功和功率,动能定理

第一部分功和功率
知识要点梳理
知识点一——功和功的计算
▲知识梳理
1．功的定义
一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力对物体做了功。

2．做功的两个必要因素
力和物体在力的方向上发生的位移，缺一不可。

如图甲所示，举重运动员举着杠铃不动时，杠铃没有发生位
移，举杠铃的力对杠铃没有做功。

如图乙所示，足球在水平地
（2）当恒力F的方向与位移l的方向成某一角度时，面上滚动时，重力对球做的功为零。

3．功的物理意义：功是能量变化的量度
能量的转化跟做功密切相关，做功的过程就是能量转化的过
程，做了多少功就有多少能量发生了转化，功是能量转化的量度。

4．公式
（1）当恒力F的方向与位移l的方向一致时，力对物体所做的功为W = Fl。

力F物体所做的功为．即力对物体所做的功，等于力的
大小、位移的大小、力与位移的夹角的余弦这三者的乘积。

5．功是标量，但有正负
功的单位由力的单位和位移的单位决定。

在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。

一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功（取绝对值）。

这两种说法在意义上是相同的。

例如竖直向上抛出的球，在向上运动的过程中，重力对球做了－6J的功，可以说成球克服重力做了6J的
功。

由，可以看出：①当=0时，
，即，力
对物体做正功；
②当时，
，力对物体做正功。

①②两种情况都是外界对物体做功。

③当时，力与位移垂直，
，即力对物体不做功，即外界和物体间无能量交换；
④当时，
，力对物体做负功；
⑤当时，
，此时，即力的方向与物体运动位移的方向完全相反，是物体运动的阻力。

④⑤两种情况都是物体对外界做功。

6．合力的功
当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力的合力对物体所做的功，等于各个力分别对物体所做功的代数和。

求合力的功可以先求各个力所做的功，再求这些力所做功的代数和；也可先求合外力，再求合外力的功；也可用动能定理求解。

▲疑难导析
一、功的正负的理解和判断
1．功的正负的理解
功是一个标量，只有大小没有方向。

功的正负不代表方向，也不表示大小，只说明是动力做功还是阻力做功，或导致相应的能量增加或减少。

2．常用的判断力是否做功及做功正负的方法
（1）根据力和位移方向的夹角判断：
①当时，
，力对物体做正功；②当时，
，力对物体做负功，也称物体克服这个力做了功；
③当时，
，力对物体不做功。

（2）根据力和瞬时速度方向的夹角判断。

此法常用于判断质点做曲线运动时变力做的功。

① 时，力F对物体不做功。

例如，向心力对物体不做功；作用在运动电荷上的洛伦兹力对电荷不做功；
②当时，力F对物体做正功；
1．功的公式：，
③当时，力F对物体做负功，即物体克服力F做功。

（3）根据质点或系统能量是否变化，彼此是否有能量转移或转化进行判断。

若有能量的变化，或系统
内各质点间彼此有能量的转移或转化，则必定有力做功。

二、功的计算方法
是力的作用点沿力的方向上的位移，公式主要用于求恒力
做功和F随l做线性变化的变力做功（此时F取平均值）。

2．合力做功的计算
（1）合力做的功等于各力做功的代数和。

即（2）先求出物体受到的合力，再由
求解，但应注意
应为合力与位移l的夹角，
在运动过程中保持不变。

3．变力做功的求解方法
（1）用动能定理或功能关系（功是能量转化的量度）
（2）将变力的功转化为恒力的功
①当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力做的功等于力和路程（不是位移）的乘积，如滑动摩擦力、空气阻力做功等。

②当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值
，再由计算，如弹簧弹力做功。

③作出变力F随位移变化的图象，图线与横轴所夹的“面积”即为变力所做的功。

如图所示。

④变力的功率P一定时，可用求功，如机车牵引力做的功。

：一位质量m=60 kg的滑雪运
动员从高h=10 m的斜坡自由下滑．如果运动员在下滑过程中所受到的阻力F=50 N，斜坡的倾角
=，运动员滑至坡底的过程中，所受的几个力做的功各是多少这些力所做的总功是多少(g取
10)
解析：如图所示，滑雪运动员受到重力、支持力和阻力的作用。

运动员的位移为：m，方向沿斜坡向下
所以，重力做功：J 支持力所做的功：
阻力所做的功：J
这些力所做的总功J。

知识点二——功率
▲知识梳理
1．功率是描述力做功快慢的物理量，是功与所用时间的比值。

定义式①导出式②（其中
中F和v两矢量的夹角）
①式中求出的P为平均功率，若功率一直不变，亦为瞬时功率。

②式中若v为平均速率，则P为平均功率；若v为瞬时速率，则P为瞬时功率。

一般情况下，求平均功率使用，求瞬时功率使用。

2．功率的单位是瓦特。

3．额定功率和实际功率
额定功率是指任意机械在正常条件下可以长时间工作而不损坏机械的最大输出功率，实际功率是指机械实际工作时的功率。

一般情况下，实际功率可以小于或等于额定功率，而在特殊情况下实际功率可以超过额定功率，只能是较短时间，但尽量避免。

4．力的功率
当力F和速度v在一条直线上，力的功率；当F与v垂直，则F的功率P=0；当F与v成任意夹角，则F的功率。

▲疑难导析
机车的启动的两种方式：
1．机车以恒定的功率启动机车以恒定的功率启动后，若运动过程中所受阻力
不变，由于牵引力
，随v增大，F减小，根据牛顿第二定律
，当速度v增大时，加速度a减小，其运动情况是做加速度减小的加速运动，直至时，a减小至零，此后速度不再增大，速度达到最大值而做匀速运动，做匀速直线运动的速度是。

这一过程的
关系如图所示。

2．车以恒定的加速度a启动
由知，当加速度a不变时，发动机牵引力F恒定，再由
知，F一定，发动机实际输出功率P随v的增大而增大，但当P增大到额定功率以后不再增大，此后，发动机保持额定功率不变，v继续增大，牵引力F
减小，直
至时，a＝0，车速达到最大值
，此后匀速运动。

在P增至之前，车匀加速运动，其持续时间为
（这个必
定小于，它是车的功率增至
之时的瞬时速度）。

计算时，利用，先算出F，再求出，最后根据
求；在P 增至之后，为加速度减小的加速运动，直至达到。

这一过程的
关系如图所示。

特别提醒：
①在机车以恒定的加速度启动时，匀加速结束时刻的速度，并未达到整个
过程的最大速度。

②中的F仅是机车的牵引力，而非车辆所受合力，这一点在计算题目时极易出错。

：质量为m的汽车在平直公路上行驶，阻力F保持不变。

当它以速度v、加速度a加速前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从此时开始，发动机始终在额定功率下工作。

（1）汽车的加速度和速度将如何变化说出理由。

（2）如果公路足够长，汽车最后的速度是多大？
解析：
（1）汽车的加速度减小，速度增大。

因为，此时开始发动机在额定功率下运动，
即，v增大则
减小，而，所以加速度减小。

（2）当加速度减小到0时，汽车做匀速直线运动，，
所以，
此为汽车在功率P下行驶的最大速度。

典型例题透析
类型一——恒定功的分析和计算
恒力做功的计算一般根据公式，注意l严格的讲是力的作用点的位移。

1、在水平粗糙地面上，使同一物体由静止开始做匀加速直线运动，第一次是斜向上的拉力F，第二次是斜向下的推力F。

两次力的作用线与水平方向间的夹角相同，力的大小也相同，位移大小也相同．则（）
A．力F对物体做的功相同，合力对物体做的总功也相同
B．力F对物体做的功相同，合力对物体做的总功不相同
C．力F对物体做的功不相同，合力对物体做的总功相同
D．力F对物体做的功不相同，合力对物体做的总功也不相同
举一反三
【变式】如图所示，质量为m的物体静止在倾角为的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数为
，现使斜面水平向左匀速移动距离l，求：
（1）物体所受各力对物体所做的功各为多少？
（2）斜面对物体做的功是多少各力对物体所做的总功是多少
类型二——变力做功的计算
将变力做功转化为恒力做功，常见的方法有三种：
1．如力是均匀变化的可用求平均力的方法将变力转化为恒力。

2．耗散力（如空气阻力）在曲线运动（或往返运动）过程中，所做的功等于力和路程的乘积，不是力
和位移的乘积，可将方向变化大小不变的变力转化为恒力来求力所做的功。

3．通过关联点的联系将变力做功转化为恒力做功。

2、人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50 kg的
重物，如图所示，开始时绳与水平方向夹角为，当人匀速
提起重物由A点沿水平方向运动l=2m而到达B点，此时绳与水平方向成
角，求人对绳的拉力做了多少功(g取
举一反三10）
1．平均功率的计算：或【变式】一辆汽车质量为kg，从静止开始运动，其阻力
为车重的倍，其牵引力的大小与车前进的距离变化关系是
车所受的阻力。

当车前进100 m时，牵引力做的功是多少？
类型三——功率的计算
2．瞬时功率的计算：
当力F和速度v在一条直线上，力的功率。

3、如图所示，质量m=2㎏的木块在倾角
的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数
为，已知：sin＝0. 6，cos=0. 8，g取
10，求：
（1）前2s内重力做的功；
（2）前2s内重力的平均功率；
（3）2s末重力的瞬时功率。

举一反三
【变式】质量为m=5. 0㎏的物体，以10 m/s的速度水平抛出，求抛出后第1s内重力做
功的平均功率和抛出后第1s的瞬时功率。

(g取
1．分析功率的大小可用：①；
10）
类型四——机车运动中的功率及图象问题
②
2．结合图象解决机动车运动过程中的功和功率问题，首先要明确不同力的功和功率。

3．对图象进行分析时，要判断出物体的运动性质：匀加速、匀速、变加速、变减速，进而分析出牵引力和阻力的大小关系，根据
分析力的变化情况。

4、汽车在平直公路上以速度
匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为
，时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到
时刻，汽车又恢复了匀速直线运动。

能正确表示这一过程中汽车牵引力F和速度v随时间t变化的图象是（）
举一反三
【变式】一汽车在平直路面上以一定功率（小于额定功率）匀速行驶，速度为
，从t=0时刻开始，将汽车发动机的输出功率调整为某个值并保持不变，设汽车行驶过程所受阻力恒定不变，则汽车从t=0时刻开始的
图象可能是（）
A．只有②正确 B．只有②④正确 C．只有②③正确 D．只有①④正确
第二部分动能和动能定理
知识要点梳理
知识点一——动能
▲知识梳理
1．动能
物体由于运动所具有的能，其计算公式为。

2．动能是标量
是描述物体运动状态的物理量，其单位与功的单位相同。

国际单位是焦耳（J）。

▲疑难导析
1．动能是一个状态量
由于速度具有相对性，故动能也具有相对性，一般取地面为参考系。

2．一个物体速度变化了，动能不一定变化，但动能变化了，速度一定发生变化这是因为速度是一个矢量，而动能是一个标量。

3．由于动能是一个标量，因此一个物体的动能不会小于零
：物体由于运动而具有的能叫做动能，动能大小等于物体质量与其速度平方乘积的一半。

以下选项中动能最大的是（）
A．踢出的足球 B．飞行中的运载火箭
C．从炮口飞出的炮弹 D．从枪口飞出的子弹
知识点二——动能定理
1．动能定理
合外力对物体所做的功等于物体动能的变化，这个结论叫做动能定理。

2．动能定理的表达式。

式中W为合外力对物体所做的功，为物体末状态的动能，
为物体初状态的动能。

动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度，中学物理中一般取地球为参考系。

3．动能定理的研究对象一般是单一物体，或者可以看成单一物体的物体系
动能定理既适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功。

力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。

只要求出在作用过程中各力做功的多少和正负即可。

这些正是动能定理解题的优越性所在。

若物体运动过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以视全过程为整体来处理。

4．应用动能定理解题的基本步骤
（1）选取研究对象，明确它的运动过程。

（2）分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况：受哪些力每个力是否做功做正功还是做负功做多少功然后求各个外力做功的代数和。

（3）明确物体在始、末状态的动能和。

（4）列出动能定理的方程及其他必要的辅助方程，进行求解。

▲疑难导析
关于动能定理的几点说明
1．动能定理中的是物体所受各力对物体做的总功，它等于各力做功的代数和，即若物体所受的各力为恒力时，可先求出，再求。

2．动能定理虽然是在物体受恒力做直线运动时推导出来的，但对于物体受变力做曲线运动时，动能定理同样适用。

3．对涉及单个物体的受力、位移及始末速度的问题，尤其不涉及时间时应优先考虑动能定理。

4．若物体运动包含几个不同过程时，可分段运用动能定理列式，也可以全程列式（不涉及中间速度时）。

5．一个物体动能的变化与合外力做的功
具有等量代换的关系。

因为动能定理实质上反映了物体动能的变化，是通过外力做功来实现的，并可以用合外力的功来量度。

>0，表示物体动能增加，其增加量就等于合外力做的功；
<0，表示物体动能减少，其减少量就等于合外力做负功的绝对值；
=0，表示物体动能不变，合外力对物体不做功。

这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法。

6．动能定理是一个标量式，应用时不能说在某一方向上使用动能定理。

7．通常认为动能定理仅适用于单个物体，且定理中所说的“物体”是对质点而言，不能视为质点的物体不能应用动能定理。

如图所示，用力F将弹簧缓慢拉伸一段距离x而静止，固定端墙壁对弹簧不做功，运动的一端拉力对弹簧做功，总功不为零，原因在于整个弹簧不能视为质点，动能定理不适用。

仅对弹簧中的某个质点而言，两侧弹簧对它的拉力所做的功大小相等，符号相反，即合外力做的总功为零，因而动能无变化。

典型例题透析
类型一——应用动能定理时过程的选取问题
在应用动能定理时，针对这种多过程问题，既可以分段利用动能定理列方程求解，也可以对全过程利用动能定理列方程求解，解题时可灵活选择应用。

不过全过程用动能定理列方程求解往往比较简捷，应优先考虑。

1、如图所示，一质量为2㎏的铅球从离地面2m高处自由下落，陷入沙坑2 cm深处，求沙子对铅球的平均阻力。

（g取
1)
举一反三
【变式】如图所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧，BC为水平的，其距离d=0.50 m，盆边缘的高度为h=0. 30 m．在A处放一个质量为m的小物块并让其从静止出发下滑。

已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数为
=0. 10．小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停的地点到B的距离为（）
A．0. 50 m
B．0. 25 m
C．0. 10 m
D．0
类型二——利用动能定理求变力做功的问题
如果是恒力做功问题，往往直接用功的定义式求解。

但遇到变力做功问题，需借助动能定理等功能关系进行求解。

分析清楚物理过程和各个力的做功情况后，对全过程运用动能定理可简化解题步骤。

2、质量为m的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用。

设某一时刻小球通过轨道的
最低点，此时绳子所受拉力为7，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（）
A．B．C．D．
小球在最高点：得
举一反三
【变式】如图所示，质量为m的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的k倍，它与转轴相距R。

物块随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动，在物块由静止到开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为（）
A． B．0 C．D．
类型三——动能定理的综合应用
在应用动能定理解题时，应注意受力分析和过程分析，先确定受力分析，确定各个力是否做功及做功正负，后进行过程分析以确定物体的初、末状态即动能的变化。

同时要注意物体过程中物体机械能的损失和物体合运动与分运动的关系。

3、一个质量为4kg的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数。

从
开始，物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力F 作用，力F随时间的变化规律如图所示。

求83秒内物体的位移大小和力F对物体所做的功。

取。

现用手控制B使之以
举一反三
【变式】如图所示，轻质弹簧的劲度系数为k，下面悬挂一个质量为m的砝码A，手持木板B托住A缓
慢向上压弹簧，至某一位置静止.此时如果撤去B，则A的瞬时加速度为
的加速度向下做匀加速直线运动。

求：
（1）砝码A能够做匀加速运动的时间？
（2）砝码A做匀加速运动的过程中，弹簧弹力对它做了多少功木板B对它的支持力做了多少功？
1．如图所示，在倾角θ＝37°的绝缘斜面所在空间存在着竖直向上的匀强电场，
场强E＝×103N/C，在斜面底端有一与斜面垂直的绝缘弹性挡板．质量m＝0.20kg
的带电滑块从斜面顶端由静止开始滑下，滑到斜面底端与挡板相碰后以碰前的
速率返回．已知斜面的高度h＝0.24m，滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝，滑块带电荷q＝－×10－4C.取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝，cos37°＝.求：
(1)滑块从斜面最高点滑到斜面底端时的速度大小；
(2)滑块被挡板弹回能够沿斜面上升的最大高度；
(3)滑块从开始运动到停下来的整个过程中产生的热量Q.(计算结果保留两位有效数字)水平传送带以v=2m/s速度匀速运动，将物体轻放在传送带的A端，它运动到传送带另一端B所需时间为11s，物体和传送带间的动摩擦因数μ=，求：
1．传送带AB两端间的距离
2．若想使物体以最短时间到达B端，则传送带的速度大小至少调为多少（g=10m/s2）
如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心在O点、半径为r，内壁光滑，A、B两点分别是圆弧的最低点和最高点。

该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动（电荷量不变），经C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ=60°，重力加速度为g。

4．求小球所受到的电场力大小；
5．小球在A点速度v0多大时，小球经B点时对轨道的压力最小
6．(15分)如图15所示，在水平方向的匀强电场中有一表面光滑、与
水平面成45°角的绝缘直杆AC，其下端(C端)距地面高度h＝
m．有一质量为500 g的带电小环套在直杆上，正以某一速度沿杆
匀速下滑，小环离开杆后正好通过C端的正下方P点．(g取10
m/s2)求：
(1)小环离开直杆后运动的加速度大小和方向；
(2)小环在直杆上匀速运动时速度的大小；
(3)小环运动到P点的动能．
7．如图所示，固定斜面的倾角为θ，可视为质点的物体A与斜面之间的动摩擦因数为μ，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于B点。

物体A的质量为m，开始时物体A到B点的距离为L。

现给物体A一沿斜面向下的初速度v0，使物体A开始沿斜面向下运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好被弹回到B点。

已知重力加速度为g，不计空气阻力，求此过程中：
（1）物体A向下运动刚到达B点时速度的大小
（2）弹簧的最大压缩量。