高等数学 第四章 微分中值定理与导数的应用
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x x0
F (x)
A
（或
），那么
f (x)
f (x)
lim
x x0
g(x)
lim
x x0
F (x)
A（或
）．
二、 型未定式
定理2 设函数 f (x) 和 F(x) 都在点 x0 的某个去心邻
域内可导且 F(x) 0 ，lim f (x) ，lim F(x) ．如
x x0
x x0
2.求不可导点：求出f ( x)在(a, b)内的不可导点x1 , x2 , xn 3.求区间端点及驻点和不可导点的函数值 4. 比较（3）中函数值大小,最大的便是最大 值,最小的便是最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
第五节 曲线的凹凸点与拐点
一、曲线凹凸性定义及其判定法 二、曲线的拐点及求法
第六节 函数图形的描绘
一、曲线的渐近线 二、函数图形的描绘
一、曲线的渐近线
1）渐近线
（1）水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f (x) C 或 lim f (x) C (C 为常数)
x
x
那么 y C 就是 y f (x) 的一条水平渐近线.
例如 y arctan x,
一、曲线凹凸性定义及其判定法
定义 1 设 f (x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上
任意两点 x1, x2 ，恒有
f ( x1 x2 ) 2
f (x1 ) 2
f (x2 ) ，那么
称 f (x) 在 I 上的图形是（向上）凹的，如果恒有
f ( x1 x2 ) 2
f (x1 ) 2
f (x2 ) ，那么称
求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求出各极值点处的函数值.
三、函数的最值
函数最大值和最小值统称为函数的最值；使 得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的 最值点．
定理 2 设函数 f (x) 在 x0 处连续，且在 x0 的
某去心邻域
U
(x0
,
) 内可导．（1）若当
x
(x0
,
x0
)
时， f (x) 0 ，而当 x (x0 , x0 ) 时， f (x) 0 ，则 函 数 f (x) 在 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 当 x (x0 , x0 ) 时， f (x) 0 ，而当 x (x0 , x0 ) 时， f (x) 0 ，则函数 f (x) 在 x0 处取得极小值；（3） 若当 x U (x0 , ) 时， f (x) 的符号保持不变，则函 数 f (x) 在 x0 处没有极值．
有水平渐近线两条:
y , 2
y . 2
（2）垂直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f (x) 或 lim f (x)
xx0
xx0
那么 x x0 就是 y f (x) 的一条垂直渐近线.
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有铅直渐近线两条: x 2, x 3.
函数的极大值与极小值统称函数的极值，函 数的极大值点和极小值点统称为函数的极值点．
注意：（1）极值是指函数值，而极值点是指 自变量的值，两者不能混淆．
（2）函数的极值是局部性的，只是与极值 点近旁的所有点的函数值相比较为较大或较小， 这并不意味着它在函数的整个定义区间上是最 大或最小．故函数的极大值不一定比极小值大．
二、函数图形的描绘
一般步骤：
(1)确定函数的定义域，并讨论函数周期性、 奇偶性；
（2）讨论函数的单调性，极值点和极值； （3）讨论函数图形的凹凸区间和拐点； （4）讨论函数图形的水平和垂直渐近线； （5）根据需要补充函数图形上的若干点（如 与坐标轴的交点等）； （6）描点绘图．
一个 ，使得 f ( ) 0 ．
又 f (x) 3x2 2x 2 0 ， x (0,1) ，
故 f (x) 在[0,1] 上单调增加，因而函数 f (x)
的图形和 x 轴至多只有一个交点，即方程只有一
个实根． 综合可得，方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内
有且只有一个实根．
闭区间上连续函数的最值
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，除个别点外处处可导， 并且至多有有限个导数为零的点，则 f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存在 .
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点： 求出f ( x)在(a, b)内的驻点x1 , x2 , xm
f (x) 在 I
上的图形
是（向上）凸的．
定理 1 设函数 f (x) 在[a,b] 上连续，在 (a,b) 内具有一阶和二阶导数，
（1）如果在 (a,b) 内 f (x) 0 ，那么曲线在 [a,b] 上的图形是凹的；
（2）如果在 (a,b)内 f (x) 0 ，那么曲线在 [a,b] 上的图形是凸的．
第二节 洛必达法则
一、 ( 0 ) 型未定式
0
二、( )型未定式 三、其他类型未定式
一、00 型未定式
定理1 设函数 f (x) 和 F(x) 都在点 x0 的某个去心
邻 域 内 可 导 且 F(x) 0 ， lim f (x) 0 ， xx0
f (x)
lim
xx0
F ( x)
0
．如果
lim
一、函数单调性的判定方法
问题的提出
y
y f (x) B
A
oa
bx
A
y
y f (x)
B
oa
bx
f ( x) 0
若 y f ( x)在区间（a,b)上单调增加 若 y f ( x)在区间（a,b)上单调减少
f ( x) 0 f ( x) 0
定理1（函数单调性判定方法）
设函数y f ( x)在[a,b]上连续，在(a, b)内可导. （1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x) 在[a, b]上 单 调 增 加 ； (2) 如果在(a,b)内 f ( x) 0，那末函数y f ( x) 在[a, b]上单调减少.
二、函数极值的判定及求法
定理 1 如果函数 f (x) 在点 x0 处可导，且在点 x0 处取得极值，那么 f (x0 ) 0 ．
使得 f (x) 0 的点叫做函数 f (x) 的驻点． 注意（1）可导函数 f (x) 的极值点一定是它 的驻点，但反之不成立． （2）函数在它的导数不存在的点处也可能取 得极值．
切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
弦线的方程为
作辅助函数
即可.
的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端
点连线对应的纵坐标之差.
推论 1 若函数 f (x) 在区间 I 上导数恒为零，则
f (x) 在区间 I 上是一个常数．
推论 2 如果函数 f (x) 与 g(x) 在区间 I 上恒有
f ( x) g ( x)，则在区间 I 上 f (x) g(x) C ，
例3 求 lim x x . x0
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
第三节 函数的单调性
一、函数单调性的判定方法 二、函数单调性的应用
二、曲线的拐点及求法
定 义 2 如 果 连 续 曲 线 y f (x) 在 经 过 点 (x0, f (x0 )) 时，曲线的凹凸性发生改变了，也就是 说，点 (x0, f (x0 )) 是曲线的凸与凹的分界点，那么 称 (x0, f (x0 )) 为曲线的拐点．
拐点的求法:
（1）写出 y f (x) 的定义域； （2）求出 f (x) 0 的点或 f (x) 不存在的点； （3）列表考察（2）中各点两侧 f (x) 是否 异号，若异号，则与该点对应的曲线上的点就是 拐点，否则，就不是拐点．
第四章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数单调性 第四节 函数的极值与最值 第五节 曲线的凹凸性与拐点 第六节 函数图形的描绘
第一节 微分中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
一、罗尔中值定理
罗尔定理 设函数 f(x) 满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
第四节 函数的极值与最值
一、函数的极值 二、函数极值的判定及求法 三、函数的最值
一、函数的极值
定义 1 设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域内有定 义，如果对于其去心邻域内的任意一点，有 f (x) f (x0 )（或 f (x) f (x0 )) ，那么就称 f (x0 ) 是函 数 f (x) 的一个极大值（或极小值），并把点 x0 称 为函数 f (x) 的一个极大值点（或极小值点）．
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
1 1 x 1 x ．
2
例 2 证明方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内有 且只有一个实根．
证明 设 f (x) x3 x2 2x 1，显然 f (x) 在[0,1] 上连续，且 f (0) 1, f (1) 3 ，则有 f (0) f (1) 0 ， 故由连续函数根的存在定理知，在 (0,1) 内至少有
果
lim
x x0
f (x) F (x)
A
（或
），那么
f (x)
f (x)
lim
x x0
g(x)
lim
x x0
F (x)
A（或
）．
三、其他类型未定式
0 , ,00 ,1 , 0型
解法：将其它类型未定式化为洛必达法则可解 决的类型( 0 ), ( )
0
1） 0 型
例1 求 lim x ln x. ( 0 )
二、函数单调性的应用
函数的单调性，通常可以用来证明不等式和 判定方程的根的存在性及其个数．
例 1 利用函数的单调性证明不等式
1 1 x 2
1 x ，其中 x 0
证明 令 f (x) 1 1 x 1 x ，则
2
f (x)
1 22
1 ．当 x
1 x
0时， f
(x)
0 ，即
f (x) 是单调增加的函数，故 f (x) f (0) ．由于
百度文库x0
1
解原式
lim
x0
ln x
1 x
lim
x0
x 1
x2
lim( x) 0 x0
2） 型
例2 求 lim(secx tan x) x
()
2
解
lim(secx x
02
tan
x)
lim
x
2
1
sin cos x
x
(
0
),
lim
cos
x
lim
cot
x
0
x sin x 2
x
2
3）00,1, 0 型
则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数
使 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由
能导出
则问题可解决.
几何意义：
如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的
切线，那么在曲线弧上至少有一点( , f ( )),使曲线在该点处的
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：·
如果 AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不
垂直于 x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么
在曲线弧 AB 上至少存在一点C ，在该点处曲线的切线
平行于 x 轴.
二、拉格朗日中值定理
定理 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
定理 3 设函数 f (x) 在点 x0 处存在二阶导 数，且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，（1）若 f (x0 ) 0 ， 则 函 数 f (x) 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值．
F (x)
A
（或
），那么
f (x)
f (x)
lim
x x0
g(x)
lim
x x0
F (x)
A（或
）．
二、 型未定式
定理2 设函数 f (x) 和 F(x) 都在点 x0 的某个去心邻
域内可导且 F(x) 0 ，lim f (x) ，lim F(x) ．如
x x0
x x0
2.求不可导点：求出f ( x)在(a, b)内的不可导点x1 , x2 , xn 3.求区间端点及驻点和不可导点的函数值 4. 比较（3）中函数值大小,最大的便是最大 值,最小的便是最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
第五节 曲线的凹凸点与拐点
一、曲线凹凸性定义及其判定法 二、曲线的拐点及求法
第六节 函数图形的描绘
一、曲线的渐近线 二、函数图形的描绘
一、曲线的渐近线
1）渐近线
（1）水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f (x) C 或 lim f (x) C (C 为常数)
x
x
那么 y C 就是 y f (x) 的一条水平渐近线.
例如 y arctan x,
一、曲线凹凸性定义及其判定法
定义 1 设 f (x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上
任意两点 x1, x2 ，恒有
f ( x1 x2 ) 2
f (x1 ) 2
f (x2 ) ，那么
称 f (x) 在 I 上的图形是（向上）凹的，如果恒有
f ( x1 x2 ) 2
f (x1 ) 2
f (x2 ) ，那么称
求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求出各极值点处的函数值.
三、函数的最值
函数最大值和最小值统称为函数的最值；使 得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的 最值点．
定理 2 设函数 f (x) 在 x0 处连续，且在 x0 的
某去心邻域
U
(x0
,
) 内可导．（1）若当
x
(x0
,
x0
)
时， f (x) 0 ，而当 x (x0 , x0 ) 时， f (x) 0 ，则 函 数 f (x) 在 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 当 x (x0 , x0 ) 时， f (x) 0 ，而当 x (x0 , x0 ) 时， f (x) 0 ，则函数 f (x) 在 x0 处取得极小值；（3） 若当 x U (x0 , ) 时， f (x) 的符号保持不变，则函 数 f (x) 在 x0 处没有极值．
有水平渐近线两条:
y , 2
y . 2
（2）垂直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f (x) 或 lim f (x)
xx0
xx0
那么 x x0 就是 y f (x) 的一条垂直渐近线.
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有铅直渐近线两条: x 2, x 3.
函数的极大值与极小值统称函数的极值，函 数的极大值点和极小值点统称为函数的极值点．
注意：（1）极值是指函数值，而极值点是指 自变量的值，两者不能混淆．
（2）函数的极值是局部性的，只是与极值 点近旁的所有点的函数值相比较为较大或较小， 这并不意味着它在函数的整个定义区间上是最 大或最小．故函数的极大值不一定比极小值大．
二、函数图形的描绘
一般步骤：
(1)确定函数的定义域，并讨论函数周期性、 奇偶性；
（2）讨论函数的单调性，极值点和极值； （3）讨论函数图形的凹凸区间和拐点； （4）讨论函数图形的水平和垂直渐近线； （5）根据需要补充函数图形上的若干点（如 与坐标轴的交点等）； （6）描点绘图．
一个 ，使得 f ( ) 0 ．
又 f (x) 3x2 2x 2 0 ， x (0,1) ，
故 f (x) 在[0,1] 上单调增加，因而函数 f (x)
的图形和 x 轴至多只有一个交点，即方程只有一
个实根． 综合可得，方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内
有且只有一个实根．
闭区间上连续函数的最值
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，除个别点外处处可导， 并且至多有有限个导数为零的点，则 f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存在 .
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点： 求出f ( x)在(a, b)内的驻点x1 , x2 , xm
f (x) 在 I
上的图形
是（向上）凸的．
定理 1 设函数 f (x) 在[a,b] 上连续，在 (a,b) 内具有一阶和二阶导数，
（1）如果在 (a,b) 内 f (x) 0 ，那么曲线在 [a,b] 上的图形是凹的；
（2）如果在 (a,b)内 f (x) 0 ，那么曲线在 [a,b] 上的图形是凸的．
第二节 洛必达法则
一、 ( 0 ) 型未定式
0
二、( )型未定式 三、其他类型未定式
一、00 型未定式
定理1 设函数 f (x) 和 F(x) 都在点 x0 的某个去心
邻 域 内 可 导 且 F(x) 0 ， lim f (x) 0 ， xx0
f (x)
lim
xx0
F ( x)
0
．如果
lim
一、函数单调性的判定方法
问题的提出
y
y f (x) B
A
oa
bx
A
y
y f (x)
B
oa
bx
f ( x) 0
若 y f ( x)在区间（a,b)上单调增加 若 y f ( x)在区间（a,b)上单调减少
f ( x) 0 f ( x) 0
定理1（函数单调性判定方法）
设函数y f ( x)在[a,b]上连续，在(a, b)内可导. （1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x) 在[a, b]上 单 调 增 加 ； (2) 如果在(a,b)内 f ( x) 0，那末函数y f ( x) 在[a, b]上单调减少.
二、函数极值的判定及求法
定理 1 如果函数 f (x) 在点 x0 处可导，且在点 x0 处取得极值，那么 f (x0 ) 0 ．
使得 f (x) 0 的点叫做函数 f (x) 的驻点． 注意（1）可导函数 f (x) 的极值点一定是它 的驻点，但反之不成立． （2）函数在它的导数不存在的点处也可能取 得极值．
切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
弦线的方程为
作辅助函数
即可.
的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端
点连线对应的纵坐标之差.
推论 1 若函数 f (x) 在区间 I 上导数恒为零，则
f (x) 在区间 I 上是一个常数．
推论 2 如果函数 f (x) 与 g(x) 在区间 I 上恒有
f ( x) g ( x)，则在区间 I 上 f (x) g(x) C ，
例3 求 lim x x . x0
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
第三节 函数的单调性
一、函数单调性的判定方法 二、函数单调性的应用
二、曲线的拐点及求法
定 义 2 如 果 连 续 曲 线 y f (x) 在 经 过 点 (x0, f (x0 )) 时，曲线的凹凸性发生改变了，也就是 说，点 (x0, f (x0 )) 是曲线的凸与凹的分界点，那么 称 (x0, f (x0 )) 为曲线的拐点．
拐点的求法:
（1）写出 y f (x) 的定义域； （2）求出 f (x) 0 的点或 f (x) 不存在的点； （3）列表考察（2）中各点两侧 f (x) 是否 异号，若异号，则与该点对应的曲线上的点就是 拐点，否则，就不是拐点．
第四章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数单调性 第四节 函数的极值与最值 第五节 曲线的凹凸性与拐点 第六节 函数图形的描绘
第一节 微分中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
一、罗尔中值定理
罗尔定理 设函数 f(x) 满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
第四节 函数的极值与最值
一、函数的极值 二、函数极值的判定及求法 三、函数的最值
一、函数的极值
定义 1 设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域内有定 义，如果对于其去心邻域内的任意一点，有 f (x) f (x0 )（或 f (x) f (x0 )) ，那么就称 f (x0 ) 是函 数 f (x) 的一个极大值（或极小值），并把点 x0 称 为函数 f (x) 的一个极大值点（或极小值点）．
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
1 1 x 1 x ．
2
例 2 证明方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内有 且只有一个实根．
证明 设 f (x) x3 x2 2x 1，显然 f (x) 在[0,1] 上连续，且 f (0) 1, f (1) 3 ，则有 f (0) f (1) 0 ， 故由连续函数根的存在定理知，在 (0,1) 内至少有
果
lim
x x0
f (x) F (x)
A
（或
），那么
f (x)
f (x)
lim
x x0
g(x)
lim
x x0
F (x)
A（或
）．
三、其他类型未定式
0 , ,00 ,1 , 0型
解法：将其它类型未定式化为洛必达法则可解 决的类型( 0 ), ( )
0
1） 0 型
例1 求 lim x ln x. ( 0 )
二、函数单调性的应用
函数的单调性，通常可以用来证明不等式和 判定方程的根的存在性及其个数．
例 1 利用函数的单调性证明不等式
1 1 x 2
1 x ，其中 x 0
证明 令 f (x) 1 1 x 1 x ，则
2
f (x)
1 22
1 ．当 x
1 x
0时， f
(x)
0 ，即
f (x) 是单调增加的函数，故 f (x) f (0) ．由于
百度文库x0
1
解原式
lim
x0
ln x
1 x
lim
x0
x 1
x2
lim( x) 0 x0
2） 型
例2 求 lim(secx tan x) x
()
2
解
lim(secx x
02
tan
x)
lim
x
2
1
sin cos x
x
(
0
),
lim
cos
x
lim
cot
x
0
x sin x 2
x
2
3）00,1, 0 型
则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数
使 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由
能导出
则问题可解决.
几何意义：
如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的
切线，那么在曲线弧上至少有一点( , f ( )),使曲线在该点处的
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：·
如果 AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不
垂直于 x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么
在曲线弧 AB 上至少存在一点C ，在该点处曲线的切线
平行于 x 轴.
二、拉格朗日中值定理
定理 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
定理 3 设函数 f (x) 在点 x0 处存在二阶导 数，且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，（1）若 f (x0 ) 0 ， 则 函 数 f (x) 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值．