不变子空间、若当、最小多项式(简介)

§7 不变子空间

◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”.

已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子

1.定义：)(n V L ∈σ，W 是σ的不变子空间W ⇔是V 的子空间，且,W ∈∀ξ有W ∈)(ξσ.

简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关）

2.例子：设)(n V L ∈σ，则下列子空间W 都是σ的不变子空间：

1）{}0=W 2）V W = 3）)0(1-=σW 4）)(V W σ= 5）{}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W 例1若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值域都是A -子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制”

1.定义：设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间，可只在W 中考虑σ，记为W |σ.

【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V 可分解为若干-σ子空间

i W 的直和，那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究.

2.区别：W |σ与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即

σξξσξ=⇒∈)|(W W ；ξσξ)|(W W ⇒∉无意义.

三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）

设V 可分解为若干个σ-子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21，在每个不变子空间i W 中

取基k i i i εεε,,,21 ，s i ,2,1=，并把他们合并为V 的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有

准对角形⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛s A A 1，其中i A ，s i ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵. 进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解

定理12：设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式：

S r S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,则V 可以分解成不变子空间的直和：

s V V V V ⊕⊕⊕= 21,其中}0)(|{=-∈=ξλσξi r i i E V V .

§8 若当（Jordan ）标准形介绍

若当（Jordan ）标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=λλλ

λλ10000100000100

00),(

t J （λ是复数；注意对角元相同）

2. 若当形矩阵＝由若干个若当块（阶数未必相同、λ未必相同）组成（不计顺序）的准对角矩阵. （若当形矩阵中包括对角矩阵） 【问题】若当形矩阵的特征值＝？

例1求所有的三阶若当形矩阵.（若当块不计排列顺序） 二、主要结论

定理13： ))((C V L n ∈∀σ，在V 中必定存在一组基，使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. （这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，是被σ唯一决定的，它称为σ的若当标准形）

若用矩阵来描述，即

定理14：复数域上，每个方阵都相似于某个若当形矩阵.（好用的结论） 三、若当标准形的求法（第八章介绍）

【特例】若A 可对角化，则若当标准形就是相似的对角矩阵.

【第二届中国大学生数学竞赛预赛2010】设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=00020100030100B ，

证明B X =2无解，这里X 为三阶复数矩阵.

[证法]对复数矩阵，优先考虑它相似于某个Jordan 矩阵这个性质，并联系特征值.

§9 最小多项式介绍

最小多项式有着良好的理论意义，特别是适用于对角化问题.

已知Cayley Hamilton -定理：方阵A 的特征多项式是A 的零化多项式.要寻找其中次数最低的，这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义

定义：)(x ϕ是方阵A 的最小多项式0)(=⇔A f 且)(x ϕ次数最低、首项系数为1. 例 数量矩阵kE 的最小多项式是 二、基本性质

引理1矩阵A 的最小多项式必唯一. 证法 带余除法

引理2)(x f 是A 的零化多项式)(x f ⇔是A 的最小多项式)(x ϕ的倍式，即)(|)(x f x ϕ. 【特例】最小多项式是特征多项式的因式. 证法 带余除法

例 求⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=1111A 的最小多项式. 2)1(-x

【问题】相似矩阵有相同的最小多项式？

例 k 阶若当块k

k a a a J ⨯⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=11

的最小多项式是 （直接计算，k a x )(-） 三、主要结论

定理 数域P 上矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积. 推论 复数域上A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式无重根.

例 设A 是n 阶幂等矩阵，且秩为r .试求A 的相似标准形，并说明理由；求A E -2. 解法：由A A =2知A 有最小多项式)1()(2-=-=λλλλλg 且无重根，所以A 相似于对角矩阵，

且特征值只能是1或0.又r A r =)(，故存在可逆矩阵P 使⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=-00

01r

E AP P .

从而 r

n r n r

A E E E AP P E P A E P ----=-⇒⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-=-2220

02)2(11. 矩阵相似对角化的应用

1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式

若矩阵A 与B 相似，则存在可逆矩阵P 使得1-=PBP A ，于是1-=P PB A k k . 进一步有：当)(x ϕ是多项式时，1

)()(-=P B P A ϕϕ.

特例：当A 相似于对角矩阵时，由1-=P PB A k k 容易计算方幂k

A .

2.求Fibonacci 数列通项：)1,0(1012==+=++a a a a a n n n

解法 用矩阵形式表示递推关系式⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+011101110111a a a a a a n

n n n n

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111A 的特征值为2512,1±=λ，对应的特征向量为'

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛±1,251，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=-211λλAP P 由此可求n

A ，即得⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n

n n a 25125151. 3.利用矩阵相似对角化线性方程组

【例】（人口流动问题）设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变，则经过许多年以后，全国人口将会集中在城市吗？ 解 设最初城市、农村人口分别为00,y x ，第k 年末人口分别为k k y x ,，则 ⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛00118.01.02.09.0y x y x ，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--118.01.02.09.0k k k k y x y x 记⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=8.01.02.09.0A ，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x k k k . 为计算k

A ，可考虑把A 相似对角化.特征多项式)7.0)(1(--=-λλλA E .

1=λ对应的特征向量为)1,2(1'=α；7.0=λ对应的特征向量为)1,1(2'-=α

取⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-==1112),(21ααP ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2111311

P ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21117.0001

1112317.00011k k

k P P A