常微分方程简介

s 0.2 t 2 20 t
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
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微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
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I、分离变量法
一、变量可分离的方程 二 、一阶线性方程
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一、分离变量方程的解法:
g ( y ) d y f ( x) d x
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
g ( ( x)) ( x) d x f ( x) d x
代回原变量得通解
求解过程中丢失了.
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x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
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二、伯努利 ( Bernoulli )方程
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例2. 解微分方程 d y y y 解: 方程变形为 2 dx x x

2
y , 令 u , 则有 x
u x u 2 u u 2
du dx 1 1 dx 分离变量 即 d u 2 x u u u 1 u x x ( u 1) u 1 C 积分得 ln 即 ln x ln C , u u
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二、一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得
ln y P( x)d x ln C
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的速度行驶, 制动时 引例2. 列车在平直路上以 获得加速度 求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) . 已知
s
t 0
0,
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2 利用后两式可得 因此所求运动规律为
由一阶线性方程通解公式 , 得
自变量的一阶线性方程
dx 2 x 3 xy y y
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xe
1 e y 1 d y ln C y

1 P( y ) 2y 1 Q( y ) y
所求通解为
ye
x
y
C (C 0)
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微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件):
dy dx
( n 1) ( n 1) y ( x0 ) y0 , y ( x0 ) y0 , , y ( x0 ) y0
齐次方程通解
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非齐次方程特解
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例1. 解方程
d y 2d x d y 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 积分得 即 y C ( x 1) 2 2 则 用常数变易法求特解. 令 y u ( x) ( x 1) ,
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解. 利用初始条件易得: 故所求特解为
x A cos k t
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例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
伯努利方程的标准形式:
除方程两边 , 得 n d y y P( x) y1 n Q( x) dx dz 1 n n d y 令 z y , 则 (1 n) y dx dx dz (1 n) P( x) z (1 n) Q( x) (线性方程) dx 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法:
y u ( x 1) 2 2 u ( x 1)
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
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3 2 u ( x 1) 2 C 3
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例2. 解方程
解:
代入公式
其中
xe
（-1) dy
C1
ln y x 3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
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例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1) d y 0 y(0) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
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II 、初等变换法
一、齐次方程 二、伯努利方程 三、可降阶方程
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一、齐次方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
u e
即
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
P ( x )d x 对应齐次方程通解 y C e P( x) d x 两端积分得 u Q( x) e dx C
P( x) d x 故原方程的通解 y e Q ( x ) e d x C P( x) d x P( x) d x P( x) d x e dx y Ce 即 Q( x) e P( x) d x
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例1. 求微分方程
的通解.
d y 解: 分离变量得 3 x 2 d x 说明: 在求解过程中 y 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 两边积分 减解. 或 3 ln y x C1 得
即
令C e
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
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y 解法: 令 u , x
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y y 例1. 解微分方程 y tan . x x y 解: 令 u , 则 y u x u , 代入原方程得 x u x u u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u dx du 两边积分 sin u x 得 ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
解法 2 令 u x y,
故有 积分
(1 e u ) e u 1 eu d u
u ln (1 eu ) x C
x y ln ( 1 e ) y C ( C 为任意常数 ) 所求通解:
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引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x dx y x 1 2
由①得
①
②
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x 2 1 .
故通解为
y C e P ( x )d x
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dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx
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P( x) d x 则 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,
y e ( 1) dy d y C
解得 故原方程通解为
x e y y e y d y C
y


x ce y 1 （C为任意常数）
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d y 0 的通解 . 例3. 求方程 dx 解: 注意 x, y 同号, 当 x 0 时, 2 d x , 故方程可 x 变形为 这是以 x 为因变量, y为
引例1 通解: 特解:
2x
d2y
y x 1 2 y x2 C 2 y x 1
引例2
20 s t 0 0 , s 0.2 t 2 C1t C2 2 s 0.2 t 20 t
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dx
2
0.4
ds d t t 0
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 y y 2 x 0
y P
Q o
x x
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第二节 目录
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第二节 常微分方程的初等解法
I、分离变量法 II 、初等变换法
附录一
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例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t 0
dx A, 0 的特解 . dt t 0
解:
k 2 ( C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos k t C2 sin k t 是方程的解 .
附录一 常微分方程简介
已知 y f ( x) , 求 y — 积分问题
推广
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已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题
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第一节 微分方程的一般概念
几何问题 引例 物理问题
附录一
微分方程的基本概念
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两边积分, 得
f ( x) d x
②
则有
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆, 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解. 称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
分类
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,, y ( n ) ) 0
或
y ( n ) f ( x, y, y,, y ( n 1) ) ( n 阶显式微分方程)
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两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
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练习:
解法 1 分离变量 即
e y e x C ( ex C ) e y 1 0 ( C < 0 ) u 1 eu