绍兴市建功中学数学三角形解答题(培优篇)(Word版 含解析)
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绍兴市建功中学数学三角形解答题(培优篇)(Word版含解析)
一、八年级数学三角形解答题压轴题(难)
1.直线MN与直线PQ垂直相交于点O,点A在射线OP上运动(点A不与点O重合),点B在射线OM上运动(点B不与点O重合).
(1)如图1,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线,
①当∠ABO=60°时,求∠AEB的度数;
②点A、B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明变化的情况:若不发生变化,试求出∠AEB的大小;
(2)如图2,延长BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F,在△AEF中,如果有一个角是另一个角的3倍,请直接写出∠ABO 的度数.
【答案】(1)①135°②∠AEB的大小不会发生变化,∠AEB=135°,详见解析(2)
∠ABO=60°或45°
【解析】
【分析】
(1)①根据三角形内角和定理、角分线定义,即可求解;
②方法同①,只是把度数转化为角表示出来,即可解答;
(2)根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和,利用角的和差计算即可求得结果,要对谁是谁的3倍分类讨论..
【详解】
(1)如图1,①∵MN⊥PQ,
∴∠AOB=90°,
∵∠ABO=60°,
∴∠BAO=30°,
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线,
∴∠ABE=1
2
∠ABO=30°,∠BAE=
1
2
∠BAO=15°,
∴∠AEB=180°﹣∠ABE﹣∠BAE=135°.②∠AEB的大小不会发生变化.理由如下:
同①,得∠AEB=180°﹣∠ABE﹣∠BAE=180°﹣1
2
∠ABO﹣
1
2
∠BAO
=180°﹣1
2
(∠ABO+∠BAO)=180°﹣
1
2
×90°=135°.
(2)∠ABO的度数为60°.理由如下:如图2,
∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F,
∴∠OAE+∠OAF=1
2
(∠BAO+∠GAO)=90°,即∠EAF=90°,
又∵∠BOA=90°,∴∠GAO>90°,
①∵∠E=1
3
∠EAF=30°,
∠EOQ=45°,∠OAE+∠E=∠EOQ=45°,∴∠OAE=15°,
∠OAE=1
2
∠BAO=
1
2
(90﹣∠ABO)
∴∠ABO=60°.
②∵∠F=3∠E,∠EAF=90°
∴∠E+∠F=90°
∴∠E=22.5°
∴∠EFA=90-22.5°=67.5°
∵∠EOQ=∠EOM= ∠AOE= 45°,
∴∠BAO=180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°
∴∠ABO=90°-45°=45°
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义,解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.
2.如图, A为x轴负半轴上一点, B为x轴正半轴上一点, C(0,-2),D(-3,-2).
(1)求△BCD的面积;
(2)若AC⊥BC,作∠CBA的平分线交CO于P,交CA于Q,判断∠CPQ与∠CQP的大小关系, 并证明你的结论.
【答案】(1)3;(2)∠CPQ=∠CQP,理由见解析;
【解析】
【分析】
(1)求出CD的长度,再根据三角形的面积公式列式计算即可得解;
(2)根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ,然后根据等角的余角相等解答;
【详解】
解:(1)∵点C(0,-2),D(-3,-2),
∴CD=3,且CD//x轴
∴△BCD面积=1
2
×3×2=3;
(2)∠CPQ=∠CQP,
∵AC⊥BC,
∴∠ACO+∠BCO=90°,又∠ACO+∠OAC=90°∴∠OAC=∠BCO,又BQ平分∠CBA,
∴∠ABQ=∠CBQ,
∵∠CQP=∠OAC+∠ABQ
∠CPQ=∠CBQ+∠BCO,
∴∠CQP=∠CPQ
(2)∠CPQ=∠CQP,
∵AC⊥BC,
∴∠ACO+∠BCO=90°,又∠ACO+∠OAC=90°∴∠OAC=∠BCO,又BQ平分∠CBA,
∴∠ABQ=∠CBQ,
∵∠CQP=∠OAC+∠ABQ
∠CPQ=∠CBQ+∠BCO,
∴∠CQP=∠CPQ
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质,三角形的角平分线,三角形的面积,三角形的内角和定理,三角形的外角性质,综合题,熟记性质并准确识图是解题的关键.
3.如图①,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为()0,4,4OC OB =.
① ②
(1)若ABC ∆的面积为20,求点B ,C 的坐标.
(2)如图①,向x 轴正方向移动点B ,使90ABC ACB ∠-∠=︒,作BAC ∠的平分线AD 交x 轴于点D ,求ADO ∠的度数.
(3)如图②,在(2)的条件下,线段AD 上有一动点Q ,作AQM DQP ∠=∠,它们的边分别交x 轴、y 轴于点M ,P ,作FMG DMQ ∠=∠,试判断FM 与PQ 的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)10,03B ⎛⎫
⎪⎝⎭,40,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2)45°;(3)FM PQ ⊥ 【解析】
【分析】
(1)设OB=a ,根据三角形的面积公式列式求出a ,即可得到点B 、C 的坐标;
(2)设ACB α∠=,根据题意得到∠ABC=90°+α,根据三角形内角和定理得到∠BAC=90°-2α,再根据角平分线的定义、三角形外角的性质即可得到答案;
(3)延长FM 交QP 于H ,设∠DQP=∠AQM=α,∠FMG=∠DMQ=β,根据三角形外角的性质、三角形内角和定理求出∠2+∠DMH=90°即可得到答案.
【详解】
(1)设OB=a ,则OC=4a ,
∴BC=3a ,
由题意得,
134202a ⨯⨯=, 解得:a=
103, ∴OB=103,OC=403
,