金融数学1ppt课件
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金融数学ppt课件
考虑T时刻到期的欧式期权，假定到期时，期 权的内在价值为V(T)=g(P(T));
设V(t,x)表示在t时刻股票价格为x时，期权的价值, 利用Ito公式可得到如下Black-Scholes方程
终V t端(t,条x 件) r V(T x x( ,tx,)x V ) g(1 2 x)2 x 2 V x(t x ,x ) r( V t,x () 5.2)
解上述联立方程可得
0 V S 1 1 ( ( H H ) ) V S 1 1 ( ( T T ) ) ,V 0 1 1 r 1 u r d d V 1 ( H ) u u ( 1 d r ) V 1 ( T ) *
注
0 称为套期保值比。 注意若取
向量自回归模型及其应用 14
1.投资组合理论简介
在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种 不同风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投 资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证 券投资组合。
证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好， 组合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情 形是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最 优投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的 期望收益率，选择资产组合使其总风险最小。
15
Markowitz 提出的证券组合均值方差问题，是证券 组合理论的基本问题，可描述为有约束的线性规划问
题
mi
n2p
mi w
nwTw
s.t. 1Tw1
E(Xp) E(X)Tw
解上述问题可得最优资产组合w*的表达式，且最 优资产组合的方差为
p 2 a 2 2 b c
诺贝尔经济奖简介（3）
2003年度诺贝尔经济学奖授予 Robert F.Engle和 Clive Granger。
金融数学1ppt课件
精品课件
假设一个人面临两种选择： （1）确定性获得15元 （2）50％获得10元，50％获得20元。 会选择哪一种？
精品课件
说明： 取f (x) U(x),t 0.5
确定性收入效用:U（15） 不确定收入的期望效用：0.5U(20) 0.5U(10) 如果：U（15） 0.5U(20) 0.5U(10),U是凹函数，风险厌恶。 如果：U（15） 0.5U(20) 0.5U(10),U是凸函数，风险爱好。
这次改为讲解金融实例为主
精品课件
第1讲：风险态度和效用函数 假设一个人面临两种选择： （1）确定性获得15元 （2）50％获得10元，50％获得20元。 会选择哪一种？
精品课件
效用函数
一、偏好关系
设B是n维欧氏空间Rn中的凸集，在B中引入一个二元 关系记为" "，如果它具有： （1）（反身性）若xB,则x x; (2) (可比较性)若x, yB,则x y,或者y x; (3) (传递性)若x, y,zB,如果x y, y z,则x z; 我们称“ ”是一个偏好关系。
精品课件
课程目标
不在于分析数学原理，而重点学习 利用数学工具分析金融问题的方法。
着重于金融问题的分析与解决
精品课件
课程要求
预习： 每次上课前尽量预习内容
作业要求： 每次所布置作业下次上课时交给助
教，要求独立完成，不能抄袭。
精品课件
导论
一、什么是金融数学？
金融数学（Financial Mathematics），又称 数理金融学，是利用数学工具研究金融， 进行定量分析，以求找到金融内在规律并 用以指导实践。金融数学也可以理解为现 代数学与计算技术在金融领域的应用。
精品课件
假设一个人面临两种选择： （1）确定性获得15元 （2）50％获得10元，50％获得20元。 会选择哪一种？
精品课件
说明： 取f (x) U(x),t 0.5
确定性收入效用:U（15） 不确定收入的期望效用：0.5U(20) 0.5U(10) 如果：U（15） 0.5U(20) 0.5U(10),U是凹函数，风险厌恶。 如果：U（15） 0.5U(20) 0.5U(10),U是凸函数，风险爱好。
这次改为讲解金融实例为主
精品课件
第1讲：风险态度和效用函数 假设一个人面临两种选择： （1）确定性获得15元 （2）50％获得10元，50％获得20元。 会选择哪一种？
精品课件
效用函数
一、偏好关系
设B是n维欧氏空间Rn中的凸集，在B中引入一个二元 关系记为" "，如果它具有： （1）（反身性）若xB,则x x; (2) (可比较性)若x, yB,则x y,或者y x; (3) (传递性)若x, y,zB,如果x y, y z,则x z; 我们称“ ”是一个偏好关系。
精品课件
课程目标
不在于分析数学原理，而重点学习 利用数学工具分析金融问题的方法。
着重于金融问题的分析与解决
精品课件
课程要求
预习： 每次上课前尽量预习内容
作业要求： 每次所布置作业下次上课时交给助
教，要求独立完成，不能抄袭。
精品课件
导论
一、什么是金融数学？
金融数学（Financial Mathematics），又称 数理金融学，是利用数学工具研究金融， 进行定量分析，以求找到金融内在规律并 用以指导实践。金融数学也可以理解为现 代数学与计算技术在金融领域的应用。
精品课件
金融数学完整课件全辑
风险管理政策
制定明确的风险管理政策和流程，确保业务 操作的合规性。
危机应对计划
制定应对重大风险的应急预案，确保在危机 发生时能够迅速、有效地应对。
05
投资组合优化
马科维茨投资组合理论
总结词
该理论是现代投资组合理论的基石，它通过 数学模型和优化技术，为投资者提供了构建 最优投资组合的方法。
详细描述
债券是一种常见的固定收益证券，其价格与利率之间存在密切关系。债券定价模型用于确定债券的理 论价格，通常基于现值计算方法。不同类型的债券（如国债、企业债等）具有不同的风险和收益特征 ，因此需要采用不同的定价模型。
复杂衍生品定价
总结词
概述了复杂衍生品定价的难点和方法， 包括信用衍生品、利率衍生品和商品衍 生品等。
数据清洗
对数据进行预处理，去除异常值、缺 失值和重复值，提高数据质量。
数据存储
采用分布式存储系统，高效地存储和 管理大规模金融数据。
数据可视化
通过图表、图像等形式直观地展示数 据分析结果，帮助用户更好地理解数 据。
机器学习在金融中的应用
风险评估
信贷审批
利用机器学习算法对历史金融数据进行分 析，预测未来市场走势和风险状况。
微积分
微积分是研究函数、极限、导数和积 分的数学分支。在金融领域，微积分 用于计算金融衍生品的价格和风险度 量。
线性代数
线性代数是研究线性方程组、矩阵和 向量空间的数学分支。在金融领域， 线性代数用于数据处理、模型建立和 优化问题求解等方面。
03
金融衍生品定价
期权定价模型
总结词
详细描述了期权定价模型的基本原理、应用场景和优缺点。
通过机器学习模型对借款人的信用状况进 行评估，提高信贷审批的效率和准确性。
【金融数学】年金 ppt课件
解: 方式 A :在第十年底的一次还款为
500,000 (1.08) 1,079, 462.50
10
其中的利息为:
1,079, 462.50 500,000 579, 462.50
应付利息约为五十八万元
PPT课件 13
方式 B: 每年所付利息为 500,000 8% 40,000 总的利息付出为 40,000 10 400,000 应付利息为40万元
Rs
12 |.07
1, 000, 000
1, 000, 000 522, 45 19.14064
从而有 R
1, 000, 000 s 12 |.07
即:每年初投入5万2千元，到12 年底总累积值为 1百万元
PPT课件 20
递延年金（deferred annuity）
递延年金—— 若年金的首次发生是递延了一 段时间后进行的。 递延m期的递延年金时间流程图
方式 C: 设每年的还款额为 R ，价值方程
Ra 10 |.08
500,000
解出
PPT课件 14
R
500, 000 a 10 |.08
500, 000 74,514.54 6.710081
10 年的付款总额为
74,514.54 10 745,145.4
其中的利息总额为 745,145.4 500,000 245,145.4
(1 i ) n
例 ：Find the present value of an annuity which pays $500 at the end of each half-year for 20 years if the rate of interest is 9% convertible semiannually.
《金融数学模型》课件
略。
风险管理
金融数学模型可以对投资组合 进行风险评估和管理，帮助投 资者降低投资风险。
资产定价
金融数学模型可以对资产进行 定价，帮助投资者确定资产的 价值。
决策支持
金融数学模型可以为决策者提 供科学的数据支持，帮助决策
者做出更准确的决策。
金融数学模型的分类
线性模型
非线性模型
线性模型是指模型中的变量之间存在线性 关系，如回归分析、弹性系数等。
残差分析
检查残差是否随机、正态分布，并具有恒定的方差。这有助于诊断模 型是否满足某些假设。
04
非线性回归模型
非线性回归模型的定义
总结词
非线性关系
详细描述
非线性回归模型用于描述因变量和自变量之间的非线性关系，这种词：参数估计
详细描述：通过最小二乘法等参数估计方法，确定非线性回归模型的参数，以使 实际数据与预测数据之间的误差最小化。
建立模型
根据收集到的数据，使用最小二乘法等统计方法 来估计模型的参数 (a) 和 (b)。
确定自变量和因变量
确定要预测的变量作为因变量，选择与预测结果 相关的变量作为自变量。
诊断和修正
检查模型的残差图和其他统计量，以确定模型是 否满足某些假设（如线性关系、误差的正态性和 同方差性）。如果需要，可以使用转换或引入其 他变量来改进模型。
基尼指数越小，模型的纯度越高。可以通过计算每个节点的基 尼指数来评估模型的分类效果。
通过计算每个特征在决策树中的使用次数或信息增益等指标来 评估特征的重要性，从而了解哪些特征对模型预测效果影响最
大。
06
神经网络模型
神经网络模型的定义
神经网络模型是一种模拟人脑神经元工作方式的计算模型 ，通过训练和学习，能够实现对复杂数据的分类、预测和 优化等任务。
风险管理
金融数学模型可以对投资组合 进行风险评估和管理，帮助投 资者降低投资风险。
资产定价
金融数学模型可以对资产进行 定价，帮助投资者确定资产的 价值。
决策支持
金融数学模型可以为决策者提 供科学的数据支持，帮助决策
者做出更准确的决策。
金融数学模型的分类
线性模型
非线性模型
线性模型是指模型中的变量之间存在线性 关系，如回归分析、弹性系数等。
残差分析
检查残差是否随机、正态分布，并具有恒定的方差。这有助于诊断模 型是否满足某些假设。
04
非线性回归模型
非线性回归模型的定义
总结词
非线性关系
详细描述
非线性回归模型用于描述因变量和自变量之间的非线性关系，这种词：参数估计
详细描述：通过最小二乘法等参数估计方法，确定非线性回归模型的参数，以使 实际数据与预测数据之间的误差最小化。
建立模型
根据收集到的数据，使用最小二乘法等统计方法 来估计模型的参数 (a) 和 (b)。
确定自变量和因变量
确定要预测的变量作为因变量，选择与预测结果 相关的变量作为自变量。
诊断和修正
检查模型的残差图和其他统计量，以确定模型是 否满足某些假设（如线性关系、误差的正态性和 同方差性）。如果需要，可以使用转换或引入其 他变量来改进模型。
基尼指数越小，模型的纯度越高。可以通过计算每个节点的基 尼指数来评估模型的分类效果。
通过计算每个特征在决策树中的使用次数或信息增益等指标来 评估特征的重要性，从而了解哪些特征对模型预测效果影响最
大。
06
神经网络模型
神经网络模型的定义
神经网络模型是一种模拟人脑神经元工作方式的计算模型 ，通过训练和学习，能够实现对复杂数据的分类、预测和 优化等任务。
金融数学课件(南京大学)
2013-8-27
23
二、金融数学的发展历程
1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。 在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下， 显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位 置，达菲和黄(Duffle and Huang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱 克-斯科尔斯模型。
同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法 开始使用。
2013-8-27 22
二、金融数学的发展历程
金融数学发展的第三个时期：
1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果
频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲 （D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。
2013-8-27
10
一、金融与金融数学
完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融
学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数
理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论到 实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，两次华尔
街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学。随着金融市
场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不 穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金 融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。
括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融
机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风 险转移和控制等。
2013-8-27 9
一、金融与金融数学
宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运行规律，重点 讨论货币供求均衡、金融经济关系、通货膨胀与通货紧缩、金 融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国 际金融体系等问题。 与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分再有微 观部分。
金融数学-ppt课件远期、期货和互换
F 远期价格，即在时间 t ，标的资产的远期理论价格。
r 无风险利率，以连续复利（利息力）表示。
19
多头的价值 f
股票在当前 时间 t 的价格
S
t
远期价格 F
交割价格 K
股票在到期时 间 T 的价格
ST
T
20
远期合约中标的资产的类型： 到期前不产生收益的资产：零息债券，不支付红利的股 票 到期前产生已知收益的资产：附息债券，支付已知现金 红利的股票 到期前产生连续收益率的资产：股票指数，货币
分母——用参照利率对分子折现至贷款期限开始之时。
用单利计算。
10
例：假设A公司在6个月之后需要一笔1,000万元的资金， 为期3个月，为了锁定资金成本，该公司与某银行签订了 一份6×9的远期利率协议，协议利率为4%，名义本金为 1,000万元。请分析市场利率上升对A公司有何影响。
解：假设六个月后，市场利率上涨为4.5%，则在远期利 率协议的结算日A公司从银行获得的金额为：
f Ke-r(T-t) S
上式变形的远期合约多头的价值为
f S-Ke-r(T-t)
远期价格 F 就是使得 f = 0 的 K 值，故有： FSer(T-t)
可见，远期价格等于标的资产现货价格的终值。
23
例：考虑一份股票远期合约，标的股票不支付红利。假设合 约的期限是3个月，股票现在的价格是50元，连续复利的 无风险年利率为10%，请计算这份远期合约的价格。
16
定价假设 没有交易费用和税金； 市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金； 没有违约风险； 允许现货卖空； 采用无套利(no-arbitrage)定价法。
17
无套利定价法的基本思路：构建两种投资组合，若其终值 相等，则其现值也一定相等，否则就存在套利机会。即套 利者：
r 无风险利率，以连续复利（利息力）表示。
19
多头的价值 f
股票在当前 时间 t 的价格
S
t
远期价格 F
交割价格 K
股票在到期时 间 T 的价格
ST
T
20
远期合约中标的资产的类型： 到期前不产生收益的资产：零息债券，不支付红利的股 票 到期前产生已知收益的资产：附息债券，支付已知现金 红利的股票 到期前产生连续收益率的资产：股票指数，货币
分母——用参照利率对分子折现至贷款期限开始之时。
用单利计算。
10
例：假设A公司在6个月之后需要一笔1,000万元的资金， 为期3个月，为了锁定资金成本，该公司与某银行签订了 一份6×9的远期利率协议，协议利率为4%，名义本金为 1,000万元。请分析市场利率上升对A公司有何影响。
解：假设六个月后，市场利率上涨为4.5%，则在远期利 率协议的结算日A公司从银行获得的金额为：
f Ke-r(T-t) S
上式变形的远期合约多头的价值为
f S-Ke-r(T-t)
远期价格 F 就是使得 f = 0 的 K 值，故有： FSer(T-t)
可见，远期价格等于标的资产现货价格的终值。
23
例：考虑一份股票远期合约，标的股票不支付红利。假设合 约的期限是3个月，股票现在的价格是50元，连续复利的 无风险年利率为10%，请计算这份远期合约的价格。
16
定价假设 没有交易费用和税金； 市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金； 没有违约风险； 允许现货卖空； 采用无套利(no-arbitrage)定价法。
17
无套利定价法的基本思路：构建两种投资组合，若其终值 相等，则其现值也一定相等，否则就存在套利机会。即套 利者：
《金融数学》课件
，防范系统性风险等。
03
金融市场法规
为了实现监管目标，政府或监管机构会制定一系列的金融市场法规，包
括证券法、银行法、保险法等，对市场参与者的行为进行规范和约束。
CHAPTER
06
金融数学案例分析
基于金融数学的资产组合优化
总结词
通过数学模型和优化算法，对资产组合进行 合理配置，实现风险和收益的平衡。
《金融数学》PPT课件
CONTENTS
目录
• 金融数学概述 • 金融数学基础知识 • 金融衍生品定价 • 风险管理 • 金融市场与机构 • 金融数学案例分析
CHAPTER
01
金融数学概述
定义与特点
定义
金融数学是一门应用数学方法来 研究金融经济现象的学科，旨在 揭示金融市场的内在规律和预测 未来的发展趋势。
数值计算方法
数值积分
数值积分是用于计算定积分的近似值的方法，它在金融领域中用于计算期权价格和风险 值等。
数值优化
数值优化是用于寻找函数最优解的方法，它在金融领域中用于投资组合优化和风险管理 等。
CHAPTER
03
金融衍生品定价
期权定价模型
总结词
描述期权定价模型的基本原理和计算方法。
详细描述
期权定价模型是金融数学中的重要内容，用于确定期权的合理价格。常见的期权定价模型包括Black-Scholes模 型和二叉树模型。这些模型基于无套利原则和随机过程，通过求解偏微分方程或递归公式，得出期权的理论价格 。
金融市场的分类
按照交易标的物，金融市 场可分为货币市场、资本 市场、外汇市场和衍生品 市场等。
金融市场的功能
金融市场的主要功能包括 价格发现、风险管理、资 源配置和宏观调控等。
等额年金《金融数学》ppt教材课程
THANKS
等额年金的风险管理
风险管理
风险监控
等额年金的风险管理主要包括风险识 别、评估和控制等方面，旨在降低投 资风险，提高投资收益的稳定性。
对投资组合进行实时监控，及时发现 和应对潜在风险，确保投资组合的安 全性和稳定性。
风险分散
通过将资金分散投资到不同的资产类 别和地区，降低单一资产或地区的风 险，实现风险分散。
风险控制与回报平衡
风险与回报平衡
在等额年金投资策略中，风险控 制与回报平衡是关键，投资者需 要在风险和回报之间寻求平衡点。
资产配置
通过合理的资产配置，实现风险 与回报的平衡，提高投资组合的
长期稳健性。
动态调整
根据市场环境和投资者风险承受 能力的变化，动态调整投资组合 的配置比例，以保持风险与回报
的平衡。
05
案例分析
实际案例介绍
案例名称
某公司年金计划
案例背景
某公司为了激励员工长期服务，推出了一项年金计划，为员工提供 稳定的退休收入。
案例内容
该年金计划规定，员工在服务满一定年限后，可以获得公司按月支 付的一定金额的年金，直至退休。
案例分析过程
风险评估
评估该年金计划的风险，包括公 司经营风险、利率风险等。
等额年金《金融数学》ppt 教材课程
目录
• 引言 • 等额年金基础知识 • 金融数学在等额年金中的应用 • 等额年金的投资策略与风险管理 • 案例分析 • 总结与展望
01
引言
课程简介
等额年金是一种金融工具，通过定期等额支付的方式，为个人或企业提供稳定的现金流。在《金融数学》课程 中，等额年金作为重要的概念之一，被详细介绍和解析。
金融数学在等额年金中的重要性
等额年金的风险管理
风险管理
风险监控
等额年金的风险管理主要包括风险识 别、评估和控制等方面，旨在降低投 资风险，提高投资收益的稳定性。
对投资组合进行实时监控，及时发现 和应对潜在风险，确保投资组合的安 全性和稳定性。
风险分散
通过将资金分散投资到不同的资产类 别和地区，降低单一资产或地区的风 险，实现风险分散。
风险控制与回报平衡
风险与回报平衡
在等额年金投资策略中，风险控 制与回报平衡是关键，投资者需 要在风险和回报之间寻求平衡点。
资产配置
通过合理的资产配置，实现风险 与回报的平衡，提高投资组合的
长期稳健性。
动态调整
根据市场环境和投资者风险承受 能力的变化，动态调整投资组合 的配置比例，以保持风险与回报
的平衡。
05
案例分析
实际案例介绍
案例名称
某公司年金计划
案例背景
某公司为了激励员工长期服务，推出了一项年金计划，为员工提供 稳定的退休收入。
案例内容
该年金计划规定，员工在服务满一定年限后，可以获得公司按月支 付的一定金额的年金，直至退休。
案例分析过程
风险评估
评估该年金计划的风险，包括公 司经营风险、利率风险等。
等额年金《金融数学》ppt 教材课程
目录
• 引言 • 等额年金基础知识 • 金融数学在等额年金中的应用 • 等额年金的投资策略与风险管理 • 案例分析 • 总结与展望
01
引言
课程简介
等额年金是一种金融工具，通过定期等额支付的方式，为个人或企业提供稳定的现金流。在《金融数学》课程 中，等额年金作为重要的概念之一，被详细介绍和解析。
金融数学在等额年金中的重要性
数理金融学基本知识ppt课件
税收：高负税的投资者寻求免（低）税 的金融工具
风险：如何利用金融工具获利和规避风 险
退休后需要回南京安度晚年，能否提出 个投资方案？或创造一个工具供他们投 资？
整理版课件
9
案例1.1：一个投资家的婚礼
——金融工具无所不在
假设你要结婚了，但是你首先要说服太太：婚纱 照我们不拍了。—别急，你仍然爱她，但是有更 有利可图的办法来表达你的浪漫。
整理版课件
13
证明1：公司A的这种投资是有意义的
由于利息支出计入税前成本，因此公司A实际 税后成本为10%×（1-40%）=6%。
公司A投资于优先股的股息税后收入为： 8% －8%×（1－80%）×40%=7.36% 。
证明2：这笔交易对公司B来说亦是盈利的。
公司B通过借出资金获得利息收入，税后收益 为10％×（1－12％）＝8.8%，而公司B向公 司A支付的优先股股息为8%。
套利的三个基本特征：零投资、无风险、 正收益。
但世上没有免费的午餐！无套利原则说明证券 之间的价格可以从技术角度予以确定。
金融工程的基本思路！
整理版课件
22
1.3.3 风险厌恶（Risk aversion）原则
假设两项投资成本相同，预期回报相同， 投资者将选择风险小的投资项目。
例如：投资项目A会得到确定的回报10％，而 项目B的投资项目获得10％的回报是不确定的， 则投资者必然选择项目A。
金融资产（Financial assets）：实际资产的要求 权（ Claims on real assets ），定义实际资产在 投资者之间的配置。
金融资产的价值与其物质形态没有任何关系：债券可 能并不比印制债券的纸张更值钱。
整个社会财富的总量与金融资产数量无关，金融资产 不是社会财富的代表。
风险：如何利用金融工具获利和规避风 险
退休后需要回南京安度晚年，能否提出 个投资方案？或创造一个工具供他们投 资？
整理版课件
9
案例1.1：一个投资家的婚礼
——金融工具无所不在
假设你要结婚了，但是你首先要说服太太：婚纱 照我们不拍了。—别急，你仍然爱她，但是有更 有利可图的办法来表达你的浪漫。
整理版课件
13
证明1：公司A的这种投资是有意义的
由于利息支出计入税前成本，因此公司A实际 税后成本为10%×（1-40%）=6%。
公司A投资于优先股的股息税后收入为： 8% －8%×（1－80%）×40%=7.36% 。
证明2：这笔交易对公司B来说亦是盈利的。
公司B通过借出资金获得利息收入，税后收益 为10％×（1－12％）＝8.8%，而公司B向公 司A支付的优先股股息为8%。
套利的三个基本特征：零投资、无风险、 正收益。
但世上没有免费的午餐！无套利原则说明证券 之间的价格可以从技术角度予以确定。
金融工程的基本思路！
整理版课件
22
1.3.3 风险厌恶（Risk aversion）原则
假设两项投资成本相同，预期回报相同， 投资者将选择风险小的投资项目。
例如：投资项目A会得到确定的回报10％，而 项目B的投资项目获得10％的回报是不确定的， 则投资者必然选择项目A。
金融资产（Financial assets）：实际资产的要求 权（ Claims on real assets ），定义实际资产在 投资者之间的配置。
金融资产的价值与其物质形态没有任何关系：债券可 能并不比印制债券的纸张更值钱。
整个社会财富的总量与金融资产数量无关，金融资产 不是社会财富的代表。
《金融数学》(1) 利息度量
5
累积函数
• 累积函数(Accumulation function) ：时间零点 的1元在时间 t 的累积值, 记为a (t) 。
• 性质：
– a (0) = 1； – a (t) 通常是时间的增函数； – 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
注：一般假设利息是连续产生的。
•6
常见的几个积累函数
5
4
a(t) (1 0.1)t
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8 10 12 14 16 18 20
7
a(t) 累积函数？
1
0
t
•8
• 例：假设累积函数为 a(t) 1 t2
计算 t =1 时的500元 ，在 t = 2 的累积值。
• 解：
t
a(t)
0
1
500 2.5 1250
•11
例：把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020 元，第2年末存款余额为1050元，求第一年和第 二年的有效利率分别是多少？
i1
20 1000
2%
i2
30 1020
2.94%
• 问题：整个存款期间的有效利率是多少？ • 整个存款期间的年平均有效利率是多少？（后面讨论）
单利 (simple interest)
（2）“实际/360 ”：投资天数按两个日期之间的实际天数计算， 每年按360天计算。称为行家规则 ( banker’s rule )。
时间t 的确定, t = 投资天数 / 每年的天数
（3）“ 30/360 ”规则：每月按30天计算, 每年按360天计算。 两个给定日期之间的天数按下述公式计算：
累积函数
• 累积函数(Accumulation function) ：时间零点 的1元在时间 t 的累积值, 记为a (t) 。
• 性质：
– a (0) = 1； – a (t) 通常是时间的增函数； – 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
注：一般假设利息是连续产生的。
•6
常见的几个积累函数
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a(t) (1 0.1)t
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a(t) 1 0.1t
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a(t) 累积函数？
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t
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• 例：假设累积函数为 a(t) 1 t2
计算 t =1 时的500元 ，在 t = 2 的累积值。
• 解：
t
a(t)
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500 2.5 1250
•11
例：把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020 元，第2年末存款余额为1050元，求第一年和第 二年的有效利率分别是多少？
i1
20 1000
2%
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30 1020
2.94%
• 问题：整个存款期间的有效利率是多少？ • 整个存款期间的年平均有效利率是多少？（后面讨论）
单利 (simple interest)
（2）“实际/360 ”：投资天数按两个日期之间的实际天数计算， 每年按360天计算。称为行家规则 ( banker’s rule )。
时间t 的确定, t = 投资天数 / 每年的天数
（3）“ 30/360 ”规则：每月按30天计算, 每年按360天计算。 两个给定日期之间的天数按下述公式计算：
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二、数理金融的发展阶段
1、发展初期：
第一次华尔街革命是指1952年马科维茨（H.M. Marcowitz）投资组合选择理论的问世。此后，马 科维茨的学生夏普（W.F. Sharpe）在马科维茨理 论的基础上，提出了资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）。他们两人的成果 获得了1990年诺贝尔经济学奖。他们的工作是利 用数学工具，在严格的假设的基础之上，利用数 学推理论证解决了风险资产的定价问题，是将数 学方法应用于金融学成功的范例，也是划时代的 开创性的工作。
金融数学
第1讲
主讲: 李庆霞 （厦门大学金融系） 联系方式： 办公室：经B 510
预备知识
高等数学 线性代数 概率论与数理统计 金融学基础
参考教材
《微观金融学及其数学基础》（第2版） 邵宇，清华大学出版社
《数理金融》，郭作祚，清华大学出版社
《金融数学》Joseph Stampfli,(蔡明超译) 机械工业出版社
效用函数
一、偏好关系
设B是n维欧氏空间Rn中的凸集，在B中引入一个二元 关系记为"f "，如果它具有： （1）（反身性）若xB,则x f x; (2) (可比较性)若x, yB,则x f y,或者y f x; (3) (传递性)若x, y,zB,如果x f y, y f z,则x f z; 我们称“f ”是一个偏好关系。
5、布莱克方程
五、授课内容
《微观金融学及其数学基础》 第二部分 金融数学基础 第8章 基础微积分和线性代数 第9章 概率论与数理统计 其间穿插讲解金融例子。（上届）
这次改为讲解金融实例为主
第1讲：风险态度和效用函数
假设一个人面临两种选择： （1）确定性获得15元 （2）50％获得10元，50％获得20元。 会选择哪一种？
第二次华尔街革命是指1973年布莱克 （F.Black）和斯科尔斯（M.S.Scholes）期 权定价公式。这一成果荣获1997年诺贝尔 经济学奖。他们也是利用数学工具解决了 重要的金融衍生产品期权的定价问题。两 次华尔街革命标志着现代金融学的诞生， 同时也产生了一门新的学科：数理金融学
1997 年诺贝尔经济奖获得者
三、数理金融在金融学科体系中的地位
金融学
宏观金融学
包括货币银行学、 国际金融学等
微观金融学
包括投资学、公司理财、 金融工程、金融市场等
数理金融方法
四、数理金融结构框架
数理金融数学基础篇：
1、微积分 2、线性代数 3、概率论 4、随机过程合理论 2、资本资产定价模型 3、套利定价理论 4、布朗运动与伊藤方 程
课程目标
不在于分析数学原理，而重点学习 利用数学工具分析金融问题的方法。
着重于金融问题的分析与解决
课程要求
预习： 每次上课前尽量预习内容
作业要求： 每次所布置作业下次上课时交给助
教，要求独立完成，不能抄袭。
导论
一、什么是金融数学？
金融数学（Financial Mathematics）， 又称数理金融学，是利用数学工具研究金 融，进行定量分析，以求找到金融内在规 律并用以指导实践。金融数学也可以理解 为现代数学与计算技术在金融领域的应用。
Robert Merton, (1944-)《连续 时间金融学》
Myron Scholes, (1941-) 期权定 价公式
Fisher Black (1938-1995)期权定价公式
1973 年 Black-ScholesMerton期权定价理论问世
3、第三阶段（1980－至今）
代表人物有D.Duffie、I.Karatzas、J.Cox 等等
1990 年诺贝尔经济奖获得者
Merton Miller, (1923-2000) Modigliani-Miller 定理 (MMT)
Harry Markowitz, (1927-) 《证券组合 选择理论》
William Sharpe, (1934-)资本资产 定价模型 （CAPM)
2、第二阶段（1969－1979）
若 xfy与 yfx同 时 成 立 ,则 x和 y偏 好 无 差 异 ， 记 作 xy; 若 xfy但 yfx不 成 立 ， 则 x严 格 地 比 y好 ， 记 作 xfy.
二、 效用函数
设B是具有偏好关系"f "的选择集，U：BR＋的 单值函数，如果x,yB，U(x)U(y)当且仅当xf y, 则称U为效用函数。
假 设 2、 投 资 者 的 初 始 财 富 为 0；
假 设 3、 设 von N eum ann - M orgenstern效 用 函 数 为 V (x),则 投 资 者 参 加 赌 博 的 期 望 效 用 为
pV ( 0 h1 ) (1 p )V ( 0 h2 ).
如 果 V ( 0 ) V ( p ( 0 h1 ) (1 p )( 0 h2 )) pV ( 0 h1 ) (1 p )V ( 0 h2 )
显然，效用函数是偏好关系的定量描述。
效用函数存在定理
定理 设选择集B上的偏好关系"f "具有保序性、中值性和
有界性，则存在效用函数U:BR＋,使得： (1)xf y当且仅当U(x)U(y) (2)xy当且仅当U(x)U(y)
性质：设U是效用函数，函数G：RR是正值严格单调 增加函数，容易证明复合函数G。U：BR也是效用函数。
即投资者不参加赌博的效用大于参加赌博的效用， 此 时 V ( x)为 凹 函 数 。
定义： 如 果 V ( x)二 次 连 续 可 为 微 V (x)>0,V (x) 0,
则 V(E%) E(V(%)),称 投 资 者 为 风 险 厌 恶 型 。
即：一个效用函数通过正单调变换而获得的另一个效用函数 与原来的函数表达同样的偏好顺序。
三、 投资者的风险类型
举例：
假 设1、 考 虑 彩 票 或 赌 博 只 有 两 种 状 态{h1 , h2 }， 状 态 h1发 生 概 率 为 p , 状 态 h2发 生 的 概 率 为1 p; 而 且 ph1 (1 p )h2 0, 表 明 赌 博 是 公 平 的 ；