九年级(上)培优讲义-第2讲解直角三角形

第2讲：解直角三角形

一、建构新知

1.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=30°, BC=2, 则AB= , AC= ,∠B= °.

2.阅读教材后回答。

（1）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=α, BC=a, 则AB= , AC= , ∠B= °. （2）解直角三角形至少需要个条件，其中关于的条件必须有.

（3）课本例题1中给出了一种解的直角三角形的方法，除此之外有没有其它的解法了，请你试着解一下，并且请你比较一下哪种解法更好，为什么？

3.填写下表：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a ,b , c.

已知条件已知条件解法

一边一角一条直角边和一个锐角

（a, ∠A）

斜边和一个锐角

（c, ∠A）

两边

两条直角边

（a,b）

斜边和一条直角边

（a ,c）

4.阅读教材后回答.

（1）如图，在斜坡AB上，坡角为, 坡度等于与的比（或叫坡比），

其实质就是坡角的值，可用字母表示. （2）若∠B逐渐变大，坡度是如何变化的？B

A

C

A

B

C

北 北 二、经典例题

例1. 将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连接AD ,求∠ADB 的正弦值．

例2．由下列条件解题：在Rt △ABC 中，∠C =90°：

（1）已知a =4，b =8，求c ． （2）已知b =10，∠B =60°，求a ，c ．

例3.台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A 、B 两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救12”轮前往出事地点协助搜索.接到通知后，“华意”轮测得出事地点C 在A 的南偏东60°、“沪救12”轮测得出事地点C 在B 的南偏东30°.已知B 在A 的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点C 的距离.

A

B

D C A B

D

C

Q

P

C

B

A

例4. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，sinB =

5

3

. 一只蚂蚁从点B 开始沿BC 方向向点C 以2cm /s 的速度移动，另一只蚂蚁从C 点开始以1cm /s 的速度向点A 移动. 如果两只蚂蚁分别从B 、C 点同时出发各自运动到P 、Q （如图），问：第几秒时△PCQ 与△ABC 相似？

例5. 如图，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上. 动点D 在线段BC 上移动（不与B ，C 重合），连接OD ，过点D 作DE ⊥OD ，交边AB 于点E ，连接OE ．记CD 的长为t ． （1） 当t ＝3

1

时，求tan ∠EDB ；

（2） 如果记梯形COEB 的面积为S ，那么是否存在S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时∠EOA 的度数．（精确到1度）

三、基础演练

1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则下列式子中必定成立的是（ ）.

A . c =asinA

B . c =acosA

C . c =

cos a A D . c =sin a

A

2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b , c .根据条件完成填空.

c =10,∠A = 45°，则a = ,b = ，∠B = . a =5,b =15,则∠B = ，∠A = ，c = . c =3， sinA =

6

3

，则a = ,b = .

3. 在Rt △ABC 中，∠A 的对边为a ，∠C ＝90°，cosA =2

5

，a =12, 则斜边AB 上的中线长为 .

4. 等腰△ABC 中，底边BC =20，sinC =

3

5

, 则AB = . 5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b , c .请根据已知条件解直角三角形.（角度精确到1°，长度精确到0.1）

(1) ∠B =72°，c =14； （2）a = 26,b = 62； （3）sinB =4

5

，a =12

6. 已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=13

12

sin A 求此菱形的周长和面积．

7. 如图所示，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC =4，求△ABC 的面积.

A

B

A

C

8. 如图，大坝的横断面为梯形ABCD ，迎水坡BC 的坡角B 为30°，背水坡AD 的坡度为1:1.2，坝顶宽DC =2.5m ，坝高4.5m .

求：（1）迎水坡BC 的坡比；（2）坝底AB 的长.

9. 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰，便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位．参考数据：2 1.43 1.7≈，≈）

10.已知：如图在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与y x 、轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，CE ⊥x 轴于点E ，2

1tan =∠ABO ，OB =4，OE =2。

（1）求直线AB 的解析式； （2）求该反比例函数的解析式.

C

A B

60° 45°

北

北

图9

x

y

B

E

C

D

O

A

D C

B

A