气泡动力学非线性分析
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气泡动力学理论推导与非线性
主பைடு நூலகம்内容
• 自由气泡动力学推导 • 包膜气泡动力学模型推导
气液界面（自由）气泡动力学模型
气液界面泡动力学模型是包膜气泡动力学 的基础 考虑在不可压缩液体中的空化气泡 : 2 初始状态下气泡内的压强为 P t 0 P R 绝热模型假设下，当半径变化为R 时,
小振幅(0.35atm)驱动下时的R-t曲线
大振幅(5atm)驱动下时的R-t曲线
普通的输入：
连续的正弦波，三角波，矩形波 （保证它们周期能量相同） 这里使用的是 albunex 造影剂气 泡的参数（属于比 较“硬”的气泡） 因此振幅都不大
加了高斯包络后的驱动对比（正弦&三角）
连续5周期的驱动（正弦&三角）
g 0 0
2 Pg t P0 R0
R0 R ( t )
3
由界面上的平衡得到
2 2 Pl r R, t Pg (t ) P0 R t R0
R0 2 R ( t ) R t
两个界面上的约束条件为：
2 1 PG t PS R1 , t TS , rr R1 , t , R1 PS R2 , t TS , rr R2 , t PL R2 , t TL , rr R2 , t 2 2 R2
Vs d 4 R 2
包膜本身是有质量的， 当两个界面条件结合 时要考虑考虑膜的质 量： ms 0 其中 ms R F总
包膜气泡模型示意图
考虑表面张力的变化
A 1 2 1 A0
其中 3GS d 综合以上，得到我们的模型方程：
L S R1 R1 1 S
3 R01 2 1 2 2 U1 VS S L R13 VS GS 1 PG ,eq 4 P t 4 3 3 S R1 R2 R1 R2 R2 R1
3
Poritsky在1952年对此进行修正 ：
2 Pl r R, t P0 R0 R t R0 2 4 R t R t R(t )
3
由能量守恒，远场声压 P 与Pl 对气泡所做功的代 数和应等于气泡周围液体的动能，即
可以看到新模型只用到一个变量，形式上简单许多。
修正
模型的出发点： Church模型：将包膜看作是一个连续的固体层，充分考 虑了固体层内的应力变化。在其模型中，系统被划分成泡 内气体、包膜、泡外液体三个区域，给出两个界面条件。 模型相对完备，但是比较复杂 很多实际问题中，包膜层非常薄；引入包膜层内的细化， 带来复杂的数学过程，不能有效提高气泡演化的精度。 保留Church模型思想中两个界面约束条件，将三个区域 转化为两个区域：气体区和液体区；并将两个界面条件接 合。从而使方程形式大大简化。
1 2 2 P P 4 r dr r 4 r dr R0 l R R 2
R 2
整理后两边对R求导可得：
3 2 1 2 RR R P0 2 R0
3 R0 2 R 4 P0 P t R R R
Vs 3 2 R R R L L s 4 R 2 2 2 R0 R0 3 2 R Vs R P0 R P0 Pac t 4 L 1 1 3 R R c R 2 R R 1 Vs R Re 3s 4GsVs 4 2 4 R 4 R R 4 R e
3 R01 2 1 2 2 U1 VS S L R13 VS GS 1 PG ,eq 4 P t 4 3 3 S R1 R2 R1 R2 R2 R1
Re1 1 R1
Church模型包膜气泡示意图
由于球状对称，不可压缩材料（S和L）上的 质量守恒，可得到关于r处径向速率u的约束条件（r 为到空化泡中心的距离）：
R12 t u r , t 2 U1 t r U1 t 为界面1处的径 其中 R1 t 为界面1处的半径 ，
向 速率 ；径向动力守恒满足：
这里 是密度， p 是压强， T 是S和L中的应力张量； 两边从 到 积分，就有 R1
T T u p 1 2 u u 2 r Trr r r r r r t
3 L S R1 L S 4 R2 R13 R1 2 3 S R1 R1 1 S R1 3 R 2 2 R S S 2 R2 2 PS R1 , t PS R2 , t PL R2 , t P t TS ,rr R2 , t TS ,rr R1 , t
3
数值计算分析
只压不胀的现象 不同驱动类型下包膜气泡动力学行为 频谱分析其非线性
“只压不胀” 的主要原因： 毛细管压力项 2 (R) 起很 R 大作用； 常识上想像这个问题： 吹气球时，将气球吹 起来总是最困难的； 此后随着气球半径增 大反而吹得轻松 如果用大的声压来驱动， 效果会不同
因此有
2 2 2 1 TL , rr R2 , t R2 R1
PL R2 , t PG t PS R2 , t PS R1 , t TS , rr R1 , t TS , rr R2 , t
考虑到 就有
PS R1 , t PS R2 , t
TL ,rr R2 , t 3
R2
TS ,rr r
R1
dr 3
TL ,rr r
R2
dr
两个界面上的约束条件由动力平衡给出：
2 1 1 PG t PS R1 , t TS ,rr R1 , t , r R1 R1 R1 PS R2 , t TS ,rr R2 , t PL R2 , t TL,rr R2 , t 2 2 , r R2 R2
3 3 R1 R1 4 R R 3 2 L S 2 1 S R1 3 R 2 2 R S 2 R2 2 R2 TS , rr TL , rr 2 1 2 2 1 P t P t 3 dr 3 dr R1 r R2 r S G R1 R2
这个方程被称为R.P.N.N.P方程以纪念 Rayleigh(1917)，Plesset(1949)， Noltingk和 Neppiras(1950,1951)，Poritsky(1952) 对其形 成所作的贡献，简称Rayleigh-Plesset(RP) 方程
包膜气泡模型及修正
Church模型： 气泡的气体G在表面1处 与表面（包膜）层S分 离，而表面层S则在表 面2处与周围液体L分 离；表面层和外围液 体都被看作是黏性的 且是不可压缩的
R R R R R R 21 2 2 TL, rr R2 , t 4s 1 2 4Gs 1 e1 2 e 2 R1 R2 R2 R1 R1 R2
PL R2 , t PG t
模型假设 ： 包膜厚度的变化：在 包膜体积不变的前提 下，近似的有
由此得到：
其中的积分项决定S，L中的黏性、弹性反 应，其中第一项积分代表了膜内的参数分散 化。经过一些推导，最后得到
L S R1 R1 1 S R1 L S 2 3 S R1 R2 2 S
3 4 R2 R13 R1 3 2 R 2 R2
Re1 1 R1
可将其与Church模型进行比较：Church模型方程为
L S R1 R1 1 S
R1 L S 2 3 S R1 R2 2 S
3 4 R2 R13 R1 3 2 R 2 R2
主பைடு நூலகம்内容
• 自由气泡动力学推导 • 包膜气泡动力学模型推导
气液界面（自由）气泡动力学模型
气液界面泡动力学模型是包膜气泡动力学 的基础 考虑在不可压缩液体中的空化气泡 : 2 初始状态下气泡内的压强为 P t 0 P R 绝热模型假设下，当半径变化为R 时,
小振幅(0.35atm)驱动下时的R-t曲线
大振幅(5atm)驱动下时的R-t曲线
普通的输入：
连续的正弦波，三角波，矩形波 （保证它们周期能量相同） 这里使用的是 albunex 造影剂气 泡的参数（属于比 较“硬”的气泡） 因此振幅都不大
加了高斯包络后的驱动对比（正弦&三角）
连续5周期的驱动（正弦&三角）
g 0 0
2 Pg t P0 R0
R0 R ( t )
3
由界面上的平衡得到
2 2 Pl r R, t Pg (t ) P0 R t R0
R0 2 R ( t ) R t
两个界面上的约束条件为：
2 1 PG t PS R1 , t TS , rr R1 , t , R1 PS R2 , t TS , rr R2 , t PL R2 , t TL , rr R2 , t 2 2 R2
Vs d 4 R 2
包膜本身是有质量的， 当两个界面条件结合 时要考虑考虑膜的质 量： ms 0 其中 ms R F总
包膜气泡模型示意图
考虑表面张力的变化
A 1 2 1 A0
其中 3GS d 综合以上，得到我们的模型方程：
L S R1 R1 1 S
3 R01 2 1 2 2 U1 VS S L R13 VS GS 1 PG ,eq 4 P t 4 3 3 S R1 R2 R1 R2 R2 R1
3
Poritsky在1952年对此进行修正 ：
2 Pl r R, t P0 R0 R t R0 2 4 R t R t R(t )
3
由能量守恒，远场声压 P 与Pl 对气泡所做功的代 数和应等于气泡周围液体的动能，即
可以看到新模型只用到一个变量，形式上简单许多。
修正
模型的出发点： Church模型：将包膜看作是一个连续的固体层，充分考 虑了固体层内的应力变化。在其模型中，系统被划分成泡 内气体、包膜、泡外液体三个区域，给出两个界面条件。 模型相对完备，但是比较复杂 很多实际问题中，包膜层非常薄；引入包膜层内的细化， 带来复杂的数学过程，不能有效提高气泡演化的精度。 保留Church模型思想中两个界面约束条件，将三个区域 转化为两个区域：气体区和液体区；并将两个界面条件接 合。从而使方程形式大大简化。
1 2 2 P P 4 r dr r 4 r dr R0 l R R 2
R 2
整理后两边对R求导可得：
3 2 1 2 RR R P0 2 R0
3 R0 2 R 4 P0 P t R R R
Vs 3 2 R R R L L s 4 R 2 2 2 R0 R0 3 2 R Vs R P0 R P0 Pac t 4 L 1 1 3 R R c R 2 R R 1 Vs R Re 3s 4GsVs 4 2 4 R 4 R R 4 R e
3 R01 2 1 2 2 U1 VS S L R13 VS GS 1 PG ,eq 4 P t 4 3 3 S R1 R2 R1 R2 R2 R1
Re1 1 R1
Church模型包膜气泡示意图
由于球状对称，不可压缩材料（S和L）上的 质量守恒，可得到关于r处径向速率u的约束条件（r 为到空化泡中心的距离）：
R12 t u r , t 2 U1 t r U1 t 为界面1处的径 其中 R1 t 为界面1处的半径 ，
向 速率 ；径向动力守恒满足：
这里 是密度， p 是压强， T 是S和L中的应力张量； 两边从 到 积分，就有 R1
T T u p 1 2 u u 2 r Trr r r r r r t
3 L S R1 L S 4 R2 R13 R1 2 3 S R1 R1 1 S R1 3 R 2 2 R S S 2 R2 2 PS R1 , t PS R2 , t PL R2 , t P t TS ,rr R2 , t TS ,rr R1 , t
3
数值计算分析
只压不胀的现象 不同驱动类型下包膜气泡动力学行为 频谱分析其非线性
“只压不胀” 的主要原因： 毛细管压力项 2 (R) 起很 R 大作用； 常识上想像这个问题： 吹气球时，将气球吹 起来总是最困难的； 此后随着气球半径增 大反而吹得轻松 如果用大的声压来驱动， 效果会不同
因此有
2 2 2 1 TL , rr R2 , t R2 R1
PL R2 , t PG t PS R2 , t PS R1 , t TS , rr R1 , t TS , rr R2 , t
考虑到 就有
PS R1 , t PS R2 , t
TL ,rr R2 , t 3
R2
TS ,rr r
R1
dr 3
TL ,rr r
R2
dr
两个界面上的约束条件由动力平衡给出：
2 1 1 PG t PS R1 , t TS ,rr R1 , t , r R1 R1 R1 PS R2 , t TS ,rr R2 , t PL R2 , t TL,rr R2 , t 2 2 , r R2 R2
3 3 R1 R1 4 R R 3 2 L S 2 1 S R1 3 R 2 2 R S 2 R2 2 R2 TS , rr TL , rr 2 1 2 2 1 P t P t 3 dr 3 dr R1 r R2 r S G R1 R2
这个方程被称为R.P.N.N.P方程以纪念 Rayleigh(1917)，Plesset(1949)， Noltingk和 Neppiras(1950,1951)，Poritsky(1952) 对其形 成所作的贡献，简称Rayleigh-Plesset(RP) 方程
包膜气泡模型及修正
Church模型： 气泡的气体G在表面1处 与表面（包膜）层S分 离，而表面层S则在表 面2处与周围液体L分 离；表面层和外围液 体都被看作是黏性的 且是不可压缩的
R R R R R R 21 2 2 TL, rr R2 , t 4s 1 2 4Gs 1 e1 2 e 2 R1 R2 R2 R1 R1 R2
PL R2 , t PG t
模型假设 ： 包膜厚度的变化：在 包膜体积不变的前提 下，近似的有
由此得到：
其中的积分项决定S，L中的黏性、弹性反 应，其中第一项积分代表了膜内的参数分散 化。经过一些推导，最后得到
L S R1 R1 1 S R1 L S 2 3 S R1 R2 2 S
3 4 R2 R13 R1 3 2 R 2 R2
Re1 1 R1
可将其与Church模型进行比较：Church模型方程为
L S R1 R1 1 S
R1 L S 2 3 S R1 R2 2 S
3 4 R2 R13 R1 3 2 R 2 R2