全国硕士研究生入学考试数学二试题及解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试卷

一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）曲线221

x x

y x +=-渐进线的条数________

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

（2）设函数2()(1)(2)

()x

x

nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则(0)________f '=

（A ）1

(1)

(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -

（3）设0(1,2,3)n a n >=，123n n S a a a a =+++

+，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收

敛的_______.

（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分也非必要 （4）设2

sin (1,2,3)k x k I e xdx k π

=

=?

，则有______

（A ）123I I I << （B ）321I I I <<（C ）231I I I <<（D ）213I I I << （5）设函数(,)f x y 为可微函数，且对任意的,x y 都有

(,)

0f x y x

?>?，

(,)0f x y y ?成立的一个充分条件是

（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > （6）设区域D 由曲线sin y x =，2

x π

=±

，1y =围成，则

5

(1)D

x y dxdy -=?? （A ）π （B ）2 （C ）2- （D ）π-

（7）设1100c α?? ?= ? ???，2201c α?? ?= ? ???，3311c α?? ?=- ? ???，4411c α-??

?

= ? ???

，其中1234,,,c c c c 为任意常数，

则线性相关的向量组为

（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα

（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1

112P AP -?? ?= ? ???

，123(,,)P ααα=，1223(,,)Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）

（A ）100020001?? ? ? ??? （B ）100010002?? ? ? ??? （C ）200010002?? ? ? ??? （D ）200020001??

? ? ???

二、填空题：9-14小题，每小题4分。请将答案写在答题纸指定位置上。

（9）设()y y x =是由方程2

1y

x y e -+=所确定的隐函数，则22

x d y dx

==____________

（10）222

22

11

1

lim (

)12n n n n n n →∞

+++

=+++____________

（11）设1(ln )z f x y =+

，其中函数()f n 可微，则2z z x y x y

??+=??____________ （12）微分方程2

(3)0ydx x y dy +-=满足条件1

1x y ==的解为____________ （13）曲线2

(0)y x x x =+<上曲率为

2

的点的坐标是____________ （14）设A 为3阶矩阵，3A =，*

A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵

B ，则*BA =____________

三、解答题：15-23，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。 （15）（本题满分10分） 已知函数11

()sin x f x x x

+=-，记0lim ()x a f x →=

（Ⅰ）求a 的值

（Ⅱ）若当0x →时，()f x a -是k x 的同阶无穷小，求k 。

（16）

（本题满分10分） 求22

2

(,)x y f x y xe

+-=的极值

（17）（本题满分12分）

过点(0,1)作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又切线与x 轴交于B 点，区域D 由L

与线段AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 （18）（本题满分10分） 计算二重积分

D

xyd σ??，其中区域D 为曲线1cos (0)r θθπ=+≤≤与极轴围成

（19）（本题满分10分）

已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x

f x f x e '+=， （Ⅰ）求()f x 的表达式； （Ⅱ）求曲线2

20

()

()x

y f x f t dt =-?

的拐点。

（20）（本题满分10分）

证明：2

1ln cos 1,1112

x x x x x x ++≥+-<<- 。

（21）（本题满分10分） （Ⅰ）证明方程11n n x x x -++

+=（1n >的整数）

，在区间1

(,1)2

内有且有唯一个实根； （Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为n x ，证明lim n n x →∞

存在，并求此极限。 （22）（本题满分11分）

设1

00010001001a a A a a

?? ? ?= ?

???，1100b ??

?

- ?= ? ?

??

（Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）当实数a 为何值时，线性方程组Ax b =有无穷多解，并求其通解。

（23）（本题满分11分）

已知

1

10111001A a a ?? ? ?= ?

- ?-??

，二次型123(,,)()T T

f x x x x A A x =的秩为2.

（Ⅰ）求实数a 的值

（Ⅱ）求利用正交变换x Qy =将f 化为规范型。

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试卷解读

一、选择题： （1）【答案】C

【分析】本题考查渐近线的概念与求法. 【详解】水平渐近线：

因为22

lim lim 11

x x x x

y x →∞→∞+==-，所以该曲线只有一条水平渐近线； 垂直渐近线：

函数221x x y x +=-的定义域为1x ≠±，又因为22

11lim lim 1x x x x

y x →→+==∞-，22111

lim lim 12

x x x x y x →-→-+==-，所以该曲线只有一条垂直渐近线； 斜渐近线：

因为22

lim lim 11

x x x x

y x →∞→∞+==-，所以该曲线没有斜渐近线。 故应选(C). （2）【答案】A

【分析】考查导数定义或求导公式。本题既可以用导数定义求，也可求出导函数再代入点。

【详解】法一：由题设知(0)0f =

而0

()(0)

(0)lim

x f x f f x

→-'=

2200

(1)(2)()

(2)

()

lim lim

x x nx x nx x x e e e n x e e n x

x

→→-----==

210

lim(2)

()(1)(1)!x nx n x e e n n -→=--=--

法二：因为22()(2)

()(1)2()x x

nx x x

nx f x e e e n e e e n '=--+--

2(1)(2)

x x nx e e ne +

+--

所以1(0)1(1)(2)((1))(1)(1)!n f n n -'=----=--，故应选（A ）

（3）【答案】B

【分析】本题考查数列的性质和级数的性质。

【详解】法一：充分性：因为0n a >，所以数列n S 单调递增，又因为数列{}n S 有界，

所以数列{}n S 收敛，从而1lim lim()0n n n n n a S S -→∞

→∞

=-=。

非必要性：令1

n a n

=，则数列{}n a 收敛，而数列{}n S 无界； 故应选（B ）。

法二：充分性：因为0n a >，所以数列n S 单调递增，又因为数列{}n S 有界，所以数列{}n S 收敛，从而级数

1

n

n a

∞

=∑收敛，有级数收敛的必要条件可得lim 0n n a →∞

=

非必要性：令1

n a n

=，则数列{}n a 收敛，而数列{}n S 无界； 故应选（B ）。

（4）【答案】D

【分析】考查定积分性质、定积分换元积分法。

【详解】法一:先比较1I 与2I 大小 由于2

221sin 0,x I I e xdx π

π

-=

；

再比较2I 与3I 的大小

由于2

3322sin 0,x

I I e xdx π

π-=>?（因为(2,3)x ππ∈时，sin 0x >），所以32I I >；

最后比较1I 与3I 的大小 由于2

2

2

323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx π

π

π

π

π

π

-=

=+???

2

2

22()sin sin x u e xdx e

udu π

π

ππ

π

+=-??

2

2

2()[]sin 0x x e e xdx π

ππ

+=->?，所以31I I >；

故应选（D ）。 法二:2

10

sin x I e xdx π

=

?

；

2

2

2

2

222210

sin sin sin sin x x x x I e xdx e xdx e xdx I e xdx π

π

π

π

ππ

==+=+????，

因为(,2)x ππ∈时sin 0x <，2

0x e

>，所以2sin 0x e x <，并且2

sin x e x 连续，所以

2

2sin 0x e xdx π

π

2

2

2

2

32330

2sin sin sin sin x x x x I e xdx e xdx e xdx e xdx

π

π

π

π

ππ

==++????

2

2

2312sin sin x x I e xdx e xdx π

π

π

π

=++??

令x u π=+，则

2

2

32()2

sin sin()()

x u e xdx e u d u π

π

ππ

πππ+=--??

2

2

22()()sin sin u x e udu e xdx π

π

πππ

π

++=-=-??

从而

2

2

232sin sin x x e xdx e xdx π

π

π

π+??

2

2

22

222()()sin sin ()sin x x x x e xdx e

xdx e e

xdx

π

π

π

πππ

π

π

++=-=-???

当(,2)x ππ∈时，显然有2

2

()x x π<+，所以

22

()0x x e e π+-<，sin 0x <，

从而2

2

()()sin 0x x e e x π+->，又因为2

2

()()sin x x e e x π+-连续，所以有

22

2()()sin 0x x e e xdx π

ππ

+->?，

故13I I <。

综上213I I I <<，故应选（D ）。

（5）【答案】A

【分析】本题考查偏导数与导数关系、单调的判定定理。

【详解】因为

(,)

0f x y x

?>?，若12x x >，则1121(,)(,)f x y f x y >； 又因为

(,)

0f x y y

?，

所以当12x x >，12y y <时，1122(,)(,)f x y f x y >，故应选（A ）

（6）【答案】D

【分析】二重积分的计算，首先应画出区域D ，观察其是否具有某种对称性，如具有对称性,则应先考虑利用对称性化简二重积分，然后选择适当坐标系化为二次积分计算。 【详解】法一：画出积分区域D 的草图如右图所示。用曲线sin y x =-将D 划分为如图所示

1234D D D D D =+++

显然12D D +关于x 轴对称，34D D +关于y 轴对称，从而由对称性可得 ：

1234

5

55(1)D

D D D D D

D

x y dxdy x ydxdy x ydxdy dxdy dxdy ++-=+

-=-????

??????

1

222sin 2

2

2

(1sin )x

dx dy x dx dx π

π

π

ππππ--

-

=-=--=-=-??

??

故应选（D ）

（7）【答案】C

【分析】 考查向量组线性相关的判定.三个三维向量构成的向量组既可以用行列式是否为零来判是否线性相关，又可以利用矩阵的秩来讨论。本题利用行列式判定快速、直接。

【详解】 因为123112

3

01(,,)0

1

1c c c c ααα=-=-； 124112

4

01(,,)0

1

1c c c c ααα-==； 1341

3

4

11(,,)0

110c c c ααα-=-=； 234342

3

4

2

34

4

11001

(,,)1

111

01()c c c c c c c c c ααα--=-==++。 由于1234,,,c c c c 为任意常数，所以134,,ααα线性相关。故应选（C ）。 （8）【答案】B

【分析】考查矩阵的运算。将Q 用P 表示，即100110001Q P ??

?

= ? ???

，然后代入计算即可。

【详解】由于123(,,)P ααα=，所以1223100(,,)110001Q P αααα??

?

=+= ? ???

，则

1

111100100110110001001Q P P ----????

? ?

==- ? ? ? ?????

，故

11100100110110001001Q AQ P AP --???? ? ?

=- ? ? ? ?????

100100100100110010110010001002001002???????? ????? ?=-= ????? ? ????? ?????????

故应选（B ）。

二、填空题 （9）【答案】1

【分析】考查隐函数求导数，常用方法是用微商或隐函数求导法则完成。

【详解】法一：将0x =代入方程2

1y

x y e -+=，可得0y =。 方程2

1y

x y e -+=两端对x 导数，得2y

x y e y ''-=，所以2'1

y x

y e =

+，故'(0)0y =； 方程2y

x y e y ''-=两端再对x 求导数，得2

2()y

y

y y e e y '''''-=?+?，从而可以得到

(0)1y ''=。

法二：将0x =代入方程2

1y

x y e -+=，可得0y =。 方程2

1y

x y e -+=两端微分得：2y

xdx dy e dy -=，从而

21y

dy x

dx e

=+，且(0)0y '= 又

2

2

22[(1)]2[(1)]1(1)(1)

y y y y

y y y x dy d

e xe d y

e dx xe dy e dx dx

dx e dx e +-+-+===++，从而(0)1y ''=。 （10）【分析】考查定积分的概念及n 项和数列求极限。

【详解】222

22

11

1

lim (

)12n n n n

n n

→∞

+++

+++ 12021

111lim 14()1n n i dx i n x n

π

→∞====++∑?

（11）【答案】0

【分析】考查多元复合函数求偏导数，利用复合函数的链式法则或微分完成。

【详解】法一：由于

1z f x x ?'=??，21()z

f y

y ?'=?-?，于是2

0z z x y x y ??+=??。 法二：2111(ln )()dz f d x f dx dy y x y ''=?+

=?-，从而1

z f x x

?'=??，

21()z f y y ?'=?-?，故20z z x y x y

??+=??。 （12）【答案】2

x y =

【分析】将变量x 当做函数，变量y 做自变量，则方程为一阶线性微分方程，用公式求出通解，代入初始条件即可。

【详解】方程可整理为

1

3dx x y dy y

+=，将x 看做因变量，为一阶线性非齐次微分方程，通解1

1

(3)dy

dy

y y x e

ye

dy c -

??=+?，即2c x y y

=+

。 由11x y ==，解得0c =，所以所求特解为2

x y =。 （13）【答案】(1,0)-

【分析】考查曲率的概念与计算。代入公式计算便可。 【详解】由于21y x '=+，2y ''=，所以可得

3

22

22

[1(21)]

x =

++，解得1x =-，此时0y =，故所求曲线上的点为(1,0)-。

（14）【答案】*

27BA =-

【分析】考查伴随矩阵的性质与矩阵行列式的性质与运算。 【详解】由于3B A =-=-，2

*

9A A ==，所以*27BA =-。

三、解答题 （15）【分析】（Ⅰ）求未定式的极限，主要考查等价无穷小代换、洛必达法则或泰勒公式；（Ⅱ）考查无穷小比较，可用无穷小比较的定义写出一个极限式，由极限的逆问题算出k 。

【详解】（Ⅰ）法一：200011sin lim ()lim()lim sin sin x x x x x x x

a f x x x x x →→→++-==-=

2200sin 21cos lim lim 2x x x x x x x

x x

→→+-+-== 02sin lim

12

x x

→+==

法二：200011sin lim ()lim()lim sin sin x x x x x x x

a f x x x x x

→→→++-==-=

222

0())lim 1x x x x o x x →+-+==（ （Ⅱ）法一：由于211sin sin ()1sin sin x x x x x x

f x a x x x x

++---=--= 由题设0()lim k x f x a

c x →-=（非零常数），即20sin sin lim sin k x x x x x x c x x x →+--=?（非零常数） 所以2100sin sin 21cos cos sin lim lim (2)k k x x x x x x x x x x x x

c x x x k x

+→→+--+---==??+ 02cos cos sin sin lim

(2)(1)k x x x x x x k k x →--++=++ 1

0cos 3sin cos lim

(2)(1)k x x x x x

k k kx -→++=++

要使上极限存在且非零，必有1k =。

法二：由于211sin sin ()1sin sin x x x x x x

f x a x x x x

++---=--= 而3

31sin ()3!

x x x o x =-

+，所以 2441

sin ()3!

x x x x o x =-+，

223324411

sin sin (())(())3!3!

x x x x x x x x x o x x x o x +--=+--+--+ 334433111

()()()3!3!3!

x o x x o x x o x =

-+-=+ 综上可知：3

32001()

()11

3!lim lim sin 3!

x x x o x f x x x x →→+-==，故1k =

（16）【分析】二元显函数求极值，先求出所有驻点，然后利用无条件极值的充分条件判定每一个驻点是否是极值点，是极大还是极小，并求出极值点的函数值。

【详解】由于

22

22

22

222

2

2

(1)x y x y x y f e x e

x e

x

+++-

-

-

?=-=-?，

222

x y f

xye y

+-

?=-?

解方程组：2

2222

2

2

(1)0

x y x y f x e x

f

xye y

+-+-

??=-=???

?

??=-=???

可得：10x y =??

=?或1

x y =-??=?。所以函数(,)f x y 全部

驻点为(1,0)、(1,0)-。

又

2

222

22

22

2

2

[2(1)](3)x y x y f x x x e x x e

x ++--

?=---=-?

2

222

2

(1)x y f y x e x y

+-?=-??

2

222222222

2

2

2

(1)x y x y x y f

xe xy e

x y e

y +++--

-

?=-+=-?

对驻点(1,0)，由于122

2

(1,0)

20f

A e

x -

?=

=-

2

(1,0)

f

C e

y

-

?==-?所以2

1

20B AC e

--=-<，且0A <，从而12

(1,0)f e

-=为极大值；

对驻点(1,0)-，由于122

2(1,0)

20f

A e

x -

-?=

=>?，2(1,0)

0f

B x y -?==??，

122

2

(1,0)

0f C e

y

-

-?==>?，所以2

1

20B AC e --=-<，且0A >，从而12

(1,0)f e

--=-为

极小值。

（17）【分析】本题主要考查导数的几何应用与定积分的几何应用。先根据题设求出切点，进而写出切线方程求出B 点坐标，利用面积和旋转体体积公式求出面积和体积。

【详解】设切点A 的坐标为00(,ln )x x ，由于1

(ln )y x x

''==，由题意知曲线在A 点的切线过(0,1)点，从而

000

ln 11

0x x x -=-，解得20x e =，故切点A 的坐标是2(,2)e ，所以切

线C 方程为2

21:2()C y x e e -=

-，即2

1:1C y x e

=+， 易求得切线C 与x 轴交点2

(,0)B e -，从而区域D 的面积

2

22220

[(1)]1(22)1y S e e y dy e e e =--=---=-?

或 2

222

21

1(1)ln 1e e e S x dx xdx e e -=+-=-??

D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积

2

2

2

2

2

2[(1)]22(1)y y V y e e y dy ye dy e

y y dy πππ=?--?=--???

2

2

2322

00

112()22()32

y y ye e e y y πππ=---

22282

222(2)233e e e πππππ=+--=+

或2222222

111122ln 33

e e V r h y dx e xdx ππππ=-=??-??

2222

118(ln 2ln )3

e e e x x xdx ππ=--?

2222

18(442ln )3

e e e e xdx ππππ=--+?

22

23

e ππ=+

（18）【分析】考查初等函数的二重积分，化为极坐标系下的二次积分计算。

【详解】

1cos 30

sin cos D

xyd d r dr π

θ

σθθθ+=???

?

144

0111sin cos (1cos )(1)44d u u du πθθθθ-=

+=+?? 12

441011[(1)1](1)(1)(1)44u u d u t t dt -=+-++=-?? 652011116()46515t t =-=

（19）【分析】（Ⅰ）求出方程()()2()0f x f x f x '''+-=的通解代入方程()()2x

f x f x e

'+=确定任意常数即可，或方程()()2x

f x f x e '+=两端求导数与()()2()0f x f x f x '''+-=解出();f x （Ⅱ）将（Ⅰ）中得到的函数表达式代入2

20

()()x

y f x f t dt =-?

，然后利用常规方

法求得拐点。

【详解】（Ⅰ）法一：()()2()0f x f x f x '''+-=的特征方程为220λλ+-=，解得

122,1λλ=-=,所以212()x x f x C e C e -=+；

将212()x x f x C e C e -=+代入'()()2x

f x f x e +=，得21222x x x

C e C e e --+=，所以

10C =，21C =，故()x f x e =。

法二：方程()()2x

f x f x e '+=两端求导数得

()()2x f x f x e '''+=

将上式代入()()2()0f x f x f x '''+-=，可得()x

f x e =。

（Ⅱ）由于2

2

x

x t y e

e dt -=?

，从而

2

2

21x

x t y xe e dt -'=+?

2

2

2

22

2

220

2422(12)2x

x

x

x

t x

t x

t y e e dt x e e dt x x e e dt x ---''=++=++?

?

?

从而定义域内y ''为零或不存在点只有0x =，而 当0x >时，2

2

2(12)0x x e

+>，因为2

0t e

->，所以2

0x

t e dt ->?，20x >，所以0y ''>

当0x <时，2

22(12)0x x e +>，因为2

0t e

->，所以2

0x

t e dt -

又(0)0y =，所以(0,0)是曲线2

20

()()x

y f x f t dt =-?

的拐点。

（20）【分析】证明函数不等式，由于不等式的形状为()()f x g x ≤，故用最大最小值法完成。

【详解】令2

1()ln cos 1,1112

x x f x x x x x +=+---<<-，则 2

11112()ln

()sin ln sin 11111x x x f x x x x x x x x x x x ++'=++--=+---+--- 222222

22(1)4

()cos 1cos 10,(11)1(1)(1)

x f x x x x x x x +''=+--=-->-<<--- 从而()f x '单调递增，又因为(0)0f '=，所以当10x -<<时，()0f x '<；当01x <<时，

()0f x '>，从而(0)0f =是()f x 在区间(1,1)-内的最小值，从而当11x -<<时，恒有()(0)f x f ≥，即21l n

c o s 1012x x x x x ++--≥-，亦即2

1ln cos 1,1112

x x x x x x ++≥+-<<-

（21）【分析】（Ⅰ）用零点定理证明至少有一个实根，用单调性证明最多有一个实根；（Ⅱ）用单调有界准则证明。

【详解】（Ⅰ）令1

()1n

n f x x x

x -=++

+-，所以函数()f x 在闭区间1

[,1]2

连续，

又因为(1)10f n =->，111(1)

1111122()()()1112222212

n n n n

f --=+++-=-=--，由零点定理知在1(,1)2

内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=，即方程1

1n n x x x -+++=在区间

1

(,1)2

内至少有一个实根； 又因为211()1230(1)2n f x x x nx x -'=+++><<，所以()f x 在1

[,1]2

单调增加，所

以方程11n n x x x -++

+=在1

(,1)2

内最多有一个实根；

综上可得方程11n n x x x -+++=（1n >的整数）

，在区间1

(,1)2

内有且有唯一个实根。 （Ⅱ）由Ⅰ）可知1

2

n x >

，从而数列{}n x 有下界， 又因为1

1n n n n n x x x -++

+=，11111n n

n n n x x x ++++++

+=，所以

2

12

1111()0n n n n n n n n n n x x x x x x x +++++++++-++

+=

从而2

2

1

1111()0n n n n n n n n n n x x x x x x x ++++++++-+++=-< 而2

2111()n n n n n n n n x x x x x x +++++

+-++

+

12132

1

11111()[1()()]n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ----+++++=-+++

+++

+

所以10n n x x +-<，即数列{}n x 单减。由单调有界准则可知极限lim n n x →∞

存在。

由11n

n n n

n x x

x -++

+=可知 (1)

11n

n n n

x x x -=-

由于10n n x x +-<，所以101n x x <<<，从而lim 0n

n n x →∞

=，记lim n n x a →∞

=，则

11a a =-，从而12

a =。

（22）【分析】考查行列式的计算、线性方程组解的存在性定理。（Ⅰ）按第一列展开；（Ⅱ）对增广矩阵进行初等航变换化为阶梯型求出a ，进一步化为行最简形求通解。

【详解】（Ⅰ）

4100

100001001101001001

01001

a a a a A a a a a a a

a =

=-=-

（Ⅱ）对增广矩阵进行初等行变换，有

2

3

21

00

110011

001

10101010101()001000

100

1

000100010

01a a

a a a a A

b a a a a a a a a a ??????

??????---?

??

??

?=→→??????

???

??

?

----??????

4

21001

0101001

00

001a a a

a a a ????-??→??

??---??

因为线性方程组Ax b =有无穷多解，所以4

2

10

a a a ?-=??--=??，解得1a =-。 将增广矩阵进一步化为行最简形，有

110011

001

0011010

1011()0011000110000000

0000A b --????

????----?

???→→????

--????

????

从而可知导出组的基础解系为(1,1,1,1)T

η=，非齐次方程的特解为*

(0,1,0,0)T

η=-，所以通解为(1,1,1,1)(0,1,0,0)T

T

x k =+-，其中k 为任意常数。

（23）【分析】考查矩阵秩的概念与求法及其性质、特征值与特征向量的求法。（Ⅰ）利用秩的性质得到矩阵A 的秩为2，再利用初等行变换将A 化为阶梯型即可求出a ；（Ⅱ）求出矩阵B 的特征值与全部线性无关的特征向量，将他们正交化、单位化可得到正交矩阵Q 。

【详解】（Ⅰ）由于()()T r A r A A =，而二次型的秩为2，即()2T

r A A =，故()2r A =。

对矩阵A 作初等行变换化为阶梯型，有

1

11011010110110111000101001010001A a a a a a a ?????? ? ? ?

? ? ?

=→→ ? ? ?-++ ? ? ?-++??????

从而()21r A a =?=-。此时

二次型矩阵101101020201101010221011111224011T B A A ??

-????????????==-=??????--????--??????

--??

（Ⅱ）由于2

2

2(2)0

0220222

24224

E B λλλλλλλλ-----=

--=--------

22

00

02

2(2)(6)2

4

4

λλλλλλ-=

--=-----

所以矩阵B 的特征值为1230,

2,6λλλ===

解方程组(0)0E B X -=，得其基础解系为1(1,1,1)T

α=-，即矩阵B 属于特征值0

λ=的线性无关的特征向量为1α；

解方程组(2)0E B X -=，得其基础解系为2(1,1,0)T

α=-，即矩阵B 属于特征值

0λ=的线性无关的特征向量为2α；

解方程组(6)0E B X -=，得其基础解系为3(1,1,2)T

α=，即矩阵B 属于特征值0

λ=的线性无关的特征向量为3α。

由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以123,,ααα相互正交，再将

123,,ααα单位化得：

11)T β=

-，

21,1,0)T β=-，

32)T β= 令(

)123,,0

Q βββ==，则Q 是正交矩阵，则在正交变换x Qy =下，二次型f 化为规范型为22

2326f y y =+。