高考数学理专题突破第一部分专题六第一讲精品PPT课件
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第一部分 专题突破方略
专题六 概率与统计、推理与证明、计数 原理、算法初步、复数
第一讲 计数原理、二项式定理
主干知识整合
1．分类计数原理和分步计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分 类计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干 步才能将规定的事件完成，则要用分步计数原理 将各步的方法种数相乘．
变式训练1 甲组有5名男同学、3名女同学；乙 组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组 中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同 学的不同选法共有( )
A．150种
B．180种
C．300种
D．345种
解析：选 D.分类：若这名女同学是甲组的，则选 法有 C13C15C26种，若这名女同学是乙组的，则选法 有 C25C12C16种，
72.故填 72.
【答案】 (1)C (2)72
【归纳拓展】 解决排列、组合综合问题的关 键是认真审题，把握问题的实质，分清是排列 问题，是组合问题，还是综合问题，分清分类 与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：
(1)按事情发生的过程进行分步；
(2)按元素的性质进行分类，具体地说，解排列 组合的应用题，通常有以下途径：
Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中 Crn叫做二 项式系数．
(3)二项式系数的性质
①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式
系数相等，
即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Ckn＝Cnn－k，… ②最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式
系数
n C2n
取得最大值；当
∴符合条件的选法共有
C
1 3
C
1 5
C
2 6
＋
C
2 5
C
1 2
C
1 6
＝
345(种)．
排列与组合
例2 (1)某单位有7个连在一起的车位，现有3 辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车 位连在一起，则不同的停放方法的种数为( )
A．16
B．18
C．24
D．32
(2)2010年上海世博会中，甲、乙等五名志愿者 被分配到中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗 斯馆的四个不同的岗位服务，每个岗位至少一 名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗 位工作的分法共有__________种(用数字作答)．
Cmn ＝nn－1
n－2…n－m＋1 m！
或写成 Cmn ＝m！nn！－m！.
(3)组合数的性质： ①Cmn ＝Cnn－m， ②Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
3．二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋… ＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(r＝0,1,2，…，n)． (2)二项展开式的通项
【解】 如题图所示，分别用 a、b、c、d 记这四 块，a 与 c 可同色，也可不同色，可先考虑给 a、 c 两块涂色，分两类． (1)给 a、c 涂同种颜色共有 C15种涂法，再给 b 涂 色有 4 种涂法，最后给 d 涂色有 4 种涂法，由乘 法原理知， 此时共有 C15×4×4 种涂法；
(2)给 a、c 涂不同颜色共有 A25种涂法，再给 b 涂 色有 3 种涂法，最后给 d 涂色有 3 种涂法，此时 共有 A25×3×3 种涂法．
【解析】 (1)若将 7 个车位从左向右按 1～7 进行 编号，则该 3 辆车有 4 种不同的停放方法：①停 放在 1～3 号车位；②停放在 5～7 号车位；③停 放在 1、2、7 号车位；④停放在 1、6、7 号车位．每 一种停放方法均有 A33＝6(种)，故共有 24 种不同 的停放方法．
(2)甲、乙两个人的安排方法数是 A24；剩余的三人， 分为两组，方法数是 C13C22，把其作为两个元素安 排到剩余的两个工作岗位上，有方法数 A22.根据分 步乘法计数原理得总的分法种数是 A24C13C22A22＝
由分类计数原理知，共有 C15×4×4＋A25×3×3＝ 260(种)涂法．
【归纳拓展】 既有分类原理又有分步原理的 问题，“先分类，再分步”是一个重要的计数 原则，在计数时应让两个原理协同作用．在应 用分类计数原理时，要注意“类”与“类”间 的独立性与并列性；在应用分步计数原理时， 要注意“步”与“步”间的连续性．掌握好分 类讨论的标准，设计好分类方案，防止重复和 遗漏．
n
为奇数时，中间的两
项Biblioteka Baidu二项式系数 Cn－2 1n，Cn＋2 1n 相等，且同时取
得最大值．
③各二项式系数的和
a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n；B．C0n＋
C
2 n
＋
…
＋
C2nr
＋
…
＝
C1n
＋
C
3 n
＋
…
＋
C2nr＋1
＋
…
＝
12·2n＝2n－1.
高考热点讲练
计数原理
例1 有一个圆被两相交弦分成四块，现在用5 种不同颜料给这4块涂色，要求共边两块颜色互 异，每块只涂一色，共有多少种涂色办法？
少各一名，则不同的组合方案种数为( )
A．140
B．100
C．80
D．70
(2)形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字、 千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由
1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数 为( )
A．20
B．18
C．16
D．11
解析：(1)选 D.由题意应分两类：①2 名销售员与 1 名技术员，有 C25C14＝40(种)方案；②1 名销售员 与 2 名技术员，有 C15C24＝30(种)方案．综上共有 40＋30＝70(种)方案，故选 D. (2)选 C.由题意可得，十位和千位只能是 4、5 或
①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求， 再考虑其他元素．
②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求， 再考虑其他位置． ③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数， 再减去不符合要求的排列或组合数．
变式训练2 (1)在“家电下乡”活动中，某厂准 备从5名销售员和4名技术员中选出3人赴邻近镇 开展家电促销活动，若要求销售员和技术员至
2．排列与组合 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元 素中取出m个元素的排列数公式是
A
m n
＝
n(n
－
1)(n
－
2)…(n
－
m
＋
1)
或
写
成
A
m n
＝
n！ n－m！.
(2)组合：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元 素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个组合．从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的组合数公式是
专题六 概率与统计、推理与证明、计数 原理、算法初步、复数
第一讲 计数原理、二项式定理
主干知识整合
1．分类计数原理和分步计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分 类计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干 步才能将规定的事件完成，则要用分步计数原理 将各步的方法种数相乘．
变式训练1 甲组有5名男同学、3名女同学；乙 组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组 中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同 学的不同选法共有( )
A．150种
B．180种
C．300种
D．345种
解析：选 D.分类：若这名女同学是甲组的，则选 法有 C13C15C26种，若这名女同学是乙组的，则选法 有 C25C12C16种，
72.故填 72.
【答案】 (1)C (2)72
【归纳拓展】 解决排列、组合综合问题的关 键是认真审题，把握问题的实质，分清是排列 问题，是组合问题，还是综合问题，分清分类 与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：
(1)按事情发生的过程进行分步；
(2)按元素的性质进行分类，具体地说，解排列 组合的应用题，通常有以下途径：
Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中 Crn叫做二 项式系数．
(3)二项式系数的性质
①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式
系数相等，
即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Ckn＝Cnn－k，… ②最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式
系数
n C2n
取得最大值；当
∴符合条件的选法共有
C
1 3
C
1 5
C
2 6
＋
C
2 5
C
1 2
C
1 6
＝
345(种)．
排列与组合
例2 (1)某单位有7个连在一起的车位，现有3 辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车 位连在一起，则不同的停放方法的种数为( )
A．16
B．18
C．24
D．32
(2)2010年上海世博会中，甲、乙等五名志愿者 被分配到中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗 斯馆的四个不同的岗位服务，每个岗位至少一 名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗 位工作的分法共有__________种(用数字作答)．
Cmn ＝nn－1
n－2…n－m＋1 m！
或写成 Cmn ＝m！nn！－m！.
(3)组合数的性质： ①Cmn ＝Cnn－m， ②Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
3．二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋… ＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(r＝0,1,2，…，n)． (2)二项展开式的通项
【解】 如题图所示，分别用 a、b、c、d 记这四 块，a 与 c 可同色，也可不同色，可先考虑给 a、 c 两块涂色，分两类． (1)给 a、c 涂同种颜色共有 C15种涂法，再给 b 涂 色有 4 种涂法，最后给 d 涂色有 4 种涂法，由乘 法原理知， 此时共有 C15×4×4 种涂法；
(2)给 a、c 涂不同颜色共有 A25种涂法，再给 b 涂 色有 3 种涂法，最后给 d 涂色有 3 种涂法，此时 共有 A25×3×3 种涂法．
【解析】 (1)若将 7 个车位从左向右按 1～7 进行 编号，则该 3 辆车有 4 种不同的停放方法：①停 放在 1～3 号车位；②停放在 5～7 号车位；③停 放在 1、2、7 号车位；④停放在 1、6、7 号车位．每 一种停放方法均有 A33＝6(种)，故共有 24 种不同 的停放方法．
(2)甲、乙两个人的安排方法数是 A24；剩余的三人， 分为两组，方法数是 C13C22，把其作为两个元素安 排到剩余的两个工作岗位上，有方法数 A22.根据分 步乘法计数原理得总的分法种数是 A24C13C22A22＝
由分类计数原理知，共有 C15×4×4＋A25×3×3＝ 260(种)涂法．
【归纳拓展】 既有分类原理又有分步原理的 问题，“先分类，再分步”是一个重要的计数 原则，在计数时应让两个原理协同作用．在应 用分类计数原理时，要注意“类”与“类”间 的独立性与并列性；在应用分步计数原理时， 要注意“步”与“步”间的连续性．掌握好分 类讨论的标准，设计好分类方案，防止重复和 遗漏．
n
为奇数时，中间的两
项Biblioteka Baidu二项式系数 Cn－2 1n，Cn＋2 1n 相等，且同时取
得最大值．
③各二项式系数的和
a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n；B．C0n＋
C
2 n
＋
…
＋
C2nr
＋
…
＝
C1n
＋
C
3 n
＋
…
＋
C2nr＋1
＋
…
＝
12·2n＝2n－1.
高考热点讲练
计数原理
例1 有一个圆被两相交弦分成四块，现在用5 种不同颜料给这4块涂色，要求共边两块颜色互 异，每块只涂一色，共有多少种涂色办法？
少各一名，则不同的组合方案种数为( )
A．140
B．100
C．80
D．70
(2)形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字、 千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由
1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数 为( )
A．20
B．18
C．16
D．11
解析：(1)选 D.由题意应分两类：①2 名销售员与 1 名技术员，有 C25C14＝40(种)方案；②1 名销售员 与 2 名技术员，有 C15C24＝30(种)方案．综上共有 40＋30＝70(种)方案，故选 D. (2)选 C.由题意可得，十位和千位只能是 4、5 或
①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求， 再考虑其他元素．
②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求， 再考虑其他位置． ③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数， 再减去不符合要求的排列或组合数．
变式训练2 (1)在“家电下乡”活动中，某厂准 备从5名销售员和4名技术员中选出3人赴邻近镇 开展家电促销活动，若要求销售员和技术员至
2．排列与组合 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元 素中取出m个元素的排列数公式是
A
m n
＝
n(n
－
1)(n
－
2)…(n
－
m
＋
1)
或
写
成
A
m n
＝
n！ n－m！.
(2)组合：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元 素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个组合．从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的组合数公式是