中考数学教学指导：中考数学中的“新定义”
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∵∠ ABC=90 ° ∠ DAB=60 °． ∴∠ E=30 °． ∵AB=5 ∴ AE=10 ∴ DE=AE 一 AD=10 —4=6 在 Rt △ CDE 中，∠ EDC=90 °，∠ E=30 °，故 CE=2CD ．
3
根据勾股定理，得 CD 2 DE 2 CE 2 ， 即 CD 2 62 (2CD) 2 ，解得 CD= 2 3 在 Rt △ACD 中，根据勾股定理，得 AD 2 CD 2 AC2 ，即 42 (2 3)2 AC2 ，解 得 AC 2 7
分析及解答本题涉及到无理数的估算，∵ 9<13<16 ，∴ 3< 13 <4 ，∴ 2< 13 1<3，∴
[ 13 1]=2 ．故应填 2．
二、定义新数
例 2 定义 [ a, b, c ]为函数 y ax2 bx c 的特征数． 下面给出特征数为 [2m，1 一 m，一 1
一 m] 的函数的一些结论：
∵∠ BCD=60 ° ,tan∠BCD=tan60 ° = DF CF
3
，
CF
∴ CF= 3 ．∴ BC=BF+CF= 2 3 3 3 3
在 Rt △ ABC 中．∴ AB2 BC 2 AC 2 ，即 52 (3 3) 2 AC 2 ，故 AC= 2 13
例 5 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条
中考数学中的“新定义”
近年来的中考试题中， “新定义”的题目频频出现．此类题目的解决，可以很好地体现 学生的临场发挥能力和知识的迁移能力．现结合具体题目加以分析．
一、定义新符号
例 l.规定用符号 [ ]表示一个实数的整数部分， 例如 [3 ．69]=3 ，[ 3 ]=l ，按此规定 [ 13 1]=
对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
(2)如图 6，将△ ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60°得到
△ DBE ，连接 AD ， DC， CE，已知∠ DCB=30 °．
①求证： ABCE 是等边三角形；
②求证： DC 2 BC 2 AC 2 ，即四边形 ABCD 是勾股四边形．
，点
A2014 的坐标为
；若点 A1 的坐标为 ( a, b )，对于任意的正整数 n ，点 An 均在 x 轴上方，
则 a, b 应满足的条件为
，
分析及解答
本题涉及到不等式的解法， 规律探索依题意知点 A1 的坐标为 (3，1)，不
难求出 A2 (O ， 4)， A3( 一 3， 1)， A4 (0 ，一 2)， A5 (3， 1)， , 可知周期是 4．因为 2014=
答： (1)如图 1，在等对角四边形 ABCD 中，由于∠ A ≠∠ C，故∠ D= ∠B=80 °， ∴∠ C=360° ∠ A ∠ B ∠ D=360 ° 70° 80° 80°=130°． (2)①如图 2，连接 BD ．
∵ AB=AD ．∴∠ ABD= ∠ADB ． ∵∠ ABC= ∠ ADC ∴∠ ABC 一∠ ABD= ∠ ADC —∠ ADB ， 即∠ CBD= ∠ CDB ．∴ CB=CD ． ②不正确． 反例：如图 3，∠ A= ∠C=90 °， AB=AD ，而此时 BC≠ CD ． (3)(I) 如图 4，当∠ ABC= ∠ ADC=90 °时，不妨延长 BC ， AD 相交于点 E．
(2) 在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形 ABCD ” (如图 2)，其中∠ ABC= ∠ ADC ， AB=AD ，此 时她发现 CB=CD 成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想： “对于任意‘等对角四边形’ ，当一组邻边相等时，另一组邻边也相 等”．你认为她的猜想正确吗 ?若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
a 0< b <2，故答案依次填： A3 (一 3，1) ； A2014 (0， 4)；一 1< <l ， 0< b <2 ．
(2) 定义新四边形——“等对角四边形”和“勾股四边形”
例 4 类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫 做“等对角四边形” ．
(1) 已知：如图 1，四边形 ABCD 是“等对角四边形” ，∠ A ≠∠ C，∠ A=70 °∠ B=80 °．求 ∠C，∠ D 的度数．
分析 (1)依据定义和所学过的特殊四边形，不难找到，有矩形、正方形、直角梯形，从中
选出两个即可；
(2)①需要依据旋转的性质得出△ ABC ≌△ BDC ，进而得到 BC=BE ， AC=DE ，再得出
4
△ BCE 为等边三角形；
②利用等边三角形的性质，进一步求得∠ DCE=90 °，从而得出△ DCE 是直角三角形， 问题迎刃而解．具体过程略．
18 ①当 m= 一 3 时，函数图象的顶点坐标是 ( , )；
33 ②当 m>0 时，函数图象截 x 轴所得线段的长度大于 3 ；
2 ③当 m<0 时，函数在 x> 1 时， y 随 x 的增大而减小；
4
④当 m≠ O 时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论是
( )．
A ．①②③④
B ．①②④
C．①③④
你求出相应的 d 的值．
分析及解答
1 (1)直接代人即可． b ．
4
(2) 由(1) 得 y
1 x
1 ，又∵ B1 (1, y1) 在直线 l 上
34
1 17
7
∴当 x 1 时． y1
1
∴ B1(1, )
3 4 12
12
5
∵ x1 d ∴ A1(d,0), A2 (2 d,0) ．设 y a( x d ) ( x 2 d)( a 0)
把
7 B1(1,12 ) 代入
7 12
a(1 d ) (1 2 d ) ，得 a
7 12( d
1)2
，
∴抛物线的解析式是 y
7 2 (x d) (x 2 d)
12( d 1)
(3) 存在．
由抛物线的对称性知， 所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三
角形，∴由等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半．又∵
(3) 定义新函数图象
例 6 已知：如图
7 ，直线 l : y
1 x
Baidu Nhomakorabea
b 经过点
1
M(o ， )，一组抛物线的顶点
3
4
B1, B2, B3, , Bn (n 为正整数 ) 依次是直线 l 上的点，这组抛物线与 x 轴正半轴的交点依次
是： A1(x1,0), A2 (x2,0), A3 (x3,0), , An 1( xn 1,0) (n 为正整数 )，设 x1 d (0 d 1) ．
(1) 求 b 的值；
(2) 求经过点 A1、B1、A2 的抛物线的解析式 (用含 d 的代数式表示 )；
(3) 定义：若抛物线的顶点与 x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物
线就称为：“美丽抛物线” ．
探究：当 d (0 d 1) 的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线
?若存在，请
B1(1, ) ，则 d 12
1 12
；
12
②若 B2 为顶点，由 B2 (2, 11) ，则 d 1 (2 11) 1
12
12
11 ． 12
由上知， d 的值为 5 或 11 时，存在美丽抛物线． 12 12
6
(3) 已知：在“等对角四边形” ABCD 中，∠ DAB=60 °，∠ ABC=90 °，AB=5 ，AD=4 ．求 对角线 AC 的长．
2
分析及解答 (1)利用“等对角四边形”的定义加以解决； (2) ①利用等腰三角形的判定和性质证明；②利用画图找反例，一目了然； (3)应分类讨论： ①如图 4 若∠ ABC= ∠ADC=90 °；②如图 5，若∠ BCD= ∠ BAD=60 °．两 种情况加以讨论．具体解答如下：
D ．②④
分析及解答不妨把 m= 一 3 代入知道， a = 一 6， b =4， C=2，
y 6x2 4x 2 6( x 1)2 3
选项 D ；由于当 m<0 时，对称轴 x
8
，所以函数图象的顶点坐标是
3
18 ( , )．①正确排除
33
b
1 m 大于 1 ，所以③错误，排除 A 、C．综
2a
4m
4
0 d 1等腰直角三角形斜
边的长小于 2,∴等腰直角三角形斜边上的高一定小于 1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1．
∵当 x 当x 当x
1 时， y1 2 时， y2 3 时， y3
1 17
1
1，
3 4 12
1
1 11
2
1
3
4 12
1 11
3
11
3 44
∴美丽抛物线的顶点只有 B1、B2 ．
7
75
①若 B1为顶点，由
上可知，故选 B ．
三、定义新图形
(1) 定义新点
例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P ( x, y) ，我们把点 P ( y 1, x 1) 叫做点 P 的伴
1
随点．已知点 A1 的伴随点为 A2 ，点 A2 的伴随点为 A3 ，点 A3 的伴随点为 A4 ， , 这样依次
得到点 A1, A2 , A3, An ．若点 A1 的坐标为 (3，1) ，则点 A3 的坐标为
503× 4+2 ，故知点 A2014 的坐标为 (0，4)．若点 A1 的坐标为 ( a, b )，对于任意的正整数 n ，点
An 均在 x 轴上方，则 A2 ( b 1, a 1) ， A3 ( a, b 2) ， A4 (b 1, a 1) ．因为点 An 的
a 纵坐标都大于零，即列不等式组： b >0， a +1>0 ，一 b +2>0 ，一 +1>0 ，解得一 1< a <l ，
(II) 如图 5，当∠ BAD= ∠ BCD=60 °时，过点 D 作 DE⊥ AB ，DF⊥ BC ， 垂足分别为点 E， F
∵ DE⊥ AB ，∠ BAD=60 °， AD=4 ，知∠ EDA=30 °，
∴ AE=2 ．DE =∴ BE=AB — AE=5 — 2=3 ．
∵四边形 DFBE 是矩形．∴ DF=BE=3 ， BF=DE= 2 3 ．
3
根据勾股定理，得 CD 2 DE 2 CE 2 ， 即 CD 2 62 (2CD) 2 ，解得 CD= 2 3 在 Rt △ACD 中，根据勾股定理，得 AD 2 CD 2 AC2 ，即 42 (2 3)2 AC2 ，解 得 AC 2 7
分析及解答本题涉及到无理数的估算，∵ 9<13<16 ，∴ 3< 13 <4 ，∴ 2< 13 1<3，∴
[ 13 1]=2 ．故应填 2．
二、定义新数
例 2 定义 [ a, b, c ]为函数 y ax2 bx c 的特征数． 下面给出特征数为 [2m，1 一 m，一 1
一 m] 的函数的一些结论：
∵∠ BCD=60 ° ,tan∠BCD=tan60 ° = DF CF
3
，
CF
∴ CF= 3 ．∴ BC=BF+CF= 2 3 3 3 3
在 Rt △ ABC 中．∴ AB2 BC 2 AC 2 ，即 52 (3 3) 2 AC 2 ，故 AC= 2 13
例 5 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条
中考数学中的“新定义”
近年来的中考试题中， “新定义”的题目频频出现．此类题目的解决，可以很好地体现 学生的临场发挥能力和知识的迁移能力．现结合具体题目加以分析．
一、定义新符号
例 l.规定用符号 [ ]表示一个实数的整数部分， 例如 [3 ．69]=3 ，[ 3 ]=l ，按此规定 [ 13 1]=
对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
(2)如图 6，将△ ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60°得到
△ DBE ，连接 AD ， DC， CE，已知∠ DCB=30 °．
①求证： ABCE 是等边三角形；
②求证： DC 2 BC 2 AC 2 ，即四边形 ABCD 是勾股四边形．
，点
A2014 的坐标为
；若点 A1 的坐标为 ( a, b )，对于任意的正整数 n ，点 An 均在 x 轴上方，
则 a, b 应满足的条件为
，
分析及解答
本题涉及到不等式的解法， 规律探索依题意知点 A1 的坐标为 (3，1)，不
难求出 A2 (O ， 4)， A3( 一 3， 1)， A4 (0 ，一 2)， A5 (3， 1)， , 可知周期是 4．因为 2014=
答： (1)如图 1，在等对角四边形 ABCD 中，由于∠ A ≠∠ C，故∠ D= ∠B=80 °， ∴∠ C=360° ∠ A ∠ B ∠ D=360 ° 70° 80° 80°=130°． (2)①如图 2，连接 BD ．
∵ AB=AD ．∴∠ ABD= ∠ADB ． ∵∠ ABC= ∠ ADC ∴∠ ABC 一∠ ABD= ∠ ADC —∠ ADB ， 即∠ CBD= ∠ CDB ．∴ CB=CD ． ②不正确． 反例：如图 3，∠ A= ∠C=90 °， AB=AD ，而此时 BC≠ CD ． (3)(I) 如图 4，当∠ ABC= ∠ ADC=90 °时，不妨延长 BC ， AD 相交于点 E．
(2) 在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形 ABCD ” (如图 2)，其中∠ ABC= ∠ ADC ， AB=AD ，此 时她发现 CB=CD 成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想： “对于任意‘等对角四边形’ ，当一组邻边相等时，另一组邻边也相 等”．你认为她的猜想正确吗 ?若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
a 0< b <2，故答案依次填： A3 (一 3，1) ； A2014 (0， 4)；一 1< <l ， 0< b <2 ．
(2) 定义新四边形——“等对角四边形”和“勾股四边形”
例 4 类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫 做“等对角四边形” ．
(1) 已知：如图 1，四边形 ABCD 是“等对角四边形” ，∠ A ≠∠ C，∠ A=70 °∠ B=80 °．求 ∠C，∠ D 的度数．
分析 (1)依据定义和所学过的特殊四边形，不难找到，有矩形、正方形、直角梯形，从中
选出两个即可；
(2)①需要依据旋转的性质得出△ ABC ≌△ BDC ，进而得到 BC=BE ， AC=DE ，再得出
4
△ BCE 为等边三角形；
②利用等边三角形的性质，进一步求得∠ DCE=90 °，从而得出△ DCE 是直角三角形， 问题迎刃而解．具体过程略．
18 ①当 m= 一 3 时，函数图象的顶点坐标是 ( , )；
33 ②当 m>0 时，函数图象截 x 轴所得线段的长度大于 3 ；
2 ③当 m<0 时，函数在 x> 1 时， y 随 x 的增大而减小；
4
④当 m≠ O 时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论是
( )．
A ．①②③④
B ．①②④
C．①③④
你求出相应的 d 的值．
分析及解答
1 (1)直接代人即可． b ．
4
(2) 由(1) 得 y
1 x
1 ，又∵ B1 (1, y1) 在直线 l 上
34
1 17
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∴当 x 1 时． y1
1
∴ B1(1, )
3 4 12
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5
∵ x1 d ∴ A1(d,0), A2 (2 d,0) ．设 y a( x d ) ( x 2 d)( a 0)
把
7 B1(1,12 ) 代入
7 12
a(1 d ) (1 2 d ) ，得 a
7 12( d
1)2
，
∴抛物线的解析式是 y
7 2 (x d) (x 2 d)
12( d 1)
(3) 存在．
由抛物线的对称性知， 所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三
角形，∴由等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半．又∵
(3) 定义新函数图象
例 6 已知：如图
7 ，直线 l : y
1 x
Baidu Nhomakorabea
b 经过点
1
M(o ， )，一组抛物线的顶点
3
4
B1, B2, B3, , Bn (n 为正整数 ) 依次是直线 l 上的点，这组抛物线与 x 轴正半轴的交点依次
是： A1(x1,0), A2 (x2,0), A3 (x3,0), , An 1( xn 1,0) (n 为正整数 )，设 x1 d (0 d 1) ．
(1) 求 b 的值；
(2) 求经过点 A1、B1、A2 的抛物线的解析式 (用含 d 的代数式表示 )；
(3) 定义：若抛物线的顶点与 x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物
线就称为：“美丽抛物线” ．
探究：当 d (0 d 1) 的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线
?若存在，请
B1(1, ) ，则 d 12
1 12
；
12
②若 B2 为顶点，由 B2 (2, 11) ，则 d 1 (2 11) 1
12
12
11 ． 12
由上知， d 的值为 5 或 11 时，存在美丽抛物线． 12 12
6
(3) 已知：在“等对角四边形” ABCD 中，∠ DAB=60 °，∠ ABC=90 °，AB=5 ，AD=4 ．求 对角线 AC 的长．
2
分析及解答 (1)利用“等对角四边形”的定义加以解决； (2) ①利用等腰三角形的判定和性质证明；②利用画图找反例，一目了然； (3)应分类讨论： ①如图 4 若∠ ABC= ∠ADC=90 °；②如图 5，若∠ BCD= ∠ BAD=60 °．两 种情况加以讨论．具体解答如下：
D ．②④
分析及解答不妨把 m= 一 3 代入知道， a = 一 6， b =4， C=2，
y 6x2 4x 2 6( x 1)2 3
选项 D ；由于当 m<0 时，对称轴 x
8
，所以函数图象的顶点坐标是
3
18 ( , )．①正确排除
33
b
1 m 大于 1 ，所以③错误，排除 A 、C．综
2a
4m
4
0 d 1等腰直角三角形斜
边的长小于 2,∴等腰直角三角形斜边上的高一定小于 1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1．
∵当 x 当x 当x
1 时， y1 2 时， y2 3 时， y3
1 17
1
1，
3 4 12
1
1 11
2
1
3
4 12
1 11
3
11
3 44
∴美丽抛物线的顶点只有 B1、B2 ．
7
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①若 B1为顶点，由
上可知，故选 B ．
三、定义新图形
(1) 定义新点
例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P ( x, y) ，我们把点 P ( y 1, x 1) 叫做点 P 的伴
1
随点．已知点 A1 的伴随点为 A2 ，点 A2 的伴随点为 A3 ，点 A3 的伴随点为 A4 ， , 这样依次
得到点 A1, A2 , A3, An ．若点 A1 的坐标为 (3，1) ，则点 A3 的坐标为
503× 4+2 ，故知点 A2014 的坐标为 (0，4)．若点 A1 的坐标为 ( a, b )，对于任意的正整数 n ，点
An 均在 x 轴上方，则 A2 ( b 1, a 1) ， A3 ( a, b 2) ， A4 (b 1, a 1) ．因为点 An 的
a 纵坐标都大于零，即列不等式组： b >0， a +1>0 ，一 b +2>0 ，一 +1>0 ，解得一 1< a <l ，
(II) 如图 5，当∠ BAD= ∠ BCD=60 °时，过点 D 作 DE⊥ AB ，DF⊥ BC ， 垂足分别为点 E， F
∵ DE⊥ AB ，∠ BAD=60 °， AD=4 ，知∠ EDA=30 °，
∴ AE=2 ．DE =∴ BE=AB — AE=5 — 2=3 ．
∵四边形 DFBE 是矩形．∴ DF=BE=3 ， BF=DE= 2 3 ．