中值定理及导数应用

§4. 1 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理及中值公式 三、柯西中值定理
一、罗尔定理
观察与思考：
设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标 相等。
y
C
A
y=f(x) B
Oa x
bx
提问：f (x)=？
罗尔定理： 如果函数y=f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a,
内可导，那么在(a, b)内至少有一点x，使得 f(b)f(a)=f (x)(ba)。
拉格朗日中值定理的几何意义：
y
C1
y=f(x) B
C2 A
O ax
hbx
拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)
内可导，那么在(a, b)内至少有一点x，使得 f(b)f(a)=f (x)(ba)。
提问： 直线AB的斜率k=？
y
C1
y=f(x) B
f (x)=？， f (h)=？
C2
f(b)f(a)=？
A
答案：
k= f (b) f (a) ， ba
O ax
f (x)=f (h)= k， f(b)f(a)=f (x)(ba) 。
hbx
拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)
定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)
在区间I上是一个常数。
证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1<x2)，应用拉格 朗日中值定理，就得
f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x1<x < x2)。 由假定，f (x)=0，所以f(x2)f(x1)=0，即
f(x2)=f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
例如，下列极限都是未定式：
lim
x0
x sin x x3
，
lim
x
ln x xn
(n>0)，
lim xn ln x(n>0)，lim (sec xtan x)，
x0
x
lim
xx，lim
1 (1
2
)x，lim
1
(x 2a 2x)2
。
x0
x
x
x
二、洛必达法则
定理 如果函数f(x)与g(x)满足如下条件： (1)当xa时，函数极限都为零(或都为无穷大)； (2)函数在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0； (3) lim f (x) 存在(或为无穷大)；
b)内可导，且有f(a)=f(b)，那么在(a, b)内至少在一点x ， 使得f (x)=0。
简要证明：(1)如果 f(x)=f(a) ，则 f (x)0，定理的结 论显然成立的。
(2)如果有 x(a, b)，使 f(x)f(a)，不妨设 f(x)f(a)，
则函数f(x)的最大值点 x 必在(a, b)内。于是
应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论
就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
aO
bx a O c bx a O
bx
f(x)不满足条件(1) f(x)不满足条件(2) f(x)不满足条件(3)
二、拉格朗日中值定理
观察与思考： 设连续光滑的曲线y=f(x) 在端点A、B处的纵坐标不
相等。
= lim 3x 2 3 = lim 6x = 3 。 x1 3x 2 2x 1 x1 6x 2 2
简要证明： 令 j(x)=f(x)f(a) f (b) f (a) (xa)，
ba
则函数j(x)在区间[a, b]上满足罗尔定理的条件，
于是至少存在一点x(a, b)，使j (x)=0，即
由此得
j (x)=f (x) f (b) f (a) =0，
ba
f(b)f(a)=f (x)(ba)。
xa g (x)
那么பைடு நூலகம்
lim f (x) = lim f (x) 。 xa g(x) xa g (x)
说明：
在上述定理中，把xa换成x， 把条件(2)换成
(2)当|x|>N时f (x)及F (x)都存在且F (x)0；
结论仍成立。
“零比零”型未定式的定值法：
例 1．求 lim sin ax (b 0)。 x0 sin bx
解： lim sin ax = lim (sin ax) = lim a cos ax = a 。 x0 sin bx x0 (sin bx) x0 b cos bx b
例
2．求 lim x1
x3 x3
3x 2 x2 x 1
。
解：lim x3 3x 2 = lim (x3 3x 2) x1 x3 x 2 x 1 x1 (x3 x 2 x 1)
三、柯西中值定理
函数f(x)及F(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b) 内可导，且F (x)在(a, b)内恒不为零，那么在(a, b)内至
少有一点x ，使等式
f (b) f (a) = f (x ) 。 F (b) F (a) F (x )
§4．2 洛必达法则
一、未定式 二、洛必达法则
拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)
内可导，那么在(a, b)内至少有一点x，使得 f(b)f(a)=f (x)(ba)。
拉格朗日中值公式：
f(b)f(a)=f (x)(ba) ， f(xDx)f(x)=f (xqDx)Dx (0<q <1)， Dy= f (xqDx)Dx (0<q <1)。
f
(x)=
f(x)=
lim
xx
f (x) f (x ) 0， x x
f
(x)=
f(x)=
lim
xx
f (x) f (x ) 0， x x
因此必有f (x)=0。
罗尔定理： 如果函数y=f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a,
b)内可导，且有f(a)=f(b)，那么在(a, b)内至少在一点x ， 使得f (x)=0。
“零比零”型未定式的定值法： “无穷比无穷”型未定式的定值法： 其它类型未定式的定值法：
一、未定式
在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或
同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在， 这种极限称为未定式。这种类型的未定式记为 －0 或 － 。
0 其它类型的未定式：0·、、00、1、0。