惠州学院复变函数与积分变换复习

复变函数与积分变换复习

一、考试的目的和性质

本课程是高等学校工科本科特别是自动控制、自动化、信号处理等专业的基础课。通过本课程的学习,使初步学生掌握复变函数与积分变换的理论和方法，为学习有关后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。 二、考试的内容和范围

考试内容: 复数与复变函数、解析函数、复积分、复变函数的级数理论、留数、共形映射、傅里叶

变换、拉普拉斯变换

考试范围: 一 知识点

1第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。 2 第二章主要掌握函数的解析性，会判断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。 3 第三章掌握复变函数积分的计算，掌握柯西积分公式，高阶导数公式及解析函数的性质。 4 第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。 5 第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。

6 第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，了解利用留数计算三类实积分。 7第七章掌握傅里叶变换及其逆变换的计算，掌握卷积的概念并能运用卷积定理。

8 第八章掌握拉普拉斯变换及其逆变换的计算，掌握卷积的概念并能运用卷积定理；掌握常系数线 性微分方程（组）的拉氏变换解法。 三、考试的形式和方法

试题比例：基本概念10％左右，计算技能90％左右。

(一)复数的概念

1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小.

2.复数的表示

1

）模：z =

2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y

x

之间的关系如下：

当0,x > arg arctan y

z x

=；

当0,arg arctan 0,0,arg arctan y

y z x x y y z x

ππ⎧

≥=+⎪⎪

<⎨

⎪<=-⎪⎩；

4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。 (二) 复数的运算

1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±

2.乘除法：

1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则

()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；

()()()()112211112121221

2222

22222222222

x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。 2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则

()

121212i z z z z e θθ+=；

()1211

22

i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根

1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n n

n in z z n i n z e θθθ=+=。 2） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则

1

22cos sin (0,1,21)n

k k z i k n n n θπθπ++⎛

⎫=+=- ⎪

⎝⎭

（有n 个相异的值）

4. 例题及其答案 计算下例各题. 1． i

312arg

+-；2． 7

)1(i +-；3.

6

18;

简答1．解：原式=;3

22321arg 4

)

31(2arg

π=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+

-=-

-i

2．解：原式)1(81243

2ln 7)

1ln(721i e

e

i k i i +-===⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+⋅++-ππ分）（；

3．解：原式=i k i

k e

e

3

6

1

221)

8(π

π=分）（.

（三）复变函数

1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射. 2．复初等函数

1）指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。 注：z e 是以2i π为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3） 对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数）；

主值：ln ln arg z z i z =+。（单值函数）

Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1lnz z

'=；

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：(0)b bLna

a e a =≠；(0)

b bLnz

z e z =≠

注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1b b z bz -'=。

4）三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z z

z z gz ctgz i z z

---+==== sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-

注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同）

4） 双曲函数 ,22

z z z z

e e e e shz chz ---+==； shz 奇函数，chz 是偶函数。,shz chz 在z 平面内解析，且()(),shz chz chz shz ''==。

（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：()0f z '=()()

000

lim

z f z z f z z

∆→+∆-∆；