第四章 随机变量的数字特征PPT课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5
xipi 3.2 i1
定义 1 设离散型随机变量 X 的分布律为
P X ai pi ， i 1, 2,
当级数 ai pi 绝对收敛时，称 ai pi 为随机
i
i
变量 X 的数学期望（或均值），记作 E X .即
E X ai pi
i
定义 2 设连续型随机变量 X 的概率密度
第四章 随机变量的数字特征
主要内容
▪ 数学期望 ▪ 方差与标准差 ▪ 协方差和相关系数 ▪ 其它数字特征 ▪ 两个不等式
一 数学期望（均值）
▪ 期望定义 ▪ 常见分布的期望 ▪ 随机变量函数的期望 ▪ 期望的性质
▪ 引例： ▪ 某校有20个学生英语考试成绩见下表（按
五级计分），求平均成绩。
X1 1 2 4 3 7 4 6 5 2 20 20 20 20 20
yfY
y
dy
。
▪ ▪
例设随机变量 则
X 的密度函数为 fx20x
0x1 其余
E X 2 1 x 2 2 xdx 1 ,
0
2
E X 3 1 x 3 2 xdx 2 ,
0
5
E
1 X
1 1 2 xdx 0x
2.
例 3．（教材 P93，例 4.6）设 X 与Y 的 联合密度函数为
函数为
f
x
，当积分
xf
x dx
绝对收敛
时，称 xf x dx 为随机变量 X 的数学期
望,记为 E(X) , 即
E（X） xf x dx
例1、 掷一颗骰子，用X表示其出现的点数， E（X）等于？
答：E(X)=3.5
例2、盒中有5个球，其中3个白球，2个黑球， 从中任取2个球，求白球数X的数学期望
2
E(X)=4
常用分布的期望
连续型随机变量
均匀分布 Ra,b: EXab
2
指数分布 E: EX1
正态分布 N ,2 :E X
随机变量函数的期望
定理 4.1
（1） E g X g ai pi ； i
（2）
E
g
X
g
x
f
x
dx
（3） E g X ,Y
g ai ,bj pij
E(X)=0, E(y）=1
E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y) =-2
例7. 设X，Y相互独立，X~参数为2的指数分 布， Y~参数为3的指数分布， 求E（2X+3Y），E（XY）。
答：E （2X+3Y） =2E(X)+3E(Y)=2*1/2+3*1/3=2 E（XY）=E(X) E(Y)=1/6
常用分布的期望
▪ 离散型随机变量
▪ 0 -1分布 B 1 ,p : E X p ▪ 二项分布 B n ,p : E X np
▪ 泊松分布 P : E X
▪ 例1. 设随机变量X~B（5，p），已知
E（X）=1.6，求参数p.
P=0.32
▪ 例2.设随机变量 X~P，已知
pX 1 1 pX 2, 求EX
=（4+12+36）/3=52/3
例 9．（教材 P94，例 4.7）把 n 个球放 进 N 个盒子，假定每只球落入各个盒子 是等可能的。 试求有球的盒子数 X 的数学期望。
例 10.（教材 P95，例 4.9）某百货公司每年 顾客对某种型号电视机的需求量是 X ， X 服
从集合1001,1002, , 2000上的离散型均匀分
例8. 设X，Y相互独立，X~R（2，6）， Y~R（-1,3）
求E（2X-3Y+3），E（2XY），E(X2). 答：由已知可得 E（X）=4， E（Y）=1，
E（2X-3Y+3）=2E（X）-3E（Y）+3=8； E（2XY）=2E(X) E(Y)=8； E(X2).=（a2+ab+b2)/3
定理 4.2 设 k 、 l 、 c 都是常数。
（1） E c c ； （2） EkX c kE X c ； （3） EkX lY kE X lE Y ； （4）当 X 与Y 相互独立时，E XY E X E Y 。
性质（2),（3）可以推广到任意有限个随机 变量上去。
（1）设随机变量 XX 1X2 Xn，则
E X E X 1 E X 2 E X n
（2）设随机变量 Y k 1 X 1 k 2 X 2 k n X n c, 则
E Y k 1 E X 1 k 2 E X 2 k n E X n c
▪ 例5．证明二项分布的数学期望
2
dx
x 2
4x2y2dy16
00
9
▪ 例4．试分别求下列分布的 E X2
X~P X~Ra,b X~E
X~N ,2
E X 22
EX2
a2abb2
3
E X 2
2
2
E X 2 2 2
数学期望的性质
退化分布：把常数 c 看作概率函数为
P X c 1的随机变量 X ，并称 X 服从
参数为 c 的退化分布。
f
x,
y
2 xy 0
0 2y x 2 其余
试求 E X ， E Y ， E 2XY 。
（2，1）
0
2
EX
xf X x dx
2 x x3 dx 8
0
4
5
E(Y)
yfY y dy
1 y4y 1 y2 dy 8
0
15
E(2XY) 2xy f x, ydxdy
解： X
0
1
2
163 Pr 1 0 1 0 1 0
E X 01 1 6236.
1 0 1 0 1 0 5
▪ 例：设随机变量X的密度函数如下，求数 学期望。
1
f
x
2x,
0,
0 x 1； 其余
2 f x 1 e x , x .
2
解 ： 1EX012x2dx2 3
2EXx1exdx0 2
ij
（4） E
g
X
,Y
g
x,
y
f
x,
y dxdy
特例：当 g X,Y X （或Y ）时，
EX
ai pij ai pi ；
ij
i
EY
bj pij bj p j
或
ij
j
EX
xf x, y dxdy
xf X
x
dx
；
EY
ห้องสมุดไป่ตู้
yf x, y dxdy
▪ 证: ▪∵
X ~ B n ,p : E X np
XX 1X2 Xn
X i ~B 1 ,p,
E (X i)p , i 1 ,2 , ,n
▪ ∴ EXEX1EX2 EXn
▪
np
例 6．设 X 与Y 的联合概率函数为
Y1 0 2
X
-1 1 0 1
6
6
00 11
66
1 1 10
66
求 Z 3X 2Y 的数学期望 .
xipi 3.2 i1
定义 1 设离散型随机变量 X 的分布律为
P X ai pi ， i 1, 2,
当级数 ai pi 绝对收敛时，称 ai pi 为随机
i
i
变量 X 的数学期望（或均值），记作 E X .即
E X ai pi
i
定义 2 设连续型随机变量 X 的概率密度
第四章 随机变量的数字特征
主要内容
▪ 数学期望 ▪ 方差与标准差 ▪ 协方差和相关系数 ▪ 其它数字特征 ▪ 两个不等式
一 数学期望（均值）
▪ 期望定义 ▪ 常见分布的期望 ▪ 随机变量函数的期望 ▪ 期望的性质
▪ 引例： ▪ 某校有20个学生英语考试成绩见下表（按
五级计分），求平均成绩。
X1 1 2 4 3 7 4 6 5 2 20 20 20 20 20
yfY
y
dy
。
▪ ▪
例设随机变量 则
X 的密度函数为 fx20x
0x1 其余
E X 2 1 x 2 2 xdx 1 ,
0
2
E X 3 1 x 3 2 xdx 2 ,
0
5
E
1 X
1 1 2 xdx 0x
2.
例 3．（教材 P93，例 4.6）设 X 与Y 的 联合密度函数为
函数为
f
x
，当积分
xf
x dx
绝对收敛
时，称 xf x dx 为随机变量 X 的数学期
望,记为 E(X) , 即
E（X） xf x dx
例1、 掷一颗骰子，用X表示其出现的点数， E（X）等于？
答：E(X)=3.5
例2、盒中有5个球，其中3个白球，2个黑球， 从中任取2个球，求白球数X的数学期望
2
E(X)=4
常用分布的期望
连续型随机变量
均匀分布 Ra,b: EXab
2
指数分布 E: EX1
正态分布 N ,2 :E X
随机变量函数的期望
定理 4.1
（1） E g X g ai pi ； i
（2）
E
g
X
g
x
f
x
dx
（3） E g X ,Y
g ai ,bj pij
E(X)=0, E(y）=1
E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y) =-2
例7. 设X，Y相互独立，X~参数为2的指数分 布， Y~参数为3的指数分布， 求E（2X+3Y），E（XY）。
答：E （2X+3Y） =2E(X)+3E(Y)=2*1/2+3*1/3=2 E（XY）=E(X) E(Y)=1/6
常用分布的期望
▪ 离散型随机变量
▪ 0 -1分布 B 1 ,p : E X p ▪ 二项分布 B n ,p : E X np
▪ 泊松分布 P : E X
▪ 例1. 设随机变量X~B（5，p），已知
E（X）=1.6，求参数p.
P=0.32
▪ 例2.设随机变量 X~P，已知
pX 1 1 pX 2, 求EX
=（4+12+36）/3=52/3
例 9．（教材 P94，例 4.7）把 n 个球放 进 N 个盒子，假定每只球落入各个盒子 是等可能的。 试求有球的盒子数 X 的数学期望。
例 10.（教材 P95，例 4.9）某百货公司每年 顾客对某种型号电视机的需求量是 X ， X 服
从集合1001,1002, , 2000上的离散型均匀分
例8. 设X，Y相互独立，X~R（2，6）， Y~R（-1,3）
求E（2X-3Y+3），E（2XY），E(X2). 答：由已知可得 E（X）=4， E（Y）=1，
E（2X-3Y+3）=2E（X）-3E（Y）+3=8； E（2XY）=2E(X) E(Y)=8； E(X2).=（a2+ab+b2)/3
定理 4.2 设 k 、 l 、 c 都是常数。
（1） E c c ； （2） EkX c kE X c ； （3） EkX lY kE X lE Y ； （4）当 X 与Y 相互独立时，E XY E X E Y 。
性质（2),（3）可以推广到任意有限个随机 变量上去。
（1）设随机变量 XX 1X2 Xn，则
E X E X 1 E X 2 E X n
（2）设随机变量 Y k 1 X 1 k 2 X 2 k n X n c, 则
E Y k 1 E X 1 k 2 E X 2 k n E X n c
▪ 例5．证明二项分布的数学期望
2
dx
x 2
4x2y2dy16
00
9
▪ 例4．试分别求下列分布的 E X2
X~P X~Ra,b X~E
X~N ,2
E X 22
EX2
a2abb2
3
E X 2
2
2
E X 2 2 2
数学期望的性质
退化分布：把常数 c 看作概率函数为
P X c 1的随机变量 X ，并称 X 服从
参数为 c 的退化分布。
f
x,
y
2 xy 0
0 2y x 2 其余
试求 E X ， E Y ， E 2XY 。
（2，1）
0
2
EX
xf X x dx
2 x x3 dx 8
0
4
5
E(Y)
yfY y dy
1 y4y 1 y2 dy 8
0
15
E(2XY) 2xy f x, ydxdy
解： X
0
1
2
163 Pr 1 0 1 0 1 0
E X 01 1 6236.
1 0 1 0 1 0 5
▪ 例：设随机变量X的密度函数如下，求数 学期望。
1
f
x
2x,
0,
0 x 1； 其余
2 f x 1 e x , x .
2
解 ： 1EX012x2dx2 3
2EXx1exdx0 2
ij
（4） E
g
X
,Y
g
x,
y
f
x,
y dxdy
特例：当 g X,Y X （或Y ）时，
EX
ai pij ai pi ；
ij
i
EY
bj pij bj p j
或
ij
j
EX
xf x, y dxdy
xf X
x
dx
；
EY
ห้องสมุดไป่ตู้
yf x, y dxdy
▪ 证: ▪∵
X ~ B n ,p : E X np
XX 1X2 Xn
X i ~B 1 ,p,
E (X i)p , i 1 ,2 , ,n
▪ ∴ EXEX1EX2 EXn
▪
np
例 6．设 X 与Y 的联合概率函数为
Y1 0 2
X
-1 1 0 1
6
6
00 11
66
1 1 10
66
求 Z 3X 2Y 的数学期望 .