金融市场风险计量模型VaR金融工程与风险管理
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由历史数据，可以得到回报率r的均值、方 差、协方差等，即所谓的统计参数。
由参数来估计回报率r在某个置信水平下的 最小值。
7.5.1 单资产正态分布VaR
假定A银行期初的资产市值v0=$100,000,000根据 历史资料，其资产10天回报率r服从正态分布，即
r
~
N(0.01,
0.04)
r*
0.01 0.2
VaR隐含假设：资产组合在持有期内不发生变 化，若有变化则持有期要调整。
《新资本协议》：计算监管资本的VaR持有期 至少为10个交易日，JPMorgan等金融机构内 部通常选择为1天。
讨论： 持有期的选择
资产流动性（liquidity）：事前确定
原则：按金融机构无法控制损失的时间期限
一般企业的资产组合缺乏流动性，可能在若干日都 无法改变头寸，则相应的持有期就要长，以使VaR 给出的风险能够覆盖多日的“考验”。
P ro b ( V a R ) 1 c
VaR回答的问题：我们有 C的置信水平在接下来 的 T 个交易日中损失程度不会超过的金额。
VaR：金融风险的“天气预报”
例如：A银行2006年4月1日公布其持有期为 10天、置信水平为99%的VaR为1000万元。 这意味着如下3种等价的描述：
1、A银行从4月1日开始，未来10天内资产组合 的损失大于1000万元的概率小于1%；
VaR 是一种对可能实现的价值（市值）损失的 估计，而不是一种“账面”的损失估计。
VaR：金融风险的“天气预报”
假设1个基金经理希望在接下来的10天时间 内存在 95% 概率其所管理的基金价值损失 不超过$1,000,000。则我们可以将其写作：
P r o b ( $ 1 ,0 0 0 ,0 0 0 ) 1 9 5 %
Theoretical Quantile-Quantile 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
-.8 -.6 -.4 -.2 .0 .2 .4 .6 .8 R_125
讨论： 持有期的选择
数据约束
从理论上讲，VaR模型可以较为准确地计算任意持有 期下资产组合的市场风险，但事实上，鉴于长期历史 数据收集的困难，往往设置较短的持有期。
V a R
1 c
f (y)d yF ( V a R )
f ( y和)
F ( y)
分别表示资产组合随机损益的PDF和CDF
，
上式是解析法计算VaR的基本依据。
Pr
1-C
收益 损失
∏
VaR
约定俗成：VaR是以正数表示。
7.3.2 离散情形
式（7.2）对VaR的定义既适用于损益序列 为连续型随机变量的情形，也适用于离散 的损益分布。若资产组合的损益序列为离 散型，则VaR满足
但是，不同分布下的VaR无法转化，如T分布。 @qtdist(0.99,4)=3.7469473879792， @qtdist(0.95,2)=2.91998558035372。
讨论：置信水平的选择
置信水平的目的：即可信度或可靠性，通常为 99%（BCBS）或95％（JP Morgan）。
理由：银行业的脆弱性，防范小概率发生的极端风险， 故要求计量的是资产组合的下方风险(Downside Risk)。
计算结果表明：在10天内，这家期初有1亿美元资产的银行， 我们可以以99％概率确信：其绝对损失不大于4650万美元，或 者说绝对损失大于4650万美元的可能性只有1％。
7.5.1 单资产正态分布VaR
在持有期[0,1]（单期）内该资产的回报为r
r r g ln s s 1 0 r a r 2 a 2 r 3 a 3(4 )B r a~ N (, 2 )
A V a R v * $ 2 5 ,8 0 0 ,0 0 0
总结：VaR的优点
1、精确性：借助于数学和统计学工具，VaR 以定量的方式给出资产组合下方风险 （Downside Risk）的确切值。
2、综合性：
将风险来源不同、多样化的金融工具的风险纳 入到一个统一的计量框架，将整个机构的风险 集成为一个数值。
则期末资产的随机价值为
v1 v0(1r)
定义该资产持有期为1、置信水平为c的最低价值（资产 价值的下c分位数）为
v1 v0(1r)
由正态分布的性质则有
zc(r)/
则根据VaR的定义即可得到单期的AVaR为
A V a R 1 v 0 v 1 * v 0 ( z c )
下面计算持有期为T期的VaR，资产的回报ri满足
ri ~i.i.dN(,2)
r T lnsts tT lns s t t1 lns stt 1 2 ...lns s t t T T 1iT 1r i
T
E (rT ) E ( ri ) T i 1 T
D (rT ) D ( ri ) 2T i 1
A V aR Tv0(zcTT)
2、以99％的概率确信：A银行从4月1日起未来 10天内的损失不超过1000万元。
3、平均而言，A银行在未来的100天内有1天损 失可能超过1000万元。（思考：一旦超过有多 少损失呢？）
7.2 VaR的基本参数
持有期：计算VaR的时间长度
资产组合的波动性（方差）与时间长度正相关， 故VaR随着持有期增加而增加。
以上计算的是绝对VaR，若是相对VaR，容 易得到
RVaR1v0zc
RVaRTv0zc T
并且成立 RVaRTRVaR1 T
这就是著名的“平方根法则”（squareroot rule）
算例
设某股票初始价格为10元，若该股票的回报服从 正态分布，其日回报的标准差为5％，则该股票持 有期为1年（250个交易日），99％置信水平下的 每股RVaR为
例如，若计算某资产的VaR需要1000个数据才能达到 足够的精度，若计算该资产持有期为1天的VaR，则需 要4年（每年250个交易日）的数据，而如果持有期为 10天，就需要有40年的数据 。
长时期的历史数据在实际中可能无法获得，而且距离 当前时刻过于遥远的历史数据，由于市场情形的变化 可能使早期的数据对VaR计算具有很大的干扰性。
监管要求
监管当局为保持金融系统的稳定需要设置较高的置信 水平，如《新资本协议》至少为99%。
讨论：置信水平的选择
统计和比较的需要
不同的机构使用不同的置信水平报告VaR数值， 需要知道其假设的分布和置信水平，若分布假 设为正态分布，则可以相互转化，不影响不同 机构之间的不同置信水平下的评价。
RVaR E(v) vT ( E(v) vT)
v0(1 ) v0(1rT) v0 v0rT
=v -v*
示例：相对VaR
95％置信水 平，最大损 失－2580万
平均收益为800万
V *
Vቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
比较：相对VaR与绝对VaR
RVaRvv* $8,000,000($25,800,000) $33,800,000
讨论：置信水平的选择
后验测试
置信水平越高，对于同样的资产组合、在给定的持有 期内，置信水平越高，则VaR越大，即资产的损失大 于VaR的可能性越小，可靠性越高！
但是，为了验证VaR所需要的数据越多，实际中可能 受到数据量的限制。
风险资本要求
金融机构维持安全性的愿望和股东报酬率之间的权衡。
1 c P r( k), k 1 ,2 ,... k V a R
上式便成为历史模拟法和蒙特卡洛模拟法计算 VaR的基本依据。
7.4 VaR计算的基本原理
不妨将A银行的全部资产看成1个资产组合，期初 （比如2005.1.1）该组合的盯市价值为V0，10天后 其资产 的价值如下图所示：(VaR不是以账面价值， 而是以市场价值计算来计算风险)
缺点：VaR并没有告诉我们在可能超过VaR损失 的时间内（如95％置信度的5/100天中；或99％的 1/100天中）的实际损失会是多少。
7.5 VaR计算方法的解析法
解析法，又称为方差-协方差法、参数法。
借助统计学，利用历史数据拟合回报率r的统计 分布。
常见的分布有：正态分布、对数正态分布、t分 布、广义误差分布（GED）等。
z1c
若c 99%,可以查正态分布表得到
z1c z1% 2.33,所以
r 2.330.20.01 0.465
这里我们也可以发现方差计量风险的缺点：虽然回报率方 差仅为4％，但回报率可以低到-46.5%。
若以绝对VaR来计算
AVaR v0 v* v0 v0 (1 r ) v0r $100, 000, 000 (0.465) $46,500, 000
头寸的调整
持有期越长，风险管理者越可能改变头寸，则 时间越短越能保证资产组合所有资产头寸不变 的假设。
Normal Quantile Normal Quantile
Theoretical Quantile-Quantile 6
4
2
0
-2
-4 -.3 -.2 -.1 .0 .1 .2 .3 .4 .5 R_10
R V a R 1 年 1 0 2 .3 3 5 % 2 5 0 1 8 .4 2
y e a r d a y2 5 2 ,w e e k d a y5 ,y e a r w e e k5 2
平方根法则的模型风险
平方根法则：若持有期增加为原来的K倍， 则RVaR值增大为原值的K0.5倍。
如果金融机构能够一天一次度量风险并且改变资产 组合的构成，则其风险可以控制在1天内，故可将持 有期定为1天。
若头寸可以快速出清（liquidation）或变现， 则可以选择较短的持有期，反之亦反。
讨论： 持有期的选择
正态分布的要求
持有期越长，资产组合回报r的分布越偏离正态 分布，
VaR计算中最方便的假设是回报率服从正态分 布，在较短的持有期下，基于正态分布的假设 更为合理。
金融工程与风险管理
第7章 金融市场风险计量模型： VaR
7.1 VaR的定义
Value at Risk ，译为风险价值或在险价值， 以货币表示的风险，处在风险中的金融资 产的货币量。
定义：VaR是指在某一给定的置信水平下， 资产组合在未来特定的一段时间内可能遭 受的最大损失。 （Jorion ，1997）
可实施集中式的风险管理系统，提高风险管理 的效率。
总结：VaR的优点
3、通俗性：货币表示的风险，方便公众、银行、监管机构
之间的沟通，充当信息披露工具。 起源：JP Morgan的CEO Weathstone要求每天的
《4.15 报告》只产生一个数字：计量不同交易工具， 不同部门综合后的风险。 截止到1999年，BCBS监管下的71家银行中有66家对公 众披露VaR。
•若以回报的均值为参照来定义损失，即相对损 失，则称为相对VaR。
绝对VaR（Absolute VaR）
AVaR v0 vT (v0 vT)
期初价值 v0 v0(1rT) v0rT 0
期末的价 值（在某 个置信水
平下）
期初的价值已知
需要估计的未知量
相对VaR（Relative VaR）
如果资产组合的平均回报率为μ，在某一置 信水平下，资产组合持有期末的最小回报率 为r*，则
虽然这种风险发生的概率只有5％或者1％，但危害性 大。
总结：VaR的计算的是极端风险，而不是平均风 险，这与传统的方差计量风险有本质区别。
7.3 VaR的数学定义
由VaR的定义，若资产组合未来的随机损益为 ∏=⊿V，则对应于置信水平为（一般为99％或者 95％）的VaR满足如下等式
1 cP r( V a R ) （7.1）
持有期 T＝10天
v0
vT=v0(1＋r)
回报率r是随机变量
7.4 VaR计算的基本原理
如果在某个置信水平C（比如99％）下，第T天资 产组合的最低价值为VT*，则
vT v0(1rT)
•由VaR的定义：资产组合在未来一段时间内可能 的最大损失，有两种损失定义:
•若以绝对损失定义VaR，则称为绝对VaR。
由于约定俗成的惯例，一般将VaR取为正值，故在（1.1）中 的VaR前面加负号。1999年，Artzner等给出严格的VaR数学 定义式
V a R in fy P r y 1 c （7.2）
7.3.1 连续情形
由7.2，VaR就是对应于置信水平c的损益分 布的下分位数，由于其值为负，故在（7.2） 等号右边加负号，这表明VaR计量的是资产 组合的下方风险（Downside Risk）。在连 续的情形下VaR满足
由参数来估计回报率r在某个置信水平下的 最小值。
7.5.1 单资产正态分布VaR
假定A银行期初的资产市值v0=$100,000,000根据 历史资料，其资产10天回报率r服从正态分布，即
r
~
N(0.01,
0.04)
r*
0.01 0.2
VaR隐含假设：资产组合在持有期内不发生变 化，若有变化则持有期要调整。
《新资本协议》：计算监管资本的VaR持有期 至少为10个交易日，JPMorgan等金融机构内 部通常选择为1天。
讨论： 持有期的选择
资产流动性（liquidity）：事前确定
原则：按金融机构无法控制损失的时间期限
一般企业的资产组合缺乏流动性，可能在若干日都 无法改变头寸，则相应的持有期就要长，以使VaR 给出的风险能够覆盖多日的“考验”。
P ro b ( V a R ) 1 c
VaR回答的问题：我们有 C的置信水平在接下来 的 T 个交易日中损失程度不会超过的金额。
VaR：金融风险的“天气预报”
例如：A银行2006年4月1日公布其持有期为 10天、置信水平为99%的VaR为1000万元。 这意味着如下3种等价的描述：
1、A银行从4月1日开始，未来10天内资产组合 的损失大于1000万元的概率小于1%；
VaR 是一种对可能实现的价值（市值）损失的 估计，而不是一种“账面”的损失估计。
VaR：金融风险的“天气预报”
假设1个基金经理希望在接下来的10天时间 内存在 95% 概率其所管理的基金价值损失 不超过$1,000,000。则我们可以将其写作：
P r o b ( $ 1 ,0 0 0 ,0 0 0 ) 1 9 5 %
Theoretical Quantile-Quantile 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
-.8 -.6 -.4 -.2 .0 .2 .4 .6 .8 R_125
讨论： 持有期的选择
数据约束
从理论上讲，VaR模型可以较为准确地计算任意持有 期下资产组合的市场风险，但事实上，鉴于长期历史 数据收集的困难，往往设置较短的持有期。
V a R
1 c
f (y)d yF ( V a R )
f ( y和)
F ( y)
分别表示资产组合随机损益的PDF和CDF
，
上式是解析法计算VaR的基本依据。
Pr
1-C
收益 损失
∏
VaR
约定俗成：VaR是以正数表示。
7.3.2 离散情形
式（7.2）对VaR的定义既适用于损益序列 为连续型随机变量的情形，也适用于离散 的损益分布。若资产组合的损益序列为离 散型，则VaR满足
但是，不同分布下的VaR无法转化，如T分布。 @qtdist(0.99,4)=3.7469473879792， @qtdist(0.95,2)=2.91998558035372。
讨论：置信水平的选择
置信水平的目的：即可信度或可靠性，通常为 99%（BCBS）或95％（JP Morgan）。
理由：银行业的脆弱性，防范小概率发生的极端风险， 故要求计量的是资产组合的下方风险(Downside Risk)。
计算结果表明：在10天内，这家期初有1亿美元资产的银行， 我们可以以99％概率确信：其绝对损失不大于4650万美元，或 者说绝对损失大于4650万美元的可能性只有1％。
7.5.1 单资产正态分布VaR
在持有期[0,1]（单期）内该资产的回报为r
r r g ln s s 1 0 r a r 2 a 2 r 3 a 3(4 )B r a~ N (, 2 )
A V a R v * $ 2 5 ,8 0 0 ,0 0 0
总结：VaR的优点
1、精确性：借助于数学和统计学工具，VaR 以定量的方式给出资产组合下方风险 （Downside Risk）的确切值。
2、综合性：
将风险来源不同、多样化的金融工具的风险纳 入到一个统一的计量框架，将整个机构的风险 集成为一个数值。
则期末资产的随机价值为
v1 v0(1r)
定义该资产持有期为1、置信水平为c的最低价值（资产 价值的下c分位数）为
v1 v0(1r)
由正态分布的性质则有
zc(r)/
则根据VaR的定义即可得到单期的AVaR为
A V a R 1 v 0 v 1 * v 0 ( z c )
下面计算持有期为T期的VaR，资产的回报ri满足
ri ~i.i.dN(,2)
r T lnsts tT lns s t t1 lns stt 1 2 ...lns s t t T T 1iT 1r i
T
E (rT ) E ( ri ) T i 1 T
D (rT ) D ( ri ) 2T i 1
A V aR Tv0(zcTT)
2、以99％的概率确信：A银行从4月1日起未来 10天内的损失不超过1000万元。
3、平均而言，A银行在未来的100天内有1天损 失可能超过1000万元。（思考：一旦超过有多 少损失呢？）
7.2 VaR的基本参数
持有期：计算VaR的时间长度
资产组合的波动性（方差）与时间长度正相关， 故VaR随着持有期增加而增加。
以上计算的是绝对VaR，若是相对VaR，容 易得到
RVaR1v0zc
RVaRTv0zc T
并且成立 RVaRTRVaR1 T
这就是著名的“平方根法则”（squareroot rule）
算例
设某股票初始价格为10元，若该股票的回报服从 正态分布，其日回报的标准差为5％，则该股票持 有期为1年（250个交易日），99％置信水平下的 每股RVaR为
例如，若计算某资产的VaR需要1000个数据才能达到 足够的精度，若计算该资产持有期为1天的VaR，则需 要4年（每年250个交易日）的数据，而如果持有期为 10天，就需要有40年的数据 。
长时期的历史数据在实际中可能无法获得，而且距离 当前时刻过于遥远的历史数据，由于市场情形的变化 可能使早期的数据对VaR计算具有很大的干扰性。
监管要求
监管当局为保持金融系统的稳定需要设置较高的置信 水平，如《新资本协议》至少为99%。
讨论：置信水平的选择
统计和比较的需要
不同的机构使用不同的置信水平报告VaR数值， 需要知道其假设的分布和置信水平，若分布假 设为正态分布，则可以相互转化，不影响不同 机构之间的不同置信水平下的评价。
RVaR E(v) vT ( E(v) vT)
v0(1 ) v0(1rT) v0 v0rT
=v -v*
示例：相对VaR
95％置信水 平，最大损 失－2580万
平均收益为800万
V *
Vቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
比较：相对VaR与绝对VaR
RVaRvv* $8,000,000($25,800,000) $33,800,000
讨论：置信水平的选择
后验测试
置信水平越高，对于同样的资产组合、在给定的持有 期内，置信水平越高，则VaR越大，即资产的损失大 于VaR的可能性越小，可靠性越高！
但是，为了验证VaR所需要的数据越多，实际中可能 受到数据量的限制。
风险资本要求
金融机构维持安全性的愿望和股东报酬率之间的权衡。
1 c P r( k), k 1 ,2 ,... k V a R
上式便成为历史模拟法和蒙特卡洛模拟法计算 VaR的基本依据。
7.4 VaR计算的基本原理
不妨将A银行的全部资产看成1个资产组合，期初 （比如2005.1.1）该组合的盯市价值为V0，10天后 其资产 的价值如下图所示：(VaR不是以账面价值， 而是以市场价值计算来计算风险)
缺点：VaR并没有告诉我们在可能超过VaR损失 的时间内（如95％置信度的5/100天中；或99％的 1/100天中）的实际损失会是多少。
7.5 VaR计算方法的解析法
解析法，又称为方差-协方差法、参数法。
借助统计学，利用历史数据拟合回报率r的统计 分布。
常见的分布有：正态分布、对数正态分布、t分 布、广义误差分布（GED）等。
z1c
若c 99%,可以查正态分布表得到
z1c z1% 2.33,所以
r 2.330.20.01 0.465
这里我们也可以发现方差计量风险的缺点：虽然回报率方 差仅为4％，但回报率可以低到-46.5%。
若以绝对VaR来计算
AVaR v0 v* v0 v0 (1 r ) v0r $100, 000, 000 (0.465) $46,500, 000
头寸的调整
持有期越长，风险管理者越可能改变头寸，则 时间越短越能保证资产组合所有资产头寸不变 的假设。
Normal Quantile Normal Quantile
Theoretical Quantile-Quantile 6
4
2
0
-2
-4 -.3 -.2 -.1 .0 .1 .2 .3 .4 .5 R_10
R V a R 1 年 1 0 2 .3 3 5 % 2 5 0 1 8 .4 2
y e a r d a y2 5 2 ,w e e k d a y5 ,y e a r w e e k5 2
平方根法则的模型风险
平方根法则：若持有期增加为原来的K倍， 则RVaR值增大为原值的K0.5倍。
如果金融机构能够一天一次度量风险并且改变资产 组合的构成，则其风险可以控制在1天内，故可将持 有期定为1天。
若头寸可以快速出清（liquidation）或变现， 则可以选择较短的持有期，反之亦反。
讨论： 持有期的选择
正态分布的要求
持有期越长，资产组合回报r的分布越偏离正态 分布，
VaR计算中最方便的假设是回报率服从正态分 布，在较短的持有期下，基于正态分布的假设 更为合理。
金融工程与风险管理
第7章 金融市场风险计量模型： VaR
7.1 VaR的定义
Value at Risk ，译为风险价值或在险价值， 以货币表示的风险，处在风险中的金融资 产的货币量。
定义：VaR是指在某一给定的置信水平下， 资产组合在未来特定的一段时间内可能遭 受的最大损失。 （Jorion ，1997）
可实施集中式的风险管理系统，提高风险管理 的效率。
总结：VaR的优点
3、通俗性：货币表示的风险，方便公众、银行、监管机构
之间的沟通，充当信息披露工具。 起源：JP Morgan的CEO Weathstone要求每天的
《4.15 报告》只产生一个数字：计量不同交易工具， 不同部门综合后的风险。 截止到1999年，BCBS监管下的71家银行中有66家对公 众披露VaR。
•若以回报的均值为参照来定义损失，即相对损 失，则称为相对VaR。
绝对VaR（Absolute VaR）
AVaR v0 vT (v0 vT)
期初价值 v0 v0(1rT) v0rT 0
期末的价 值（在某 个置信水
平下）
期初的价值已知
需要估计的未知量
相对VaR（Relative VaR）
如果资产组合的平均回报率为μ，在某一置 信水平下，资产组合持有期末的最小回报率 为r*，则
虽然这种风险发生的概率只有5％或者1％，但危害性 大。
总结：VaR的计算的是极端风险，而不是平均风 险，这与传统的方差计量风险有本质区别。
7.3 VaR的数学定义
由VaR的定义，若资产组合未来的随机损益为 ∏=⊿V，则对应于置信水平为（一般为99％或者 95％）的VaR满足如下等式
1 cP r( V a R ) （7.1）
持有期 T＝10天
v0
vT=v0(1＋r)
回报率r是随机变量
7.4 VaR计算的基本原理
如果在某个置信水平C（比如99％）下，第T天资 产组合的最低价值为VT*，则
vT v0(1rT)
•由VaR的定义：资产组合在未来一段时间内可能 的最大损失，有两种损失定义:
•若以绝对损失定义VaR，则称为绝对VaR。
由于约定俗成的惯例，一般将VaR取为正值，故在（1.1）中 的VaR前面加负号。1999年，Artzner等给出严格的VaR数学 定义式
V a R in fy P r y 1 c （7.2）
7.3.1 连续情形
由7.2，VaR就是对应于置信水平c的损益分 布的下分位数，由于其值为负，故在（7.2） 等号右边加负号，这表明VaR计量的是资产 组合的下方风险（Downside Risk）。在连 续的情形下VaR满足