2017年高考数学试题分项版—数列(解析版)

2017年高考数学试题分项版—数列（解析版）

一、选择题

1．(2017·浙江，6)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

1．【答案】C

【解析】方法一∵数列{a n}是公差为d的等差数列，

∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，

∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.

若d＞0，则21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，

即S4＋S6＞2S5.

若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，

即21d＞20d，

∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充分必要条件．

故选C.

方法二∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0.

∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充分必要条件．

故选C.

2．(2017·全国Ⅰ理，4)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为()

A．1 B．2 C．4 D．8

2．【答案】C

【解析】设{a n }的公差为d ，

由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，

解得d ＝4.故选C.

3．(2017·全国Ⅰ理，12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )

A ．440

B ．330

C ．220

D ．110

3．【答案】A

【解析】设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推．则

第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (1＋n )2

. 由题意知，N >100，令n (1＋n )2

>100⇒n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后． 第n 组的各项和为1－2n

1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2(1－2n )1－2

－n ＝2n ＋1－2－n . 设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则N －n (1＋n )2

项的和即第n ＋1组的前k 项的和2k －1应与－2－n 互为相反数，即2k －1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n

＋3)⇒n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝29×(1＋29)2

＋5＝440.故选A. 4．(2017·全国Ⅱ理，3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

4．【答案】B 【解析】设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ， 则由题意知S 7＝381，q ＝2，

∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2

＝381，解得a 1＝3.故选B. 5．(2017·全国Ⅲ理，9)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( )

A ．－24

B ．－3

C ．3

D ．8

5．【答案】A

【解析】由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，

由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )， 解得d ＝－2.

所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2

＝－24. 故选A.

二、填空题

1．(2017·江苏，9)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634

，则a 8＝________.

1．【答案】32

【解析】设{a n }的首项为a 1，公比为q ，

则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 3)1－q

＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝14，q ＝2，

所以a 8＝14

×27＝25＝32 2．(2017·全国Ⅱ理，15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则11n

k k S ==∑________. 2．【答案】2n n ＋1

【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，则

由⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝1，d ＝1. ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2

， 1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭

⎫1n －1n ＋1. ∴11n

k k S ==∑1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝2⎝⎛⎭

⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.

3．(2017·全国Ⅲ理，14)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.

3．【答案】－8

【解析】设等比数列{a n }的公比为q .

∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，

∴a 1(1＋q )＝－1，①

a 1(1－q 2)＝－3.②

②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2.

∴a 1＝1，