第四章 微分中值定理与导数的应用

第四章 微分中值定理与导数的应用第一节 中值定理（2课时）要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。

了解柯西中值定理。

重点：理解中值定理及简单的应用。

难点：中值定理证明的应用。

一、罗尔(Rolle)定理罗尔定理 如果函数)(x f 满足条件（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导； （3）)()(b f a f =．则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)(='ξf ．几何解释设曲线»AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，»AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧»AB 上至少有一点C ，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，ξ应在函数取最值点处找．例1．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性． 证明 因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．)2(242)(-=-='xxxf且0)3()1(==ff函数)(xf在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得)2(2)(=-='ξξf，于是)3,1(2∈=ξ．故确实在区间)3,1(内至少存在一点2=ξ使得0)2(='f，结论成立．二、拉格朗日中值定理（微分中值定理）几何分析拉格朗日中值定理设函数)(xf满足条件（1）在闭区间],[ba上连续；（2）在开区间),(ba内可导．则在区间),(ba内至少存在一点)(ba<<ξξ，使得等式))(()()(abfafbf-'=-ξ成立．推论1如果函数)(xf在区间I上的导数恒为零，那么函数)(xf在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）．例2．试证2cotarctanπ=+xarcx)(+∞<<-∞x．证明构造函数xarcxxf cotarctan)(+=，因为函数)(xf在),(+∞-∞上可导，且1111)(22=+-+='xxxf由推论得()arctan cotf x x arc x C=+=，(,)x∈-∞+∞，)()()()()()(ξξFfaFbFafbf''=--成立．说明（1）公式)()()()()()(ξξFfaFbFafbf''=--中的ξ是同一值，即（ξξξ=''=''xxFxfFf))()(()()(）；（2）当xxF=)(时，1)(,)()(='-=-xFabaFbF，正是拉氏中值公式；三个定理联系，罗尔定理−−−−←−−→−=特例推广)()(bfaf拉氏定理−−−−←−−→−=特例（推广xXF)柯西定理．作业129P习题4.1)(x f '符号+ 0 —+)(x f↗极大值 10↘极小值 22-↗应用定理2判别极值的步骤如下，（1）求出函数)(x f 的定义域，及导数)(x f '；（2）求出函数)(x f 的全部驻点（即求出方程0)(='x f 在所讨论的区间内的全部实根）；（3）用这些点将函数)(x f 的定义域分成若干小区间，考查在各点两侧导数的符号，根据定理2判别该点是否有极值点，是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得)(x f 的全部极值． 例2．求函数32)1(x x y -=的极值．解 （1）函数的定义域为(,)-∞+∞，导数为31325xx y -='，（2）令0='y ，得52=x ， （3）列表如下x（0,∞-）0 (52,0) 52 ),52(+∞ y '+不存在 — 0 +y↗极大值 0↘极小值325453- ↗注意：完整地说，若点0x 是函数)(x f 的极值点，那么点0x 不是驻点就是导数不存在的点．如果函数()f x 存在二阶导数，那末函数的极值可以用二阶导数符号判别．定理3（第二充分条件）. 设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数，且率最高等问题，这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题．一．求最值的一般方法把函数)(x f 的驻点及导数不存在的点连同端点的函数值求出来，即)(1x f 、)(2x f 、…、)(n x f 、)(a f 、)(b f 进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值．例1．求函数32)1()(x x x f -=在闭区间]21,1[-上的最值．解 由§5知当52=x 时，0='y ；0=x 时y '不存在，所以3323411(),(0)0,(1)2,()2552524f f f f =-=-=-=-． 经过比较得到最大值为(0)0M f ==，最小值为(1)2m f =-=-．例2．设函数122--=x x y ，问x 等于多少时，y 的值最小，并求最小值．解 由导数0)1(222=-=-='x x y ，得1=x ．因为02>=''y ，所以1=x 为函数的极小值点，即有极小值2|1-==x y ． 又因为函数在开区间),(+∞-∞内只有一个极小值，故为最小值2|1-==x y ．二．最优化问题建立模型：建立拉格朗日函数()y f x =及相应的区间；利用求最值的方法求出函数的最值．例3．铁路线上AB 段的距离为km 100，工厂距离A 处为km 20，AC 垂直于AB ，为了运输需要，要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路，已知铁路每公里货运的费用与公路上每公里的运费之比为5:3，为使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省，问D 点应选在何处？解 1）建立模型总费用与D 的选择有关，设x AD =，总费用y 与x 有关， 因为 2220,100x CD x BD +=-=，由于铁路运费与公路运费之比为53，因此不妨设铁路运费为k 3，公路运费为k 5（k 为某整数），则从点B 到点C 需总运费DB k CD k y ⋅+⋅=35=)100(340052x k x k -++（1000≤≤x ），问题提出 前面已经研究了函数的单调性与极值，这对于描绘函数的图形有很大的作用，但仅仅知道这些还不能比较准确地描绘函数的图形，例如见图中有两条曲线弧，虽然它们都是单调递增的，但图形却有显著的不同．曲线ACB 是向上凸的曲线， 曲线ADB 是向下凸的曲线，它们的凹凸性不同，下面来研究曲线凹凸性及判别法．一、凹凸性的概念及判别法定义 设函数)(x f 在区间I 上连续，（1）如果对区间I 上任意两点21,x x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 成立，则称函数)(x f 在区间I 上的图形是凹的（或凹弧）；（2）如果对区间I 上任意两点21,x x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 成立，则称函数)(x f 在区间I 上的图形是凸的（或凸弧）．如 正弦函数x y sin =在区间],0[π上为凸的，在区间]2,[ππ上为凹的， 问题：如何判别函数的凹凸性？如果用定义判别太繁琐，由图形判别，一般用描点法不能准确的画出函数的图形，所以用函数二阶导数的符号判别，由图中容易看出：当导数)(x f '单调增加时，曲线是凹的；当导数)(x f '单调减少时，曲线是凸的，那么这种情况是否具有一般性？下面给出判别定理．定理 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内具有一阶和二阶导数， （1）若当(,)x a b ∈时，二阶导数0)(>''x f ，则函数)(x f 在],[b a 上的图形是凹的；（2）若当(,)x a b ∈时，二阶导数0)(<''x f ，则函数)(x f 在],[b a 上的图x（51,-∞-）51-（0,51-）),0(+∞y''—0+不存在+凹凸性与拐点凸拐点)25165,51(3--凹不是拐点凹注意二阶导数不存在的点也可能称为拐点．例3．求曲线13y x=的拐点．解因为253312,"39y x y x--'==-，函数的二阶导数在点0x=不存在，但是当0x<时，有0>''y；当0x>时，有0y''<，因此点)0,0(是曲线的拐点．例4．证明不等式,0,02x yxy x y+≤>>．证明只需证明ln lnln22x y x y++≤．设函数()lnf t t=在区间[,]x y上连续，且二阶导数存在，211'(),"()0f t f tt t==-<，所以曲线()lnf t t=在区间[,]x y上是凸的，即有ln lnln22x y x y++≤，亦即,0,02x yxy x y+≤>>．三、曲线的渐近线1．水平渐近线如果曲线)(xfy=的定义域是无限区间，且有bxfx=∞→)(lim，则称直线by=为曲线的水平渐近线．。