共形映射
7．1解析函数的特性
教学目的：使学生掌握从映射角度来研究解析函数的概念及基本原理，从而了解 解析函数的几何理论. 重点：保角映射的概念与性质. 难点：解析变换的保域性. 课时：4课时 教学过程：
前几章我们用分析的方法研究了解析函数的性质和应用，从映射角度来研究解析函数的性质及其应用主是通常说的解析函数的几何理论.几何理论中最基本的是共形映射的理论.下面我们来介绍共形映射的概念及基本原理. 一．解析函数的保域性.
定理7.1 (保域定理)设()w f z =在区域D 内解析且不恒为常数,则D 的象()G f D =也是
一个区域.
证明：按区域的定义：要证()G f D =是一个连通开集.
首先证明G 是一个开集即证G 的每一个都是内点,设0w 是G 内的任意一点，则存在0z D ∈，
使得00()f z w =，由第六章的儒歇定理，必存在0w 的一个邻域*0w w δ-<.对于其中的任一数w A =，函数()f z A -在0z z ρ-<内（0z z ρ-<是D 内的邻域）必有根，即w A =，这记0w w G -?.表明0w 是G 的内点.由0w 的任意性知G 是开集 其次证明G 是连通集.由于D 是区域,可在D 内部取一条联结12,z z 的折线
=≤≤==121122:()[,(),()]C z z t t t t z t z z t z .
于是： 12:[()]()
w f z t t t t Γ=≤≤就
结12,w w 的并且完全含于G 的一条曲线.从而,
由柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到一条联结12,w w 内接于Γ且完全含于G 的折线
Γ.
从以上两点，表明()G f D =是区域.
推论7.2 设()w f z =在区域D 内单叶解析,则D 的象()G f D =也是一个区域. 证明：用()f z 在区域D 内单叶，必()f z 在D 内不恒为常数.
定理7.3 设函数()w f z =在点0z 解析,且'
0()0f z ≠,则()f z 在0z 的一个邻域内单叶解
析.
由此可见，符合本定理条件的解析变换()w f z =将0z 的一个充分小邻域变成00()w f z =的
一个曲边邻域.
2 解析变换的保角——导数的几何意义 设()w f z =于区域D 内解析, ∈0z D ,在点0z 有导数0z .通过0z 任意引一条有向光滑曲
线
=≤
≤01:()()C z z t t t t ,
=00()z z t ，
则必0'()z t 存在且0'()0z t ≠，从而由第二章习题（一）1，C 在0z 有切线，0'()z t 就是切向量，它的倾角为0arg '()z t ?=.经过变换()w f z =，C 之象曲线()f C Γ=的参数方程应为
01:[()]
()w f z t t t t Γ=≤≤
由定理7.3及第三章习题（一）13，Γ在点0w t 0w ＝（）
的邻域内是光滑的，又由于000'()'()'()0w t f z z t =≠
，故Γ在00()w f z =也有切线，0'()w t 就是切向量，其倾角为 000arg '()arg '()arg '(),w t f z z t ψ==+ 即 0arg '()f z ψ?=+ 假设 0'()R ia f z e =
则必 00'(),arg '()f z R f z a == ， 于是 a ψ?-= （7.1） 且 lim
0z w
R z
?→∞
?=≠? （7.2）
图7.1
假定x 轴与u 轴、y 轴与v 轴的正方向相同（如图7.1），而且将原曲线的切线正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角，理解为原曲线经过变换后的旋转角，则 （7.1）说明:象曲线Γ在点00()w f z =的切线正向,可由原象曲线C 在点0z 的切线
正向旋转一个角0arg '()f z 得出:0arg '()f z 仅与0z 有关,而与过0z 的曲线C 的选择无关,称为变换()w f z =在点0z 的旋转角这也就是导数辐角的几何意义.
（7.2）说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比的极限是
0'()R f z =，它仅与0z 有关,而与过0z 的曲线C 之方向无关,称为变换()w f z =在点0z 的
伸缩率.这也就是导数模的几何意义.
上面提到的旋转角与C 的选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C 的方向无关这个性质,称为伸缩率不变性.
从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示()w f z =将0z z =处无穷小的圆变成0w w =处的无穷小的圆,其半径之比为0'()f z .
上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性. 经点0z 的两条有向曲线1C 、2C 的切线方向所构成的角，称为两曲线在该点的夹角.设
(1,2)i C i =在点0z 的切线倾角为(1,2)i i ?=；i C 在变换()w f z =下的象曲线i Γ在点00()w f z =的切线倾角为(1,2)i i ψ=，则由（7.1）有
11a ?ψ-=及22a ?ψ-=
即有 1122??ψ-=ψ- 所以 1212 ??δψ-ψ=-=
这里12??-是1C 和2C 在点0z 的夹角（反时针方向为正），12ψ-ψ是1Γ和2Γ在象点
00()w f z =的夹角（反时针方向为正）.由此可见，这种保角性既保持夹角的大小，又保持
夹角的方向（图7.2）.
图7.2
定义7.1 若函数()w f z =在点0z 的邻域内有定义,且在点0z 具有: (1)伸缩率不变性；
(2)过0z 的任意两曲线的夹角在变换()w f z =下,既保持大小，保持方向；
则称函数()w f z =在点0z 是保角的.或称()w f z =在点0z 是保角变换.如果()w f z =在区域D 内处处都是保角的,则称()w f z =在区域D 内是保角的,或称()w f z =在区域D 内是保角变换.
下面我们来讨论保角变换的性质.
定理7.4 如()w f z =在区域D 内解析,则它在导数不为零的点处是保角的.
由上面的讨论即得.
推论7.5 如()w f z =在区域D 内单叶解析,则称()w f z =在区域D 内是保角的. 注：由定理6.11，在D 内'()0f z ≠
例7.1 试求变换2()2w f z z z ==+在点12z i =-+处的旋转角，并且说明它将z 平面的哪一部分放大？哪一部分缩小？
解 因 '()222(1)f z z z =+=+， '(12)2(121)4f i i i -+=-++=， 故在点12i -+处的旋转角arg '(12)2
f i π
=-+=
又因'()f z =，这里z x i y =+，而'()
1f z <的充要条件是
41)1(22<
++y x ，故2
()2w f z z z ==+把以1-为心，12
为半径的圆周内部缩小，外部放大.
例7.2 试证：
iz
w e =将互相正交的直线族1Re z c =与2Im z c =依次变为互相正交的直线族1tan v u c =与圆周族2222c u v e -+=
证 正交直线族 1Re z c =与2Im z c = 在变换 iz
w e =下，有
1221
()i c ic c ic iz u iv w e e e e +-+====，即有象曲线族
2222c u v e -+=与1arctan v c u
=.
由于在z 平面上iz
e 处处解析，且
0iz dw ie dz
=≠，所以在w 平面上圆周族2222
c u v e -+=与直线族1tan v u c =也是互相正交的. 作业：317P 1，2.
3.单叶解析变换的共形性
定义7.2 如果()w f z =在区域D 内是单叶且保角的，称此变换()w f z =在D 内是共形的，也称它为D 内的共形映射.
注 解析变换()w f z =在解析点0z 如有0'()0f z ≠（由0'()f z 在0z 的连续性，必在0z 的邻域内≠0），于是()w f z =在点0z 保角，因而在0z 的邻域内单叶保角，从而在0z 的邻域内共形（局部）；在区域D 内()w f z =（整体）共形，必然在D 内处处（局部）共形，但反过来不必真.
定理7.6 设()w f z =在 区域D 内单叶解析.则 (1) ()w f z =将D 保形变换成区域()G f D =. (2)反函数1()z f w -=在区域G 内单叶解析,
且 1'
00001
()(,())'()
f
w z D w f z G f z -=
∈=∈ 证 (1)由推论7.2，G 是区域,由推论7.5及定义7.2, ()w f z =将D 保形变换成G . (2)由定理 6.11, '00()0()f z z D ≠∈,又因()w f z =是D 到G 的单叶满变换,因而是
D 到G 的一一变换.于是,当0w w ≠时,0z z ≠ ,即反函数1()z f w -= 在区域D 内单叶.故
11000000
()()1
f w f w z z w w w w w w z z ----==---- 由假设()(,)(,)f z u z y iv x y =+在区域D 内解析,即在D 内满足..C R -条件
,x y y x u v u v ==-.
故
22
x y x x x x
x
y
x
x
u u u v u v v v v u -=
=+ 2
2
()0,()x x
u iv f z z D '=+=≠∈
由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函数 (,),(,)x x u v y y u v ==
在点000w u iv =+及其一个邻域0()z N w 内为连续.即在邻域0()z N w 中,当0w w →时,必
有1100()()z f w z f w --=→=. 故
00110000
000
()()1lim lim
11
()()'()lim z z z f w f w w w w w w w z z z f z f z f z z z --→→-=
--→-==
--
即 1'
001
()'()
f
w f z -=
000(,())z D w f z G ∈=∈ 由于0w 或0z 的任意性,即知1
()z f
w -= 在区域G 内解析.
注〈1〉保形变换()w f z =将区域D 共形映射成区域()G f D =，而其反函数1()z f w -=将区域G 共形映射成区域D ，这时，区域D 内的一个无穷小曲边三角形δ变换成区域G 内的一个无穷小曲边三角形?（如图7.3），由于保持了曲线间的夹角大小及方向，故δ与?‘“相似”.这是共形映射这一名称的由来
.
图7.3
显然，两个共形映射的复合仍然是一个共形映射.具体地说，如()f z ξ=将区域D 共形映射成区域E ，而()w h ξ=将E 共形映射成区域G ，则[()]w h f z =将区域D 共形映射成区域G .利用这一事实，可以复合若干基本的共形映射而构成较为复杂的共形映射. 例7.3 讨论解析函数n
w z =（n 为正整数）的保角性和共形性. 解 （1）因为
10n dw
nz dz
-=≠ (0)z ≠ 故n
w z =在z 平面上除原点0z =外.处处都是保角的.
（2）由于n
w z =的单叶性区域是顶点的原点张度不超过2n
π
的角形区域.故在此角形区域n
w z =内是共形的.在张度超过
2n
π
的角形区域内，则不是共形的，但在其中各点的邻
域内是共形的(定理7.3). 作业： 317P 3.
2．分式线性变换
教学目的与要求：使学生掌握线性变换的概念、性质与应用 重点：分式线性变换的性质及其应用 难点：反演变换的对称点 课时：4学时
1．分式线性变换及其分解
az b
w cz d
+=
+ ， 0ad bc -≠ （7.3） 称为分式线性变换(或..
M o bius 变换),有时也简记为()w L z =.
在（7.3）中,0ad bc -=,则a c b d =,于是
11a b z az b b b c cz d d
d z d ??+ ?
+??==+??+ ???
,
从而导致()w L z =恒为常数.因此条件0ad bc -≠是必要的. 此外,如果对（7.3）式在扩充z 平面上补充如下定义: 当0c =时,定义()w L =∞=∞;当0c ≠时,定义(),d a w L w L c c ??
=-
=∞=∞= ?
??
. 从而我们就认为()w L z =是定义在整个扩充z 平面上,而且将扩充z 平面一对一地因而单叶地变为扩充w 平面,因为（7.3）式具有如下的逆变换dw b
z cw a
-+=
- （7.4）
由定理7.1的注即可知分式线性变换（7.3）在扩充z 平面上是保域的. 其次, （7.3）式总可以分解为下式两个简单的变换的复合: (Ⅰ) (0)w kz h k =+≠
(Ⅱ) 1w z
=
这是因为当0c =时, （7.3）式为a b w z d d
=+, 此即为(Ⅰ)型变换
当0c ≠时，（7.3）式可改写为1a bc ad a
w c c cz d c
-=
+++， 它是下面三个(Ⅰ)或(Ⅱ)型变换的复合：
1
,cz d ξηξ
=+=
和bc ad a w c c
η-=
+ 由此我们可以知道，只要弄清(Ⅰ)和(Ⅱ)型变换的几何性质，则分式线性变换（7.3）的几何性质也就随之清楚.
下面我们讨论(Ⅰ)和(Ⅱ)型变换的几何性质
(Ⅰ) 型变换(0)w kz h k =+≠也称为整线行变换.设iz
k re =（0r >，α为实数），则
iz w re z h =+，它实际上是由三个变换：z 旋转 伸缩和平移复而成的.也就是先将z 旋转角
度α，然后按比例系数r 作一个以原点为中心的伸缩，最后再平移一个向量h （如图7-4）.
图7.4
从图上也可看出，这种变换是相似变换且保持图形的方向不变. (Ⅱ)型变换 1
w z
=称为反演变换.它可以分解为下面两个变换的复合： (Ⅱ.1)1
z
ξ=
(7.5) (Ⅱ.2)w ξ-
= (7.6)
(Ⅱ.1)与(Ⅱ.2)分别称为关于单位圆周和关于实轴的对换变换,并称z 与ξ是关于单位圆周的对称点,ξ与w 是关于实轴的对换变换. 已知点z ,可用如图7-5的几何方法作出点1w z
-
=
,然后作出1w z
ξ-
==
.
图7.5
从图7.5可以看出,w 与z 都在过单位圆圆心o 的同一条射线上且1
1
z w =, 从而21w z = (即等于半径的平方)
因此z 与w 是关于单位圆周的对称点.此外我们规定圆心o 关于单位圆周的对称点为w =∞ 例1:试证:除恒等变换w z =之外,一切分式线性变换（7.3）恒有两个相异的或一个二重的不动点(即自己变成自己的点) 证 分式线性变换 (0)az b w ad bc cz d
+=
-≠+ （7.3） 的不动点一定适合方程az b
z cz d
+=
+ 即 2
()0cz d a z b +--= （7.7）
如果（7.7）的系数全为零,则（7.3）就成为恒等变换w z =.故（7.7）的系数不能全为零. (1)
若0c ≠,则（7.7）有两个根
21,2()42a d z a d bc c
-±=
?=-+ ,
当0?≠时, （7.3）有两个相异的不动点1z 和2z . 当0?=时, （7.3）有一个二重不动点2a d
z c
-=
. （2）若0c =.这时（7.7）成为()0d a z b --=
当0a d ≠≠时, （7.7）有根b
z d a
=-. 这时（7.3）成为a b w z d d =
+, 所以这时（7.3）有不动点b z d a
=-和z =∞. 当0a d =≠时,必0b ≠.不动点b
z d a
=
=∞-. 故这时（7.3）以z =∞为二重不动点.
2. 分式线性变换的性质 (2.1)共形性
定义7.3 二曲线在无穷远点处的交角为α,就是指它们在反演变换下的像曲线在原点处的交角为α. 对于(Ⅱ)型变换,
21
0dw dz z
=-≠ 根据定理7.4知它在0z ≠和∞的各处是保角的.而当0z =或∞时由定义7.3它也是保角的.于是(Ⅱ)型变换在扩充z 平面上是保角的 对于(Ⅰ)型变换,当z ≠∞时,
0dw
k dz
=≠,因而它在z ≠∞的各处是保角的. 其次,当z =∞时,其像点为w =∞. 我们引入两个反演变换:
11,z w
λμ==
它们分别将z 平面与w 平面的无穷远点保角变换为λ平面与μ平面的原点.将上述两个变换代入(Ⅰ)型变换得 (7.8),
它将λ平面的原点0λ=变为μ平面的原点0μ=而且
22
11
00()d h k h d h k k z μλλλλ+-==≠-≠+ 故变换(7.8)在0λ=是保角的.于是(Ⅰ)型变换在z =∞也是保角的 综合上述讨论我们就可得到定理7.7分式线性变换在扩充z 平面上是共形的 注:在无穷远点处不可考虑伸缩率的不变性. (2.2) 分式线性变换的保交比性
定理7.7分式线性变换(7.3)在扩充z 平面上是共形的. 注 在无穷远点处不考虑伸缩率的不变性. 3.分式线性变换的保交比较
定义7.4扩充平面上有顺序的四个相异点1234,,,z z z z 构成下面的量,称为它们的交比，记为
()()31
41123412344232
,,,,,,z z z z z z z z z z z z z z z z --:=
:--.
当四点中有一点为∞时,应将包含此点的项用1代替. 例如 1z =∞时,
即有 ()2344232
11
,,,z z z z z z z ∞=
:
--, 亦即先视1z 为有限,再令1z →∞取极限而得. 定理7.8在分式线性变换下,四点的交比不变.
证 设 1,1,2,3,4,i i az b
w i cz d +==+ 则()()()()
,i j i j i j ad bc z z w w cz d cz d ---=
++ 因此 ()()()313141411234123442324232
,,,7.9,,,.w w z z
w w z z w w w w z z z z w w w w z z z z ----=
::=----
其他可能情形的证明留给读者.
从形式上看,分式线性变换（7.3）具有四个复参数,,,.a b c d 但由条件0,ad bc -≠可知至少有一个不为零,因此就可用它去除（7.3）的分子及分母,于是（7.3）实际上就只依赖于三个复参数(即六个实参数).
为了确定这三个复参数,由定理7.8可知,只须任意指定三对对应点: ()i i z w L z w =
()(1,2,3)i i z w L z w i ==
即可.因从()()123123,,,,,,.w w w w z z z z =就可得到变换(7.3),即()w L z =,其中,,,.a b c d 就可由i z 及(1,2,3)i w i =来确定,且除了相差一个常数因子外是惟一的.
这就证明了:
由(7.3)式中的条件0ad bc -≠可知,,,a b c d 四个参数中至少有一个不为零.因此用此条件去除(7.3)的分子和分母后实际上只剩下三个参数.
根据定理7.8如果知道z 和w 的三个对应点()123,,,i i z w z z z z → 就可得到变换(7.3),且除了相差一个常数因子外是唯一的.于是我们便得到 定理7.9 设分式线性变换将扩充z 平面上三个相异点123,,z z z 指定为123,,w w w , 则此分式线性变换就被惟一确定,并且可以写成
3131
11232232
:w w z z w w z z w w w w z z z z ----:=----
(7.10)
(即三对对应点惟一确定一个分式线性变换) 例7.5 求将2,i ,-2对应地变成-1,i ,1的分式线性变换, 解 所求分式线性变换为
(1,,1,)(2,,2,)i w i z -=-,
即 111222
::12w z w i i z i i ++---=-----, 化简为 1132
4w i z w i z i
++-=?--, 于是
1(13)(2)
1(13)(2)4()
w i z w w i i z z i ++-=
+-++---, 化简后得 632
z i
w iz -=
-
(2.3) 分式线性变换的保圆周(圆)性
显然,根据(Ⅰ)型变换的几何意义易于推得(Ⅰ) 型变换将圆周(直线). 对于(Ⅱ) 型变换,由于圆周或直线可表示为
0Az z Bz Bz C +++=,(,A C 为实数,2
B A
C >) (7.11)
当0A =时表示直线,经过反演变换1
w z
=后, (7.11) 就变为0Cw w B w Bw A -
--
+++=, 它表示直线(0)c =或圆周(0)c ≠.
根据分式线性变换(7.3)是(Ⅰ)和(Ⅱ)型变换的 复合就可得到
定理7.10分式线性变换将平面上的圆周（直线）变为圆周或直线.
注 在扩充平面上，直线可视为经过无穷远点的圆周，事实上，（7.11）可改写为
0,C A z z zz
ββ+
++= 欲其经过∞，必须且只须A=0.因此可以说：在分式线性变换（7.3）下，扩充z 平面上的圆周变为扩充w 平面上的圆周，同时，圆被保形变换成圆. （2．4）分式线性变换的保对称点性
图7.6
反之，在扩充平面上给定区域d 及D ，其边界都是圆周，则d 必然可以共形映射成D.分式线性变换就能实现，且在一定条件下，这种分式线性变换还是唯一的.
注 （1）当γ或()L γΓ=为直线时，其所界的圆是以它为边界的两个半平面；
（2）要使分式线性变换()w L z =把有限圆周C 变成直线，其条件是C 上的某点0z 变成∞.
作业P 318 4（1）、（3），5，
5．分式线性变换的保对称点性 在第一段中，我们曾经讲过关于单位圆周的对称点这一概念，现推广如下：
定义7.5 12,z z 关于圆周:γ-=z a R 对称是指 12,z z 都在过圆心a 的同一条射线上,且和2
12--=z a z a R . (7.6)
此外，还规定圆心a 与点∞也是关于γ为对称的（如图7.7）.
由定义即知12,z z 关于圆周:γ-=z a R 对称，必须且只须2
21-=-R z a z a
.（7.5）
下述定理从几何方面说明了对称点的特性.
图7.7 图7.8
定理7.11 扩充z 平面上两点12,z z 关于圆周γ对称的充要条件是，通过12,z z 的任意圆周都与γ正交.
证 当γ为直线的情形，定理的正确性是很明显的，我们只就γ为有限圆周-=z a R 的情形给予证明（图7.8）.
必要性 设12,z z 关于圆周:γ-=z a R 对称,则过12,z z 的直线必然与γ正交(按对称点的定义, 12,z z 在从a 出发的同一条射线上).
设δ是过12,z z 的任一圆周(非直线),由引δ的切线ζa .,ζ为切点由平面几何的定理得
2
12a z a z a ζ-=-- 但由12,z z 关于圆周γ对称的定义,有 2
12z a z a R --= 所以 ζ-=a R
即是说ζa 是圆周γ的半径.因此δ与γ正交.
充分性 设过12,z z 的每一圆周都与γ正交.过12,z z 作一圆周(非直线)δ,则δ与γ正交.设交点之一为ζ,则γ的半径ζa 必为δ的切线.
联结12,z z ,延长后必经过a (因为过12,z z 的直线与γ正交).于12,z z 是在从a 出发的同一条射线上,并且由平面几何的定理得
2
212R a z a z a ζ=-=--
因此, 12,z z 关于圆周γ对称.
下述定理就是分式线性变换的保对称点性.
定理7.12 设扩充z 平面上两点12,z z 关于圆周γ对称,()=w L z 为一分式线性变换,则1122(),()==w L z w L z 两点关于圆周()γΓ=L 为对称.
证 设?是扩充w 平面上经过12,w w 的任意圆周.此时,必然存在一个圆周δ,它经过
12,z z ,并使()δ?=L .因为12,z z 关于γ对称,故由定理7.11,δ与γ正交.由于分式线性变
换()=w L z 的保角性,()δ?=L 与()γΓ=L 亦正交.这样,再由定理7.11即知12,w w 关于
()γΓ=L 对称.
6.分式线性变换的应用 分式线性变换在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中,具有很大的作用.
下面三例就是反映这个事实的重要特例:
例7.6 把上半z 平面共形映射成上半w 平面的分式线性变换可以写成
,+=
+az b
w cz d
其中,,,a b c d 是实数,且满足条件
0.->ad bc (7.12) 事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z 为实数时
20,()
-=>+dw ad bc dz cz d 即实轴变成实轴是同向的(如图7.9),因此上半z 平面共形映射成上w 半平面.
当然,这也可以直接由下面的推导看出:
22111Im ()()()Im .222++--=
-=-=-=++++az b az b ad bc ad bc w w w z z z i i cz d i cz d cz d cz d
图7.9
注 满足条件(7.12)的分式线性变换也将下半平面共形映射成下半平面.
例7.7 求出将上半平面Im 0>z 共形映射成单位圆1
解 根据分式线性变换保对称点的性质,点a 关于实轴的对称点a 应该变到0=w 关于
单位圆周的对称点=∞w .因此,这个变换应当具有形式:,-=-z a
w k
z a
（7.13）’ 其中k 是常数.k 的确定,可使实轴上的一点,例如0=z ,变到单位圆周上的一点 .=a w k
a
因此 1.==a
k
k a
所以,可以令β
=i k e (β是实数),最后得到所要求的变换为
(Im 0).β
-=>-i z a
w e a z a
(7.13) 在变换(7.13)中,即使a 给定了,还有一个实参数β需要确定.为了确定此β,或者
指出实轴上一点与单位圆周上某点的对应关系,或者指出变换在=z a 处的旋转角
arg '()w a .(读者可以验证,变换(7.13)在=z a 处的旋转角arg '().2
π
β=-
w a )
由(7.13)可见,同心圆周族(1)= ,-=-z a k z a 这是上半z 平面内以a 、a 为对称点的圆周族,双根据保对称性可知,单位圆1 例7.8求出将单位圆1 (1)= 解 根据分式线性变换保对称点的性质,点a (不妨假设0≠a )关于单位圆周1=z 的对称 点1 * = a a ,应该变成0=w 关于单位圆周1=w 的对称点=∞w ,因此所求变换具有形式 ,1-=-z a w k z a (7.14)’ 整理后得 1 ,1-=-z a w k az 其中1k 是常数.选择1k ,使得1=z 变成单位圆周1=w 上的点,于是111,1-=-a k a 即11=k ,因此可令1β=i k e (β是实数),最后得到所求的变换为 (1).1β -=<-i z a w e a az (7.14) β的确定还要求附加条件,如像例7.7中所说过的类似.(读者可以验证,对于变换(7.14),有 arg '()β=w a .) 由(7.14)可见,同心圆周族(1)= ,1-=-z a k az 这是z 平面上单位圆内以a 、 1a 为对称点的圆周族:.1z a a k z a -=?- 而单位圆1 1 a 两点的圆周在单位1 (2)()=L a b (一对内点对应),arg ()'=L a b (即在点a 处的旋转角固定). 思考题 (1)求将上半平面Im 0>z 共形映射成下半平面Im 0 (2)求将上半平面Im 0>z 共形映射成单位圆周外部1>w 的分式线性变换,(7.13)括弧中的条件就作怎样修改? (3)求将单位圆1 例7.9 求将上半z 平面共形映射成上半w 平面的分式线性变换,使符合条件: 1(), 0(0).+==i L i L 解 设所求分式线性变换()=w L z 为 += +az b w cz d , 其中,,,a b c d 都是实数,0.->ad bc 由于0(0)=L ,必0=b ,因而0≠a .用a 除分子分母,则()=w L z 变形为 ,= +z w ez f 其中,= =c d e f a a 都是实数, 再由第一个条件得 1+= +i i ei f , 即 ()()-++=f e i f e i , 所以 0,1-=+=f e f e 解之得 1,2== f e 故所求的分式线性变换为,22 =+z w z 即2.1 = +z w z 例7．10 求将上半z 平面共形映射成圆0w w R -<的分式线性变换()w L z =，使符合条件 '0(),()0L i w L i =>. 解 作分式线性变换0 w w R ξ-= 将圆0w w R -<共形映射成单位圆1ξ<. 其次，作出上半平面Im 0z >到单位圆1ξ<的共形映射，使z i =变成0ξ=，此分式线性变换为（如图7.10）.i z i e z i θ ξ-=+（为了能应用上述三个特别的结果.我们在z 平面与w 平面间插入一个“中间”平面—ξ平面.） 复合上述两个分式线性变换得 0i w w z i e R z i θ--=+， 图7.10 它将上半z 平面共形映射成圆0,w w R i -<变成0.w 再由条件'()0L i >，先求得 211,()2i i z i z i dw z i z i e e R dz z i i θθ==+-+∣=∣=+ 即 ()' 21(),22 i i R L i Re e i π θθ -== 于是 0,,,2 2 i e i θπ π θθ- == = 所求分式线性变换为 0.z i w Ri w z i -=++ 作业： P 318 6，7（1），8（1）. 3．某些初等函数所构成的共形映射 教学目的与要求：使学生掌握幂函数与根式函数、指数函数与对数函数的共形映射的性质 与应用 重点：幂函数与根式函数、指数函数与对数函数的共形映射的性质与应用 难点：幂函数与指数函数的单叶性区域 课时：2学时 初等函数所构成的共形映射对今后研究较复杂的共形映射大有作用. 1．幂函数与根式函数 先讨论幂函数 ,n w z = (7.15) 其中n 是大于1的自然数.除了0z =及z =∞外，它处处具有不为零的导数，因而在这些点是保角的. 由第二章3，(7.15)的单叶性区域是顶点在原点张度不超过 2n π 的角形区域.例如说，(7.15)在角形区域2:0arg (0)d z n π αα<<<≤ 内是单叶的，因而也是共形的（因为不保角的点0z =及z =∞在d 的边界上，不在d 内）.于是幂函数(7.15)将图7.11的角形区域 2:0arg (0)d z n π αα<<<≤ 共形映射成角形区域:0arg .D w n α<< 图7.11 特别，n w z =将角形区域20arg z n π <<共形映射成w 平面上除去原点及正实轴的区域（图7.12）. 图7.12 作为n w z =的逆变换n z w =， （7.16） 专题讲座 高中数学“函数的概念与性质”教学研究 梁市西城区教育研修学院 函数是中学数学中的重点容，它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型. 本专题容由四部分构成：关于函数容的深层理解；函数概念与性质的教学建议；学生学习中常见的错误分析与解决策略；学生学习目标检测分析. 研究函数问题通常有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等. 一、关于函数容的深层理解 （一）函数概念的发展史简述 数学史角度：早期函数概念（Descartes，1596—1650引入坐标系创立解析几 何，已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系）[几何角度]；Newton，1642—1727，用数流来定义流量（fluxion）的变化率，用以表示变量间的关系；Leibniz，1646—1716引入常量、变量、参变量等概念；Euler引入函数符号，并称变量的函数是一个解析表达式[代数角度]；Dirichlet，1805—1859提出是与之间的一种对应的观点[对应关系角度]；Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度]. Dirichlet：认为怎样去建立与之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的值，都有一个确定的值，那么叫做的函数.”这种函数的定义，避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确（经典函数定义）. Veblen，1880－1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是其它对象. （二）初高中函数概念的区别与联系 1．初中函数概念： 105 第6章 保角映射 6.1 分式线性映射 导数的几何意义是保角映射的理论基础. 6-1 映射2w z =在i z =-处的伸缩率k 与旋转角α是（ ）. （A ）π1,2k α== （B ）π2,2k α==- （C ）π1,2k α==- （D ）π2,2 k α== 解 i i π ||2,Arg ()|.2 z z k w f z α=-=-''====- 选（B ）. 平移变换加伸缩反射得相似图形，相似比即||w '. 6-2 在映射1 w z =下，将|1|1z -<映射为（ ）. （A ）右半平面0u > （B ）下半平面0v < （C ）半平面12u > （D ）12 v <- 解1 22 1i i x y w u v z x y -= ==++ 22 22 , x y u v x y x y -= = ++ 而 2|1|1z -<，即 222x y x +<，故 2 2 1 .2x u x y = >+ 选（C ）. 解2 1 w z = 是分式线性变换，具有保圆性.而|1|1z -=，将0z =变到,2w z =∞=变到1,1i 2w z ==+变到1i 2w += ，故1w z =将圆变为直线12u =，而圆心1z =变到112w =>，故1 w z =将|1|1z -<变为半平面1 2 u > . （C ）. 6-3 映射1 w z =将Im()1z >的区域映射为（ ）. （A ）Im()1w < （B ）Re()1w < （C ）圆2211()22u v ++< （D ）2211 ()22u v ++> 解 由1w z =的保圆性，知1 w z =将1y =映射为直线 或圆，由z =∞映射为0,1i z =+，映射为1i ,1i 2 w z -==-+映为 1i 2 --知，将Im()1z =映射为w 平面上的圆： 2211()22 u v ++= 图6-1 而2i z =映射为 11i 2i 2=-.故1 w z =将Im()1z >映射为圆内. 选（C ） 《复变函数》考试大纲 课程名称：复变函数 一、考试的总体要求 本门课程主要要求：掌握该课程的基本概念及其性质，掌握复变函数的微积分理论、级数理论、留数、共形映射等方面的基础知识和基本方法，要求能用这些理论和方法解决有关问题的能力。 二、考试的内容及比例 1、复数与复变函数（5%～10％）： (1) 掌握复数、复平面上的点集、复数的四则运算、乘方与开方、复数的三角表示。 (2) 掌握复变函数、极限、连续性。 (3) 了解约当曲线定理、复球面与无穷远点。 2、解析函数（10%～20％）： (1) 掌握解析函数的概念与柯西-黎曼条件、求导法则、可微的必要条件和充分条件、奇点。 (2) 多值解析函数的支点、割线、解析分支。 (3) 掌握初等解析函数（正整数次幂函数、指数函数、三角函数、双曲函数）。 (4) 了解初等多值函数（根式函数、对数函数）、初等多值函数（反三角函数、一般指数函数、一般幂函数）。 3、复变函数的积分（15%～25％）： (1) 掌握复积分的概念及基本性质。 (2) 掌握柯西积分定理（单连通与复连通域）、定积分与原函数。 (3) 掌握柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、刘维尔定理、莫勒拉定理。 (4) 理解调和函数与共轭调和函数的概念。 4、解析函数的幂级数表示法（10～15％）： (1) 了解复级数的基本性质、收敛与一致收敛性。 (2) 掌握幂级数、收敛半径、和函数性质、解析函数的泰勒展式、初等函数的泰勒展开。 (3) 掌握解析函数零点的孤立性及唯一性定理、最大模原理。 5、解析函数的罗朗展式与孤立奇点（10%～15％）： (1) 掌握解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点。 (2) 掌握解析函数在无穷远点的性质。 (3) 了解整函数与亚纯函数的概念及性质。 6、留数理论及基应用（10%～15％）： (1) 掌握留数的概念和求法、利用留数计算周线积分。 (2) 会利用留数定理计算一些实积分（前三种类型）。 (3) 掌握幅角原理、儒歇定理及应用。 7、共形映射（5%～10％）： (1) 掌握解析变换的特征、导数的几何意义、单叶解析函数的基本性质。。 (2) 掌握分式线性变换的映射特性、某些初等函数所构成的共形映射。 三、参考书目 《复变函数论》（第三版）钟玉泉编高等教育出版社2004.6 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 [编辑本段] 内容 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和 复变函数说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使人们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。、关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也 《函数的概念与性质》教案设计 2019-02-16 一、学习要求 ①了解映射的概念，理解函数的概念； ②了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法； ③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数； ④理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质； ⑤理解对数函数的概念、图象和性质；⑥能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题． 二、两点解读 重点：①求函数定义域；②求函数的值域或最值；③求函数表达式或函数值；④二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题；⑤指数函数与对数函数；⑥求反函数；⑦利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题． 难点：①抽象函数性质的研究；②二次方程根的.分布． 三、课前训练 1．函数的定义域是（ D ） （A）（B）（C）（D） 2．函数的反函数为（ B ） （A）（B） （C）（D） 3．设则． 4．设，函数是增函数，则不等式的解集为 (2,3) 四、典型例题 例1设，则的定义域为（） （A）（B） （C）（D） 解：∵在中，由，得，∴ ， ∴在中，． 故选B 例2已知是上的减函数，那么a的取值范围是（） （A）（B）（C）（D） 解：∵ 是上的减函数，当时，，∴ ；又当时，，∴ ，∴ ，且，解得：．∴综上，，故选C 例3函数对于任意实数满足条件，若，则 解：∵函数对于任意实数满足条件， ∴ ，即的周期为4， 例4设的反函数为 ,若× ，则 2 解： ∴m+n=3，f(m+n)=log3(3+6)=log39=2 （另解∵ , 例5已知是关于的方程的两个实根，则实数为何值时，大于3且小于3？ 解：令，则方程 的两个实根可以看成是抛物线与轴的两个交点（如图所示）， 故有：，所以：， 解之得： 第六章 共形映射 一、选择题： 1．若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( ) （A ）21< z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）2 11>+z 2．映射i z i z w +-= 3在i z 20=处的旋转角为( ) （A ）0 （B ） 2 π （C ）π （D ）2 π - 3．映射2 iz e w =在点i z =0处的伸缩率为( ) （A ）1 （B ）2 (C)1-e （D ）e 4．在映射i e iz w 4 π +=下，区域0)Im( （A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i 7．函数i z i z w +-=33将角形域3arg 0π< 第一节共形映射的概念 一、两曲线的夹角 二、解析函数导数的几何意义 三、共形映射的概念 四、小结与思考 一、两曲线的夹角 ) (,)(βα≤≤=t t z z 正向: t 增大时, 点z 移动的方向.如果规定: t p p 正向对应于割线0p p 0 , 那么增大的方向. )()( 00同向与t t z t t z Δ?Δ+平面内的有向连续曲线C 可表示为: z y x C ..0 p p )(0t z ) (0t t z Δ+ )() ()(lim 0000t z t t z t t z t ′=Δ?Δ+→Δ当p , 0时p p p 0处切线 上 0p C ,,0)( 00βα<<≠′t t z 如果的向量那么表示)(0t z ′). ( 0t z z C =相切于点与方向与C 一致.C ..0 p p ) (0t z ) (0 t t z Δ+)(0t z ′y x C 沿 00)()(z C z t z 上点为起点为的方向若规定′处切线的正向, 则有 x 轴正向之间的夹角. 处的切线的正向与 上点就是00)( Arg .1z C t z ′C . z y x ) (0t z ′) (Arg 0t z ′ 2 C 1 C 正向之间与相交于一点的两条曲线21 .2C C 之间的夹角.)(Arg )(Arg 0102 t z t z ′?′. z ),(:11t z z C =; )(:22t z z C =). ()(02010t z t z z ==向 在交点处的两条切线正与就是的夹角21 ,C C 1．精馏塔中恒摩尔流假设，主要依据是各组分的________ ，但精馏段与提馏的摩尔流量由于________影响而不一定相等。 2．溶液的相对挥发度等于两组份________ ，а>1则表示组分Ａ和Ｂ________ ，а=1则表示组分Ａ和Ｂ________ 。 3．当某塔板上_______________时，该塔板称为理论塔板。 4．精馏过程的回流比是指________ ，最小回流比是指________。 5．在设计连续操作的精馏塔时，如保持x F，D/F，x D，R一定，进料热状态和选用的操作气速也一定，则增大进料量将使塔径________ ，而所需的理论板数 ________。 6.塔设计中求取精馏理论板时，以过两操作线交点的那块板作为最佳加料板位置时，所需理论数量最少，其原因是________ 。 7．精馏塔操作时，若加料板由最佳位置上移两板，则x D ________，x W ________ 。（1）变小(2 )变大(3)不变(4)不确定 8．某操作中的精馏塔，维持F、q 、X D、、V′不变，但XF增大，则D________ ，R ________ 。 （1）变小(2 )变大(3)不变(4)不确定 9．填料塔设计时，空塔气速一般取________气速的60%-80%，理由________ 。若填料层高度较高，为了有效地湿润填料，塔内应设置________装置。一般而言，填料塔的压降________板式塔压降。（＞，＝，＜＝) 15．未饱和湿空气与同温度水接触，则传质方向为________。若未饱和空气中的水汽分压与水表面的饱和蒸汽压相同，则传热方向为________ 。 第一章 教学内容与基本要求： 1、理解函数的概念。了解函数奇偶性、周期性、单调性和有界性。理解复合函数的概念、了解反函数概念。熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。会建立简单实际问题中的函数关系式。 2、理解极限的概念（对极限ε─N ，ε─δ定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求），了解极限的性质。 3、掌握极限四则运算法则。 4、了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 5、了解无穷小、无穷大的概念，会讨论无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。 6、理解函数在一点连续的概念，了解函数在区间上连续的概念。了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理）。 第一节 映射与函数 ㈠．本课的基本要求 理解函数的概念。了解函数的基本性态。理解复合函数的概念、了解反函数概念。熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。会建立简单实际问题中的函数关系式。 ㈡．本课的重点、难点 重点是复合函数的概念，难点是函数的基本性态。 ㈢．教学内容 引言──微积分的主要内容和思想方法 微积分是现代数学的第一个伟大成就，不仅对于数学本身的发展具有十分巨大的影响，而且作为强有力的工具，在几乎所有的科学（自然科学、社会科学和人文科学）领域里得到了广泛的应用。 微积分诞生于17世纪下半叶，但其思想的萌芽可追溯到2500多年关的古希腊人，我国古代也有一些精妙的思想和做法。在对由直线围成的图形面积计算的同时，人们一直试图计算由曲线围成的图形的面积，计算圆的周长、圆的面积等这样一些著名问题一直吸引着许许多多的智者。在两千多年不屈不挠的努力过程中，人们对许多具体问题建立了一些富有创见的解法。经过反复认识和不断积累，人类对运动、变化、弯曲、连续等客观世界模式终于有了比较清晰的认识。随着生产的发展和科学的进步，到17世纪时，求运动物体的速度和位移、求曲线的切线和曲线的长度、求由曲线所围的平面图形的面积和由曲面所围的空间立体的体积、求物体之间的引力等问题成为当时迫切需要解决的一些主要科学问题。伟大的物理学家Newton 和哲学家Leibniz 由于本身科学工作的需要（例如Newton 计算瞬时速度和万有引力，Leibniz 计算曲线的切线等），在前人思想方法和计算方法的基础上，分别独立地建立了用于解决一类广泛问题的普遍方法和计算法则──微积分，极大地影响了数学以及整个科学的发展。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一。 现今，微积分已成为现代科学技术必备的一块“敲门砖”，是大学数学基础教育最基本的组成部分之一。微积分的学习，不应该仅仅局限于学会一些计算方法，其间的思想方法将更有益于我们去认识客观世界。 一．介绍函数、极限、连续在本课程的地位 集合与映射我们在中学已经学过，以后也不用，这里就不再介绍。 二．邻域 邻域是一个经常用到的概念。以点0x 为中心的任何开区间称为点0x 的邻域，记为)(0x U 。 7．1解析函数的特性 教学目的：使学生掌握从映射角度来研究解析函数的概念及基本原理，从而了解 解析函数的几何理论. 重点：保角映射的概念与性质. 难点：解析变换的保域性. 课时：4课时 教学过程： 前几章我们用分析的方法研究了解析函数的性质和应用，从映射角度来研究解析函数的性质及其应用主是通常说的解析函数的几何理论.几何理论中最基本的是共形映射的理论.下面我们来介绍共形映射的概念及基本原理. 一．解析函数的保域性. 定理7.1 (保域定理)设()w f z =在区域D 内解析且不恒为常数,则D 的象()G f D =也是 一个区域. 证明：按区域的定义：要证()G f D =是一个连通开集. 首先证明G 是一个开集即证G 的每一个都是内点,设0w 是G 内的任意一点，则存在0z D ∈， 使得00()f z w =，由第六章的儒歇定理，必存在0w 的一个邻域*0w w δ-<.对于其中的任一数w A =，函数()f z A -在0z z ρ-<内（0z z ρ-<是D 内的邻域）必有根，即w A =，这记0w w G -?.表明0w 是G 的内点.由0w 的任意性知G 是开集 其次证明G 是连通集.由于D 是区域,可在D 内部取一条联结12,z z 的折线 =≤≤==121122:()[,(),()]C z z t t t t z t z z t z . 于是： 12:[()]() w f z t t t t Γ=≤≤就是联结12,w w 的并且完全含于G 的一条曲线.从而, 由柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到一条联结12,w w 内接于Γ且完全含于G 的折线 Γ. 从以上两点，表明()G f D =是区域. 推论7.2 设()w f z =在区域D 内单叶解析,则D 的象()G f D =也是一个区域. 证明：用()f z 在区域D 内单叶，必()f z 在D 内不恒为常数. 定理7.3 设函数()w f z =在点0z 解析,且' 0()0f z ≠,则()f z 在0z 的一个邻域内单叶解 析. 由此可见，符合本定理条件的解析变换()w f z =将0z 的一个充分小邻域变成00()w f z =的 未来10年中国数学发展战略 未来十年我国优先发展领域与重大交叉研究领域 一、基础数学 包括数论与代数、几何与拓扑以及分析三大部分。历史遗留的问题，如波奇和 斯温纳顿－戴雅猜想（Birch and Swinnerton Dyer conjecture）,Hodge conjecture,Riemann假设和Yang－Mills量子理论等。 二、应用数学 包括常微分方程与动力系统，偏微分方程，概率论，组合论，运筹学。 待解决的问题：流体运动，从微观到介观、再到宏观的数学建模及其理论基础； 纳维－斯多克斯方程的光滑性；P与NP问题。 三、计算数学与科学工程计算 高性能计算中的一些瓶颈问题。包括流体计算，电磁场计算，幅射物理计算， 纳米计算和物理计算中的先进算法研究，多尺度模型的分析与计算，以及非平衡态 的计算。 四、统计学与海量数据分析 高维数据、缺失数据和复杂结构数据的分析。 由复杂现象产生的海量高维数据开展“数据驱动”的研究。 五、数学与其他学科交叉的若干重大问题 包括蛋白组学，系统生物学，脑科学与认知科学，量子计算和量子调控，纳米 材料，复杂系统的控制等。 六、重点研究方向： 1.数论与代数中的前沿问题。主要研究内容：Langlands纲领，算术代数几何，Riemann猜想，Diophantus逼近，超越数论，模形式，代数数论，Lie理论，群及其表示，代数K－理论，现代模论，微分算子代数，非半单代数的表示理论，群上调和分析，多元自守形式和多元超几何函数，代数组合论，代数编码等。 2.流形的几何与拓扑。主要研究内容：整体微分几何研究；流形上的度量的局部 不变量与整体性质的关系。近年来物理产生的微分几何问题倍受关注，各种模空间的 研究成为热点。 3.现代分析及其应用。主要研究内容：①复分析前沿交叉应用。复动力系统，拟 共形映射与Teichmuller空间理论，值分布理论和正规族理论，共形不变量与Schramm-Loewer-Evolation,调和拟共形映射理论，Klein群理论，Circle packing与离散几何、多复变函数论与复几何、自守形式。②算子代数与泛函分析交叉应用。不变子 空间问题及其相关代数算子，非交换几何及其在几何、拓扑和物理中的应用，自由概 率论及因子分类，Banach空间及算子空间理论，非线性泛函分析中的大范围变分及拓 扑方法及其在偏微分方程中的应用。③调和分析前沿方法与交叉应用。经典调和分析， 几何测度论，非交换调和分析，度量空间上的调和分析，小波分析，调和分析在微分 方程中的应用，应用与计算调和分析及其在信息科学中的应用。 4.微分方程与动力系统的理论与应用。主要研究内容：非线性方程解的适定性、正则性和渐近性态，混合型及变型微分方程定解理论、高维双曲守恒律的激波理论、 非线性（包括完全非线性）椭圆或抛物型方程定解理论，非线性波动理论，自由世界 问题，非可积系统，散射理论和弥散效应等。动力系统的各种重要运动形式和定性理 论与分岔理论，运动轨道的拓扑结构及稳定性，不变集和KAM理论，吸引子及分形和混沌理论等。 5.随机分析及应用。主要研究内容：倒向随机微分方程与非线性期望理论及其应 压缩映射原理的性质和应用 摘要 本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用，由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。主要内容如下： 第一章，是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。 第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即Banach压缩映射原理，通过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了Picard迭代方法在证明中起到的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理，还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。 第三章，用第一章总结出的方法研究了压缩映射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。 第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。 第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法，在概率度量空间上讨论压缩映射原理，依次讨论了含随机数的压缩映射原理，在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等。 关键词：压缩映射；不动点；概率度量空间；非线性微分方程 ABSTRACT In this paper, a systematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows: The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the problem. The second chapter, this paper introduces the basic form of compression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof. The third chapter, in the first chapter summarizes the method of compression mapping principle is studied in the form of more complex, as the research problem of complex, also made the first chapter summarizes the methods become more perfect. The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples. The fifth chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, combined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, compression mappings in probabilistic metric space principle, in order to discuss the compression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic compression mapping principle, the principle and application of the compression of nonlinear mapping, etc. Key words: compression mapping; The fixed point. Probabilistic metric space; The nonlinear differential equation 第一章：集合、函数的概念 及基本性质复习（2课时） ___________ 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集 合问题时，尤其要注意元素的互异性。 例：（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5} P = }6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。 （2）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈， 则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个 2.遇到 A B =? 时，注意“极端”情况：A =?或 B =?；同样当A B ?时，注意?=A 的 情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 实数p 的取值范围. ，则实 数a ＝______. ②已知集合 A={}{} 01m 2,02322 =-++=+-x x x B x x x ， 若 B B A = ,求实数m 的取值范围。 ③已知集合A={x ∣-2≤x ≤5},集合B={x ∣p+1≤x ≤2p-1},若A ∩B=B,求实数p 的取值范围. 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 ，n 2，12-n ，12-n .22-n 例：满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 4.集合的运算性质: （设全集为U ） ⑴A B A B A =?? ；⑵A B B B A =?? ⑶A B ??B C A C u u ? (4）B A U B A C U ??=?)(； （5）()U C A B U U C A C B = ； （6）()U U U C A B C A C B = . 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合 的代表元素。 如：{} 2 1x y x =+指函数的定义域；{}21y y x =+指函数的值域；{} 2 (,)1x y y x =+指函数图象上的点集。 例：设集合 {|} M x y =，集合N ＝ {}2 |,y y x x M =∈，则M N = ___ 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 例：已知函数 12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区 间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ， 求实数p 的取值范围。 例：①集合{|10}A x ax =-=， {}2|320B x x x =-+=，且A B B = ，则实 数a ＝______. 数学学习路线 大学数学基础课是数学分析，高等代数，概率三门。 数学分析（或叫做高等数学，微积分）经典名著太多了，比如菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》，柯朗的《微积分和数学分析引论》，卓里奇的《数学分析》，还有美国教材《托马斯微积分》，都是好书，不过这些都是惶惶巨著，需要下大功夫研读，如果想从很浅的基础开始看，可以看《普林斯顿微积分读本》。所有这些都比国内教材（比如同济的）好很多很多。如果英语基础好的话直接看英文版的，否则看中文的也行。 高等代数（或者叫做线性代数），可以看David https://www.360docs.net/doc/c917161521.html,y的《线性代数及其应用》，这本书入门级别，但是质量很高，掌握之后可以看《线性代数应该这样学》，看完线性代数后还觉得不过瘾，可以看高等代数，或者矩阵分析，矩阵理论等等教材，有了线性代数的基础，就有了免疫力，不至于被国内的枯燥教材弄恶心了。 概率论，看国外的最好 这三门学完后，就可以进阶了，首先是在这三门的基础上进阶，数学分析进阶可以看实变函数方面的书，比如《陶哲轩实分析》，不过这本书偏重数学分析的内容，算是对数学分析的深化理解。高等代数进阶刚才说过了，可以看矩阵分析方面的书。多个方向同时进阶可以看咱们华罗庚的《高等数学引论》。 数学的主要几个分支大概是：代数，几何，分析，概率，离散，计算，当然分类不是唯一的。进阶结束之后就可以向着这些方向进发了： 代数方面的，可以看Artin的《代数》，算是入门书，看完之后就可以看代数里的各个方向的著作，比如数论，群论，环，域，拓扑等等。这些方面也是经典著作云集，以国外的为主。 几何方面的，其实几何与代数到了最后好像要统一了。可以先看解析几何入门，然后进入微分几何，黎曼几何，流形，射影几何，画法几何，双曲几何等等。几何与代数统一叙述的著作，可以看代数拓扑，代数几何，代数曲线，同调论方面的书。 数学中最大的一个分支应该是分析吧，它主要包括：实分析，复分析，泛函分析，调和分析，向量分析，张量分析，场论，函数论，常微分方程，偏微分方程，积分方程，积分变换，变分法，特殊函数等等。分析这方面相比代数之类的方向来说，更加偏应用一些。这些方面好书实在太多了，首先就是stein的四部曲：《傅里叶分析》，《实分析》，《复分析》，《泛函分析》。这四部书不厚，但是内容多，不过只要懂微积分和线性代数就可以学习了。 复分析还可以看拉夫连季耶夫的《复变函数论方法》，以及一本超级好书：《复分析：可视化方法》，前者讲复分析的方法（主要是共形映射）在各个物理，经济等学科里的应用方法，后者主要是把复变函数的抽象思想用非常美的图形表现出来，而且很深刻。函数的概念和性质
第6章共形映射
《复变函数》考试大纲
复变函数
《函数的概念与性质》教案设计.
复变函数与积分变换第六章测验题与答案
共形映射的概念和性质
第六章例题
第一节映射与极限
复变函数论 第七章 共形映射
新版未来10年中国数学发展战略-新版.pdf
压缩映射原理的性质和应用
第一章：集合、函数的概念及基本性质复习(2课时)
数学学习路线