阶段质量检测(二) 单元质量评估(二)

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阶段质量检测(二)/单元质量评估(二)

第二章

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.F 1，F 2是定点，｜F 1F 2｜=7，动点M 满足｜MF 1｜+｜MF 2｜=7，则M 的轨迹是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)线段 (D)圆

2.椭圆2x 2+3y 2=6的长轴长是( )

(C) (D)3.已知双曲线22

x a

-y 2=1(a ＞0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，则此双曲线

的渐近线方程是( )

(A)y= (B)y=±5x

(C)y= (D)y=±

3

x

4.设定点F 1(0，-3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=a+9a

(a ＞0)，则点P 的轨迹是( )

(A)椭圆 (B)线段 (C)不存在 (D)椭圆或线段

5.(易错题)设椭圆

22

2

2

x y m

n

+

=1、双曲线222

2

x y m

n

-

=1、抛物线y 2=2(m+n)x(其中m ＞n

＞0)的离心率分别为e 1,e 2,e 3,则( ) (A)e 1e 2＞e 3

(B)e 1e 2＜e 3

(C)e 1e 2=e 3

(D)e 1e 2与e 3大小不确定

6.抛物线y=-x 2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是( ) (A)4

3

(B)7

5

(C)8

5

(D)3

7．(2012·石家庄高二检测)设k ＜3,k ≠0，则二次曲线2

x

3k

--

2

y

k

=1与

2

2

x

y

5

2

+

=1

必有( )

(A)不同的顶点 (B)不同的准线 (C)相同的焦点 (D)相同的离心率

8.设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )

(C)

12

+ (D)

12

+

9.已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C 在抛物线x 2=y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 10.已知椭圆C 1：

222

2

x y a

b

+

=1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：2

2

y

x

4

-

＝1有公共的焦点，C 2

的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( ) (A)a 2=

132

(B)a 2=13

(C)b 2=1

2

(D)b 2=2

11.已知双曲线22

2

x y

a

2

-

=1(a )的两条渐近线的夹角为3

π

,则双曲线的离心率

为( )

(A)

3

(B)

3

(D)2

12.已知A 、B 为抛物线C ：y 2=4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若FA

=-4FB

，则直线AB 的斜率为( )

(A)±2

3

(B)±3

2

(C)±3

4

(D)±4

3

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)

13.已知正方形ABCD ，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的离心率为 . 14.(能力题)直线y=x+3与曲线

2

x x y

9

4

-

=1的公共点的个数为 ．

15.(2012·上海高二检测)以抛物线y 2=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是

x 的双曲线方程为 .

16.抛物线y 2=x 上存在两点关于直线y=m(x-3)对称,则m 的范围是 . 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为5

4；

(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±3

2

x.

18.(12分)(2012·宁波高二检测)已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(0，-)，

F

2(0，，且离心率3

.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线l (与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A,B ，且线段AB 中点的横坐标为1

2-，求直线l 斜率的取值范围.

19.(12分)已知动圆C 过定点F(0，1)，且与直线l 1:y=-1 相切，圆心C 的轨迹为E.

(1)求动点C 的轨迹方程；

(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，则｜PQ ｜的最大值为多少？

20.(12分)设双曲线C ：

222

2

x y a

b

-

=1(a ＞0,b ＞0)的离心率为e ，若右准线l 与两条

渐近线相交于P ，Q 两点，F 为右焦点，△FPQ 为等边三角形. (1)求双曲线C 的离心率e 的值； (2)若双曲线C 被直线y=ax+b 截得弦长为22

b e a

，求双曲线C 的方程.

21.(12分)设椭圆方程为2

2

y

x 4

+

=1，过点M(0，1)的直线l 交椭圆于点A ，B ，O

是坐标原点，点P

满足O P =

1

2

(O A +OB

)，点N

的坐标为(1

2

,1

2)，当l 绕点M 旋

转时，求(1)动点P

的轨迹方程；(2)｜NP

｜的最小值与最大值.

22.(12分)(2012·江西高考)已知三点O(0,0)，A(-2,1)，B(2,1)，曲线C 上任

意一点M(x,y)满足|MA +M B

|=OM ?(O A +OB

)+2.

(1)求曲线C 的方程；

(2)点Q(x 0,y 0)(-2

的坐标是(0，-1)，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比.

答案解析

1.【解析】选C.由于点M 满足｜MF 1｜+｜MF 2｜=｜F 1F 2｜，点M 在线段F 1F 2上，故选C.

2.【解析】选D.椭圆方程化标准形式2

2

x

y

3

2

+

=1，a 2=3，，2a=

轴长为3.【解析】选D.∵y 2=8x 焦点是(2，0)， ∴双曲线

22

x a

-y 2=1的半焦距c=2,

又虚半轴长b=1且a ＞0，所以

,

∴双曲线的渐近线方程是y=〒

3

x.

4.【解析】选D.由｜PF 1｜+｜PF 2｜=a+9a

≥=6，当｜PF 1｜+｜PF 2｜=6时轨迹

为线段，当｜PF 1｜+｜PF 2｜＞6时轨迹为椭圆.

5.【解题指南】本题解题关键是由方程的标准式，求出对应的a,b,c ，进而求出离心率.

【解析】选B.由离心率的概念得e 1=m

,

e 2=

m

，则e 1e 2，又m ＞n ＞0,

所以e 1e 2＜1=e 3,故选B.

6.【解析】选A.设与直线4x+3y-8=0平行的直线方程为4x+3y+c=0，与抛物线

联立方程组得2

4x 3y c 0

y x

++=??=-?，消去y 得3x 2-4x-c=0，Δ=(-4)2-4〓3〓(-c)=0，解

得c=43

-，则抛物线与直线4x+3y-8=0平行的切线是4x+3y 43

-=0，问题转化为两

平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得

48-

+｜｜

=4

3

，故选A.

7．【解析】选C.当0＜k ＜3时，则0＜3-k ＜3, ∴

2

2

x

y

3k

k

-

-=1表示实轴为x 轴的双曲线，

a 2+

b 2=3=

c 2.∴两曲线有相同焦点; 当k ＜0时，-k ＞0且3-k ＞-k ，∴2

2

x

y

3k

k

+

--=1表示焦点在x 轴上的椭圆.

a 2=3-k,

b 2=-k.∴a 2-b 2=3=

c 2 与已知椭圆有相同焦点.

8.【解析】选D.不妨设双曲线方程为

222

2

x y a

b

-

=1(a ＞0,b ＞0)，则可令F(c,0),

B(0,b)，直线FB ：bx+cy-bc=0与渐近线y=b

a

x 垂直，所以-

b c

?

b a

=-1，即b 2=ac ，

所以c 2-a 2=ac,即e 2-e-1=0,所以

2

或

2

舍去).

【方法技巧】离心率求解策略

(1)利用圆锥曲线方程：设法求出圆锥曲线的方程，再依方程求出a,b,c ，进而求出离心率；

(2)借助题目中的等量关系：充分利用已知条件中等量关系求出a,b,c 的等量关系，再对其等量关系进行变形，从而求出a,c 的关系；

(3)巧用圆锥曲线中的线段关系：圆锥曲线图形中通常会综合圆、三角形、四边

形等平面图形，掌握各平面图形自身特点，能快速找到对应的等量关系，如直径所对角为直角.

9.【解析】选A.由已知可得|AB|＝

S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距

C(x ，x 2

)，而l AB ：x ＋y-2＝02

x x 2

+-｜｜

，

所以x 2＋x-2＝〒2，

当x 2＋x-2＝2时，有两个不同的C 点； 当x 2＋x-2＝-2时，亦有两个不同的C 点． 因此满足条件的C 点有4个，故应选A. 10.【解析】选C.由双曲线x 2

-2

y

4

＝1知渐近线方程为

y ＝〒2x ，又∵椭圆与双曲线有公共焦点， ∴椭圆方程可化为b 2x 2＋(b 2＋5)y 2＝(b 2＋5)b 2， 联立直线与椭圆方程消y 得，x 2

＝

22

2

(b 5)b

5b 20

++.

设直线与椭圆一交点为E(x,y),x ＞0,y ＞,则y=2x=2?

,

,

∵2|OE|=A B 3

,|AB|=2a,

∴2|OE|=2a 3

,

∴=

2a 3

,

解得b 2=1

2

.

11.【解析】选A.如图所示，

双曲线的渐近线方程为：

y=〒

a

x,

若∠AOB=3

π，则θ=6

π,

tan θ=a

=

3

,

∴

. 又∵

∴e=c

a =

3

=

12.【解析】选

D.由FA =-4FB 知

F ，A ，B 三点共线，不妨设FB 长度为1个单位，

则｜FA ｜为4个单位，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C ，D,则有｜AC ｜=4，｜BD ｜=1，过B 点作BE 垂直AC ，垂足为E ，有｜AE ｜=3，由此得∠EAB 的正切值为4

3，由抛物线的对称可知有两条这样的直线.即得直线AB 的

斜率.

13.【解析】设正方形边长为1，则｜AB ｜=2c=1,∴c=1

2,｜AC ｜+｜BC ｜=1+

∴a=

12

，

∴e=c

a

=

1

2

14.【解析】当x ≥0时，方程2

x x y

9

4

-

=1化为

2

2

y

x

9

4

-

＝1；当x<0时，

2

x x y

9

4

-

=1

化为

2

2

y

x

9

4

+

=1，

∴曲线

2

x x y

9

4

-

=1是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形，结合图象可知(如

图)，直线y=x+3与曲线

2

x x y

9

4

-

=1的公共点的个数为3．

答案：3

【方法技巧】直线与圆锥曲线位置的判断

判断直线与圆锥曲线间的位置关系，一般用数形结合法.当直线的斜率不存在或为0时，用图形易判定直线与圆锥曲线间的关系；当直线的斜率存在且不为0时，可联立方程用判别式确定方程根的个数，进而确定直线与圆锥曲线间的关系，做题时要特别注意下面几点：

(1)若直线过椭圆内一点，则直线与椭圆一定相交.

(2)直线与双曲线相交有两种情形，一是两交点在双曲线的一支上，二是两交点分居两支.直线与双曲线只有一个公共点也有两种情形，一是直线与双曲线相切(对应判别式为0)，二是直线与双曲线相交只有一个交点(对应方程二次项系数为0).

(3)直线与抛物线只有一个公共点，也有两种情形，一是直线与抛物线相交，(此时直线与对称轴平行或重合)，二是直线与抛物线相切(对应判别式为0). 15.【解析】抛物线y 2

=的焦点F 为

(，设双曲线方程为x 2-3y 2=λ，43

λ

=(2

,∴λ=9，双曲线方程为

2

2

x

y

9

3

-

=1.

答案：

2

2

x

y

9

3

-

=1

【变式训练】已知抛物线的方程是y 2=8x ，双曲线的右焦点是抛物线的焦点，离心率为2，则双曲线的标准方程是_________，其渐近线方程是_________. 【解析】由抛物线的方程y 2=8x 得焦点为(2,0)，所以双曲线的实轴在x 轴上，且c=2，又离心率为2，所以a=1，又由b 2=c 2-a 2得b 2=3,所以双曲线的标准方程是2

2

y

x

3

-

=1，其渐近线方程是y=

x.

答案：2

2

y

x

3

-=1 y=

x

16.【解析】设抛物线上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=m(x-3)对称，A ，B 中点M(x,y)，则当m=0时，有直线y=0，显然存在点关于它对称. 当m ≠0

时，2

11

2

22

y x y x ?=??=???

1212

y y x x --=

12

1y y +=

12y

=1m

-

,

所以y=m 2

-，所以M 的坐标为(5

2

,m 2

-

)，∵M 在抛物线内，则有5

2

＞(m 2

-

)2，

得＜m

且m ≠0，综上所述，m ∈

(

).

答案：

(

)

【一题多解】设两点为A(x 1，y 1),B(x 2，y 2)，它们的中点为M(x ，y)，两个对称点连线的方程为x=-my+b ，与方程y 2=x 联立，得y 2+my-b=0 (*) 所以 y 1+y 2=-m ，即y=m 2

-

，

又因为中点M 在直线y=m(x-3)上，所以得M 的坐标为(52

,m 2

-

)，

又因为中点M 在直线x=-my+b 上，b=52

-2

m 2

，

对于(*)，有Δ=m 2+4b=10-m 2>0

，所以m

.

答案：

(

)

17.【解析】(1)焦点在x 轴上，设所求双曲线的方程为

222

2

x y a

b

-

=1.

由题意，得2222b 12,b c a ,c 5.

a

4?

?=?

=-???=?解得

a=8,c=10,b=6.

所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为

2

2

x

y

64

36

-

=1.

(2)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为

222

2

x y a

b

-

=1.

由题意，得2a 6

b 3

a

2=???=

??，解得a=3,b=9

2

.

所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为

2

2

x

y

819

4

-

=1.

同理可求当焦点在y 轴上时双曲线的方程为2

2

y

x

9

4

-

=1.

18.【解析】(1)设椭圆方程为222

2

x y a

b

+

=1(a ＞b ＞0),由已知

c=又c

a

3

解得

a=3,所以b=1, 故所求方程为

2

2

y

x

9

+=1.

(2)设直线l 的方程为y=kx+t(k ≠0)代入椭圆方程整理得(k 2+9)x 2+2ktx+t 2-9=0,

由题意得2222

(2kt)4(k 9)(t 9)0

2kt

1k 9??=-+-??-=-?+?

＞, 解得k

k ＜

.

19.【解析】(1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2

=4y.

(2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2=4y,当直线l 2斜率为0时 ｜PQ ｜

=.

当直线l 2斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2), P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),

则有x 12=4y 1,x 22=4y 2，两式作差得 x 12-x 22=4(y 1-y 2)，即得k=

12

x x 4

+=t

2

,

则直线方程为y-2=t 2

(x-t),与x 2=4y 联立得x 2-2tx+2t 2-8=0. 由根与系数的关系得x 1+x 2=2t,x 1x 2=2t 2-8, ｜PQ ｜

6,

即｜PQ ｜的最大值为6.

20.【解析】(1)双曲线C 的右准线l 的方程为：x=2

a

c

，与x 轴的交点为M,两条

渐近线方程为:y=〒b

a x.

∴两交点坐标为P(

2

a

c

,

ab c

),Q(

2

a

c

,-

ab c

).

∵△PFQ 为等边三角形，则有｜MF ｜2

｜PQ ｜(如图).

∴c-2

a

c

=

2(

ab c

+

ab c

),即

22

c a c

-=

c

解得∴e=c a

=2.

(2)由(1)得双曲线C 的方程为222

2

x y

a

3a

-

=1.

把代入得(a 2-3)2x +2x+6a 2=0.

依题意2422

a 30,12a 24(a 3)a 0

?-≠?

??=--??＞ ∴a 2＜6，且a 2≠3.

∴双曲线C 被直线y=ax+b 截得的弦长为

∵

22

b e a

=12a,∴144a 2

=(1+a 2

)24

2

2

72a 12a (a 3)

-?

-

整理得13a 4-77a 2+102=0. ∴a 2=2或a 2=

5113

,

∴双曲线C 的方程为

2

2

x

y

2

6

-

=1或

2

2

13x 13y

51

153

-

=1.

21.【解析】(1)直线l 过点M(0，1),设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1. 记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标是方程组

2

2y kx 1y x 14

=+ ??

?+

= ??①②的解.将①代入②并化简得

(4+k 2)x 2+2kx-3=0，

所以122122

2k x x ,4k

8y y .4k

?

+=-??+??+=??+

于是O P =

1

2(O A +OB )=(12

x x 2

+,

12

y y 2

+)=(

2

k 4k

-+,

2

44k

+),

设点P 的坐标为(x,y), 则

22

k x ,4k

4y ,4k

-?=??+?

?=??+消去参数k 得4x 2+y 2-y=0. ③

当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③， 所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y=0. (2)由点P 的轨迹方程知x 2≤

116

,即-14

≤x ≤1

4

.

所以｜NP

｜2=(x-12)2+(y-12

)2=(x-12

)2+14

-4x 2=-3(x+

116

)2+

712

,

故当

x=1

4时，｜NP

｜取得最小值，最小值为1

4

.

当x=-

116

时，｜NP

6

.

22.【解析】(1)由MA =(-2-x,1-y),M B

=(2-x,1-y),得 |MA +M B

,OM ?(O A +OB

)=(x,y)〃(0,2)=2y.

化简得曲线C 的方程是x 2=4y.

(2)直线PA,PB 的方程分别是y=-x-1,y=x-1,曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y=

0x 2

x-

2

0x 4

,且与y 轴的交点为F(0,2

0x 4

-

),

分别联立方程组

200y x 1,x x y x ,24=--???=

-??200y x 1,x x y x ,24

=-???=-??解得

D,E 的横坐标分别是x D =

0x 22

-,x E =

0x 22

+,

则x E -x D =2,|FP|=1-2

0x 4

,

故S △PDE =1

2

|FP|〃|x E -x D |=

12

〓(1-

2

0x 4

)〓2=

2

4x 4-, 而S △QAB =1

2

〓4〓(1-2

0x 4

)=

2

4x 2

-,

则

Q A B P D E

S S =2,即△QAB 与△PDE 的面积之比为2.