三坐标测量机的测头半径补偿与曲面匹配

三坐标测量机的测头半径补偿与曲面匹配

李　春　刘书桂

(天津大学精密测试技术与仪器国家重点实验室　天津　300072)

摘要　在非均匀双三次B—样条函数的基础上,导出自由曲面任意点的法矢量通用算法,进而提出自由曲面测头半径补偿公式;为了更好的消除自由曲面测量中的定位误差,提出了应用单纯形法,对测量原始点进行坐标平移和旋转变换,从而较好的解决了曲面匹配问题。

关键词　自由曲面　测头补偿　曲面匹配

The Probe Radius Compensation of Free-form Surface and Surface Matching

Li　Chun　Liu Shugui

(State K ey L abor atory of Pr ecision M easur ing T echnology and I nstr ument,

T ianj in Univ er sity,T ianj in300072,China)

Abstract　Based on non-uniform B-splines,a new current algorit hm w it h normal vect or of random f ree-form surf ace's point is deduced,and more,a formula w it h probe compensation is proposed.We offer a arit hmet ic named simplex met hod in order t o eliminat ing orient at ion error in the process of free-form surface measurement.It can sett le surface mat ching well by shif ting and rotating the measuring coordinat e syst em.

Key words　Free-f orm surf ace　Probe compensat ion　Surf ace matching

1　引 言

三坐标测量机由于其测量精度和智能化程度较

高,广泛应用于制造业的CAD/CAM、产品检测和质

量控制[1]。用三坐标测量机的球形测头测量自由曲面

时,得到的数据是测头中心轨迹,由于测头总有一定的

半径r,因此测得的是与被测曲面相距r的包络面。为

了得到所需的测量表面,需要求出球心轨迹面所构成

的包络面,这个过程被称为测头半径补偿。在实际测量

过程中,并不能做到实际曲面和标准曲面完全重合,需

要将被测曲面进行旋转、平移等坐标变换,使被测曲面

与标准曲面大致重合,从而达到曲面检测的目的,这个

过程称之为曲面匹配。

2　测头半径补偿方法

用球形测头测量曲面时,测头与被测曲面为点接触,

测头半径补偿的关键是确定曲面在接触点处的法矢。球测头与被测曲面接触时,球心一定在被测点的法线上,而且被测点一定在球心轨迹面过球心点的法线上。因此不论能否得知被测面的法线方向或是球心面的法线方向,都能对测头半径进行补偿。

本文提出了一种新方法,不在测量过程中补偿测头半径,而只是收集测头中心坐标值,然后应用曲面建模理论,计算出球心各点的法矢量值,继而补偿测头半径。

(1)自由曲面的偏导数求法

首先,根据三坐标测量机所得的原始测量点,我们可以反求出双三次B—样条自由曲面的模型[2]:

S(u,v)=∑

n

i=0

∑m

j=0

N i,4(u)N j,4(v)P i,j(1)

其中N

i,4

(u),N

j,4

(v)为双三次B—样条基函数, P i,j为控制预点。

先求曲面沿u向的切矢量,即对S(u,v)求偏导:

S u(u,v)=

u S(u,v)

=∑

m

j=0

N j,4(v i,

第24卷第4期增刊 仪　器　仪　表　学　报 2003年8月

=

∑m

j=0

N

j,4(v )

u

C j (u)(2)

这里,C j (u )=∑n

i=0

N

i,4

p (u )P i,j ,j =0,…,m 为B 样条曲线。

而C ′(u)=

∑n-1i=0

4N

i,3

(u)

P i+1-P i

u i+4-u i+1

,所以:

S u (u,v )=∑n-1

i=0∑m

j=04N i,3(u)N j,4(v)

P i+1,j -P i,j

u i+4-u i+1

(3)

同样,我们可以得出:

S v (u,v)=∑n

i=0∑m-1

j=04N i,4(u)N j,3(v)P i,j+1-P i,j

v i+4-v i+1

(4)

S u (u ,v )和S v (u ,v )分别为曲面上的点沿u 向和v 向的切矢量。

(2)曲面的测头半径补偿公式

被测曲面与测头中心轨迹曲面是法向等距面关系。测头中心轨迹曲面上的任意点处的单位矢量可以得出:

n

(u,v)=S u (u,v)×S v (u,v) S u (u,v)×S v (u,v)

(5)

其中S u (u ,v )和S v (u ,v )可以由式(3)(4)得出。根据测头半径值r,可以推出被测实际曲面的补偿公式为:

P (u ,v )=S (u ,v ) rn

(u ,v )

(6)

当测头位于被测曲面法矢量所指的一侧时,取“-”号,反之,取“+”号。

(3)计算机仿真结果

利用解析曲面进行数字仿真计算,用以考察所述方法的精度。

为了方便计算,我们考虑一个椭球面,方程为

x 2

300

2+

y 2

5002+z

2

3002

=1。在第一象限内非均匀的取点P ′i,j ,并用解析方法将其转换为法向等距面上的点S i,j ,模拟测量数据。应用本论文所述方法对得到的模拟数据进行曲面拟合与测头半径补偿,得到生成曲面上的点P i,j ,将其与原始数据P ′i,j 比较,以偏差e =max P ′i,j -P i,j 为指标。设测头半径r=5mm 。

表1　最大偏差e 的计算结果

n u /n v m u =10m u =20m u =300.6 1.26×10-4

4.

28×10-5 2.

24×10-50.78.25×10-5 3.57×10-5 1.75×10-50.8 2.23×10-5

1.09×10-5 6.31×10-60.9

——

1.58×10-5

8.29×10-6

设测量点数为m u ×m v ,令m u =m v =10,20,30,节点控制数n u =n v =(6/10 9/10)m u ,取得的偏差如下表,可以看出,偏差e 随着测量点数的增大而减小,节

点控制数也对偏差有一定的影响。

由此可见,本方法具有一定的计算精度。

3　曲面匹配

曲面匹配是曲面误差评价的基础,在曲面检测和逆向工程中,经常要用到曲面匹配。曲面的匹配实际上是一种受约束的拟合,利用测量点进行拟合的结果是一个其形状与理想轮廓曲面完全相同的曲面。将测量所得的原始点进行适当的平移和旋转后,理论曲面与测量曲面将“贴合”得相当完美。

(1)坐标系的“旋合”过程

假定被测曲面存在M 个原始理论点P ′i (x ′i ,y ′i ,z ′i )(i=1,2,…,M ),被测曲面的拟合模型为:z=f (x ,y)。

将M 个原始理论点P ′i 进行坐标平移和旋转变换,得出一组新的理论点值P i (x i ,y i ,z i )(i=1,2,…,M )。

x i y i z i

=A ・x ′i y ′i z ′i

+x 0y 0z 0

(7)

其中:

A =

cos cos +sin sin sin sin cos

-cos sin +sin sin cos

-sin cos +cos sin cos sin

cos cos

-sin

sin sin +cos sin cos cos cos

x 0,y 0,z 0是三个坐标平移量, , , 是三个坐标旋转量。

当x 0,y 0,z 0, , , 恰好是理论坐标系与测量坐标系之间的旋转平移关系时,M 个新理论点P i (x i ,y i ,z i )与拟合模型z =f (x ,y )最接近。

再定义一个新函数:F (x 0,y 0,z 0,

, , )=∑M

i=1

(f (x i

,y i

)-z i )

2

(8)

经过坐标变换后,M 个新的理论点P i 与拟合模型

z =f (x ,y )最接近时,F (x 0,y 0,z 0, , , )为最小,于是,曲面匹配的问题变成了求:

F(x 0,y 0,z 0, , , )→min (9)

时的x 0,y 0,z 0, , , 的值。

(2)单纯形法的求解思路

由于式(9)含有非线性运算(含有正弦、余弦),一般情况是先将它进行线性化,将其展开为泰勒级数形

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