微分中值定理与导数的应用习题
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
微分中值定理与导数的应用习题
第四章 微分中值定理与导数的应用习题§4.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2f π=， 故 )(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式 （１）当π<<x 0时，x xx cos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xx cos sin >． （２）当 0>>b a 时，bb a b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而 b b a b a a b a -<<-ln ．。
辽宁工业大学高数习题课(3)
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析 当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或
型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项 佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
3微分中值定理与导数的应用习题
第三章微分中值定理与导数的应用1 •函数y =x2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕=2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕=3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕=4•函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕=5•验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律—1上的正确性。
T 6」6.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' —5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。
7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。
L 2」&试证明对函数y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。
9.证明下列不得等式: ⑴ arctanx -arctan y < x - y⑶当a汕＞«¥＜"¥10.用洛必达法则求下列极限:X _x⑵ lim e ~eT sin XIn R +丄］⑷ li%__¥—鈕 1arcta n —x⑸1x m1x1.1 -x1⑹ lim (cot X -一) T x(7)lim (cos X)⑻ ji m^x "(J x2+1 -X) ⑵当X A1时，e x；＞e .XIn (1 +x)⑴lim T X⑶ lim 沁—sina X T x-asin X — xcosx2~；x sinx11. 确定下列函数的单调区间。
⑷ y =1 n(x +J 1 + x 212. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间:⑷ y = In(x 2+1 )13. 禾U 用函数的单调性证明下列不等式:(11)lim(1-x)ta n 便'(2丿(12)tanx⑽ lim — - x -^l x「1 2 、—2x~e-1丿⑴ y = 2x 3-6x 2-18x -7⑵ y = 2x +8(X A O )x=x 3 -5x 2+3x +5/ \ -x⑵ y = xe= (x +1y +e x⑴当1 ,_______ x>0 时，1+ —x》u1+x2⑵当x>0 时，1+xl n(x+j1+x2)> J1 +x2⑶当兀 1 3 0cx£ —时，tanx〉x + -x2 314.列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。
高等数学微分中值定理与导数应用习题
微分中值定理与导数应用一、选择题1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【 】 A. π B. 2π C. 3πD. 4π2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】A. x lnB.x ln ln C.xln 1 D.)2ln(x -3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【 】A. 一个实根B. 二个实根C. 三个实根D. 无实根4. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点5. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≤, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 6. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点7. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''<≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 8. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点9. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 10.函数256, y x x =-+在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 52D. 2 11.函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 212.函数y =在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 2 13.方程410x x --=至少有一个根的区间是【 】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C. (2,3)D.(1,2) 14.函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=ξ 【 】A. 0B. 12-C. 1D.1215.已知函数()32=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的ξ是【 】 A.± B. C. D. 13±16.设273+=x y ，那么在区间)3,(-∞和),1(+∞内分别为【 】 A.单调增加，单调增加 B.单调增加，单调减小 C.单调减小，单调增加 D.单调减小，单调减小二、填空题1. 曲线53)(23+-=x x x f 的拐点为_____________.2. 曲线x xe x f 2)(=的凹区间为_____________。
第03章微分中值定理与导数的应用习题详解
M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。
可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。
—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。
可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。
「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。
微分中值定理与导数的应用习题课(一)
【例3】设 f ( x)在[0, a]上连续, 在 (0, a)内可导, 且 f (a) 0 . 证明存在一点 (0, a), 使 f ( ) f ( ) 0. 分析 从结论 f ( ) f ( ) 0 看等价于方程 x f ( x) f ( x) 0 有实根，但若利用零点定理，无法验证 f (0) f (a) 0，所以
证明: 设 F ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x, 易知多项式函数F ( x)在[0, x0 ] 上连续且可导，由题设
F ( x0 ) 0 F (0).
由罗尔定理，存在 (0, x0 ), 使 F ( ) 0, 即 a0n n1 a1 (n 1) n2 an1 0, 这说明 就是方程 a0nx n1 a1 (n 1) x n2 an1 0 的一个小于 x 0的正根.
2
x 1)
分析 证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：
如果函数 f ( x)在区间 I上的导数恒为零，那么 f ( x)在区间 I上是一个常数.
证明：设 f ( x) arcsin x arccos x,(1 x 1)
因 f ( x) 1 1 0,(1 x 1) 1 x2 1 x2
试证在(a,
b)内至少存在一点 ,
使 f (b)
f (a)
f ( ) ln b
a
成立.
分析
将所证等式变形为
f (b)
f (a)
f ( ) 或
ln b ln a 1
f (b) f (a) ln b ln a
f ( x)
ln x
,
x
可见，应对 f ( x)与 ln
x 在[a,
b]上应用
ln b ln a 1
(完整版)中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案
第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21xy = D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f =C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数)D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．97．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( )A ．()M x f ≥B ．()M x f >C ．()M x f ≤D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ9．若032<-b a ，则方程()023=+++=c bx ax x x f ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根10．求极限xx x x sin 1sinlim20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为xx 1lim0→不存在，所以上述极限不存在 C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数212x xy +=，在 ( ) A ．()+∞∞-,单调增加 B ．()+∞∞-,单调减少 C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少 D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加12．曲线xe y x+=1 ( )A ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( ) A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D ． 只有水平渐近线14．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 ( )A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值 15．求()201ln lim x x x x +-→16．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 0 17．求x xx 3cos sin 21lim6-→π18．求()xx x1201lim +→19．求xx arctgx ln 12lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→π20．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。
微分中值定理及导数应用双周练习卷
lim arctan( x a) arctan x
x
x 2
(0) 0
lim x
1
(
1 x
a
)2
2 x3
1
1 x
2
1 lim
2 x
x3 (2ax a2 ) (1 x2 )[1 ( x a)2 ]
()
1 2a
2
a
1
13、lim x0
tan x
x
x2
lim x0
1
e x2
tan x ln x
1
8 x3
由f ( x) 0,得 x 2
f (1) 1,
f (2) 1,
f (4) 1 4
最大值是 f (2) 1； 最小值是 f (1) 1
17、证明：arctan b arctan a b a .
证：设f ( x) arctan x，(不妨设b a) f ( x) C[a,b]， f ( x) D(a,b)
x
x
二、填空题(每题3分，共15分)
6、曲线y
4x 1 ( x 2)2
的渐近线是
y 0,
x 2.
解：
lim 4x 1 x ( x 2)2
0
y 0是水平渐近线
又
4x 1
lim
x 2
(
x
2)2
x 2是垂直渐近线
7、函数f ( x) 1 x 在[1, 2]上满足拉格朗日中 x
定理的 = 2 .
解： f ( ) f (2) f (1)
21
1
2
1 2
得 2 (舍负)
8、函数f ( x) x 2sin x在区间[0, ]上的
2
《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)
第四章微分中值定理和导数的应用[单选题]1、曲线的渐近线为（）。
A、仅有铅直渐近线B、仅有水平渐近线C、既有水平渐近线又有铅直渐近线D、无渐近线【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察渐近线计算.因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。
[单选题]2、在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（）A、4B、2C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题]3、，则待定型的类型是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题]4、下列极限不能使用洛必达法则的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.[单选题]5、在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）.A、1B、2C、eD、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察中值定理的应用。
[单选题]6、如果在内，且在连续，则在上（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在上f(a)＜f(x)＜f(b).[单选题]7、的单调增加区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题]8、（）.A、-1B、0C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]9、设，则（）.A、是的最大值或最小值B、是的极值C、不是的极值D、可能是的极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由，我们不能判断f（0）是极值点，所以选D. [单选题]10、的凹区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】若求凹区间则就是求的区间，即6x+6>0，即x>-1.[单选题]11、的水平渐近线是（）.A、x=1，x=-2B、x=-1C、y=2D、y=-1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时，y的值就是水平渐近线，x趋于无穷时，y的值是2，所以y=2是水平渐近线；当y趋于无穷时，x的值就是垂直渐近线，本题中由于分母可以分解为（x+1）（x-1），所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1，x=-1都是垂直渐近线.[单选题]12、设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为，则P=4时的边际需求为（）.A、-8B、7C、8D、-7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，当P=4时，Q=-8.[单选题]13、设某商品的需求函数为，其中表示商品的价格，Q为需求量，a，b为正常数，则需求量对价格的弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由弹性定义可知，[单选题]14、设函数在a处可导，，则（）.A、B、5C、2D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】因为f(x)可导，可用洛必达法则，用导数定义计算.所以[单选题]15、已知函数（其中a为常数）在点处取得极值，则a=（）.A、1B、2C、0D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在点处取得极值，[单选题]16、某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定位10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p定为多少时利润最大？（）.A、9.5B、9C、8.5D、7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】设销量为Q，则Q=120+20(10-P)·2=520-40P利润此时即取得最大值.[单选题]17、若在（a,b）上，则函数y=f（x）在区间（a,b）上是（）A、增加且凹的B、减少且凹的C、增加且凸的D、减少且凸的【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]18、求极限=（）.A、2B、C、0D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数在区间上的极大值点=（）.A、0B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】令，当时，当时，当时，函数有极大值.[单选题]20、设某商品的供给函数为，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商品的供给价格弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]21、某产品产量为q时总成本C(q)=1100+，则q=1200时的边际成本为() A、0B、C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，q=1200时的边际成本为2.[单选题]22、已知函数f(x)=ax2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=()A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】，得到a=1.[单选题]23、极限=()A、-B、0C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先利用洛必达法则，分子分母分别求导，.[单选题]24、曲线y＝x3的拐点为（）．A、（0，0）B、（0，1）C、（1，0）D、（1，1）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】y＂＝6x，当y＂＝0时，x＝0，将x＝0代入原函数得y＝0，所以选择A．参见教材P108～109．（2015年4月真题）[单选题]25、曲线的水平渐近线为（）．A、y＝0B、y＝1C、y＝2D、y＝3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题因为，所以直线y＝1为曲线的水平渐近线．参见教材P110～111．（2015年4月真题）[单选题]26、函数y＝x3－3x＋5的单调减少区间为（）．A、（－∞，－1）B、（－1，1）C、（1，＋∞）D、（－∞，＋∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】y＇＝3x2－3y＇＝0时，x＝±1．在（－∞，－1）上，y＇＞0，为增函数；在（－1，1）上，y＇＜0，为减函数；在（1，＋∞）上，y＇＞0，为增函数．因此选B．参见教材P100～101．（2015年4月真题）[单选题]27、已知函数（其中a为常数）在处取得极值，则a＝（）．A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】∵在处，取得极值点，∴参见教材P102～104。
第三章 微分中值定理和导数的应用习题66道
第三章 微分中值定理和导数的应用3．1 验证罗尔定理对函数21x y -=在区间]1,1[-上的正确性。
3．2 验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。
3．3 不用求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明0)(/=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。
3．4 试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
3．5 验证担格朗日定理对于函数x x f arctan )(=在区间[0，1]上的正确性。
3．6 对函数3)(x x f =及1)(2+=x x g 在区间[1，2]上验证柯西中值定理的正确性。
3．7 对函数x x f sin )(=，x x g cos )(=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π验证柯西中值定理的正确性。
3．8 对函数2)(x x f =，x x g =)(在区间[1，4]上验证柯西中值定理的正确性。
3．9 试证当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时，|tan |||x x ≤（等号只有在0=x 时成立）。
3．10 证明下列不等式：（1）b a b a -≤-arctan arctan ；（2）y x y x -≤-sin sin ；（3）)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<--- （y x n >>,1）；（4）如果20παβ<≤<，试证：αβαβαββα22cos tan tan cos -≤-≤-； （5）设0>n ，试证：1111arctan 1arctan 1)1(122+<+-<++n n n n 。
3．11 试证：21arctan arcsin xx x -= （11<<-x ）。
3．12 若k x f =)(/，k 为常数，试证：b kx x f +=)(。
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)
>第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。
第三章微分中值定理与导数的应用(1)
第三章微分中值定理与导数的应用在第二章中，我们介绍了导数和微分两个有密切联系的概念，阐明了求导数和微分的方法．本章我们介绍微分中值定理，并在此基础上研究函数的单调性，讨论函数的极值、最大值和最小值的求法，解决未定式的定值和曲线的曲率计算等问题．§ 3‐1 微分中值定理一、罗尔定理罗尔（Rolle）定理如果函数f (x)满足条件：（1）在闭区间[a , b]上连续；（2）在开区间(a , b)内可导；（3）f (a) =f (b)，那末在(a , b)内至少存在一点ξ，使得f /(ξ) = 0．证因为函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，所以它在[ba,]上必能取得最大值M和最小值m（§1-7定理14）．下面分两种情形讨论：（1）如果M = m，那末f (x)在[a , b]上恒等于常数M．因此，在整个区间内恒有f /(x) = 0，区间（a , b）内每一点都可取作ξ，得f /(ξ) = 0；（2）如果M >m，因为f (a)= f (b)，所以M与m这两个数中至少有一个不等于端点的函数值．设M≠f (a)（如果设m ≠f (a)，证法完全类似），那末在（a , b）内必有一点ξ，使 f (ξ) =M．下面证明f /(ξ) = 0．因为ξ是开区间（a , b）内的点，根据假设可知f /(ξ)存在，即极限x fxfmlix∆-∆+→∆)( )( 0ξξ存在，而极限存在必定左、右极限都存在并且相等，因此=∆-∆+=+→∆x f x f mli f x )()()(0/ξξξx f x f m li x ∆-∆+-→∆)()(0ξξ．由于f (ξ) = M 是f (x )在[a , b ]上的最大值，因此不论Δx 是正的还是负的，只要ξ+Δx 在[a , b ]上，总有f (ξ+Δx ) ≤ƒ(ξ)，即 f (ξ+Δx )－ƒ(ξ)≤0．当Δx >0时，xx f x f ∆-∆+)()(ξ≤0，从而，根据函数极限性质（§1-2定理4），有xf x f mli f x ∆-∆+=→∆)()()(0/ξξξ≤0；同理，当Δx < 0时,xf x f ∆-∆+)()(ξξ≥0,从而xf x f mli f x ∆-∆+=-→∆)()()(0/ξξξ≥0,因此必然有f / (ξ) = 0． 这就证明了罗尔定理．罗尔定理的几何意义是，如果连续曲线y = f (x )的弧⋂AB 上除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线且两端点的纵坐标相等，那末这弧上至少有一点C ，使曲线在点C 的切线平行于x 轴，如图3-1所示． 例1 设f (x ) =x 2－2x －3，验证罗尔定理对f ( x )在[－1，3]上的正确性．证 显然f (x ) =x 2－2x －3在[－1，3]上连续，而 f / (x ) =2x －2, 所以)(x f 在区间（－1,3）内可导，又f (－1) = f (3) =0, 所以)(x f 图3-1在[－1，3]上满足罗尔定理的条件．令f / (x ) =2x －2 = 0, 解得x =ξ= 1∈(－1, 3)，使f / (ξ) = 0，罗尔定理的结论成立．二、拉格朗日中值定理拉格朗日（Lagrange ）中值定理 如果函数)(x f 满足条件： （1）在闭区间[a , b ]上连续； （2）在开区间(a , b )内可导， 那末在(a , b )内至少存在一点ξ，使得))(()()(/a b f a f b f -=-ξ, (3-1) 或 ab a f b f f --=)()()(/ξ． （3-2）从图3-2可以看出定理的正确性是显然的．由定理条件（1）、（2）可知，弧⋂AB 是一条连续光滑（弧⋂AB 内部每一点都有不垂直于x 轴的切线）的弧段，因此当我们把弦AB 平行移动时，在弧⋂AB 内部至少可以找到一点C ，过此点(ξ, f (ξ))的曲线的切线平行弦AB ，即切线斜率和弦AB 的斜率相等． 故ab a f b f f --=)()()(/ξ,即 ))(()()(/a b f a f b f -=-ξ． 证 从图3-2可以看出弦AB 的方程为)()()()(a x ab a f b f a f y ---+=．在同一横坐标x 处，我们用弧⋂AB 的纵坐标减去弦AB 的纵图3-2坐标，得到辅助函数)()()()()()(a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ．显然，ϕ(x )在[a , b ]上连续，在（a , b ）内可导，即 ab a f b f x f x ---=)()()()(//ϕ,又0)()(==b a ϕϕ，故由罗尔定理知，在（a , b ）内至少存在一点ξ，使得a b a f b f f ---=)()()()(//ξξϕ=0，所以 a b a f b f f --=)()()(/ξ，即 ))(()()(/a b f a f b f -=-ξ,这就证明了拉格朗日中值定理．公式（3-1）称为拉格朗日中值公式，显然当b < a 时，公式亦成立．拉格朗日中值公式的其它形式：由于a<ξ< b ，故知0 <ξ－a b a -<,即10<--<ab aξ，令ab a--=ξθ，得 ξ= a +θ(b —a)，因此公式（3-1）可以写成：)]([)()(/a b a f a f b f -+=-θ)(a b - )10(<<θ． 如果设x 、x +Δx ∈[a , b ]，在以x 与x +Δx 为端点的闭区间上应用拉格朗日中值定理，又有x x x f x f x x f ∆∆+=-∆+)()()(/θ,或 )10()(/<<∆∆+=∆θθxx x f y ． （3-3）将公式（3-3）与近似公式x x f dy y ∆=≈∆)(/作比较，可以看出，函数的微分x x f ∆)(/一般说来只是函数增量Δy 的近似表达式，其误差当Δx 为有限时一般不为零，而公式（3-3）当Δx为有限时就是增量Δy 的精确表达式．所以拉格朗日中值定理又叫做有限增量定理，也叫做微分中值定理． 它精确地表达了函数在一个区间上的增量与该函数在这个区间内某点处的导数之间的关系．由拉格朗日中值定理可得下面两个重要推论：推论1 如果函数)(x f 在区间（a , b ）内的导数)(/x f 恒为零，那末函数)(x f 在（a , b ）内是一个常数．证 设x 1、x 2∈（a , b ）内任意两点，且x 1<x 2，则由公式（3-1）得),())(()()(2112/12x x x x f x f x f ∈-=-ξξ,由推论假设知/f（ξ）=0，所以)()(12x f x f -=0，即)()(21x f x f =．因为1x 、2x 是（),b a 内任意两点，所以上面的等式表明：)(x f 在区间（a , b ）内函数值总是相等的．这就是说，)(x f 在区间（a , b ）内是一常数．由推论1容易得到下面的推论2：推论2 如果函数)(x f 、g (x )对区间（a , b ）内任意一点x ，都有)()(//x g x f =，那末这两个函数在区间（a , b ）内至多相差一个常数．例2 证明]1,1[2-∈=+x osx rcc a inx rcs a π．证 设osx rcc a inx rcs a x f +=)(，因为)(x f 在（－1，1）内可导且有01111)(22/=---=xxx f ，)1,1(-∈x所以)(x f 在（－1，1）内为常数．又)(x f 在[－1，1]上连续，故)(x f 在[－1，1]上为常数，即C osx rcc a inx rcs a =+．令x =0，得 2π=C ，故 2π=+osx rcc a inx rcs a ． ]1,1[-∈x例3 如果b <0≤a ，试证明不等式a b a -≤b a n l ≤bba -． 证 设nx l x f =)(．当0>>b a 时，由微分中值定理，得)(1a b b a nb l na l <<=--ξξ,由0＜a b <<ξ，得ba 111<<ξ, 故b b a nb l na l a 11<--<，即 bba b a n l a b a -<<-； 而当b a =时，有bba b a n l a b a -==-， 总之当b <0≤a 时，有a b a -≤b a n l ≤bb a -．三、柯西中值定理柯西（Cauchy ）中值定理 如果函数)(x f 和)(x F 满足条件： （1）在闭区间[b a ,]上连续；（2）在开区间（b a ,）内可导，且对任意x ∈（b a ,），)(/x F 0≠，那末在（b a ,）内至少存在一点ξ，使得)()()()()()(//ξξF f a F b F a f b f =--． （3-4） 证明从略．在柯西定理中，如果取x x F =)(，那末 F (b )－F (a ) =a b -, )(/x F =1， 于是公式（3-4）变成)()()(/ξf ab a f b f =--．这就是拉格朗日中值定理，可见柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广；在拉格朗日中值公式中，如果令)()(a f b f =，那末)(/ξf = 0，所以拉格朗日中值定理又是罗尔定理的推广．习 题 3‐11．对函数inx ns l x f =)(在区间]65,6[ππ上验证罗尔定理的正确性．2．对函数anx arct x f =)(在[0，1]上验证拉格朗日中值定理的正确性．3．证明下列不等式： （1）||any t anx t -≥||y x - （)2,2(,ππ-∈y x ）； （2）x x n l x x<+<+)1(1（x >0）； （3）当x >1时，x e e x>．4．对函数3)(x x f =及1)(2+=x x φ在[1，2]上验证柯西中值定理的正确性．5．证明21xx anrct a inx rcs a -=)1,1(-∈x ．§ 3‐2 罗必塔法则如果两个函数)(x f 、)(x F 当0x x →（或∞→x ）时，都趋于零或无穷大，那末极限())()(0x F x f mli x x x ∞→→可能存在，也可能不存在，而且不能用商的极限法则进行计算，我们把这类极限称为型或∞∞型未定式．对于这类极限我们将根据柯西中值定理推导出一个简便且重要的方法，即所谓罗必塔（L ’Hospital ）法则．一、型未定式 定理1 如果函数)(x f 与)(x F 满足条件： （1）0)()(0==→→x F m li x f im l x x x x ；（2）在点0x 的某个邻域内（点0x 可以除外）可导，且0)(/≠x F ；（3）)()(//0x F x f m li x x →存在（或无穷大），那末有)()()()(//00x F x f im l x F x f m li x x x x →→=存在（或无穷大）．证 因为)()(0x F x f m li x x →是否存在与)(x f 、)(x F 在点0x 有无定义无关，所以为了适用柯西中值定理，我们可以假定 )(0x f =)(0x F = 0，这样根据条件（1）、（2）可知，)(x f 、)(x F 在点0x 某一邻域内都是连续的．设x 为该邻域内的一点，在以x 及0x 为端点的区间上对函数)(x f 、)(x F 用柯西中值定理，得到)()()()()()()()(//00ξξF f x F x F x f x f x F x f =--=（ξ在x 和0x 之间）， 在上式两端，令0x x →求极限并注意到0x x →时0x →ξ，并根据条件（3）有)()()()()()(////000ξξξξξF f im l F f im l x F x f m li x x x x x →→→===)()(//0x F x f m li x x →． 证毕如果)()(//x F x f 在0x x →时仍是00型未定式，且这时)(/x f 与)(/x F 能满足定理中)(x f 、)(x F 所要求满足的条件，那末可以继续用罗必塔法则，得)()()()()()(//////000x F x f im l x F x f m li x F x f m li x x x x x x →→→==,且可依此类推． 例1 求 x s co xs co mli x 352π→．解 x s co x s co mli x 352π→（00型）=3533552-=--→x n si x n si mli x π． 例2 求1232331+--+-→x x x x x m li x ．解 1232331+--+-→x x x x x m li x （00型）=12333221---→x x x m li x （00型）＝232661=-→x x m li x ．注意：例2两次用罗必塔法则后，极限2661-→x ximl x 不再是未定式，不能再用罗必塔法则，否则会导致错误．例3 求3x inxs nx ta iml x -→． 解3x nx si nx ta m li x -→（00型）=-=→2203x osx c x ec s m li x =-→x os c x x os c im l x 223031=-⋅++⋅→)1131(2220x osxc x os c x os c sx co m li x )00(1型20x osx c m li x -→2120==→xnx si m li x ． 推论 如果函数)(x f 、)(x F 满足条件： （1）0)()(==∞→∞→x F im l x f m li x x ；（2）)(/x f 与)(/x F 当N x >||时存在，且)(/x F ≠0；（3）)()(//x F x f m li x ∞→存在（或无穷大），那末 )()(x F x f m li x ∞→=)()(//x F x f m li x ∞→．证明从略.例4 求otx c arc nx ta arc m li x )2(-+∞→π．解 otx c arc nx ta arc m li x )2(-+∞→π（00型）221111x x m li x +-+-=+∞→=1．二、∞∞型未定式 定理2 如果函数)(x f 与)(x F 满足条件：（1）当0x x →时，函数)(x f 、)(x F 都趋于无穷大；（2）在点0x 的邻域内（点0x 本身除外）)(/x f 、)(/x F 都存在，且)(/x F ≠0；（3）)()(//0x F x f m li x x →存在（或无穷大），那末 )()(0x F x f m li x x →=)()(//0x F x f m li x x →．证明与定理1类似．推论 如果函数)(x f 与)(x F 满足条件：（1）当∞→x 时，函数)(x f 、)(x F 都趋于无穷大；（2）)(/x f 与)(/x F 当N x >||时存在，且)(/x F ≠0；（3）)()(//x F x f m li x ∞→存在（或无穷大），那末 )()(x F x f m li x ∞→=)()(//x F x f m li x ∞→．证明从略. 例5 求inxns l xin ns l m li x 30+→．解 inx ns l x in ns l mli x 30+→（∞∞）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+→osx c inx s xin s x os c m li x 3330＝ xin s inxs mli x 330+→（00）= x os c osxc m li x 3330+→=1．例6 求)0 ,( >+∞→λμλμx x ex m li ．解 因为μ是正实数，所以必存在非负整数n ，使得1+<<n n μ，连续使用（1+n ）次罗必塔法则，得x x e x m li λμ+∞→（∞∞）=xx e x m li λμλμ1-+∞→=x x e x m li λμλμμ22)1(-+∞→-= … ＝ xn n x e x n m li λμλμμμμ1)1()()2)(1(++-+∞→--- ＝ μλλμμμμ-+++∞→---11)()2)(1(n x n x x e n m li = 0．三、其它未定式除了∞∞型和00型未定式之外，还有∞⋅0、∞-∞、∞1、00、0∞型五种未定式．对于∞⋅0及∞-∞型未定式，我们通过变形，将它们化成00型或∞∞型未定式，再使用罗必塔法则求值．对于∞1、00、0∞型未定式，可通过取对数将它们化成∞⋅0型未定式，再变形为00型及∞∞型未定式，然后使用罗必塔法则求值．例7 求)2(anx arct x m li x -+∞→π．解 )2(anx arct x m li x -+∞→π)0(⋅∞＝xanx arct im l x 1)2(-+∞→π⎪⎭⎫⎝⎛00=22111xx m li x -+-+∞→＝ 221xx im l x ++∞→=1． 例8 求)11(1nx l x x m li x --→． 解 ))(11(1∞-∞--→nx l x x m li x )00)()1(1(1nxl x x nx xl m li x -+-=→＝21111)00(11211=+=+-→→xx xm li nx l x nx l mli x x ． 例9 求xx xm li -→111（1∞）．解 设xxy -=11，两边取对数得xnxl ny l -=1， 因为 111)00(1111-=-=-=→→→x m li x nx l m li ny l m li x x x ，所以1ln 111111-→→-→====→e e em li y m li xm li nyl m li yx x xx x ,即 xx xm li -→111=1-e ．例10 求xn a t x x im l )1(0+→（∞0）．解 设xn a t x y )1(=，两边取对数，得nx l anx t ny l ⋅-=，因为)0(0∞⋅⋅-=+→+→nx l anx t im l ny l im l x x ＝otx c nx l mli x 0+→-)(∞∞=xsc c x m li x 201+→＝0)()00(020=⋅=+→+→nx si x nx si m li x x in s im l x x , 所以 1)1(00000=====+→+→+→+→e ee m li y m li x m li nyl m i l y n l x x xn a t x x ．例11 求xx x m li 0+→（00型）． 解 设xx y =，两边取对数得 nx xl ny l =, 因为)(1)0(0∞∞=∞⋅=+→+→+→x nx l mli nx xl m li ny l m li x x x ＝ 0)(0=-+→x m li x ,所以10n l 0=====+→+→+→+→e eem li y m li x m li nyl m i l yx x xx x ．习 题 3‐21．利用罗必塔法则求下列极限：（1）x ba m li x x x -+→0； （2）a x an si nx si mli ax --→；(3）x an nt l x an nt l m li x 270+→； （4）otxarcc x n l mli x )11(+-∞→．2．利用罗必塔法则求下列极限： （1）xx x a m li )1(+∞→； （2）nxl x otx c m li 10)(→+；（3）)0(0>+→n nx l x m li n x ； （4）nxsi x x m li 0+→；（5）)11 1(0--→x x e x m li ； （6）x x nx arcta m li )2(π+∞→．3．验证极限inxs x inxs x m li x +-∞→存在，但不能用罗必塔法则计算．§ 3‐3 函数单调性的判定方法在第一章中我们介绍过函数在区间上的单调性概念．根据单调性定义来判定函数的单调性在多数情况下是困难的．本节我们利用导数来研究函数单调性的判定方法．从图3-3可以看出，如果函数)(x f y =在区间[a , b ]上单调增加，其图象是一条沿x 轴正向上升的曲线，曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，因此切线斜率/y =)(/x f >0．从图3-4可以看出，如果函数)(x f y =在区间[a , b ]上单调减少，其图象是一条沿x 轴正向下降的曲线，曲线上各点切线的倾斜角都是钝角，因此切线斜率/y =)(/x f<0．由上面的分析可见，函数在[a , b ]上单调增加时有)(/x f >0；函数在[a , b ]上单调减少时有)(/x f <0．反之，能否用)(/x f 的符号判定函数)(x f 的单调性呢？下面我们用拉格朗日中值定理进行讨论:设函数)(x f y =在区间[a , b ]上连续，在（a , b ）内可导，在[a , b ]上任取两点1x 、2x （1x <2x ），应用拉格朗日中值定理，得到)())(()()(2112/12x x x x f x f x f <<-=-ξξ． （3-5）在（3-5）式中，因为2x －1x >0，在（a , b ）内当0)(/>x f 时，也有0)(/>ξf ，于是图3-3 图3-40))(()()(12/12>-=-x x f x f x f ξ,即 )(1x f <)(2x f ． 就是说，函数)(x f y =在[a , b ]上单调增加．同理可证，在（a , b ）内当0)(/<x f 时，函数)(x f y =在[a , b ]上单调减少． 综上所述，得到函数单调性的判定方法：定理3 设函数)(x f 在区间[a , b ]上连续，在（a , b ）内可导． （1）如果在（a , b ）内0)(/>x f ，那末函数)(x f y =在区间[a , b ]上单调增加；（2）如果在（a , b ）内0)(/<x f ，那末函数)(x f y =在区间[a , b ]上单调减少． 注意：若把区间[a , b ]改为开区间或无穷区间，定理3仍然成立．另外，如果在（a , b ）内若干孤立的点有0)(/=x f ，而其余的点有0)(/>x f （或0)(/<x f ），则)(x f 在（a , b ）内仍是单调增加（或单调减少的）．例如3x y =，032/>=x y ，当0=x 时，0/=y ，3x y =在),(+∞-∞内单调增加．例1 讨论函数x anx arct y -=的单调性． 解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，而1112/-+=xy =0122<+-x x , 因此x anx arct y -=在),(+∞-∞上单调减少．例2 确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间． 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，)2)(1(612186)(2/--=+-=x x x x x f ，令0)(/=x f ，即0)2)(1(6=--x x ， 解得x 1=1 , x 2=2．列表分析函数的单调性：所以函数)(x f 的单增区间是),2()1,(+∞-∞ ，单减区间是 (1，2)．例３ 确定函数32x y =的单调区间．解 函数的定义域为),(+∞-∞，当0≠x 时， 3/32xy =；当0=x 时，导数不存在．显然，在)0,(-∞内，0/<y ；在),0(+∞内，0/>y ．列表分析函数的单调性：所以函数y 的单减区间是)0,(-∞，单增区间是),0(+∞，如图 3-5所示．利用函数的单调性还可以证明一些不等式: 例4 证明当0>x 时，有221)1(1x x x n xl +>+++．证 设221)1(1)(x x x n xl xf +-+++=，因为)(x f 在+∞,0[）上连续，且=+-+++++++=2222/1111)1()(xx x x x xx x x n l x f 图3-5222221111)1(xx x x x xx x x x n l +-++++++++＝22211)1(xx xx x x n l +-++++＝)1(2x x n l ++．当0>x 时，01)0()(//==>n l f x f ，故)(x f 在),0[+∞上单调增加，因此当0>x 时，)0()(f x f >，而0)0(=f ，所以当0>x 时，0)(>x f ，即01)1(122>+-+++x x x n xl ， 221)1(1x x x n xl +>+++．习 题 3‐31．判定函数osx c x x f +=)(的单调性．2．确定下列函数的单调区间： (1)xx y 82+= )0(>x ； (2))1(2x x n l y ++=； (3)x e x y -=； (4)nx l x y -=22．3．证明下列不等式： (1)1)1(2+->x x nx l )1(>x ； (2))1(x n l x +> )0(>x ．§ 3‐4 函数的极值及其求法一、函数极值的定义图3-6观察图3-6，我们发现曲线)(x f y =上点C 1、C 2、C 4、C 5、C 6是函数)(x f y =单调的分界点． 而且函数)(x f y =在点2x 、5x 的函数值)(2x f 、)(5x f 比点2x 、5x 左右近旁的函数值都要大些；在点1x 、4x 、6x 的函数值)(1x f 、)(4x f 、)(6x f 比点1x 、4x 、6x 左右近旁的函数值都要小些． 对于这些单调分界点的横坐标x 及其对应的函数值)(x f ，我们给出如下定义：定义1 设函数)(x f 在区间(b a ,)内有定义，x 0是(b a ,)内的一个点，如果存在点x 0的一个邻域，对于这个邻域内的任何 点x ，除了点x 0外，)()(0x f x f <均成立, 那末称)(0x f 是函数的一个极大值；如果存在点x 0的一个邻域，对于这个邻域内 的任何点x ，除了点x 0外，)()(0x f x f >均成立，那末称)(0x f 是函数的一个极小值．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取极值的点称为极值点．在图3-6中，)(2x f 、)(5x f 是函数)(x f 的极大值，点2x 、5x 称为极大点；)(1x f 、)(4x f 、)(6x f 是函数)(x f 的极小值，点1x 、4x 、6x 称为极小点．由函数极值定义可知：（1）函数极值只在区间（a , b ）内部取得，不可能在区间的端点取得；（2）函数的极大值和极小值概念是局部性的，极大值可以比极小值小．图3-6中极大值)(2x f 就比极小值)(6x f 要小； （3）极大值不一定是函数的最大值，极小值也不一定是函数的最小值．最大（小）值是对整个定义域来讲的．在图3-6中，只有一个极小值)(1x f 同时也是最小值，而没有一个极大值是最大值．图3-6中函数的最大值是)(b f ． 二、函数极值的求法由图3-6可以看出，函数)(x f 对应的曲线在极值点处都有水平切线．根据导数的几何意义可知在极值点x 处必有0)(/=x f ，对于这样的点x 我们给出如下定义：定义2 使导数为零的点（即方程0)(/=x f 的实根）称为函数)(x f 的驻点．显然，极值点必是驻点，但驻点不一定是极值点． 图3-6中的点C 3处有水平切线，即有0)(3/=x f ，点3x 是驻点，但)(3x f 并不是极值，故点3x 不是极值点．从图形上看，在点3x 的左右近旁函数的单调性没有改变．根据以上讨论，我们得到以下定理：定理4 （极值的必要条件）如果函数)(x f 在点x 0处可导，且在x 0处存在极值，那末)(0/x f = 0．证 为确定起见，假定)(0x f 是极大值（极小值情形可类似地证明）．根据极大值的定义，在x 0的某个邻域内，对于任何点x ，除x 0外，)()(0x f x f <均成立，于是， 当x <x 0时， 0)()(00>--x x x f x f ，因此由§1-2定理4得 0000/)()()(0x x x f x f m li x f x x --=-→≥0；当x >x 0时，0)()(00<--x x x f x f ，因此 0000/)()()(0x x x f x f mli x f x x --=+→≤0．从而得到 )(0/x f = 0．由定理4可知，要求函数的极值，必先求出使)(0/x f = 0的驻点x 0，而驻点不一定是极值点，因此还要判定求得的驻点是不是极值点． 怎样从驻点中去判定哪些是极值点呢？由函数极值的定义并联系到函数单调性判定法，我们有下面的极值充分条件．定理5（极值的第一充分条件） 设函数)(x f 在点x 0的一个邻域内可导且)(0/x f =0，如果在该邻域内：（1）当x <x 0时，)(/x f >0，而当x >x 0，)(/x f <0，那末函数)(x f 在x 0处取得极大值；（2）当x <x 0时，)(/x f <0，而当x >x 0，)(/x f >0，那末函数)(x f 在x 0处取得极小值；（3）当x <x 0与x >x 0时，)(/x f 不改变符号，那末函数)(x f 在x 0处没有极值．证 （1）根据函数单调性判定法，)(x f 在x 0的左侧邻近是单调增加的，在x 0的右侧邻近是单调减少的，因此)(0x f 是)(x f 的一个极大值；同理可证（2）、（3）．值得指出的是，函数还可能在它的不可导点取得极值，例如§3-3节中的例3就是这样．例 1 求函数32)3()1()(+-=x x x f 的单调增减区间和极值．解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞， )35()3)(1()(2/++-=x x x x f ， 令)(/x f =0，得驻点：1,53,34321=-=-==x x x x ． 列表分析函数的单调性：由表可知，函数)(x f 的单增区间是),1()5,(+∞--∞ ，单减区间是（1,53-）．极大值3125121735)53(=-f ，极小值是 f （1）= 0，驻点 3-=x 不是极值点．例2 求函数3223)(x x x f -=的单调区间和极值．解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，31/1)(--=xx f ，令)(/x f =0，得驻点x =1，使)(/x f 不存在的点是x = 0． 列表分析函数的单调性：由此表可知，函数)(x f 的单增区间是),1()0,(+∞-∞ ，单减区间是（0，1），极大值是f （0）=0，极小值是f （1）=21-． 求函数单调区间和极值的步骤：（1）求函数)(x f 的定义域；（2）求)(/x f ，令)(/x f = 0求出驻点，找出使)(/x f 不存在的点0x ，并用这些点将定义域分成若干部分区间；（3）列表讨论)(/x f 在各部分区间的符号，分析函数的单调性；（4）确定函数的单调区间，计算函数的极值．如果可导函数在驻点处具有不为零的二阶导数，则可用函数极值的第二充分条件来判定该驻点是否为极值点．在求二阶导数)(//x f 较易时，用这种方法较第一种方法简便．定理6（极值的第二充分条件） 设函数)(x f 在点x 0处具有二阶导数，且)(0/x f =0，而≠)(0//x f 0，如果（1）当0)(0//<x f 时，那末)(x f 在点x 0处取得极大值；（2）当0)(0//>x f 时，那末)(x f 在点x 0处取得极小值．证 （1）由于0)(0//<x f ，根据二阶导数的定义有0)()()(00//0//<--=→x x x f x f m li x f x x ，由§1-２定理3，对充分接近x 0的x ，有0)()(00//<--x x x f x f ，但)(0/x f = 0，所以上式即0)(0/<-x x x f ．显然，当x <x 0时，)(/x f >0；当x >x 0时，)(/x f <0，根据定理5知，)(0x f 为)(x f 的极大值；同理可证（2）．当)(0//x f =0，定理6失效，此时用定理5来判定．例3 求函数)1()(2x x x f -=的极值． 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，2/32)(x x x f -=，x x f 62)(//-=，令0)(/=x f ，得驻点01=x ，322=x ．因为02)0(//>=f ，所以函数有极小值0)0(=f ；因为02)32(//<-=f ，所以函数有极大值f （32）=274．习 题 3‐41．求下列函数的极值： （1）7186223+--=x x x y ； （2）)1(x n l x y +-=； （3）x x y -+=1； （4）osx c e y x =；（5）xx ee y -+=2； （6）xxy 1=；（7）31)1(23+-=x y ； （8）anx t x y +=．2．试证如果函数d cx bx ax y +++=23满足条件032<-ac b ，那末这函数没有极值．3．试问a 为何值时，函数x in s inx as x f 331)(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．§ 3‐5 函数的最大值和最小值的求法在实际问题中，常常要求在一定条件下使 “效益最大”、“成本最低”、“用料最省”．解决这一类问题，在数学上归结为求某一函数的最大值和最小值问题．§1-7节定理14告诉我们：如果函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，那末，函数)(x f 在区间[b a ,]上必取得最大值和最小值．显然，要求函数的最大（小）值，必先找出函数)(x f 在[b a ,]上取得最大值和最小值的点．怎样在区间[b a ,]上找出取得最大（小）值的点呢？下面我们就来解决这个问题．（1）如果函数)(x f 的最大（小）值在区间(b a ,)内部取得，且)(x f 又在(b a ,)内可导，那末最大（小）值只能在驻点取得； （2）如果函数)(x f 在(b a ,)内总是单调增加的（或总是单调减少的），那末函数)(x f 的最大（小）值在[a , b ]的端点取得； （3）由§3-3节的例3和§3-4节的例2知函数在其)(/x f 不存在的点可能取得极值，那末，函数的最大（小）值也可能在使)(/x f 不存在的点取得．综上所述，可知求函数)(x f 在区间[a , b ]上的最大（小）值的步骤为（1）求驻点处的函数值； （2）求端点的函数值； （3）求使)(/x f 不存在的点的函数值；（4）比较上述函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值．例1 求函数322)2(x x y -=在[3,0]上的最大值与最小值．解 显然，函数322)2(x x y -=在[0，3]上连续，且 32/23)1(4xx x y --=，可知，驻点1=x ，不可导点2=x ，端点0=x ，3=x ，这些点的函数值分别为0)2()0(==y y ，1)1(=y ，39)3(=y ．那末函数在[0，3]上的最大值为39)3(=y ，最小值为0)2()0(==y y ．例2 求函数xxanarct y +-=11在[0，1]上的最大值和最小值． 解 函数y 在[0，1]上连续，且2/11x y +-=，由于在[0，1]上总有0/<y ，即函数y 在[0，1]上总是单调减少，故无极值．最大（小）值只能在区间端点取得，即最大值41)0(π==an arct y ，最小值00)1(==an arct y ．有时候函数)(x f 在区间(b a ,)内连续可导，有且仅有一个驻点0x ，当)(0x f 是极大值时，则)(0x f 是函数)(x f 在区间(b a ,)上的最大值；当)(0x f 是极小值时，则)(0x f 是函数)(x f 在区间(b a ,)上的最小值，这种确定最大（小）值的方法，在求实际问题的最大（小）值中经常应用，不必考虑端点的函数值．求实际问题的最大（小）值有以下步骤： （1）先根据问题的条件建立目标函数； （2）求目标函数的定义域；（3）求目标函数的驻点（唯一驻点）； （4）求出目标函数在驻点处的函数值，并根据实际问题的性质确定该函数值是最大值还是最小值．例3 设有电动势为E ，内电阻为r 的电源向可变外电阻R 供电，其中E 、r 是已知的，问R 等于多少时R 中放出的功率最大，并求出这个最大电功率，如图3-7所示．解 由欧姆定律知电流强度为 rR EI +=， 由焦耳定律知道通过R 的电功率为 P = RI 2 =22)(r R RE+ )0(>R ,这就是电功率P 和电阻R 之间的函数 关系，求这个目标函数的导数，得32/)()(r R R r E P +-=， 令P / = 0，得唯一驻点：R = r ，而电功率本身存在最大值．所以当R = r 时，可变外电阻放出最大电功率为rE P 42=．例4 轮船用煤费用与其速度的立方成正比．已知速度为10浬/小时，每小时的用煤费用为25元，其余费用为100元．问轮船速度为多少时，所需费用总和为最少？解 设轮船速度为每小时x 浬时，每小时用煤费用为L ，则L =3kx ，用10=x ，25=L 代入得401=k ，故3401x L =．又设轮船的总航程为S ，故共用时间为xS，再设总费用为y ，则得目标函数为图3－7xSx S x S x y 10040)100401(23+=⋅+= )0(>x ， 232/20200010020xS Sx x S x S y -=-=． 令0/=y ，解得唯一驻点3210=x （浬/小时），而总费用y 存在最小值，故当轮船速度为3210涅/小时，所需费用总和最少．例5 要做一个容积为V 的圆柱形油罐，问底半径r 和高h 等于多少时才能使所用材料最省？解 显然，用材最省就是油罐总表面积最小，如图3-8所示．油罐的侧面积为rh π2，上下底面积为22r π，故总表面积为 rh r S ππ222+= )0(>r ， 而容积h r V 2π=，2rVh π=，故得油罐总表面积（目标函数）为 rVr S 222+=π（)0 >r ， 23/)2(2rV r S -=π， 令S / = 0，解得唯一驻点32πV r =，而油罐总表面积存在最小值，故当底半径32πVr =时，S 有最小值．此时相应的高h 为 r VVV r V h 22223232==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππππ． 可知，容积为V 的圆柱形油罐的底直径和高相等时用材最省．习 题 3‐5图3-81．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1）5224+-=x x y ， –2≤x ≤2 ； （2）2100x y -=， –6≤x ≤8 ；（3）x x in s y -=2， 2π-≤x ≤2π； （4）nx l x y =， 41≤x ≤1．2．欲利用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？3．甲船以每小时20海里的速度向东行驶，同时乙船在甲船正北82海里处以每16海里的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？4．某吊车的车身高为1．5米，吊臂长15米，现在要把一个宽6米，2米高的屋架，水平地吊到6米高的柱子上去（如图）,问能否吊得上去（提示：设吊臂对地面的倾角为φ时，屋架能够吊到的最大高度为h ，建立h 与φ角的函数关系式，然后求出h 的最大值）？5、某厂每批生产某种商品x 个单位的费用为C （x ）=5x +200（元），得到的收入是R （x ）=10x –0．001x 2（元）， 问每批应生产多少个单位时才能使利润最大？§ 3‐6 曲率在实际问题中，常常要考虑曲线的弯曲程度，曲线的弯曲程度是用曲率来刻划的．而曲率及其计算公式又与弧微分概念紧密相联．因此，本节我们先建立弧微分概念，然后给出曲率定义及其计算公式，再讨论曲率圆、曲率半径及一些简单应用．一、 弧的微分设函数y =ƒ（x ）在区间(b a ,)内具有连续导数，在曲线 y =ƒ（x ）上，取固定点M 0（x 0，y 0）作为度量弧长的起点，并规定x 增大的方向作为曲线的正向，如图3-9所示，M （x ，y ）为曲线上任一点，S 表示曲线弧⋂M M 0的长度，即S =⋂M M 0．显然，S 是x 的函数，即S =S （x ），而且S 是x 的单调增加函数．下面我们来求S = S （x ）的微分dS ．在一般情况下，已知的是曲线方程)(x f y =，而S = S （x ）却是未知的，此时如何求dS 呢？我们通过适当的变换，将dS 用函数)(x f y =的导数来表示．给x 以增量Δx （Δx >0），故y 相应地有增量Δy =RM /，弧长S 相应地有增量ΔS =⋂/MM ，由导数的定义，可得xS m li dxdS S x ∆∆==→∆0/．第 四 题 图(b )图3-9从图3-9可以看出，在Δx →0时，点M /沿曲线无限接近M 点，即1||//0=⋂→∆MM MM m li x ． （3-6） 另外，还可以看出，在直角三角形ΔMRM /中，（|MM /|）2 =（Δx ）2 +（Δy ）2， 上式变形为222/1x S ||⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x y S MM ， 在Δ→x 0时，取上式两边的极限，得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆→∆→∆2022/01||x y m li x S S MM im l x x ， 利用（3-6）式，上式变为221⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx dS ，两边开平方得2/1y dxds+±=, 而S （x ）是x 单增函数，故取正号，于是有dx y ds 2/1+=． （3-7） 这就是弧的微分公式．显然，弧微分dS 等于曲线)(x f y =在点M ),(y x 处的切线对应区间[x x x ∆+,]上的一段长|MN |，即||MN dS =． 例1 求曲线x x y 33-=的弧的微分．解 因为332/-=x y ，所以由弧微分公式（3-7）得 dx x x dx x ds 10189)33(12422+-=-+=．二、 曲率及其计算公式 1、曲率的概念曲率是用来刻划曲线的弯曲程度的．而曲线的弯曲程度又与哪些量有关呢？请看图3-10和图3-11．观察图3-10，设两曲线弧⋂MN =⋂1MN =ΔS ，当动点M 沿曲线弧⋂MN 移动到点N （或沿曲线弧⋂1MN 移动到点N 1）时，两段弧切线的转角分别为Δ2α和Δ1α，显然，Δ2α>Δ1α，它表示曲线弧⋂MN 比曲线弧⋂1MN 弯曲得厉害一些．由此可见，在弧长相等的情况下，切线转角α∆越大，曲线弯曲程度就越大．观察图3-11，两曲线弧⋂MN （动点M 沿曲线弧移动到点N ），⋂11N M （动点M 1沿曲线弧移动到点N 1）切线的转角相等，都等于Δα．显然，弧长短的曲线弧⋂11N M 比弧长长的曲线弧⋂MN 弯曲得厉害一些．由此可见，在切线转角相等的条件下，弧长越短的曲线弧的弯曲程度就越大．综上所述，可见曲线的弯曲程度不仅与切线的转角Δα的大小有关，而且还与曲线弧的弧长ΔS 的长短有关．通常我们用比值=K S∆∆α, （3-8）来刻划一段弧的弯曲程度．这个比值越大，曲线的弯曲程度就越大，比值越小，曲线的弯曲程度就越小．我们把这个比值称为该弧段的平均曲率． 图3-101图3-11图3-12一般说来，弧⋂/MM 上各点附近的弯曲程度是不相同的, 如图3-12所示．所以平均曲率只能表示整段弧的平均弯曲程度．显然，弧段⋂/MM 越短，平均曲率K 就越能近似显示弧段上点M 处的弯曲程度．因此，我们给出曲线在某一点的曲率的定义： 定义3 当点M /沿曲线趋于点M 时，弧⋂/MM 的平均曲率K 的极限叫做曲线在点M 处的曲率，记作K ，即==→K K MM /lim dsd S S αα=∆∆→∆0lim , （3-9）其中，切线转角α∆用弧度作单位，K 及K 的单位为弧度/单位长．2、曲率的计算公式由公式（3-7）知dx y ds 2/1+=，又由导数的几何意义知αan t y =/，因此得/any arct =α, （3-10）其中)(//x f y =，可知，α通过)(//x f y =成为x 的复合函数．在（3-10）式的两端求微分，得dx yy y dy d 2///2//11+=+=α, 用αd 和ds 代入（3-9）式，得曲线)(x f y =在点M （y x ,）处的曲率为232///)1(||||y y dsd K +==α． （3-11）应当注意，公式（3-11）是在曲线方程为直角坐标方程时计算曲率的公式；如果曲线方程为参数方程⎩⎨⎧==)(,)(t y t x ψϕ时，那末可利用参数方程求导法求出/y 、//y ，再用公式（3-11）求曲率；如果曲线方程为极坐标方程)(θρf =时，那末可把方程化为直角坐标系下以θ为参数的参数方程，再用公式（3-11）便可求得。
高等数学（林伟初）习题详解习题详解-第4章微分中值定理与导数的应用
习题4-11．验证下列各题的正确性，并求满足结论的ξ的值：(1) 验证函数()cos 2f x x =在区间[,]44ππ-上满足罗尔定理；(2) 验证函数()f x =[4,9]上满足拉格朗日中值定理；(3) 验证函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上满足柯西中值定理. 解：(1) 显然()c o s 2f x x =在[,]44ππ-上连续，在(,)44ππ-内可导，且()()044f f ππ-==，又 ()2sin 2f x x '=-，可见在(,)44ππ-内，存在一点0ξ=使()00(2sin 2)0.f x ξ='==-=(2) ()f x =[4,9]上连续，()f x '=，即知()f x =(4,9)内可导，由(9)(4)1945f f -==-得254x =， 即在(4,9)内存在254ξ=使拉格朗日中值公式成立.(3) 显然函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上连续，在开区间)2,1(内可导，且 .02)(≠='x x g 于是)(),(x g x f 满足柯西中值定理的条件.由于,3712)11()12()1()2()1()2(233=-+-+=--g g f f,23)()(x x g x f ='' 令,3723=x 得.914=x 取),2,1(914∈=ξ则等式)()()1()2()1()2(x g x f g g f f ''=--成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.2．不求导数函数()(1)(2)f x x x x =++的导数, 判断方程()0f x '=有几个实根，并指出这些根的范围.解 因为(2)(1)(0)0,f f f -=-==所以)(x f 在闭区间[2,1]--和[1,0]-上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在(2,1)--内至少存在一点,1ξ使,0)(1='ξf 即1ξ是)(x f '的一个零点；又在(1,0)-内至少存在一点,2ξ使,0)(2='ξf 即2ξ是)(x f '的一个零点.又因为)(x f '为二次多项式，最多只能有两个零点，故)(x f '恰好有两个零点，分别在区间(2,1)--和(1,0)-.3．设函数)(x f 是定义在(,)-∞∞处处可导的奇函数，试证对任意正数a ，存在(,)a a ξ∈-, 使 ()()f a af ξ'=.证 因()f x (,)-∞∞处处可导，则()f x 在[]a a -，上应用拉格朗日中值定理：存在()a a ξ∈-，，使()()()(())f a f a f a a ξ'--=⋅--.由)(x f 是奇函数，则上式为()()2()f a f a af ξ'+=, 故有()()f a af ξ'=.4．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：(1) 当0b a >>时,ln b a b b aa a b-->>; (2) 若1x ≠, 则x e xe >.证(1) 当0b a >>时,设()ln ,f x x =则)(x f 在[,]a b 上满足拉格朗日定理的条件.故()()()()f b f a f b a ξ'-=- (),a b ξ<< 由1(),f x x '=且111,a bξ>>得：ln b a b b a b aa a bξ--->=>. (2) 若1x ≠,不妨设>1x ，令(),x f x e =则)(x f 在[1,]x 上满足拉格朗日定理的条件.故()(1)()(1)f x f f x ξ'-=- (1),x ξ<< 从而1x e xe e xe xe ξξ=+->>.5．应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式： (1) arcsin arccos (11)2x x x π+=-≤≤;(2) arctan 2x π+=.证(1) 设()f x x =,],1,1[-∈x,01111)(22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-'x x x f ∴,)(C x f ≡].1,1[-∈x 又 ,220arccos 0arcsin )0(ππ=+=+=x f 即.2π=C∴.2arccos arcsin π=+x x(2)设()arctan f x x =+因为21()01+f x x '==，所以 ()f x C ≡,是常数. 又(1)arctan1442f πππ=+=+=, 即.2π=C故arctan 2x π+=.6．设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使2()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-证 作辅助函数3(),g x x =则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件，故在)1,0(内至少存在一点,ξ使2(1)(0)().103f f f ξξ'-=-即 2()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-习题4-21．写出函数x x x f ln )(3=在10=x 处的四阶泰勒公式. 解 x x x f ln )(3=， ,0)1(=f22()3ln ,f x x x x '=+ ,1)1(='f()6ln 5,f x x x x ''=+ (1)5,f ''= ()6ln 11,f x x '''=+ (1)11,f '''= (4)6(),f x x= ,6)1()4(=f,6)(2)5(x x f -= .6)(2)5(ξξ-=f 于是所求泰勒公式为x x ln 3)1(-=x 2)1(!25-+x 3)1(!311-+x 4)1(!46-+x ,)1(!5652--x ξ其中ξ在1与x 之间.2. 写出函数1()f x x=在01x =-处的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式. 解 1()f x x =， (1)0,f -= 21(),f x x '=- (1)1,f '-=-32(),f x x ''= (1)2,f ''-=-46(),f x x'''=- (1)6,f '''-=- ()1!()(1),n n n n f x x+=- ()(1)!n f n -=-于是所求的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式为()0(1)()(1)((1))!k nk n k f f x x o x k =-=+++∑(1)((1)).nk n k x o x ==-+++∑3．求下列函数的带皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式： (1)x xe x f -=)(；(2) 1()1xf x x-=+. 解 (1)因为),()!1()(!2)()(1112---+--++-+-+=n n xx o n x x x e所以312(1)()2!(1)!n nxn x x xe x x o x n ---=-+-++-11(1)()(1)!k nkn k x o x k -=-=+-∑. (2) 由 )(1112n n x o x x x x+++++=- 知211(1)()1n n n x x x o x x=-+-+-++ 故 1()1x f x x -=+212111x x x--==-++22[1(1)()]1n n n x x x o x =-+-+-+-1(1)2()nk k n k x o x ==-+-⋅+∑.4. 用泰勒公式计算下列极限：(1) 2230cos limx x x e-→-； (2) 0(cos )sin x x e x→-⋅ 解 (1) x cos ),(!4!21442x o x x ++-=22x e -244211(),222!x x o x =-++⋅∴22cos x x e--44211()(),4!22!x o x =-+⋅ 又3sin x x 4~,x 从而2230cos lim sin x x x e x x -→-44401()12lim x xo x x→-+=1.12=- (2) 24661131()242!83!x x x o x =+-++⋅⋅ ∴22x -46611()44x x o x =-++x cos ),(!4!21442x o x x ++-=2x e ),(!211442x o x x +++= ∴2cos x x e -2443(),224x x o x=--+ 又2sin x 2~,x从而0(cos )sin x x e x →-⋅46646611()443()224x x o x x x o x -++=--+114362-==-. 5. 利用四阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差： (1) 6ln5；(2)e .解 (1) 23111(1)ln(1)(1)23(1)(1)nn n n n x x x x x x n n x θ+-+-+=-+-+-+++ 上式中，取3n =得2344ln(1)234(1)x x x x x x θ+=-+-+).10(<<θ 以15x =代入得6ln 525111110.182752535≈-+=，(取小数点后四位) 其误差 4R 4444111()=4105454(1)5θ-=<⨯⨯+. (2) xe 12)!1(!!21+++++++=n xn x n e n x x x θ (01)θ<<. 取,1=x 5n =得 e 111111 2.7083,2!3!4!5!≈+++++=(取小数点后四位) 其误差 6R 6!e <30.0042.6!<= 习题4-31．计算下列极限：(1) 0lim sin x xx e e x-→-；(2) 2ln cos 2lim()x xx ππ→-;(3) 02lim sin x x x e e xx x-→---；(4) 1ln(1)limarctan 2x x x π→+∞+-； (5) cot limcot 3x xxπ→； (6) 0ln lim ln cot x xx+→；(7) 20tan lim tan x x xx x→-;(8) 22301lim sin 2x x e x x x-→+-;(9) 0ln sin 3lim ln sin 2x xx+→;(10) 2lim xx x e-→+∞;(11) 2lim cot ln()2x x x ππ+→⋅-;(12) 2011lim()sin x x x x→-; (13) 11lim 1ln x x x x →⎛⎫-⎪-⎝⎭; (14) 011lim 1xx e x →⎛⎫-⎪-⎝⎭; (15) 21lim(cos 2)x x x →;(16) 11lim (ln )x x x -→+∞;(17) lim x x x xx e e e e --→+∞-+; (18) sin lim sin x x xx x →∞-+; 解 (1) 00lim lim 2sin cos x x x xx x e e e e x x--→→-+==；(2) 2ln cos 2lim ()x x x ππ→-2tan 2lim2()x xx ππ→-=-24sec 2lim 2x x π→-==-2; (3) 02lim sin x x x e e x x x -→---0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x xx x x e e e e e e x x x ---→→→+--+====-；(4) 1ln(1)lim arctan 2x x x π→+∞+-2111lim 11x x x x →+∞-+=-+221lim11x x x x →+∞-+=-+221lim x x x x →+∞+=+=1； (5) cot lim cot 3x x x π→22csc lim 3csc 3x x x π→-=-22sin 3lim3sin x x x π→=2sin 3cos33lim 32sin cos x x x x x π→⋅=⋅；sin 3cos3lim lim sin cos x x x x x x ππ→→=⋅3cos3lim 1cos x x xπ→=⋅=3(6) 0ln lim ln cot x x x +→201lim csc cot x x x x +→=-201lim csc cot x x x x+→=-0sin cos lim x x x x+→=-=-1； (7) 20tan lim tan x x x x x →-30lim tan x x x x →=-2203lim sec 1x x x →=-2203lim 3tan x x x→==;(8) 22301lim sin 2x x e x x x -→+-22301lim (2)x x e x x x -→+-=23022lim 84x x xe x x -→-+=⋅2201lim 16x x e x -→-= 2021lim 3216x x xe x -→==; (9) 0ln sin 3lim ln sin 2x x x +→03cot 3lim 2cot 2x x x +→=03tan 2lim 2tan 3x x x +→=032lim 123x xx+→==;(10) 2lim xx x e -→+∞2lim x x x e→+∞=22lim lim 0x x x x x e e →+∞→+∞===;(11) 2lim cot ln()2x x x ππ+→⋅-2ln()2lim tan x x x ππ+→-=2212lim sec x x x ππ+→-= 22cos lim 2x x x ππ+→=-22cos sin lim 01x x xπ+→-==;(12) 2011lim()sin x x x x →-20sin lim sin x x x x x →-=30sin lim x x xx →-=20cos 1lim 3x x x →-=0sin lim 6x x x →-=16=-; (13) 11lim 1ln x xx x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭1ln 1lim (1)ln x x x x x x →-+=-1ln lim 1ln x x x x x→=-+1211lim112x xx x →==+;(14) 011lim 1x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭01limx x x x e xe x →-+=-01lim 1x x x x e xe e →-=+- 0lim 2x xx x e xe e →-=+12=-; (15) 2221ln cos2ln cos2limlim(cos 2)lim x x x x xx x x x ee →→→==,又20ln cos 2limx x x →002tan 2tan 2lim lim 22x x x xx x→→--===-故21lim(cos 2)x x x →=2e -;(16) 11lim (ln )x x x -→+∞=ln ln 1lim xx x e-→+∞,又11ln ln ln lim lim 011x x x x x x →+∞→+∞⋅==-, 故11lim (ln )x x x -→+∞=0e =1;(17) lim x x xx x e e e e --→+∞-+221lim 11xxx e e --→+∞-=+;(18) sin 1lim1sin 1x x x x x→∞-=+. 2. 设(0)0f =,(0)2f '=，(0)6f ''=,求20()2lim x f x xx→-. 解 20()2l i mx f x x x →-0()2l i m 2x f x x →'-=0()lim 2x f x →''=(0)32f ''==. 习题4-41．判断函数x y e x =-的单调性.解 .1-='x e y 又).,(:+∞-∞D在)0,(-∞内，,0<'y ∴函数单调减少； 在),0(+∞内，,0>'y ∴函数单调增加. 2．判断函数cos sin y x x x =+在区间3[,]22ππ的单调性.解 cos y x x '=,在区间3(,)22ππ，,0<'y ∴函数单调减少.3．求下列函数的单调区间： (1) 31292)(23-+-=x x x x f ； (2) 2()2ln f x x x =-；(3) ()f x =(4) 2()1x f x x=+.解 (1) ).,(:+∞-∞D 2()61812f x x x x '=-+),2)(1(6--=x x 解方程0)(='x f 得.2,121==x x当1<<-∞x 时，,0)(>'x f ∴)(x f 在(]1,∞-上单调增加； 当21<<x 时，,0)(<'x f ∴)(x f []2,1上单调减少； 当+∞<<x 2时，,0)(>'x f ∴)(x f 在),2[+∞上单调增加.(2) :(0,).D +∞1()4f x x x '=-241x x-=,解方程0)(='x f 得12x =，在1(0,)2内，,0)(<'x f ∴)(x f 在1(0,)2内单调减少；在1(,)2+∞内，,0)(<'x f ∴)(x f 在1(,)2+∞单调增加.(3) ).,(:+∞-∞D y'13=令,0='y 解得14,3x =在21,x =32x =处y '不存在.在(),1-∞内，,0>'y 函数单调增加；在41,3⎛⎫⎪⎝⎭内，,0>'y 函数单调增加；故函数在4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内函数单调增加；在4,23⎛⎫⎪⎝⎭内，,0<'y 函数单调减少； 在()2,+∞内，,0>'y 函数单调增加. (4) :(,1)(1,).D -∞--+∞21()111x f x x x x ==-+++,221(2)()1(1)(1)x x f x x x +'=-=++, 令,0='y 解得12,x =-20,x =在(,2)-∞-内，,0>'y 函数单调增加； 在(2,1)--内，,0<'y 函数单调减少； 在(1,0)-内，,0<'y 函数单调减少； 在(0,)+∞内，,0>'y 函数单调增加.4．当0>x 时，应用单调性证明下列不等式成立：(1) 2x +>(2) 21ln(1)2x x x x >+>-. 证 (1)令()2f x x =+- 则()1f x '==.当0>x 时,,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加，,0)0(=f ∴当0>x 时，()(0)0,f x f >=即2x +-，故2x +>(2)设),1ln()(x x x f +-=则.1)(xx x f +=' )(x f 在],0[+∞上连续，且在),0(+∞内可导，,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加， ,0)0(=f ∴当0>x 时，,0)1ln(>+-x x 即).1ln(x x +>又设21()ln(1),2g x x x x =+-+因为()g x 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且1()11g x x x'=-++,12x x +=当0>x 时，()0,g x '>又(0)0.g = 故当0>x 时，()(0)0,g x g >=所以.21)1ln(2x x x ->+ 综上，当0>x 时，有21ln(1)2x x x x >+>-，证毕. 5．证明方程53210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根. 证 令53()21f x x x x =++-，因)(x f 在闭区间[0,1]连续，且)0(f 1=-,0<(1)f 30=>.根据零点定理)(x f 在(0,1)内有一个零点,即方程53210x x x ++-=至少有一个小于1的正根.在(0,1)内，)(x f '42561x x =++,0> 所以)(x f 在[0,1]内单调增加，即曲线)(x f y =在(0,1)内与x 轴至多只有一个交点.综上所述，方程53210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根. 6．求下列曲线的凹凸区间及拐点： (1) 14334+-=x x y ；(2) 2y = (3) 241y x =+；(4) (y x =-解 (1)函数的定义域为),,(+∞-∞,121223x x y -='.3236⎪⎫ ⎛-=''x x y 令,0=''y 得,01=x .22=x)(2) 函数的定义域为),,(+∞-∞ y '13=- y ''=函数y 在1x =处不可导，但1x <时，,0<''y 曲线是凸的，时，,0>''y 曲线是凹的.故凹区间为[1,)+∞，凸区间为(,1]-∞，拐点为(1,2)；(3) 函数的定义域为),,(+∞-∞ y '228(1)xx =-+ , y ''223248(1)x x -=+ 令,0=''y 得1x =2x =在(,-∞，,0>''y 曲线是凹的；在(，,0<''y 曲线是凸的；在)+∞，,0>''y 曲线是凹的.因此凹区间为(,-∞,)+∞，凸区间为[，拐点为(,3)和.(4) 函数的定义域为),,(+∞-∞ 5233(y x x x =-=-,y '21335233x x -=-=, y ''143310299x x --=+=, 令,0=''y 得11,5x =-在20x =处y ''不存在，在1(,)5-∞-，,0<''y 曲线是凸的；在1(,0)5-，,0>''y 曲线是凹的；在(0,)+∞，,0>''y 曲线是凹的；故凹区间为1(,0]5-,[0,)+∞，凸区间为1(,]5-∞-，拐点为1(,5-.7．利用函数的凹凸性证明：若,0,x y x y >≠，则不等式2()x yxyxe ye x y e ++>+成立.证 令()t f t te =(0t >)，则所要证明的不等式改写为()()<()22f x f y x yf ++.因此问题转化为要证明()f t 在(0,)+∞内为凹.由()t t f t te e '=+，()2t tf t te e ''=+，因0t >，()0f t ''>，故()f t 在(0,)+∞内为凹，于是不等式成立.习题4-51．求下列函数的极值： (1) 32()393f x x x x =--+；(2) 2()1xf x x =+; (3) 2()2ln f x x x =-;(4) ()f x =(5) 23()(1)1f x x =--;解 (1) )3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,令,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x所以, 极大值(1)8,f -=极小值(3)24f =-.(2) 2221(1)(1)()11x x x f x x x--+'==++,令,0)(='x f 得驻点121, 1.x x =-= 所以, 极小值(1),2f -=-极大值(1)2f =. (3) 函数的定义域为(0,),+∞1()4f x x x '=-241x x-=，令,0)(='x f 得驻点12x =，在1(0,)2内，,0)(<'x f )(x f 在1(0,)2内单调减少；在1(,)2+∞内，,0)(<'x f )(x f 在1(,)2+∞单调增加.所以,有极小值11()ln 222f =+.(4) ).,(:+∞-∞D y '13=令,0='y 解得14,3x =在21,x =32x =处y '不存在.在(),1-∞内，,0>'y 函数单调增加；在41,3⎛⎫⎪⎝⎭内，,0>'y 函数单调增加；在4,23⎛⎫⎪⎝⎭内，,0<'y 函数单调减少； 在()2,+∞内，,0>'y 函数单调增加.因此，有极大值4(),33f =极小值(2)0f =. (5) 由,0)1(6)(22=-='x x x f 得驻点,11-=x .1,032==x x ).15)(1(6)(22--=''x x x f因(0)60,f ''=>/故)(x f 在0=x 处取得极小值，极小值为(0) 2.f =-因,0)1()1(=''=-''f f 考察一阶导数)(x f '在驻点11-=x 及13=x 左右邻近的符号: 当x 取1- 左侧邻近的值时, ;0)(<'x f 当x 取1-右侧邻近的值时, ;0)(<'x f 因)(x f '的符号没有改变，故)(x f 在1-=x 处没有极值.同理，)(x f 在1-=x 处也没有极值.2. 设3x π=是函数1()sin sin 33f x a x x =+的极值点，则a 为何值？此时的极值点是极大值点还是极小值点？并求出该值.解 由()cos cos3f x a x x '=+,因3x π=是极值点，故()coscos 033f a πππ'=+=,得a =2,又()(2cos cos3)2sin 3sin3f x x x x x '''=+=--,()2sin 3sin 033f πππ''=--=,所以，3x π=是极大值点，极大值为：1()2sinsin 333f πππ=+=3. 求下列函数在指定区间的最大值与最小值：(1) 42()23f x x x =-+, 3[2]2-，;(2) ()f x x =[3,1]-;(3)()sin cos f x x x x =+,[],ππ-.解 (1)3()444(1)(1),f x x x x x x '=-=+- 解方程,0)(='x f 得1231,0, 1.x x x =-==计算357();216f -=(1)(1)2;f f -==(0)3;f =(2)11f =. 比较得最大值(2)11f =,最小值(1)(1)2f f -==.(2) ()1f x '==,令,0)(='x f 得34x =， 计算(3)1f -=-，35()44f =，(1)1f =.从而得最大值35()44f =,最小值(3)1f -=-.(3) ()cos f x x x '=，令,0)(='x f 在[],ππ-得驻点123,0,.22x x x ππ=-==计算()()222f f πππ-==，(0)1f =，()()1f f ππ-==-.故得到，最大值为()()222f f πππ-==，最小值为()()1f f ππ-==- .4. 求下列曲线的渐近线： (1) 1sin x y x+=; (2) 111x y e-=+.解 (1)因1sin lim0x xx →∞+=, 得水平渐近线0;y = 因01sin limx xx→+,=∞ 得铅直渐近线.0=x (2) 因11lim(1)2x x e-→∞+=, 得水平渐近线2;y =因111lim(1)x x e +-→+=+∞, 得铅直渐近线 1.x =5. 作出下列函数的图形： (1) 3()31f x x x =-+； (2) 43()21f x x x =-+;(3) 2y =(4) 2()1x f x x=+.解 (略) 6. 设A 、B 两个工厂共用一台变压器，其位置如右下图所示，问变压器设在输电干线的什么位置时，所需电线最短？解 设变压器设在输电干线距C 点x km 处，由已知条件可得电线的总长度为()6)f x x =≤≤求导()f x '=，令()0f x '=，在[0,6]内，得为唯一驻点,容易判断，此时，函数有最小值，故变压器设在输电干线距C 点2.4 km 处，所需电线最短.习题4-61．某钟表厂生产某类型手表日产量为Q 件的总成本为21()200100040C =++Q Q Q (元)， (1) 日产量为100件的总成本和平均成本为多少？ (2) 求最低平均成本及相应的产量；(3) 若每件手表要以400元售出，要使利润最大，日产量应为多少？并求最大利润及相应的平均成本？解 (1) 日产量为100件的总成本为2100(100)20010010002125040C =+⨯+=(元)平均成本为21250(100)212.5100C ==(元). (2) 日产量为Q 件的平均成本为()1000()20040C C ==++Q Q Q Q Q， 211000()40C '=-Q Q，令()0C '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为200=Q .D又20031000(200)0C =''=>Q Q ，故200=Q 是()C Q 的极小值点，即当日产量为200件时，平均成本最低，最低平均成本为1000()20021040200200200C =++= (元).(3) 若每件手表要以400元售出，此时利润为()L Q 21400()400200100040C ==---Q -Q Q Q Q 21200100040=-+-Q Q ， 1()20020L '=-+Q Q ，令()0L '=Q ，得唯一驻点为400=Q ，此时，1()020L ''=-<Q ， 因此，要使利润最大，日产量应为400件，此时的最大利润为21()200100075 00040400400400L =-⋅+⨯-=(元) 相应的平均成本为1000()200212.540400400400C =++=(元).2．设大型超市通过测算，已知某种手巾的销量Q (条)与其成本C 的关系为23()100060.003(0.01)C =+-+Q Q Q Q (元),现每条手巾的定价为6元, 求使利润最大的销量.解 利润函数为()L Q 236()10000.003(0.01)C ==-+-Q -Q Q Q ，求导2()0.0060.03(0.01)L '=-Q Q Q ，令()0L '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为2000=Q ，此时，22000()0.0060.03(0.0120.00602000)L =''=-⨯⨯=-<Q Q ，因此，要使利润最大，销量应为2000条，此时的最大利润为23()10000.003(0.013000200020002000)L =-+⨯-⨯=(元).3. 设某种商品的需求函数为1000100P =-Q , 求当需求量300=Q 时的总收入, 平均收入和边际收入，并解释其经济意义.解 设需求量Q 件价格为P 的产品收入为(),R P =⋅Q Q由需求函数1000100P =-Q 得100.01P =-Q 代入得总收入函数2()(100.01)100.01.R =-⋅=-Q Q Q Q Q平均收入函数为 ()()100.01.R R ==-Q Q Q Q 边际收入函数为2()(100.01)100.02.R ''=-=-Q Q Q Q 当300=Q 时的总收入为 ,210030001.030010)300(2=⨯-⨯=R 平均收入为 ,730001.010)300(=⨯-=R边际收入为 (300)100.02300R '=-⨯=，其经济意义是：当需求量为300件时，每增加1个单位商品的需求，将增加4元的收入.4．设某工艺品的需求函数为800.1P =-Q (P 是价格，单位：元, Q 是需求量，单位：件), 成本函数为 500020C =+Q (元).(1) 求边际利润函数()L 'Q , 并分别求200=Q 和400=Q 时的边际利润，并解释其经济意义.(2) 要使利润最大，需求量Q 应为多少?解 (1)已知800.1P =-Q ，500020C =+Q ，则有 2()(800.1)800.1,R P =⋅=-=-Q Q Q Q Q Q2()()()(800.1)(500020)L R C =-=--+Q Q Q Q Q Q边际利润函数为2()(0.1605000)0.260,L ''=-+-=-+Q Q Q Q当200=Q 时的边际利润为(200)0.22006020.L '=-⨯+=当400=Q 时的边际利润为.20604002.0)400(-=+⨯-='L可见销售第201个产品，利润会增加20元，而销售第401个产品后利润将减少20元. (2) 令()0,L '=Q 得,300=x02.0)300(<-=''L故要使利润最大，需求量300=Q 件，此时最大利润为 4000)300(=L (元).5．设某商品的需求量Q 与价格P 的关系为16004P=Q (1) 求需求弹性)(P η，并解释其经济含义;(2) 当商品的价格10=P (元)时, 若价格降低1%, 则该商品需求量变化情况如何？ 解 (1) 需求弹性为)()()(P Q P Q PP '=η1600416004P P P '⎛⎫ ⎪⎝⎭=1600ln 4416004P PP -=⋅ ln 4P =-⋅P )2ln 2(-=.39.1P -≈需求弹性为负, 说明商品价格P 上涨1%时, 商品需求量Q 将减少1.39P %.(2) 当商品价格10=P (元)时, ,9.131039.1)10(=⨯-≈η 这表示价格10=P (元)时, 价格上涨1%, 商品的需求量将减少13.9%. 若价格降低1%, 商品的需求量将增加13.9%.6．某商品的需求函数为3P e -=Q (Q 是需求量，P 是价格)，求：(1) 需求弹性)(P η； (2) 当商品的价格2,34P =，时的需求弹性, 并解释其经济意义.解 (1) 需求弹性为33()()3PP e P P Pe η--'==-； (2) 2(2)13η=<,说明当2P =时，价格上涨1%, 需求减少0.67 %；(3)1η=，说明当3P =时，价格与需求变动幅度相同；4(4)>13η=,说明当4P =时，价格上涨1%, 需求减少1.33 %.7．已知某商品的需求函数为275P =-Q (Q 是需求量，单位：件，P 是价格，单位：元).(1) 求5P =时的边际需求, 并解释其经济含义.(2) 求5P =时的需求弹性, 并解释其经济含义.(3) 当5P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? (4) 当6=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? 解 设,75)(2P P f Q -==需求弹性)(0P P =)()(|0000P f P P f P P ⋅'==η 刻划了当商品价格变动时需求变动的强弱. (1) 当5P =时的边际需求5(5)210P f P='=-=-它说明当价格P 为5元,每上涨1元, 则需求量下降10件. (2) 当5P =时的需求弹性225(5)(5)(10)175755P f P η'=⋅=-⨯=---它说明当5P =时, 价格上涨1%, 需求减少1%.(3) 由 ()(1)R f P η'=⋅+. 又 ()R P P f P =⋅=⋅Q ,于是()()1()()ER P R P R P EP R P f P η''=⋅==+ 由(5)1η=-，得5110P EREP==-= 所以当5P =时,价格上涨1%,总收益不变，此时总收益取得最大值.(4) 由,753P P PQ R -==(6)234,R =(6)R '2675333,P P ==-=- 66(6)0.85(6)P ER R EP R ='=⋅≈- 所以当6=P 时,价格上涨1%,总收益将减少0.85%.复习题4（A ）1．设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，12a x x b <<<，则下式中不一定成立的是A . ()()()()f b f a f b a ξ'-=-()a b ξ<<； B . ()()()()f a f b f a b ξ'-=- ()a b ξ<<；C . ()()()()f b f a f b a ξ'-=- (12x x ξ<<)；D . 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- (12x x ξ<<).答：C 2．当x =4π时，函数1()cos cos 44f x a x x =-取得极值，则a =A ．-2 B．CD ．2答：B3．若在区间I 上，()0f x '>，()0f x ''<，则曲线)(x f y =在I 是 A ．单调减少且为凹弧； B ．单调减少且为凸弧； C ．单调增加且为凹弧； D ．单调增加且为凸弧.答：D4．曲线y =322(1)x x -A ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线；B ．只有水平渐近线；C ．有垂直渐近线x =1；D ．没有渐近线.答：C5．用中值定理证明下列各题：(1) 设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()0f a f b ==，且在(a , b )内()0f x ≠，试证：对任意实数k , 存在),(b a <<ξξ使得()()f k f ξξ'=. (2) 设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()1f a f b ==，试证：存在,(,)a b ξη∈，使得[()()]1e f f ξηξξ-'+=证 (1) 对任意实数k ，设()()kx F x e f x -=，()()()kx kx F x ke f x e f x --''=-+，显然()F x 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，且()()0F a F b ==，故在[a , b ] 应用罗尔定理，存在),(b a <<ξξ使()0F ξ'=，即()()()0k k F ke f e f ξξξξξ--''=-+=，整理得()()0kf f ξξ'-+=，即()()f k f ξξ'=. (2)设()()x F x e f x =，()()()x x F x e f x e f x ''=+，在闭区间[a , b ]上应用拉格朗日中值定理()()()b a e f b e f a F b aξ-'=-，(,)a b ξ∈即[()()]b a e e e f f b aξξξ-'+=-令()xG x e =，()[()()]b a e e G e e f f b aηξηξξ-''===+-，,(,)a b ξη∈ 故有 [()()]1e f f ξηξξ-'+=，,(,)a b ξη∈.6．求函数1()3f x x=-的1n +麦克劳林公式.解 1()3f x x =-=13(1)3x =-01()33k n nk k x o x ==+∑10()3k nn k k x o x +==+∑ 7. 计算下列极限：(1) lim(arctan )2x x π-；(2) 011lim()1x x e x→--; (3) 1ln 0lim(cot )xx x +→；(4) 110(1)lim xxx x e →⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 (1) lim(arctan )2x x π-arctan 2lim 1x x π→+∞-=211lim 11x x →+∞+=22lim01x x →+∞=-=+； (2) 011lim 1x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭01lim x x x x e xe x →-+=-01lim 1x x x x e xe e →-=+- 0lim 2x xx x e xe e →-=+12=-； (3) 1ln 0lim(cot )xx x +→ln cot ln cot limln ln 00lim x xxxx x e e+→+→==而0ln cot lim ln x x x +→20csc cot lim 1x xx x +→-=20csc lim cot x x x x+→-= 20csc lim cot x x x x+→-=0lim 1cos sin x xx x +→-==-， 所以 原式=1e -；(4) 110(1)lim xxx x e→⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1ln(1)10lim x x xx e ++-→= 01ln(1)1lim x x x x→+-20ln(1)lim x x x x →+-=0111lim 2x x x →-+= 01lim2(1)x x →-=+12=- 所以 原式=12e-.8．问,,a b c 为何值时，点(-1,1)是曲线32y x ax bx c =+++的拐点，且是驻点？ 解 32y x ax bx c =+++，232y x ax b '=++，62y x a ''=+， 由已知(1)620y a ''-=-+=，得3a =，2(1)3(1)23(1)0y b '-=-+⨯-+=，得3b =，点(-1,1)代入曲线方程：32(1)3(1)3(1)1c -+-+-+=，得2c =9. 证明方程 1ln -=e xx 在区间),0(+∞内有两个实根. 证 令()ln 1x f x x e =-+，11()f x x e '=-e xex-=，（1）当0x e <<时，()0f x '>，即函数单调增加，而()ln 110ef e e e=-+=>，0lim ()x f x +→=-∞，例如11121()ln 10e f e e e e---=-+=-<，因此，函数在(0,)e 内有且只有一个零点，即方程1ln -=exx 在(0,)e 内有且只有一个根；（2）当x e >时，()0f x '<，即函数单调减少，()()f x f e <又()ln 110e f e e e =-+=>，即()ln 11xf x x e =-+<于是ln xx e<，因此lim ()x f x →+∞=-∞，所以函数在(,)e +∞内有且只有一个零点，即方程1ln -=exx 在(,)e +∞内有且只有一个根；综上，即证方程 1ln -=exx 在区间),0(+∞内有两个实根..10．确定函数32()231210f x x x x =+-+的单调区间，并求其在区间[3,3]-的极值与最值.解 2()66126(1)(2)f x x x x x '=+-=-+,令,0)(='x f 得驻点122, 1.x x =-=所以, 函数在(],2-∞-，[1,)+∞单调增加，在[]2,1-单调减少，极小值(1)3f =，极小值(2)30f -=；又(3)55f =，(3)18f -=，因此得最大值(3)55f =,最小值(1)3f =.（B ）1. 设00()()0f x f x '''==，0()0f x ''<，则有（ ） A ．0()f x 是()f x 极大值； B ．0()f x 是()f x 极小值；C ．0()f x '是()f x '的极值；D ．点00(())x f x ，是曲线)(x f y =的拐点.答： D2. 设()(1)f x x x =-，则（ ）A ．0x =是()f x 极值点，但(0, 0)不是曲线)(x f y =的拐点；B ．0x =是()f x 极值点，且(0, 0)不是曲线)(x f y =的拐点；C ．0x =不是()f x 极值点，但(0, 0)是曲线)(x f y =的拐点；D ．0x =不是()f x 极值点，且(0, 0)也不是曲线)(x f y =的拐点.答：B3. 设120ea ->>，证明方程ax x ae =有且只有一个小于1a -的正根.证：因120ea ->>，则12e a ->，即21a e <令()ax f x x ae =-，显然()f x 在1[0,]a -连续，由(0)0f a =-<，1112()(1)0f a a ae a a e ---=-=->， 所以方程ax x ae =在1(0,)a -内至少有一实根，又2()1ax f x a e '=-，在1(0,)a -内0ax e e <<，所以220ax a e a e <<，于是2()10ax f x a e '=->，即函数()ax f x x ae =-在1(0,)a -单调增加，至多与x 轴有一个交点；因此，方程ax x ae =有且只有一个小于1a -的正根.4. 设(0)0f =,()0f x ''<，证明对任意120,0x x >>，恒有1212()()()f x x f x f x +<+.证 由()0f x ''<，知)(x f '单调减少，对任意120,0x x >>， 在1[0,]x 上应用拉氏定理知,11(0,),x ξ∃∈使11111()()(0)()0f x f x f f x x ξ-'==- 在112[,]x x x +上应用拉氏定理知，2112(,),x x x ξ∃∈+使12212221122()()()()()()f x x f x f x x f x f x x x x ξ+-+-'==+-)(x f '单调减少,∴)()(21ξξf f '>' ⇒122111()()()f x x f x f x x x +-<所以1212()()()f x x f x f x +<+. 证毕.5. 当10x >>时，证明不等式212xx +<成立.证 令2()12x f x x =+-，当10x >>时，(0)(1)0f f ==,()22ln 2x f x x '=-,又2()22ln 2>0x f x ''=-,(10x >>)，故()f x '在(0,1)单调增加，由(0)ln 2<0f '=-，(1)22ln 2>0f '=-，故()f x '在(0,1)有且只有一个零点，设为k .易知在(0,)k 内()<0f x '，在(,1)k 内()>0f x ', 因此点x =k 必为()f x 的极小值点. 从而在(0,)k 内，()f x 单调减少，即有0k x >>时，()<(0)0f x f =，于是有212x x +<(0k x >>)在(,1)k 内，()f x 单调增加，即有1x k >>时，()<(1)0f x f =，于是有212x x +<(1x k >>)因在(0,)k 和(,1)k 内()<0f x ，()f k 是函数()f x 的极小值，所以()<0f k .综上即得，在(0,1)内()<0f x ，于是，当10x >>时，不等式212xx +<成立. 证毕. 6. 已知0a b <<，函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，证明在(a , b )内至少存在,ξη使得2()()f f abηηξ''=.证 )(x f y =在区间[a , b ]上应用拉氏定理知，在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ使得- 21 - ()()()f b f a f b a ξ-'=-， 又()f x ，1x在[a , b ]上满足柯西中值定理的条件，故在(a , b )内至少存在一点η，使 2()()().111f b f a f b a ηη'-=--整理得：2()()()f b f a f b a ab ηη'-=-.因此得到，在(a , b )内至少存在,ξη使得2()()f f ab ηηξ''=.证毕.。
第四章 中值定理与导数的应用习题
第四章 中值定理与导数的应用一、填空题1、函数4)(x x f =在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则ξ=_______.2、设)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，方程0)(='x f 有____个根，它们分别在区间_________上3.如果函数)(x f 在区间I 上的导数__________，那么)(x f 在区间I 上是一个常数.4、xx y 82+=(0>x )在区间_____单调减少，在区间_____单调增加. 5、.曲线)1ln(2x y +=在区间_____上是凸的,在区间_____上是凹的,拐点为_____6、若)(x f 在[a,b]上连续、在(a,b)内二阶可导且 _____ ，则)(x f 在[a,b]上的曲线是凹的.7、若()bx ax x x f ++=35在x = 1时有极值56，则a = ，b = . 8、()x f 二阶可导，()0x f '' = 0是曲线()x f y =上点_____为拐点的 条件.9、函数y=sinx-cosx 在区间(0,2π)内的极大值点是_____,极小值点是_____.10、函数2x y e -=的单调递增区间为_____，最大值为11、设函数()x f 在点0x 处具有导数，且在0x 处取得极值，则该函数在0x 处的导数()='0x f 。
12、()x x f ln =在[1，e ]上满足拉格朗日定理条件，则在（1，e ）内存在一点=ξ ，使()()11=-⋅'e f ξ13、若()x f 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且()00=f ，()11=f ，由拉格朗日定理，必存在点∈ξ（0，1），使()()='⋅ξξf e f .14、()()()()321---=x x x x x f ，则方程()0='x f ，有 个实根。
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第四章 微分中值定理与导数的应用习题§ 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A.x e x f =)( B.||)(x x f = C. 21)(x x f -= D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='xx x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立. 证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式 （１）当π<<x 0时，x xxcos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xxcos sin >． （２）当 0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<<因为'1()f x x =，所以1ln ()a a b bξ=-，又因为b a ξ<<，所以111abξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ．§ 洛毕达法则1． 填空题 （１） =→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim(sin )x x x +→=1２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）A ． ==∞→∞→n n nn n e n ln limlim 11lim=∞→nn eB ． =-+→xx x x x sin sin lim∞=-+→x xx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sinlim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim→=11lim 0=→xx e（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． x x x x sin lim +∞→D ． x nx ex +∞→lim3． 求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim．（２）20222lim xx x x -+-→． 解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ．（３）3tan sin limx xx x -→ ．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim xx x x x x x x -⋅=-→→＝21-． （４） 20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim xx e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ．（５）xx x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x x x +='，x x x x xx ln 1lim1+--→＝xx x xx 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） )111(lim 0--→xx e x ． 解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→xxe x x e e x x x xx x x（７） x x xtan 0)1(lim +→ ．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x x xx xxxx x x x x x x eeeex．（８）)31ln()21ln(limxx x +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim 1x x x xx x x x x →+∞→+∞→+∞+++===xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９） n n n ∞→lim ．解： 因为1lim 1limln 1lim===∞→∞→∞→xxxxx x x ee x ，所以nn n ∞→lim=1．§函数的单调性与曲线的凹凸性1． 填空题（１） 函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞- ，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调 增加 ．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2． 单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . x y -=2 ),(∞+-∞ B . x y e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A. )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D )A. 任意0)(,>'x f xB. 任意0)(,≤-'x f xC. )(x f -单调增D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ）A. )0()1()0()1(f f f f ->'>'B. )0()0()1()1(f f f f '>->'C. )0()1()0()1(f f f f '>'>-D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2． 求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x ．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-．解：)1(31031-='-x x y ，当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解： 011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3． 证明下列不等式（１）证明： 对任意实数a 和b , 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令xxx f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f , 因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当 0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4． 讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2,0(π内有几个实根．解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ，由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１） 当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２） 当0242arccos 2<<--k ππ时,有两个实根；（３） 当242arccos 2--=ππk 时，有唯一实根．5． 试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 （１）12-+=x xx y 解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y , 令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ． 故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin证明：令πxx x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(x x f -=''．当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πx x x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的,从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πxx >2sin ．§ 函数的极值与最大值最小值1． 填空题（１）函数x x y 2=取极小值的点是1ln 2x =-． （２） 函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值（ C ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足x e x f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C.))(,00x f x （为拐点 D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim2000-=--→x x x f x f xx ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ )A ． 取得极大值B ． 取得极小值C ． 无极值D ． 不一定有极值3． 求下列函数的极值 （１） ()3/223x x x f -=．解：由13()10f x x -'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x '==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<． 因此ee e y 1)(=为极大值．4． 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值． 解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5． 在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大．解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=， 由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<， 由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34Rh =，此时R r 322=． 由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34Rh =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大．6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处解: 设AD x= B 与C 间的运费为y , 则)100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ），其中k 是某一正数． 由 0)34005(2=-+='xx k y 得15=x由于ky x 400|0== k y x 380|15==2100511500|+==x y 其中以k y x 380|15==为最小因此当AD15=x km 时总运费为最省．7． 宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少解： 问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且tby t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos +=)2,0(π∈t ． 则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='， 由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=，故木料最长为233232)(b a l +=．§ 函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线. 解：由 -∞=+-→231)1(limx x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线． 因为 2)1(lim )(lim ,1)1(lim lim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．第四章 综合练习题1．填空题（１） 01ln(1)1lim sin limarctan x x x x x x→→+∞++= 0 ． （２） 函数)1ln(+-=x x y 在区间)0,1(-内单调减少，在区间),0(+∞内单调增加．（３） 曲线)1ln(1x e xy ++=的渐近线是00==y x 和．（４）=-→x x x cos 02)(tan lim π1 ． 2． 求下列极限 （１） 2)1ln(sin 1tan 1limx x x xx x -++-+→解：20)1ln(sin 1tan 1lim x x x xx x -++-+→＝xx x x x x x x sin 1tan 11])1[ln(sin tan lim 0+++⋅-+-→ ＝x x x x x x x tan lim )1ln(cos 1lim2100→→⋅-+-＝x x xx -+-→)1ln(cos 1lim 210＝111sin lim 210-+→xx x＝21)1(sin lim210-=+-→x x x x ． （２） xe e x x x x a a x x 1sin)(1cos )1cos 11sin(lim21-+-+∞→ 解：x e e x x x x a a x x 1sin )(1cos )1cos 11sin(lim21-+-+∞→=xe e x x x x x a x 1sin)1(1cos)1cos 11sin (lim 212-+-∞→=x x e x x x a x 1)1(1cos 11sin lim 22+-∞→=a x a e xx x x x x x e 2432223131sin 11cos 11cos 1lim1-=-+-∞→． 3． 求证当0>x 时， )1ln(212x x x +<-． 证明： 令221)1ln()(x x x x f +-+=, 则21()111x f x x x x'=-+=++, 当0>x 时, ()0f x '>，故)(x f 在),0[+∞单调增． 当0>x 时，有()(0)0f x f >=，即 )1ln(212x x x +<-．4． 设)(x f 在],[b a 上可导且4≥-a b ，证明：存在点),(0b a x ∈使)(1)(020x f x f +<'.证明： 设)(arctan )(x f x F =, 则)(1)()(2x f x f x F +'='，且2|)(|π≤x F ． 由拉格朗日中值定理知, 存在),(0b a x ∈，使)()()(0x F ab a F b F '=--, 即14422|)(||)(|)()()(1)(020<=+≤-+≤--=+'πππa b a F b F a b a F b F x f x f ．5． 设函数)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内具有二阶导数且存在相等的最大值, 且)()(a g a f =, )()(b g b f =, 证明： 存在),(b a ∈ξ,使得)()(ξξg f ''=''．证明： 设)(),(x g x f 分别在),(,21b a x x ∈取得最大值M ， 则12()()f x g x M ==, 且12()()0f x g x ''==． 令)()()(x g x f x F -=．当21x x =时, 0)()()(1===x F b F a F , 由罗尔定理知, 存在),(),,(1211b x x a ∈∈ξξ, 使0)()(21='='ξξF F , 进一步由罗尔定理知, 存在),(21x x ∈ξ，使0)(=''ξF ，即)()(ξξg f ''=''当21x x ≠时, 0)()(11≥-=x g M x F ,0)()(22≤-=M x f x F ，由零点存在定理可知，存在],[211x x ∈ξ，使0)(1=ξF ． 由于0)()(==b F a F ，由前面证明知, 存在),(b a ∈ξ，使0)(=''ξF ，即)()(ξξg f ''=''．6． 设0≤k ,证明方程112=+xkx 有且仅有一个正的实根． 证明：设11)(2-+=x kx x f ． 当0=k ，显然112=x只有一个正的实根．下考虑0<k 时的情况．先证存在性： 因为)(x f 在),0(+∞内连续，且+∞=→)(lim 0x f x ，-∞=+∞→)(lim x f x ，由零点存在定理知，至少存在一个),0(+∞∈ξ，使0)(=ξf ，即112=+x kx 至少有一个正的实根．再证唯一性：假设有12,0x x >，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在12(,)(0,)x x η∈⊂+∞，使0)(='ηf ，即023=-ηk ，从而023>=ηk ，这与0<k 矛盾．故方程112=+x kx 只有一个正的实根．7． 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8时开始工作，在t 小时之后，生产出t t t t Q 129)(23++-=个产品．问：在早上几点钟这个工人工作效率最高解：因为12183)()(2++-='=t t t Q t x ,186)()(+-=''='t t Q t x , 令0)(='t x ,得3=t ．又当3t <时，()0x t '>．函数()x t 在[0,3]上单调增加；当3t >时，()0x t '<，函数()+∞上单调减少．故当3x t在[3,)t时，)(t x达到最大, 即上午11时这=个工人的工作效率最高．。