第5章 图论与网络规划模型
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4
2
1
(1)
3
1
(2)
3
名次
1
{1，2，3}
1 1
{(1,2,3)}并列
1
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(1)
2
3 4
(2)
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3 4
(3)
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3 4
(4)
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名次
{1, 2, 3, 4}
{2,(1,3,4)}
{(1,3,4), 2}
{(1,2),(3,4)} {1, 2, 3, 4}?
4个顶点 的竞赛图
4
1
1
1
1
2
(1)
2 3 4
分析 S
56 6 8 A 2 3 6 7 3 A3 4
A1
B1
7 B2
6 8 9
C1 C2
5 6
T
此例中可把从S到T的行驶过程分成4个阶段,即 S→Ai (i=1,2或3), Ai → Bj(j=1或2), Bj → Ck(k=1或2), Ck → T. 记d(Y,X)为城市Y与城 市X之间的直接距离(若这两个城市之间没有道路直接相连，则可 以认为直接距离为∞)，用L(X)表示城市S到城市X的最优行驶路线 的路长:
T
T
s As
(k )
( k 1)
(k )
Ae
k
s (13,13,8,9) , s
(7)
(21,17,9,13)
k , s ?
双向连通竞赛图的名次排序
s As
(k )
( k 1)
Ae
k
• 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在 正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar >0，A称素阵. • 素阵A的最大特征根为正单 根，对应正特征向量s，且
第5章 图论与网络规划模型
图论作为离散数学的一个重要分支，在工 程技术、自然科学和经济管理中许多方面
都能提供有力的数学模型来解决实际问题。
比如，哥尼斯堡七桥问题、中国邮递员问题、 四色定理等等。图论方法已经成为数学模型 中的重要方法。许多难题由于归结为图论问
题被巧妙地解决。
第5章 图论与网络规划模型
v的度(degree)，记作d(v)。若d(v)是奇数，称v是奇度顶点 (odd point)；若d(v)是偶数，称v是偶度顶点(even point)。
对有向图，以v为起点的有向边数称为v的出度(out-
degree)，记作d+ (v)；以为终点的有向边数称为的入度(indegree)，记作d－(v)；顶点的度d(v)= d+ (v)+d－(v) 。
首先假设G=(V,A)是一个简单有向图，|V|=n,|A|=m，并 假设V中的顶点用自然数1,2,…,n表示或编号，A中的弧用自 然数1,2,…,m表示或编号。
5.1.5 图与网络的数据结构-邻接矩阵表示法
邻接矩阵表示法是将图以邻接矩阵（adjacency matrix）
的形式存储在计算机中。图G=(V,A)的邻接矩阵是如下定义 的：C是一个n×n的矩阵，即
6
6支球队比赛结果
1 2
3
无法排名
5
4
方法2. 计算得分： 1队胜4场， 2, 3队各胜3场， 4, 5队各胜2场， 6队胜1场. 2, 3队 , 4, 5队无法排名! 3 2， 4 5 排名 132456 合理吗?
循环比赛的结果——竞赛图
竞赛图~每对顶点间都有边相连的有向图
2
3个顶点 的竞赛图 4个顶点 的竞赛图
排名次序为{1，3， 2，5，4，6}
5.2 最短路问题与最大流问题
5.2.1 最短路问题
背景：给定连接若干城市的铁路网，寻求从指定城市到各 城去的最短道路。 数学模型：图为一赋权图，对任给的，寻求路，使得
W ( P(v0 , v)) min{ W ( P), P取自所有v0到v的路}
其中是路上各边权之和。这一问题可用Dijkstra算法解决 。
edges)。在有向图中，两个顶点相同但方向相反的边称为 对称边(symmetric edge)。一个图称为简单图(simple graph)，如果它既没有环也没有重边。
5.1.2 完全图、二分图、子图
每一对不同的顶点都有一条边相连的简单图称为完全图 (complete graph)。n个顶点的完全图记为Kn；完全图的定 向图称为竞赛图。 若V(G)=X∪Y，X∩Y=空集，|X||Y|≠0,X中无相邻顶点对， Y中亦然，则称G为二分图(bipartite graph)；特别地，若对
任意的x∈X, y∈Y ，都有xy ∈ E(G)，则称G为完全二分图， 记成K|X|,|Y|。
图H叫做图G的子图，记作 H G ，如果 V ( H ) V (G) 若H是G的子图，则G称为H的母图。 G的支撑子图是指满足V(H)=V(G)的子图。
5.1.3 顶点的度
设v∈V(G)，G中与v关联的边数（每个环算作两条边）称为
C1 C2
5
6
T
L B1 min L A1 6, L A2 8, L A3 7 10 L A3 7; L B2 min L A1 5, L A2 6, L A3 4 7 L A3 4; L C1 min L B1 6, L B2 8 15 L B2 8; L C2 min L B1 7, L B2 9 16 L B2 9; L T min L C1 5, L C2 6 20 L C1 5.
例1 在纵横交错的公路网中，货车司机希望找到一条从
一个城市到另一个城市的最短路。下图表示的是公路网 , 节点表示货车可以停靠的城市，弧上的权表示两个城 市之间的距离(百公里)。那么,货车从城市S出发到达城 市T，如何选择行驶路线，使所经过的路程最短?
S
56 6 8 A 2 3 6 7 3 A3 4
5.1 图的基本概念
5.2 最短路问题与最大流问题
5.3 最优连线问题与旅行商问题
5.1 图的基本概念
5.1.1 图的定义
图G是一个偶对（V,E），其中V(G)={v1,v2, …,vn}为图的 顶点集（vertex set），E(G)={e1,e2,…,en} 为图的边集
（edge set）或弧集（常用A表示）, 记ek=(vi,vj)(k=1,2 , …,m)。
1
0 0 得分向量 s ( s1 , s2 ,, sn ) A T 0 s Ae, e (1,1,,1) (1 ) T 1 s Ae ( 2,2,1,1) ~ 1级得分向量
T
双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序 1, vi v j E 邻接矩阵 aij 0, vi v j E
(2)
2 3 4
(3)
2 3 4
(4)
3
竞赛图的 3种形式
• 具有唯一的完全路径，如(1)；
• 双向连通图——任一对顶点存在两条
有向路径相互连通，如(4)； • 其他，如(2)， (3) .
竞赛图 的性质
• 必存在完全路径；
• 若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶
点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1) .
C (cij ) nn {0,1}
n n
1, (i, j ) A, cij 0, (i, j ) A.
5.1.5 图与网络的数据结构-邻接矩阵表示法
对于下图所示的有向图，可以用邻接矩阵表示为
0 0 0 0 0
1 0 1 0 0
1 0 0 1 1
(k )
lim s k k
用s排名wenku.baidu.com
A e
k
k , s (归一化后 )s
1 2 4
(4)
0 0 A 0 3 1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
1.4, s (0.323 ,0.280 ,0.167 ,0.230 )T
排名为{1，2，4，3}
L S 0;
L X min L Y d Y , X ,
YX
X S.
1 2
本例的计算
S
L A1 6, L A2 3, L A3 3;
56 6 8 A 2 3 6 7 3 A3 4
A1
B1 7 B2
6 8 9
5.1.4 迹、路、圈与连通
无向图G的一条途径(walk)是指一个有限的非空序列
W=v0e1v1e2…e kvk ，其中ei∈E(G)，1≤i≤k，v j ∈V(G)，0 ≤ j ≤ k，e i 与v i-1 v i 关联，称k为W的长(length)。若途经的边 互不相同，则称W为迹(trail)；若途径的顶点互不相同，则称 W为路(path)；如果v0=v k ，并且没有其他相同的
0 1 0 0 1
0 0 0 1 0
对于网络中的权，也可以用类似邻接矩阵的矩阵表示。只是
此时一条弧所对应的元素不再是1，而是相应的权而已。无向 图的邻接矩阵为对称阵。
邻接矩阵举例
• n支球队循环赛，每场比赛 只计胜负，没有平局.
• 根据比赛结果排出各队名次. 方法1. 寻找按箭头方向通过 全部顶点的路径. 312456 146325 ……
{1, 2, 3, 4}?
6支球队比赛结果
1 2
6
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0 0 0 A 0 0 0
1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1
1 1 1
1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
5
4
1:4分; 2,3:3分; 4,5:2分; 6:1分. 32, 4 5
顶点，则称W为圈(cycle)。 若图G的两个顶点u,v间存在道路，则称u和v连通 (connected)。u,v间的最短轨的长叫做u,v间的距离。记作 d(u,v)。若图G的任二顶点均连通，则称G是连通图。
5.1.5 图与网络的数据结构
为了在计算机上实现网络优化的算法，首先我们必须有一
种方法（即数据结构）在计算机上来描述图与网络。一般来 说，算法的好坏与网络的具体表示方法，以及中间结果的操 作方案是有关系的。这里我们介绍计算机上用来描述图与网 络的5种常用表示方法：邻接矩阵表示法、关联矩阵表示法、 弧表表示法、邻接表表示法和星形表示法。
A1
B1
7 B2
6
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C1
C2
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T
分析
S
56 6 8 A 2 3 6 7 3 A3 4
A1
B1
7
B2
6 8 9
C1
C2
5
6
T
假设从S到T的最优行驶路线 P 经过城市C1, 则P中从S到C1的 子路也一定是从S到C1的最优行驶路线; 假设 P 经过城市C2, 则P中从S到C2的子路也一定是从S到C2的 最优行驶路线. 因此, 为得到从S到T的最优行驶路线, 只需先求出从S到 Ck (k=1,2)的最优行驶路线, 就可方便地得到从S到T的最优行驶路线。 同样,为了求出从S到Ck(k=1,2)的最优行驶路线, 只需要先求出 从S到Bj(j=1,2)的最优行驶路线; 为了求出从S到Bj(j=1,2)的最优行驶路线, 只需要先求出从S到Ai (i=1,2,3)的最优行驶路线. 而S到Ai(i=1,2,3)的最优行驶路线是很容 易得到的(实际上, 此例中S到Ai(i=1,2,3)只有唯一的道路) 。
2 4
(4)
3
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
s ( 2 ) As (1) (3,2,1,2) T ~ 2级得分向量
s
( 3)
(3,3,2,3) ,
T
s
( 4)
(5,5,3,3)
T
s
( 5)
(8,6,3,5) ,
T
T
s
(8)
( 6)
(9,8,5,8)
s (1) (4,3,3,2,2,1)T , s ( 2) (8,5,9,3,4,3)T , s (3) (15,10,16,7,12,9)T ,
s ( 4) (38,28,32,21 ,25,16)T
排名 T 132456? 2.232 , s (0.238 ,0.164 ,0.231,0.113 ,0.150 ,0.104 )
若ek是无序对，则称G为无向图（undirected graph）；若
ek=(vi,vj)是有序对，则称G为有向图（directed graph）， vi为的起点，vj为的终点，称去掉有向图的方向得到的图为 基础图（underlying graph）。
5.1.1 图的定义
一个图称为有限图，如果它的顶点集和边集都有限。图G 的顶点数用符号|V|表示，边数用|E|表示。 端点重合为一点的边称为环(loop)。连接两个相同顶点的边 的条数称为边的重数，重数大于1的边称为重边(multi-
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名次
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{1，2，3}
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{(1,2,3)}并列
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名次
{1, 2, 3, 4}
{2,(1,3,4)}
{(1,3,4), 2}
{(1,2),(3,4)} {1, 2, 3, 4}?
4个顶点 的竞赛图
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分析 S
56 6 8 A 2 3 6 7 3 A3 4
A1
B1
7 B2
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C1 C2
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此例中可把从S到T的行驶过程分成4个阶段,即 S→Ai (i=1,2或3), Ai → Bj(j=1或2), Bj → Ck(k=1或2), Ck → T. 记d(Y,X)为城市Y与城 市X之间的直接距离(若这两个城市之间没有道路直接相连，则可 以认为直接距离为∞)，用L(X)表示城市S到城市X的最优行驶路线 的路长:
T
T
s As
(k )
( k 1)
(k )
Ae
k
s (13,13,8,9) , s
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(21,17,9,13)
k , s ?
双向连通竞赛图的名次排序
s As
(k )
( k 1)
Ae
k
• 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在 正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar >0，A称素阵. • 素阵A的最大特征根为正单 根，对应正特征向量s，且
第5章 图论与网络规划模型
图论作为离散数学的一个重要分支，在工 程技术、自然科学和经济管理中许多方面
都能提供有力的数学模型来解决实际问题。
比如，哥尼斯堡七桥问题、中国邮递员问题、 四色定理等等。图论方法已经成为数学模型 中的重要方法。许多难题由于归结为图论问
题被巧妙地解决。
第5章 图论与网络规划模型
v的度(degree)，记作d(v)。若d(v)是奇数，称v是奇度顶点 (odd point)；若d(v)是偶数，称v是偶度顶点(even point)。
对有向图，以v为起点的有向边数称为v的出度(out-
degree)，记作d+ (v)；以为终点的有向边数称为的入度(indegree)，记作d－(v)；顶点的度d(v)= d+ (v)+d－(v) 。
首先假设G=(V,A)是一个简单有向图，|V|=n,|A|=m，并 假设V中的顶点用自然数1,2,…,n表示或编号，A中的弧用自 然数1,2,…,m表示或编号。
5.1.5 图与网络的数据结构-邻接矩阵表示法
邻接矩阵表示法是将图以邻接矩阵（adjacency matrix）
的形式存储在计算机中。图G=(V,A)的邻接矩阵是如下定义 的：C是一个n×n的矩阵，即
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6支球队比赛结果
1 2
3
无法排名
5
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方法2. 计算得分： 1队胜4场， 2, 3队各胜3场， 4, 5队各胜2场， 6队胜1场. 2, 3队 , 4, 5队无法排名! 3 2， 4 5 排名 132456 合理吗?
循环比赛的结果——竞赛图
竞赛图~每对顶点间都有边相连的有向图
2
3个顶点 的竞赛图 4个顶点 的竞赛图
排名次序为{1，3， 2，5，4，6}
5.2 最短路问题与最大流问题
5.2.1 最短路问题
背景：给定连接若干城市的铁路网，寻求从指定城市到各 城去的最短道路。 数学模型：图为一赋权图，对任给的，寻求路，使得
W ( P(v0 , v)) min{ W ( P), P取自所有v0到v的路}
其中是路上各边权之和。这一问题可用Dijkstra算法解决 。
edges)。在有向图中，两个顶点相同但方向相反的边称为 对称边(symmetric edge)。一个图称为简单图(simple graph)，如果它既没有环也没有重边。
5.1.2 完全图、二分图、子图
每一对不同的顶点都有一条边相连的简单图称为完全图 (complete graph)。n个顶点的完全图记为Kn；完全图的定 向图称为竞赛图。 若V(G)=X∪Y，X∩Y=空集，|X||Y|≠0,X中无相邻顶点对， Y中亦然，则称G为二分图(bipartite graph)；特别地，若对
任意的x∈X, y∈Y ，都有xy ∈ E(G)，则称G为完全二分图， 记成K|X|,|Y|。
图H叫做图G的子图，记作 H G ，如果 V ( H ) V (G) 若H是G的子图，则G称为H的母图。 G的支撑子图是指满足V(H)=V(G)的子图。
5.1.3 顶点的度
设v∈V(G)，G中与v关联的边数（每个环算作两条边）称为
C1 C2
5
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T
L B1 min L A1 6, L A2 8, L A3 7 10 L A3 7; L B2 min L A1 5, L A2 6, L A3 4 7 L A3 4; L C1 min L B1 6, L B2 8 15 L B2 8; L C2 min L B1 7, L B2 9 16 L B2 9; L T min L C1 5, L C2 6 20 L C1 5.
例1 在纵横交错的公路网中，货车司机希望找到一条从
一个城市到另一个城市的最短路。下图表示的是公路网 , 节点表示货车可以停靠的城市，弧上的权表示两个城 市之间的距离(百公里)。那么,货车从城市S出发到达城 市T，如何选择行驶路线，使所经过的路程最短?
S
56 6 8 A 2 3 6 7 3 A3 4
5.1 图的基本概念
5.2 最短路问题与最大流问题
5.3 最优连线问题与旅行商问题
5.1 图的基本概念
5.1.1 图的定义
图G是一个偶对（V,E），其中V(G)={v1,v2, …,vn}为图的 顶点集（vertex set），E(G)={e1,e2,…,en} 为图的边集
（edge set）或弧集（常用A表示）, 记ek=(vi,vj)(k=1,2 , …,m)。
1
0 0 得分向量 s ( s1 , s2 ,, sn ) A T 0 s Ae, e (1,1,,1) (1 ) T 1 s Ae ( 2,2,1,1) ~ 1级得分向量
T
双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序 1, vi v j E 邻接矩阵 aij 0, vi v j E
(2)
2 3 4
(3)
2 3 4
(4)
3
竞赛图的 3种形式
• 具有唯一的完全路径，如(1)；
• 双向连通图——任一对顶点存在两条
有向路径相互连通，如(4)； • 其他，如(2)， (3) .
竞赛图 的性质
• 必存在完全路径；
• 若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶
点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1) .
C (cij ) nn {0,1}
n n
1, (i, j ) A, cij 0, (i, j ) A.
5.1.5 图与网络的数据结构-邻接矩阵表示法
对于下图所示的有向图，可以用邻接矩阵表示为
0 0 0 0 0
1 0 1 0 0
1 0 0 1 1
(k )
lim s k k
用s排名wenku.baidu.com
A e
k
k , s (归一化后 )s
1 2 4
(4)
0 0 A 0 3 1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
1.4, s (0.323 ,0.280 ,0.167 ,0.230 )T
排名为{1，2，4，3}
L S 0;
L X min L Y d Y , X ,
YX
X S.
1 2
本例的计算
S
L A1 6, L A2 3, L A3 3;
56 6 8 A 2 3 6 7 3 A3 4
A1
B1 7 B2
6 8 9
5.1.4 迹、路、圈与连通
无向图G的一条途径(walk)是指一个有限的非空序列
W=v0e1v1e2…e kvk ，其中ei∈E(G)，1≤i≤k，v j ∈V(G)，0 ≤ j ≤ k，e i 与v i-1 v i 关联，称k为W的长(length)。若途经的边 互不相同，则称W为迹(trail)；若途径的顶点互不相同，则称 W为路(path)；如果v0=v k ，并且没有其他相同的
0 1 0 0 1
0 0 0 1 0
对于网络中的权，也可以用类似邻接矩阵的矩阵表示。只是
此时一条弧所对应的元素不再是1，而是相应的权而已。无向 图的邻接矩阵为对称阵。
邻接矩阵举例
• n支球队循环赛，每场比赛 只计胜负，没有平局.
• 根据比赛结果排出各队名次. 方法1. 寻找按箭头方向通过 全部顶点的路径. 312456 146325 ……
{1, 2, 3, 4}?
6支球队比赛结果
1 2
6
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0 0 0 A 0 0 0
1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1
1 1 1
1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
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1:4分; 2,3:3分; 4,5:2分; 6:1分. 32, 4 5
顶点，则称W为圈(cycle)。 若图G的两个顶点u,v间存在道路，则称u和v连通 (connected)。u,v间的最短轨的长叫做u,v间的距离。记作 d(u,v)。若图G的任二顶点均连通，则称G是连通图。
5.1.5 图与网络的数据结构
为了在计算机上实现网络优化的算法，首先我们必须有一
种方法（即数据结构）在计算机上来描述图与网络。一般来 说，算法的好坏与网络的具体表示方法，以及中间结果的操 作方案是有关系的。这里我们介绍计算机上用来描述图与网 络的5种常用表示方法：邻接矩阵表示法、关联矩阵表示法、 弧表表示法、邻接表表示法和星形表示法。
A1
B1
7 B2
6
8 9
C1
C2
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T
分析
S
56 6 8 A 2 3 6 7 3 A3 4
A1
B1
7
B2
6 8 9
C1
C2
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6
T
假设从S到T的最优行驶路线 P 经过城市C1, 则P中从S到C1的 子路也一定是从S到C1的最优行驶路线; 假设 P 经过城市C2, 则P中从S到C2的子路也一定是从S到C2的 最优行驶路线. 因此, 为得到从S到T的最优行驶路线, 只需先求出从S到 Ck (k=1,2)的最优行驶路线, 就可方便地得到从S到T的最优行驶路线。 同样,为了求出从S到Ck(k=1,2)的最优行驶路线, 只需要先求出 从S到Bj(j=1,2)的最优行驶路线; 为了求出从S到Bj(j=1,2)的最优行驶路线, 只需要先求出从S到Ai (i=1,2,3)的最优行驶路线. 而S到Ai(i=1,2,3)的最优行驶路线是很容 易得到的(实际上, 此例中S到Ai(i=1,2,3)只有唯一的道路) 。
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s ( 2 ) As (1) (3,2,1,2) T ~ 2级得分向量
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T
s
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T
s
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(8,6,3,5) ,
T
T
s
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( 6)
(9,8,5,8)
s (1) (4,3,3,2,2,1)T , s ( 2) (8,5,9,3,4,3)T , s (3) (15,10,16,7,12,9)T ,
s ( 4) (38,28,32,21 ,25,16)T
排名 T 132456? 2.232 , s (0.238 ,0.164 ,0.231,0.113 ,0.150 ,0.104 )
若ek是无序对，则称G为无向图（undirected graph）；若
ek=(vi,vj)是有序对，则称G为有向图（directed graph）， vi为的起点，vj为的终点，称去掉有向图的方向得到的图为 基础图（underlying graph）。
5.1.1 图的定义
一个图称为有限图，如果它的顶点集和边集都有限。图G 的顶点数用符号|V|表示，边数用|E|表示。 端点重合为一点的边称为环(loop)。连接两个相同顶点的边 的条数称为边的重数，重数大于1的边称为重边(multi-