解三角形复习(一)

当x [0, ]时, 2x 5 , 1 sin( 2x ) 1,
6 3 6 62
36
所以f (x)的最小值为m.依题意, m 0.
所以f (x) 2sin( 2x ) 1. 6分 36
（II） f (C) 2sin( 2C ) 1 1,sin( 2C ) 1.
∠C=60o
例6
已知函数 f (x) 3 sin(x) 2 sin 2 x m( 0)
2
的最小正周期为 3 ，且当 x [0, ]时,函数f (x) 的最小值为 0。
（I）求函数 f (x) 的表达式；
（II）在△ ABC，若 f (C) 1,且2 sin2 B cos B cos( A C),
整理得 a2 4a 3 0
解得 a=1或a=3
练习、已知在 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的 对边长，若( a b c )(sin A sin B sin C ) 2a sin B ，
则 C ＝ 90o .
变题：若是 ( a b c )(sin A sin B sin C ) 3a sin B 呢？
A的范围 A为钝角或直角
a,b关系 a＞b
a≤b a＜bsinA
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
a≥b
解的情况 一解 无解 无解 一解 两解 一解
a
b A
a b
bsinA A
例3、在ABC中，BC 5，AC 4，cos CAD 31 32
且AD BD，求ABC的面积
A
B
DC
例4、在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、
公式变形：
b2 c2 a2 cos A
2bc a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a2 b2 c2
2ab
“角化边”
解三角形问题的四种基本类型：
（1）知两角及一边： 求法：先求第三角，再用正弦定理求另外两边. （2）知两边及其中一边的对角： 求法：①先用正弦定理求剩下两角，再求第三边；
的对边，且 cos B b . cos C 2a c
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 b= 13 ，a＋c=4，求 a 的值.
（II） a c 4，故c 4 a 又 b 13, B 120 13 a2 c2 2ac cos120 a2 c2 ac a2 (a 4)2 a(a 4)
cos B b sin B cos C 2a c 2sin A sin C
即 2sin Acos B sin C cos B cos C sin B 0 2sin Acos B sin(B C ) 0
sin(B C ) sin( A) sin A
例 5、在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C
36
36
而 2C 5 ,所以 2C .解得C . 8分
6 366
3 62
2
在RtABC中, A B ,2sin 2 B cos B cos( A C), 2
2 cos2 A sin A sin A 0,解得 sin A 1 5 . 10分 2
0 sin A 1,sin A 5 1. 12分 2
09安徽
给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角为120o .
如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.
若 OC xOA yOB, 其中 x, y R ,则 x y
的最大值是________.
第一章《解三角形》复习
正弦定理及其变形：
a b c 2R sin A sin B sin C
其中，R是△ABC外接圆的半径
边化角
公式变形：a =_2_R_s_i_n_A_，b =__2_R_s_in_B__，c =_2_R_s_i_n_C__
a
b
c
sin A _2_R__, sin B _2_R__, sin C _2_R__
2
2
整理得 tan A 3
A 120
练习、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c， S是该三角形的面积，且cos 2B 2cos B 2cos2 B 0 （1）确定角B的大小
（2）若a 4, S 5 3,求b的值
思路
(1)由cos 2B 2cos B 2cos2 B 0可得 cos B 1 , 2
c，已知a>c，ab=60，sinA=cosB，且该三角形的面积
S=15，求角A的大小。
解：Q ABC的面积为S 1 ab sinC 30sinC 15
sin C 1
2
2
∵a>c ， ∴∠C为锐角，故C=30o
B 180 C A 150 A
sin A cos B cos(150 A) 3 cos A 1 sin A
另两边之比为 8：5，则这个三角形的周长为 40 。
例 2、若满足 ABC 60， A百度文库 12 ， BC k 的△ ABC
恰有一个，那么 k 的取值范围是（ D ）
A． k 8 3
B． 0 k 12
C． k 12
D． 0 k 12 或 k 8 3
已知两边及其中一边对角的三角形的解的情况：
小结论：
任意△ABC中，a : b : c =__si_n_A__:_s_in__B_:_s_i_n_C__
A B C a b c sinA > sinB > sinC
余弦定理及其变形：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
故B
3 (2)由S 1 ac sin B 5 3可得c 5,
2 故由余弦定理可得b 21
例 5、在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C
的对边，且 cos B b . cos C 2a c
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 b= 13 ，a＋c=4，求 a 的值.
解：（I）由正弦定理可得
的对边，且 cos B b . cos C 2a c
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 b= 13 ，a＋c=4，求 a 的值.
2sin Acos B sin A 0
在△ABC中，sin A 0 cos B 1 ，即B 120
2
例 5、在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C
求 sinA 的值.
【解】（I） f (x) 3 sin(x) 2 1 cos(x) m 2 sin(x ) 1 m. …2 分
2
6
依题意函数 f (x)的最小正周期为3 ,即 2 3 ,解得 2 .
3
所以 f (x) 2 sin( 2x ) 1 m. …………4 分 36
②先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （3）知两边及其夹角： 求法：先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （4）知三边： 求法：用余弦定理求三个角.
例 1、在△ABC 中，若 sin A : sin B : sin C 5 : 7 : 8 ，
则最大角与最小角之和是___1_2__0____.
拓展：三角形的一边长为 14，这条边所对的角为 60 ，