曲率半径

曲线的曲率

曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为0. 一般情形下，如图9，弧

AB 的全曲率规定为起点A 处切线方向与终点B 处切线方向的偏

差θ∆. 可是，弧CD 的全曲率与弧AB 的全曲率相同，但前者显 然比后者弯曲得更厉害一些。这就是说，弧的弯曲程度与弧本身 的长度有关。因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位 那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长 度为s ∆的弧的全曲率θ∆同弧长s ∆的比值/s θ∆∆，称为该弧的

平均曲率。它有点像质点运动的平均速度。像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限

s s s K s d d lim lim 0A B A θ

θθ=∆∆=∆∆=→∆→

定义为弧AB 在点A 处的曲率 (其中θ∆为弧AB 的全曲率,

s ∆为弧AB 的长度)。

对于半径为R 的圆周来说 (图10)，由于θ∆=∆R s ， 所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为 R

s s K s 1

d d lim 0==∆∆=→∆θθ (半径的倒数)

对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可能不尽相同，但是当弧上点A 处的曲率

0A K ≠时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A 相切 (即有公切线)

且半径1/A A R K =. 这样的圆周就称为弧上点A 处的曲率圆；而它的圆心称为弧上点A 处的曲率中心。如图11中那个抛物线在原点O 或点(1,)A a 的曲率圆。请读者注意，因为曲率．．．．有可能是负数．．．．．．(在实际应用中，有时把绝对值A K 称为曲率)，而曲率半径要与曲率保持相同．．．．．．．．．．．．．的正负号．．．．，所以曲率半径也有可能是负数．．．．．．．．．．．．．。保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的

对于用方程)(x y y =)(b x a ≤≤表示的弧(图12)，由于

()tan y

x θ'=， a r c t a n

(y x θ'= 所以，若有二阶导数()y x ''，则

[]

2

()

d d 1()y x x y x θ''=

'+ 图10

图11

图12

)

注意到d s x =，则弧上点(),()A x y x 处的曲率为 {}

322d ()ds 1[()]y x K y x θ''=

='+ (曲率公式) 当()0y x ''≠时，曲率半径为 {}32

21[()]1()

y x R K

y x '+=

=

'' (曲率半径公式)

其中，()0y x ''>时，曲率K 和曲率半径R 都大于0，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的上方(图12)。反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方。例如图11中那个抛物线

2y ax =，因为2,2y ax y a '''==，所以

(曲率) 2

322)

41(2x a a K +=, (曲率半径) a x a K R 2)41(12

322+== 显然，原点)0,0(O 处有最大曲率=K a 2，最小曲率半径a

R 21

=. 点(1,)A a 处的曲率和曲

率半径依次为

2

32)

41(2a a K +=， a a R 2)41(2

32+= 可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大。