和差角公式

细节决定成功，点滴铸就辉煌，抓住基础知识，成就您的目标 第二讲 三角恒等变换

一、高考目标分析

考查利用两角和差、二倍角公式等知值求值

二、知识梳理

1．(1)两角和与差的余弦

cos(α＋β)＝ ，cos(α－β)＝ .

(2)两角和与差的正弦

sin(α＋β)＝ ，sin(α－β)＝ .

(3)两角和与差的正切

tan(α＋β)＝ ，tan(α－β)＝_________________.

(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2

，k ∈Z) 其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，

tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α= ；cos2α= = = tan2α= ；

3．辅助角公式

()sin cos sin a x b x x ϕ+=+,其中角ϕ称为辅助角．

4.同角基本关系: 22

sin cos 1αα+= 三、例题选讲

探究点一：给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)

例1．（1）已知)2

3,(,43cos ),,2(,32sin ππββππαα∈-=∈=，求)sin(βα-，)cos(βα+，)tan(βα-。

（2）已知0<β<π4<α<3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513

，求sin(α＋β)的值．

变式迁移1：（1）已知3sin 5α=-

，α是第四象限角，求sin()4πα-，cos()4πα+，tan()4

πα-的值。

（2）(2011·广州模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12. ①求tan α的值；②求sin α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos α＋β

的值．

探究点二：给角求值问题（公式的逆用、变形应用）

例2．求值：

(1)cos 24cos36sin 24cos54︒︒︒︒

-(2)1tan 751tan 75︒

︒+-(3) cos74sin14sin 74cos14︒︒︒︒-

变式迁移2：求值：(1)；tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒++

(2)若34

παβ+=

，求(1tan )(1tan )αβ--

探究点三：三角函数性质问题（利用公式研究三角函数性质）

例3.已知函数()2cos 2f x x x =-，求（1）函数()f x 的最小正周期；

（2）函数()f x 的单调递增区间。

变式迁移3：(06.广东.文)已知函数()sin sin(),2f x x x x R π

=++∈

(1) 求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的的最大值和最小值；

(3.改编)函数()f x 的单调递减区间。

四、课后作业

1．(2010·福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )

A.12

B.33

C.22

D.32

2．函数f(x)＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是 ( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π

3．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是 ( )

A ．x ＝5π4

B ．x ＝3π4

C ．x ＝－π4

D ．x ＝－π2

4．设sin α＝35 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________. 5．(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且sin(α＋β)＝45，cos β＝－513.求sin α；