高考数学(理)二轮专题练习【专题5】(1)空间几何体(含答案)

第1讲空间几何体
考情解读 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．
1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系
2．空间几何体的三视图
(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．
(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．
(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线．3．直观图的斜二测画法
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
4．空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝1
2
ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；
③S 台侧＝1
2(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上，下底面的周长，h ′为斜高)；
④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝1
3Sh (S 为底面面积，h 为高)；
③V 台＝1
3(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)；
④V 球＝4
3
πR 3.
热点一 三视图与直观图
例1 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.83 B ．8 C.323
D ．16
(2)(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )
思维启迪 (1)根据三视图确定几何体的直观图；(2)分析几何体的特征，从俯视图突破． 答案 (1)B (2)D
解析 (1)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图：
则该几何体的体积V ＝1
2×2×2×4＝8.
(2)由俯视图易知答案为D.
思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．
(1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别
是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
答案 (1)A (2)D
解析 (1)根据已知条件作出图形：四面体C 1－A 1DB ，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示．故选A.
(2)如图所示，点D 1的投影为C 1，点D 的投影为C ，点A 的投影为B ，故选D.
热点二 几何体的表面积与体积
例2 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.2π B ．22π C.π3
D.2π3
(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连接EF ，FB ，DE ，则几何体EFC 1－DBC 的体积为( )
A ．66
B ．68
C ．70
D ．72
思维启迪 (1)由三视图确定几何体形状；(2)对几何体进行分割． 答案 (1)D (2)A
解析 (1)由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的组合，∴V ＝(13×π×12)×2＝23π.
(2)如图，连接DF ，DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －
EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×1
2×(3
＋6)×6×6＝12＋54＝66.
故所求几何体EFC 1－DBC 的体积为66.
思维升华 (1)利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”；(2)求不规则几何体的体积，常用“割补”的思想．
多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图
为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )
A.16＋3
3
B.8＋63
3
C.163
D.203
答案 D
解析 过M ，N 分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为S 1＝1
2×2×2＝2，高为2，所以体积为V 1
＝4，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为V 1＝2×13×2×1×2＝8
3，所以多面体的体积为
V ＝83＋4＝20
3，选D.
热点三 多面体与球
例3 如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )
A.
32π B ．3π C.2
3
π D ．2π 思维启迪 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于△BCD 是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A 的距离等于这个点到B ，C ，D 的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可．
答案 A
解析 如图，取BD 的中点E ，BC 的中点O ， 连接AE ，OD ，EO ，AO .
由题意，知AB ＝AD ，所以AE ⊥BD . 由于平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊥BD ， 所以AE ⊥平面BCD .
因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2， 所以AE ＝22，EO ＝12. 所以OA ＝
32
. 在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝3
2，
所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为3
2
. 所以该球的体积V ＝43π(32)3＝3
2π.故选A.
思维升华 多面体与球接、切问题求解策略
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．
(1)(2014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，
加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(2)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是________．
答案 (1)B (2)1
3
3π
解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝1
2
×(6＋8－10)＝2.因此选B.
(2)由三视图可知，该几何体是四棱锥P －ABCD (如图)，其中底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝1，∴该四棱锥的体积为V ＝13×1×1×1＝1
3.又PC 为其外接球的直
径，∴2R ＝PC ＝3，则球的表面积为S ＝4πR 2＝3π.
1．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和． 2．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量．在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面．
3．一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解)．
4．长方体的外接球
(1)长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R ； (2)棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R .
真题感悟
1．(2014·北京)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (1,1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D －ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( ) A ．S 1＝S 2＝S 3 B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3 C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2 D ．S 3＝S 2且S 3≠S 1
答案 D
解析 如图所示，△ABC 为三棱锥在坐标平面xOy 上的正投影，所以S 1＝1
2
×2×2＝2.
三棱锥在坐标平面yOz 上的正投影与△DEF (E ，F 分别为OA ，BC 的中点)全等，
所以S 2＝1
2
×2×2＝ 2.
三棱锥在坐标平面xOz 上的正投影与△DGH (G ，H 分别为AB ，OC 的中点)全等， 所以S 3＝1
2×2×2＝ 2.
所以S 2＝S 3且S 1≠S 3.故选D.
2．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1
V 2的值是________．
答案 3
2
解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝9
4，
得πr 21
πr 22＝94，则r 1r 2＝32
. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2， 即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23
，
所以V 1V 2＝πr 2
1h 1πr 22h 2＝32
.
押题精练
1．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，连接AC ，得到三棱锥C －ABD ，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示)，则其侧视图的面积为( )
A.32
B.12 C ．1 D.22
答案 B
解析 在三棱锥C －ABD 中，C 在平面ABD 上的投影为BD 的中点O ，∵正方形边长为2，∴AO ＝OC ＝1，∴侧视图的面积为S △AOC ＝12×1×1＝12.
2．在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为
22，32，6
2
，则三棱锥A －BCD 的外接球体积为( ) A.6π B ．26π C ．36π D ．46π 答案 A
解析 如图，以AB ，AC ，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，
∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长． 据题意⎩⎨⎧
AB ·
AC ＝
2，AC ·AD ＝3，
AB ·AD ＝
6，
解得⎩⎨⎧
AB ＝2，
AC ＝1，
AD ＝3，
∴长方体的体对角线长为AB 2＋AC 2＋AD 2＝6， ∴三棱锥外接球的半径为
62
. ∴三棱锥外接球的体积为V ＝43π·(6
2
)3＝6π.
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一、选择题
1．已知正三棱锥V －ABC 的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图的面积为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
答案 C
解析 如图，作出正三棱锥V －ABC 的直观图，取BC 边的中点D ，连接VD ，AD ，作VO ⊥AD 于O .
结合题意，可知正视图实际上就是△VAD ，于是三棱锥的棱长VA ＝4，从俯视图中可以得到底面边长为23，侧视图是一个等腰三角形，此三角形的底边长为23，高为棱锥的高VO . 由于VO ＝
42－(23×23×3
2
)2＝2 3.
于是侧视图的面积为1
2
×23×23＝6，故选C.
2．右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE 的体积为( ) A ．2 B.23 C.43 D.83
答案 D
解析 多面体ABCDE 为四棱锥，利用割补法可得其体积V ＝4－43＝8
3
，选D.
3．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为( )
A ．15＋3 3
B ．9 3
C ．30＋6 3
D ．18 3
答案 B
解析 由三视图知几何体是一个底面为3的正方形，高为3的斜四棱柱，所以V ＝Sh ＝3×3×3＝9 3.
4．已知正四棱锥的底面边长为2a ，其侧(左)视图如图所示．当正(主)视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为( )
A ．8
B ．8＋8 2
C ．8 2
D ．4＋8 2
答案 B
解析 由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示，其主视图与左视图相
同，设棱锥的高为h ，则a 2＋h 2＝4.故其主视图的面积为S ＝12
·2a ·h ＝ah ≤a 2＋h 22
＝2，即当a ＝h ＝2时，S 最大，此时该正四棱锥的表面积 S 表＝(2a )2＋4×12
×2a ×2 ＝8＋82，故选B.
5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为( )
A.33π
B.36π
C.32
π D.3π 答案 A 解析 三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对
接的图形，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高为h ＝22－12＝ 3.易知该几何体
的体积就是整个圆锥的体积，即V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×12×3＝33
π.故选A. 6．(2014·大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4
答案 A
解析 如图，设球心为O ，半径为r ，
则Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，
解得r ＝94
， ∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814
π. 二、填空题
7．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯
形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为
________．
答案 2＋22
解析 如图，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，
则在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝
22
. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1，
∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝
22＋1. 由此可还原原图形如图．
在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝
22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，
∴这块菜地的面积为S ＝12
(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′ ＝12×(1＋1＋22)×2＝2＋22
.
8．如图，侧棱长为23的正三棱锥V －ABC 中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA
＝40°，过A 作截面△AEF ，则截面△AEF 的周长的最小值为____________．
答案 6
解析 沿着侧棱VA 把正三棱锥V －ABC 展开在一个平面内，如图．
则AA ′即为截面△AEF 周长的最小值，且∠AVA ′＝3×40°＝120°.
在△VAA ′中，由余弦定理可得AA ′＝6，故答案为6.
9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，
B 1
C 上的点，则三棱锥
D 1－EDF 的体积为______．
答案 16
解析 11113
D EDF F DD
E D DE V V S AB --∆==
＝13×12×1×1×1＝16
. 10．已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D －ABC 的外接球的表面积等于________．
答案 16π
解析 设矩形的两邻边长度分别为a ，b ，则ab ＝8，此时2a ＋2b ≥4ab ＝82，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，此时四边形ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.
三、解答题
11．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、
高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V ；
(2)求该几何体的侧面积S .
解 由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E －ABCD .
(1)V ＝13
×(8×6)×4＝64. (2)四棱锥E －ABCD 的两个侧面EAD ，EBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高h 1＝ 42＋(82
)2＝42； 另两个侧面EAB ，ECD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h 2＝ 42＋(62)2＝5. 因此S ＝2×(12×6×42＋12
×8×5)＝40＋24 2. 12．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝30°.
(1)求证：EF ⊥PB ；
(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．
(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，
∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ，
∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，
∴EF ⊥PB .
(2)解 设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4.
∴S △PEB ＝12
BE ·PE ·sin ∠PEB ＝14xy ≤14⎝⎛⎭
⎫x ＋y 22＝1. 当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．
此时，BE ＝PE ＝2.
由(1)知EF ⊥平面PBE ，
∴平面PBE ⊥平面EFCB ，
在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB .
即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．
又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12
＝1. S EFCB ＝12
×(2＋4)×2＝6. ∴V P —BCFE ＝13
×6×1＝2.。