6弯曲变形

Fb 3 Fb 3 a C1 a a C 2a D2 6l 6l
D2 0
dx1 2l Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 CB 段 ： ( a x l ) 2 6l dw2 Fb 2 F EI x2 ( x2 a )2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x2 ( x2 a )3 C 2 x2 D2 6l 6
CB段 (a x2 l ) ：
A B B dw1 Fb 2 EI x1 C1 A x dx1 2l FRA wmax FRB Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 x1 6l x2
AC段 (0 x1 a ) ：
w
F D C
a
b
dx1 2l Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 CB 段 ： ( a x l ) 2 6l dw2 Fb 2 F EI x2 ( x2 a )2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x2 ( x2 a )3 C 2 x2 D2 6l 6
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都 是最大值: 3
max
ql A B 24 EI
例6.3 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大挠 度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。 解 由梁整体平衡分析得： F Fb Fa w FRA , FRB A D C B B l l AC段 (0 x1 a ) ： A x FRA Fb FRB w max M x1 FRA x1 x1 x 1 l 2 x2 d w1 Fb
5、确定积分常数 x 0, w 0 : D 0 : Mel M 2 e x l, w 0 : 0 l Cl C 6 EI 6 EI Me Me x 2 2 2 2 (3 x l ) w (x l ) 6 EIl 6 EIl 6、计算梁的最大挠度
AC段 (0 x1 a ) ： EI dw1 Fb x 2 C 1 1
x1 0, w1 0 : D1 0 : 连续光滑条件： x1 x2 a : dw1 dw2 , w1 w2 dx1 dx2 Fb 2 Fb 2 C1 C2 a C1 a C2 2l 2l
AC段 (0 x1 a ) ： EI dw1 Fb x 2 C 1 1
x1 0, w1 0 : D1 0 : 连续光滑条件： dw1 dw2 x1 x2 a : , w1 w2 dx1 dx2 C1 C 2 D2 0 x2 l , w2 0 :
Up
Down
第六章
弯曲变形
Rest
Up
Down
§6.1
工程中的弯曲变形问题
1.轴向拉（压）－轴力FN F 2.圆轴扭转－扭矩T
Me
F
Me
3.弯曲变形－－?? 挠度和转角
Rest
“梁”是否满足了强度条件：
σmax≤[σ]；τmax≤[τ]
就可以保证其正常工作吗 ?
“齿轮”能否正常工作 ?
“齿轮啮合”模拟
B
“叠加法” 来计算： A
F
C
B
L/2
L/2
B
例6.4 用叠加法求图示简支梁中点C 的 挠度。 F
CB段 (a x2 l ) ：
A dw1 Fb 2 B B EI x1 C1 A x dx1 2l FRA wmax FRB Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 x1 6l x2
AC段 (0 x1 a ) ：
w
F D C
Fb M x2 FRA x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ) l 2 d w2 Fb EI x2 F ( x2 a ) 2 dx2 l dw2 Fb 2 F EI x2 ( x2 a )2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x2 ( x2 a )3 C 2 x2 D2 6l 6
如果a>b，则最大挠度发生在AC段：
dw1 Fb 2 EI ( 3 x1 l 2 b2 ) 0 dx1 6l 2
Fbx1 2 2 EIw1 ( l b 2 x1 ) 6l Fb 2 l 2 2 3 EIw2 [( l b x2 ) x2 ( x2 a ) ] 6l b
(挠度方程) C、D为积分常数。
Rest
确定积分常数：用边界条件和连续光滑条件
θA = ωA = 0
A
A
ω A = ωB = 0 q
θB左 =θB右
B
C
ωA =ωB = 0
B
A
Up Down 工件和镗床： 例6.1 等截面悬臂梁，梁的抗弯刚度为EI，求 梁的转角方程、挠度方程，及θmax, wmax。 x F A l B
习题6.4（a）
w
A
x l
Me
x
B
FAy
Me 2 2 (3 x l ) 6 EIl Me x 2 2 w (x l ) 6 EIl
Me dw 2 2 6、计算梁的最大挠度 (3 x l ) 0 dx 6 EIl
l x0 时w有极值，且这一极值为 3 Mel 2 w极 值 ( ) 9 3 EI
wB ( F1 , F2 , , Fn ) wB ( F1 ) wB ( F2 ) wB ( Fn )
叠加法适合： 1.叠加法适用于求梁特定截面的挠度或转角值； 2.梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或
有变形表可查。
例6.4 用叠加法求图示简支梁中点C 的 挠度。 F q 分析： 该简支梁上同时 A L/2 C L/2 作用有两类载荷： q q 和 F 。 A 所以使用 L/2 C L/2
dx EIl Me 2 dw x C dx 2 EIl
2
FAy
FAy M e / l
M e FAy l 0

x
Me 3 w x Cx D 6 EIl
5、确定积分常数
习题6.4（a）
w
A
x l
Me
FAy
Me 2 dw x C dx 2 EIl x Me 3 B w x Cx D 6 EIl
Fbl 2 Fb3 C2l 0 6 6
Fb 2 2 C2 ( l b ) C1 6l
Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 6l Fb 3 F EIw2 x2 ( x2 a )3 C 2 x2 D2 6l 6 Fb 2 2 C ( l b ) C1 D1 0 : D2 0 2 6 EIl
dx l dw1 Fb 2 Fb 3 EI x1 C1 EIw1 x1 C1 x1 D1 dx1 2l 6l EI
2 1

x1
a
b
CB段 (a x2 l ) ：
Fb M x2 FRA x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ) l
§6.4 用叠加法求弯曲变形 叠加法的前提条件： 1）小变形； 2）线弹性范围工作。
因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关 系，可用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠 度和转角。
叠加原理：各载荷同时作用下，梁任一截面的挠 度或转角，等于各载荷分别单独作用下同一梁同 一截面挠度或转角的代数和。
B (F1 , F2 , , Fn ) B (F1 ) B (F2 ) B (Fn )
7-2
Up
Down
A y x
C
B
挠度w B´ C´
x
挠度和转角的正负号规定： 向上的挠度w为正；逆时针的转角θ为正； 反之为负。
Rest
§6.2 挠曲线的微分方程
推导纯弯曲弯曲正应力时，得到：
忽略剪力对变形的影响， 1 M ( x) 对于非纯弯曲有： 2 d w ( x) EI z 2 1 dx 3 ( x) dw 2 2 [1 ( ) ] dx 2 dw d w 对于小变形 1 2 M ( x) dx dx 3 2 d w M ( x) dw 2 2 EI z 2 [1 ( ) ] dx EI z dx
A x FRA l
B FRB
D0
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 C 24
ql 2 q 3 ql 3 ql 3 q 4 ql 3 EIw x x EIw x x x 4 6 24 12 q 24 24 最大挠度和最大转角分 A B 别为: A 4 w max B l 5ql wmax w( ) l 2 384 EI
M EI z
1
d w M ( x) 2 dx EI z
曲线向下凸时: 曲线向上凸时:
2
w
M
M
d 2w M ( x) 2 dx EI z
w
M
M 0 w 0
M
O
M 0 w 0
x
x
O
§6.3 用积分法求弯曲变形
Up
Down
( 挠曲线的近似微分方程) 1)积分一次： (转角方程) 2)再积分一次：
挠度w：截面形心在垂直于梁轴方向的位移。 转角θ：横截面绕中性轴转过的角度。 转角 y 挠曲线
w

x
x
挠曲线方程：
w w( x )
dx
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计. dw 挠度转角关系为： 转角方程 tan w向上为正,向下为负。 θ:从x轴逆时针转向切线为正，反之为负。
如果a>b，则最大挠度发生在AC段：
w极 值
9 3 EIl
( )
x1
a
x2
b
如果a=b=l/2，则最大挠度发生在梁的中点，此时 Fl 3 w极 值 ( ) 48 EI
习题6.4（a）
习题6.4（a）
w
A
x l
Me
M
x
B
解：1、计算支座反力
B
(F ) 0 :
2、求弯矩方程 3、建立挠曲线近似微分方程 M F x M e x Ay 2 l d w Me 4、积分
极值时的x0
l b 3
2
Fbx1 2 2 EIw1 ( l b 2 x1 ) 6l
dw1 Fb 2 EI ( 3 x1 l 2 b2 ) 0 dx1 6l w F 2 2 l b A D C B B 极值时的x0 3 A x FRA Fb( l 2 b 2 )3 / 2 wmax FRB
a
b
dw2 Fb 2 F EI x2 ( x2 a )2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F 3 EIw2 x2 ( x2 a ) C 2 x2 D2 6l 6 确定4个积分常数： x1 0, w1 0 : D1 0 : 连续光滑条件： x1 x2 a : dw1 dw2 , w1 w2 dx1 dx2
D0 x 0时有w 0： ql 4 ql 4 ql 3 x l时有w 0： Cl 0 C
12 24 24
ql 2 q 3 ql 3 EIw x x 4 6 24
ql 3 q 4 ql 3 EIw x x x 12 24 24 q
解：1.列弯矩方程： 2.挠曲线近似微分方程： 3.积分：
Rest
A
x
F
Up
Down
l
B
4.确定积分常数：
Leabharlann Baidu
Rest
例6.2 试用积分法求受均布荷载作用的简支梁 的弯曲变形。 q 解:由对称性可知,梁 的两个支反力为 B A ql x l FRA FRB 2 FRA FRB ql q 2 ql 2 q 3 M ( x) x x EIw x x C 2 2 4 6 ql q 2 EIw ql x 3 q x 4 Cx D EIw x x 12 24 2 2