第三章连续信源的信息熵

Amplitude continuous
x( ) Hc ( X )
所谓正交变换是一种数学处理手段，将在T时间内的 受限于最高频率为F的随机过程，无失真地变换成2FT个 随机变量。最理想的正交变换是： K—L expansion。
§3. 1 连续信源的离散化
因此任何复杂的统计对象，经多种处理后就可由 浅入深地逐步解决问题。正如我们在离散信源中：
i 1 i 1 i 1
n
(log ) pn ( xi ) pn ( xi ) log pn ( xi ) (log )
i 1 i 1
n
1
n
§3. 2 连续变量的相对熵
以上我们将一个连续变量的概率空间量化成一个离 散空间，从而得到连续信源的近似信息熵。如果将此近 似手段在取极限的方式下就可逼近这个连续变量的熵。 n
a
H ( ) lim(log ) 0
n
def
§3. 2 连续变量的相对熵
在取极限的过程中由于n→∞ 相当于 →0，此时这个离散变 量越来越逼近一个连续变量；而离散集合中的信息熵Hn(X)就分解 为两项，其中一项与划分精度无关，趋于一个常量——Hc(X)。 而另一项，随着 →0最终趋于一个无穷大的量。很显然这与取极 限之前的离散熵差别很大，那么这种极限形式能否表达出信源平 均不定度的概念吗？ 由于表达形式的不同，则它的物理意义也应有所不同。所以 我们不能以离散熵的概念来理解上述表达式，特别是当某些离散 熵的数学性质不在继续保持的情况下，如：非负性、对称性、扩 展性等。但值得庆幸，上式中将熵函数中最能反映信源的固有属 性的数学性质如可加性、极值性和上凸性仍旧依然保持着。因此 有可能上述表达式的某些部分仍能代表连续信源的某些物理属性。 （但我们要深入讨论离散向连续逼近时，物理属性的变化。）
proof : then let p ( xy ) p ( x ) p( y x ) p( y ) p( x y )
The Properties of Differential Entropy)
H c (Y X ) H c (Y ); H c ( X Y ) Hc ( X )
H c ( XY )
Stochastic process
x H ( p)
X (t , ) Time
discretization
X
Random vector
Random variable Memoryless Markovian X
Amplitude discretization
正交变换 Orthogonal Transformation
即： 0 H n ( X ) lim pn ( xi ) log pn ( xi ) (log ) lim 0 i 1 n n p ( x ) log p ( x )dx lim(log ) 0
a def n b
H c ( X ) H c ( X Y ) H c (Y ) H c (Y X ) H c ( X ) H c (Y ) H c ( XY )
第三章. 连续信源的信息熵 §3. 3 相对熵的性质
(
H c ( XY 1°. 可加性 ) H c ( X ) H c (Y X ) H c (Y ) H c ( X Y ) and
a
b
Δ
a 0 b
x
§3. 2 连续变量的相对熵
如果把x∈[a,b]的定义域划分成n个小 区间，且每个小区间宽度相等。那么处 于第i个区间的概率就等于：
p ( x) f ( x)
pi Pn ( xi ) P [a (i 1) ] x ( a i)
a i a ( i 1)
R
where, R is the domain of x . 为什么说相对熵反映连续变量的客观存在的平均不定度？首 先一个随机变量，当它的概率分布一旦确定，则它的不定性就该 给定，而不能随划分精度的变化而变化。第二，由于信息量的概 念是不定度的解除量，如果在相同划分精度下，再讨论两者之差 时,H()将会消失。所以我们可看到仅从Hc(X)上就可真正反映出 信息的全部属性 (包括非负性) 。因此，我们只要相对熵的定义就 足够了。同时我们也能给出两个连续变量的互信息问题：
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第三章：连续信源的信息熵
§3. Entropy of Continuous Source
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7 连续信源的离散化 随机变量的相对熵 相对熵的性质 常见几种概率密度下的相对熵 连续信源的最大熵定理 平稳高斯随机过程的信息熵与互信息 熵功率与功率不等式
Ry Rx R y
H c ( X ) H c (Y X )
§3. 3 相对熵的性质
and Hc ( X ) Hc ( X Y ) p ( x ) log p( x )dx
序列熵的表达类型
第三章. 连续信源的信息熵
§3. 2 连续变量的相对熵
( The differential entropy of Continuous random Variable)
一个连续变量总可以采用数字量化的方式简化成一个离散变量 来近似，而且量化单位越小则所得的离散变量就越接近那个连续变 量。因此我们针对连续变量的概率统计规律——概率分布密度函数 ( probability density function)也可采用上述近似方法。
j i

lim H n ( X Y ) n
0 def
q( y ) p ( x
y ) log p( x y )dxdy lim log n
0
Rx R y
H c ( X Y ) H ()
then :
I ( X ;Y ) H ( X ) H ( X Y ) lim H n ( X ) lim H n ( X Y ) H c ( X ) H c ( X Y )
ai
消息 事件
X
随机 变量
X
随机 序列
H (X ) HL (X ) H H m 1
X (t , )
随机 过程

自信息
I (ai )
H (X )
信息熵

H X (t , )
随机过程的熵
任何处理过程总要丢失信息， 最多保持不变。所以简化处理就 H1 H ( X ) 得付出代价即：容忍信息的丢失， H 0 log n 除非正交变换和极限处理。
§3. 2 连续变量的相对熵
因为对于一个连续变量, 它的取值有无穷多个, 无论它取任何 值，其随机事件所对应的不定度一定是无穷大量。而对熵来说， 应是这个随机事件集合的平均值, 既然每一个事件的自信息都是 无穷大, 则它的集合平均值也应是无穷大才对。又因为从绝对的 观点来看, 每一个连续信源的平均不定度都是无穷大，那么这个 熵的价值也就无意义了。但是再仔细分析一下, 上式中只有H() 项才与划分精度有关, 这说明只有此项能反映人为地利用离散模 式向连续型逼近的近似程度。换句话说, 这仅是强加上的人为因 素，并不代表事物原有的客观属性。比如, 对于同样概率分布的 随机变量x，如果仅划分精度不同时, 可取1 ，2代表两种划分 精度，则我们所得到的熵的表达式：
p1 , p2 , , pn
而连续信源是指信源所发出的消息都是由一个个随机 过程( stochastic process)所形成。如：语音信号 X (t , ) 它不仅幅度上，而且在时间上也都是 连续的，即分别属 于一个无限的集合之中。
§3. 1 连续信源的离散化
因此，我们所研究的问题就复杂了，然而任何复杂 的问题都可以分解成比较简单的问题分步解决。故通 常我们有一些处理连续变量的方法。
F ( x)
def

x
f (t )dt P( x)
def x

p(t)dt
p ( x) f ( x)
where : F ( x ) P( x ),为概率分布函数。 f ( x ) p( x ), 为概率分布密度。 P ( x b)
def


b
f ( x )dx p( x ) dx 1
H c ( XY )
p( xy) log p( xy)dxdy p ( x) p( y
x) log p ( y x)dxdy
Rx Ry
H c (Y X )
Rx Ry
and
I ( X ;Y )

Rx R y
p( xy ) p( xy ) log dxdy p( x ) p( y )
H n1 ( X ) p( x) log p( x) dx H ( 1 )
R
H n2 ( X ) p( x) log p( x) dx H ( 2 )
R
§3. 2 连续变量的相对熵
可见只有H()不同，因此我们说：能真正反映连续信源的客 观属性的应该是第一项，而不是第二项。对于后者我们称之为— —绝对熵(absolute entropy) ；而对于前者我们称之为——相对熵 (differential entropy) 。 def H c ( X ) p( x ) log p( x )dx
§3. 2 连续变量的相对熵
先定义连续变量的条件熵：H c ( X Y )
p( x )dx 1;
Rx j
q( y )dy 1;
Ry i
p( x
Rx
y )dx 1;
then : H n ( X Y ) q( y j ) p( x y j ) log p( x y j ) q( y j ) p( x y j ) log p( x y j ) log
0 0
§3. 2 连续变量的相对熵
可见当两个连续变量之间的互信息，实际上就是两熵之差， 经绝对熵的相互抵消后，就剩下相对熵之差了。所以相对熵则 完全反映出信息的基本属性。所谓“相对”一词也是由此而来。 注：相对熵的定义与离散信源的信息熵有着明显的差别， 即这种相对熵仅代表连续变量的相对平均不定度。 同理，也有如下的相对熵的定义：
p( xy ) log p( xy)dxdy
x ) log[ p( x) p( y x)]dxdy x) log p( y x) dxdy
Rx R y
p( x ) p( y
1
Rx
Rx R y
x p( y ‖ )dy p( x) log p( x)dx p( x) p( y
第三章. 连续信源的信息熵
§3. 1 连续信源的离散化 ( Discretization of Continuous Source)
我们前面所介绍的信源均指离散信源，即信源所发 的消息都是由符号或符号序列所组成； 而且每一个符号 a1 , a2 , , an 的取值都属于一个有限元素组成的集合之中。 x A finite symbol or sequence
H c ( X ) H ()
def b
信息散度 D( p//q ) (relative entropy)
称为相对熵 Differential entropy 称为绝对熵 absolute entropy
where : and
பைடு நூலகம்
H c ( X ) p( x ) log p( x )dx
def
p( x )dx p( xi )
Δ a 0
ba where : ; i 1, 2, n n xi a (i 1) , a i Then : 按积分中值定理上式一定成立。
n n
xi
b
x
H n ( X ) pi log pi pn ( xi ) log pn ( xi ) pn ( xi ) log pn ( xi )