题是要求经过图中每个点一次,有一种问题是要求经过每条 边一次,称为中国邮路问题.
说明
记售货商要访问的城市为1,2,…,n,城市i与j之间的距离为cij,每一条旅 行路线称为一个旅游,它可用一个置换Φ表示.一个置换表示一个旅游 当且仅当该置换不能分解称两个因子的乘积,称这种置换为圈置换.圈 置换Φ=(1,3,5,4,2)表示从1出发如下一个旅游:
3 5
1
4
2
说明
而τ=(1,3,5)(2,4)就不能表示一个旅游,它表示
3 1 5
2
3
表示
TSP可以表示为 min ∑ ciφ (i ) = c(φ ) ,其中φ为不可分解的所有n阶圈置换,
φ
n
φ(i)表示访问城市i后紧接着访问的城市.
i =1
1, 售货商访问城市i之后紧接着访问城市j; xij = 否则 0,
19 {0} 0 0 18 0
27 {0} 23 12 8 16 0 3 7 {0} 0 4 18 0
2 5 0 1 7 {20} 3 8 16 9 8 0 {0} 12 0 0 0 3 7 6 {2} C = 0 0 {0} 0 4 4 9 0 0 0 0 0 {18} 1 0 0 0 0 {0} 0 3 0 0 0 0 0 0 0
19 27 0 23 18 25 0 12 8 16 9 8 0 0 3 7 6 2 0 0 0 4 4 9 18 18 18 18 0 17 0 0 0 0 0 3
18 23 9 6 6 {0} 4 7 18 18 {0} 15 0 {0} 0 1
19 27 0 23 18 23 0 12 8 16 9 6 0 0 3 7 6 0 0 0 0 4 4 7 18 18 18 18 0 15 0 0 0 0 0 1
s j fi , ci源自文库 = 1 + s j fi , 如果f i ≤ si 否则
, 假设切割开始时,这卷墙纸起始位置为s0=0,且切割完成所需的n片纸后 也必须再切一次使剩下的墙纸起始位置仍未s0=f0=0.为此引入一个虚片, 它的起始位置和结束位置分别为s0,f0,则设计一个切割顺序使总浪费量 最小的问题就转化为n+1个城市的旅行售货商问题.
斯坦纳最小树
2
4
长度分别为8, 和 4 2 3 + 4 × 2 3 = 4 + 2 3
3 3
定义
给定欧氏平面上的点集P,如何设法添加新点集N,使关于P∪N的最小支 撑树为连接P中的点的最短网络:斯坦纳最小树问题. P中的点成为正则点或者原点;N中的点成为斯坦纳点或者斯点.
三角不等式:AB≤AC+CB